图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式

1: 2 2 3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
3 1 : 4. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______
2 略解：可知半径 R 4 2 2， 2 S球 4R 2 32； 4 64 2 3 V球 R . 3 3
循序渐进——延伸拓展
引例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为acm,它的各个顶点都在球O的球面上，问 球O的表面积。(教材P28练习2） D A D1 A1c，则三球 表面积之比为 3 a 2 : 3 b2 : 3 c2 ；半 3 径之比为 . a :3 b :3 c
例2、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.
证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R.
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
排液法测小球的体积
实验
h
排液法测小球的体积
实验
小 球 它 的 排 体 等 开 积 于 液 体 的 体 积
H
h
自主学习——合作探究
球的体积
球的表面积
4 3 V球 R 3 2
S球 4 R
O
R
都是以R为自变量的函数
结论
（1）若三球半径之比为 r 1 : r2 : r 3 ， 则三球表面积之比为 r12 : r2 2 : r32 ； 体积之比为 r13 : r23 : r33 ；
O
C1 B1
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 + ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B

如何计算球的体积和表面积计算球的体积和表面积球是数学中一个常见的几何体，它在现实生活中也有很多应用。

无论是在数学课上还是在实际问题中，计算球的体积和表面积都是必不可少的。

下面将分别介绍如何计算球的体积和表面积。

一、计算球的体积球的体积是指球内所有点所组成的空间，通常用单位体积所包含的球半径为1的球数量来表示。

计算球的体积的公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r表示球的半径。

例如，如果球的半径为5米，那么可以按照上述公式进行计算：V = (4/3)π(5²) = (4/3)π(25) ≈ 523.6因此，球的体积约为523.6立方米。

二、计算球的表面积球的表面积是指球球面的总面积。

球的表面积计算公式如下：S = 4πr²其中，S表示球的表面积，π表示圆周率（取近似值3.14159），r 表示球的半径。

以球的半径为5米为例，可以按照上述公式进行计算：S = 4π(5²) = 4π(25) ≈ 314.16因此，球的表面积约为314.16平方米。

总结：计算球的体积和表面积是常见的数学问题。

通过上述计算公式，可以得到准确的结果。

需要注意的是，在实际问题中，可能会有其他要求和约束，需要根据具体情况进行相应的计算。

在应用中，还可以使用数值计算工具或计算器来进行球的体积和表面积的计算，以提高效率和准确性。

结论通过以上的介绍，我们可以了解如何计算球的体积和表面积。

对于数学学科来说，掌握如何计算球的体积和表面积是基础的知识点，也是应用数学的实际需求。

无论是在学术研究中还是在实际工作中，了解和应用这些计算方法都是非常重要的。

希望通过本文的介绍，读者能够掌握如何进行球的体积和表面积的计算。

A
B
练习．若一个球的外切正方体的全面积 等于6，求球的体积。 1
6
A B
O1
C
C
思考练习：左图是一个奖杯的三视图(单位:cm),
画出它的直观图，并计算这个奖杯的表面积
和体积（精确到1cm）。
4 20 8
4
10 16 8
20 2
z’
y’
o'
x'
答、表面积和体积分别是：1193cm2，1067cm3
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”

