【重点推荐】2019高中数学 考点13 球的表面积和体积庖丁解题 新人教A版必修2

考点13 球的表面积和体积
1．球的表面积公式为S 球＝4πR 2
，即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2．球的半径为R ，则球的体积为V 球＝34πR 3．
【例】用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为r 1＝24 cm ，r 2＝15 cm ，两截面间的距离为d ＝27 cm ，求球的表面积．
【易错易混】注意两个截面的位置．
1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A ．2倍
B ．2倍
C ．倍
D ．23倍
【答案】B
【解析】球的表面积扩大到原来2倍，半径扩大到原来的倍，体积扩大到原来的2倍．
2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )
A ．66π
B ．2π
C ．22π
D ．66π
3．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为( )
A ．R
B ．2R
C ．3R
D ．4R
【答案】D
【解析】设圆柱的高为h ，则3×34πR 3＝πR 2·h ，所以h ＝4R ．
4．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．
【答案】12π．
【解析】设球的半径为R ，则34πR 3＝4π，∴R ＝，∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×3＝12π．
5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
【答案】3π
【解析】由三视图还原为实物图为半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S ＝21×4π×12＋π×12＝3π．
【易错易混】表面积为半球面＋底面圆，而不是表面积为半球面．
1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．31＋32π
B ．31＋32π
C ．31＋62π
D ．1＋62π 【答案】C
【解析】由三视图知,半球的半径R ＝22,四棱锥为底面边长为1,高为1的正四棱锥,
∴V ＝31×1×1×1＋21×34π×22＝31＋62π，故选C ．
2．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所
得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式．人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3．14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )
A ．d ≈V 16
B ．d ≈2V 3
C ．d ≈V 300
D ．d ≈V 21
3．木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的__________倍．
【答案】240
【解析】由题意，得4πR 木2＝4πR 地2·120，所以R 木＝R 地
所以V 木＝34πR 木3＝34π·(R 地)3＝240·34πR 地3＝240V 地．
4．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，
AC ＝30，求球的表面积和体积．
【答案】4000π
【解析】∵AB ：BC ：AC ＝18：24：30＝3：4：5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°． 又球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，
露珠为何是圆的
表面张力的原因．表面张力使得液体尽可能的减小表面积，而球体正好满足这一要求，所以在没有外力作用下，液体成球体状．在自然环境中，由于有重力、外界的支撑力等因素，露珠不会成标准的球体．科学家曾设想在太空中来生产标准球体的钢珠，因为在地球上是很难完成的，而在太
空中是很容易的事情．我们学习了球的体积与表面积之后不难得到详细答案．。