§9.9
球
生活中常见的球体：
思考：
一
球的概念是什么？
二
三
球有哪些性质？
如何求球的体积
和表面积？
球的概 念和性 质
一
球的概念
如图所示，半圆以它的直 径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫做球面. 球面所围成的几何 体叫做球体，简称球. 半圆的 圆心叫球心,图中点O. 连结球 心和球面上任意一点的线段叫 做球的半径，图中线段R. 连结 球面上两点并且经过球心的线 段叫做球的直径，图中线段AB.
直径.求证： （1） 球的表面积等于 圆柱的侧面积； （2） 球的表面积等于 圆柱全面积的2/3. 证明：（1）设球的半径为 R，则圆柱的底面半径 为R，高S球 4 R ， 2 S圆柱面 2 R 2R=4 R .
2
S球 S圆柱面 .
(2)
S圆柱全 4 R 2 R 6 R ,
球的概 念和性 质
二
球的性质
用一个平面（如图中平面 ）去截一个球， 截面是圆面，球的截面有下面的性质： ⑴、球心和截面圆心的连线 垂直于截面（如图直线o1o2 垂直于平面 ）； o ⑵、球心到截面的距离d R d 与球的半径R及截面的半 r o 径r有下面的关系：
1 2
r R d
2
2
例题 讲解 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的 例2、
课堂 小结 熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 ①V R 3 2 ②S 4 R
A
C RO
B
球的概 念和性 质
一
球的概念
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆（如 图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫 做小圆（如图中绿色部分）. Q 球面上两点之间最短连线 的长度，就是经过这两点的 大圆在这两点间的一段劣弧 O 的长度，这个弧长叫做两点 P 的球面距离（如图中 PQ的长 度就是P、Q两点之间的球面 距离 ）.

球体的体积与表面积计算方法球体是一种常见的几何体，球体的体积和表面积是我们经常需要计算的量。

本文将介绍球体的体积与表面积计算方法及其推导过程。

一、球体的体积计算方法要计算一个球体的体积，我们需要知道球的半径。

球体的体积可以通过以下公式来计算：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π近似为3.14159，r表示球体的半径。

这个公式是根据球体的几何性质推导出来的。

具体计算过程如下：1. 确定球体的半径r；2. 将半径r的值代入公式V = (4/3)πr³中；3. 按照计算器的要求进行计算，得到球体的体积V。

例如，如果球体的半径r为10cm，那么根据公式V = (4/3)πr³，计算得到该球体的体积为：V = (4/3) × 3.14159 × 10³ ≈ 4188.79 cm³所以，球体的体积约为4188.79 cm³。

二、球体的表面积计算方法球体的表面积也是通过球的半径来计算的。

球体的表面积可以通过以下公式来计算：A = 4πr²其中，A表示球体的表面积，π近似为3.14159，r表示球体的半径。

具体计算过程如下：1. 确定球体的半径r；2. 将半径r的值代入公式A = 4πr²中；3. 按照计算器的要求进行计算，得到球体的表面积A。

例如，如果球体的半径r为10cm，那么根据公式A = 4πr²，计算得到该球体的表面积为：A = 4 × 3.14159 × 10² ≈ 1256.64 cm²所以，该球体的表面积约为1256.64 cm²。

综上所述，球体的体积与表面积计算方法基于球的半径，通过相应的公式进行计算。

需要注意的是，在计算过程中要保留足够的小数位数，以提高计算的准确性。

值得一提的是，这些计算方法不仅适用于正规球体，对于近似球体（如地球）同样适用。

球体的表面积和体积计算公式球体是一种几何体，具有圆形的外表，其曲面积和体积是求解球体性质的重要公式。

本文将介绍球体的表面积和体积计算公式，以及如何应用这些公式。

一、球体的表面积计算公式表面积是球体曲面的总面积，可以用一个公式来计算。

下面是球体表面积计算公式：表面积= 4 * π * r²其中，表面积表示球体的总曲面积，π（pi）是一个数学常量，约等于3.14159，r表示球体的半径。

例如，如果一个球体的半径为5米，那么它的表面积可以计算为：表面积 = 4 * 3.14159 * 5² = 314.159平方米所以，这个球体的表面积约为314.159平方米。

二、球体的体积计算公式体积是球体内部空间的大小，同样可以用一个公式来计算。

下面是球体体积计算公式：体积= (4/3) * π * r³其中，体积表示球体的容积大小，π（pi）是一个数学常量，约等于3.14159，r表示球体的半径。

举个例子，如果一个球体的半径为5米，那么它的体积可以计算为：体积 = (4/3) * 3.14159 * 5³ = 523.599立方米因此，这个球体的体积约为523.599立方米。

三、应用示例现在我们来看一个具体的应用示例，以帮助理解如何计算球体的表面积和体积。

假设有一个篮球，它的半径为0.15米。

首先，我们计算它的表面积：表面积= 4 * 3.14159 * 0.15² ≈ 0.2827平方米接下来，我们计算篮球的体积：体积= (4/3) * 3.14159 * 0.15³ ≈ 0.1414立方米所以，这个篮球的表面积约为0.2827平方米，体积约为0.1414立方米。

四、总结通过本文我们了解到了球体的表面积和体积计算公式。

表面积的计算公式为表面积= 4 * π * r²，体积的计算公式为体积= (4/3) * π * r³。

在实际应用中，我们可以根据球体的半径来计算其表面积和体积。

6，求半球的半径 . 4.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3，
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为

球的体积与表面积公式球体是一种三维几何体，其特点是每一点到中心点的距离都相等。

计算球的体积和表面积是在数学和几何学中的基本问题。

本文将介绍球的体积和表面积的计算公式，并且通过实例演示如何应用这些公式进行计算。

一、球的体积公式球体的体积是指球内部所占据的空间大小，用于描述球体的容积。

球的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r 表示球的半径。

例如，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用体积公式计算该球的体积。

V = (4/3)π(5)³≈ 523.6因此，该球的体积近似为523.6个单位体积。

二、球的表面积公式球体的表面积是指球的外部曲面的总面积，用于描述球的大小。

球的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示球的表面积，π是一个数学常数，近似值为3.14159，r表示球的半径。

举个例子，如果已知一个球的半径为5单位长度，我们可以使用表面积公式计算该球的表面积。

A = 4π(5)²≈ 314.159因此，该球的表面积近似为314.159个单位面积。

三、应用实例为了更好地理解球的体积和表面积公式的应用，我们举个具体的实例。

假设有一个网球，其半径为3.5单位长度，我们可以通过体积公式计算该网球的体积。

V = (4/3)π(3.5)³≈ 179.592因此，该网球的体积近似为179.592个单位体积。

同时，我们可以通过表面积公式计算该网球的表面积。

A = 4π(3.5)²≈ 153.937因此，该网球的表面积近似为153.937个单位面积。

这个实例向我们展示了如何使用球的体积和表面积公式进行计算。

通过掌握这些公式，我们可以方便地计算不同半径的球体的体积和表面积，为实际问题解决提供了数学工具和便利。

总结：本文介绍了球的体积和表面积的公式，并通过实例演示了如何应用这些公式进行计算。

A
RO C
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
体积公式的应用.
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
Aห้องสมุดไป่ตู้
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝

球体表面积与体积公式
一、球体表面积公式。

1. 公式内容。

- 设球的半径为r，球的表面积公式为S = 4π r^2。

2. 推导思路（简单介绍）
- 可以通过极限的思想，将球体看作是由无数个小的棱锥组成，这些棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上。

当这些棱锥的底面足够小时，棱锥的高近似等于球的半径r。

设球的表面积为S，根据棱锥的体积公式V=(1)/(3)Sh（这里S是棱锥的底面积，h是棱锥的高），对于组成球体的这些小棱锥，总体积V=(1)/(3)rS。

同时，我们知道球体的体积公式V = (4)/(3)π r^3，通过等式(1)/(3)rS=(4)/(3)π r^3，可以推导出S = 4π r^2。

二、球体体积公式。

1. 公式内容。

- 设球的半径为r，球的体积公式为V=(4)/(3)π r^3。

2. 推导思路（简单介绍）
- 一种推导方法是使用定积分。

我们可以把球看作是由半圆y=√(r^2)-x^{2}绕x轴旋转一周所形成的旋转体。

根据旋转体体积的定积分公式V=π∫_ - r^ry^2dx，将
y=√(r^2)-x^{2}代入可得：
- V=π∫_ - r^r(r^2-x^2)dx=π<=ft(r^2x-(1)/(3)x^3)big_ - r^r
- 计算可得V=(4)/(3)π r^3。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------球的表面积和体积球的表面积和体积 1．球的表面积公式：S 球面＝4R 2 (R 为球半径) 2．球的体积公式：V 球＝ 43 R3 ( R为球半径) 球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为 12 cm 2 ，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为 1 的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为 r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为 a 的正四面体 PABC 的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，面积分别为 49 cm 2 和 400 cm 2 ，求球的表面积．基础训练 1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A. 12 B．1C．2 D．3 2．用过球心的平面将一1/ 5个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍． 3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为 48 cm 2 ，试求此球的表面积和体积． 4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( ) A．3∶ B．2∶C．1∶2D．1∶3 5．(2019温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A．25 B．50C．125 D．都不对 4．把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A．RB．2RC．3R D．4R 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A．a 2 B. 73a2 C. 113a 2 D．5a 2 7．圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm. 提高训练． 1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为 4、5、5，则这只小球的半径是（） A．3或 8 B．8 或 11 C．5 或 8 D．3 或 11 2.已知 A 、 B 、 C是球 O 的球面上三点，三棱锥 O ABC 的高为 2 2 ,且 ABC =60 ，AB =2， BC =4，则球 O 的表面积为( ) A． 24 B. 32C. 48D. 192 3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 1，则该几何体外接球的表面积为（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 4. 将半径都为---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3 2 63+ B. 2+2 63 C. 4+2 63 D. 43 2 63+ 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（） A.5 B.12 C.20 D.8 6.【江西省抚州市临川一中 2019 届高三 10 月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为 6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（） A． 18 B．36 C． 45 D． 54 7.【浙江省重点中学协作体 2019 届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 1，则该几何体外接球的表面积为（）A． 4 B． 3 C． 2 D． 8.【山西省大同市 2019 届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A.2a B. 237a C. 2311a D.25 a 9.【四川省成都实验外国语高 2019 届高三 11 月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( ) A. 3 B. 4C. 2D. 25 10. 【全国高考新课标（I）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，3/ 5如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A、 5003cm 3 B、8663cm 3 C、 13723cm 3 D、 20483cm 3 11. 矩形 ABCD 中，4, 3, AB BC = = 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积是( ) A. 12125 B. 9125 C.6125 D. 3125 12.在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球半径 r 的最大值为（） A. ( 2－1)R B . ( 6－2)R C. 1 4 R D. 1 3 R 13. 一个平面截一个球得到直径是 6 的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 . 14.三棱锥 P ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中 ABC 是正三角形， PA 平面 ABC ， 2 6 PA AB = = ，则该球的体积是 . 15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 16. 四棱锥 ABCD P 的五个顶点都在一个球面上，且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， ABCD PA ， 2 =PA ，则该球的体积为 _ ． 17. 过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、 AC 、 AD ，且两两夹角都为 60 ，若球半径为 R ，求弦 AB 的长度． 19. 【改编自浙江高考题】已知球 O 的面上四点 A、B、C、D， DA ABC 平面， AB BC ， DA=AB=BC=3 ，求球 O 的体积. 20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形 ABCD中， AB=2DC=2 ，0DAB=60 ， E 为 AB 的中点，将 ADE 与 BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起，使 A B 、重合于点 P ，求三棱锥 P-DCE的外接球的体积. 21. 一个正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 3 ，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积. 22. 球面上有3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过 3 个点的小圆的周长为 4 ，求这个球的半径．5/ 5。

球体的表面积和体积的公式
一、球体的表面积公式。

1. 公式内容。

- 设球的半径为r，球的表面积公式为S = 4π r^2。

2. 公式推导（简单理解）
- 可以把球的表面想象成由很多个小的三角形组成。

当把这些小三角形分得足够小的时候，它们的面积之和就近似等于球的表面积。

- 通过复杂的数学积分等方法可以严格证明得到S = 4π r^2这个公式。

3. 应用示例。

- 例：已知一个球的半径r = 3，求其表面积。

- 解：根据公式S = 4π r^2，将r = 3代入可得S=4π×3^2=4π×9 = 36π。

二、球体的体积公式。

1. 公式内容。

- 设球的半径为r，球的体积公式为V=(4)/(3)π r^3。

2. 公式推导（简单理解）
- 可以使用积分的方法推导。

从球的截面来看，随着高度的变化，截面圆的面积是一个关于高度的函数，对这个函数在球的直径范围内进行积分就可以得到球的体积公式。

- 也可以通过祖暅原理（等幂等积定理），将球与其他已知体积公式的几何体（如圆柱、圆锥等）进行比较推导得出。

3. 应用示例。

- 例：已知球的半径r = 2，求其体积。

- 解：根据公式V=(4)/(3)π r^3，将r = 2代入可得V=(4)/(3)π×2^3=(4)/(3)π×8=(32)/(3)π。

题型三 与球相关的“切”“接”问题 【例3-1】 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为6,底面边 长为4,则该球的表面积为( )
(A) 44 π 3
(B) 484 π 9
(C) 81 π 4
(D)16π
解析:如图,正四棱锥 P-ABCD 中,PE 为四棱锥的高,根据球的 相关知识可知,四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上,因为底面边长为 4,
自我检测(教师备用)
1.一个球的大圆面积为9π ,则它的表面积和体积分别是( C )
(A)9π ,27π
(B)9π ,36π
(C)36π ,36π (D)36π ,48π
2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为( D ) (A)R (B)2R (C)3R (D)4R
3.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2 ,则此 球的体积为( B )
答案: 6 π ∶2
方法技巧 解决几何体与球相切或相接的策略: (1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特 殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等. (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径, 关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平 面问题来计算.
3
3
(B) 15 π 3
(D) 4 π + 15 π
3
3
解析:(1)由三视图可知,该几何体由一个球和一个圆锥组合而成,则该器物的 体积 V=V 球+V 圆锥
= 4 π+ 1 ·π× 15 33
= 4 π+ 15 π.
3

球的表面积公式和体积公式球的表面积公式和体积公式是什么呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。

下面是由小编为大家整理的“球的表面积公式和体积公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。

球的表面积公式和体积公式球的面积公式：球体表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间，球体表面积的计算公式为S=4πr²=πd²。

公式推导如下：球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面。

要想求这个球面的表面积，我们可以把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份，每份等高。

并且把每份看成一个类似圆台，其中半径等于该类似圆台顶面圆半径。

则从下到上第k个类似圆台的侧面积S(k)=2π(k)*h，其中r(k)=√[R^2-﹙kh)^2]，h=R^2/{n√[R^2-﹙kh)^2}。

那么S(k)=2πr(k)h=(2πR^2)/n则S=S(1)+S(2)+……+S(n)= 2πR^2，注意这是上半球的表面积，因此还需要乘以2，由此可以得到整个球的表面积S= 4πR^2。

球的体积公式：球体的体积计算公式为：V=(4/3)πr^3，这公式意味着球体的体积等于三分之四乘圆周率乘半径的三次方。

求球体体积基本方法：现有一个圆x^2+y^2=r^2 在xoy坐标轴中让该圆绕x轴转一周就得到了一个球体，球体体积的微元为dV=π[√(r^2-x^2)]^2dx，∫dV=∫π[√(r^2-x^2)]^2dx 积分区间为[-r,r]，求得结果为V=4/3πr^3。

拓展阅读：球体的主要特征一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径。

球体是有且只有一个连续曲面的立体图形，这个连续曲面叫球面。

球体在任意一个平面上的正投影都是等大的圆，且投影圆直径等于球体直径。

球心和截面圆心的连线垂直于截面;球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2。

球体的性质用一个平面去截一个球，截面是圆面。

【答案】 A
பைடு நூலகம்
方法归纳
(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体 积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中 数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积 或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼 接，避免重叠和交叉．
∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2，
∴S圆锥侧＝2 S球
4π5hπ2h2＝
5 2.
方法归纳
求球的体积与表面积的方法 1．要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能 求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解． 2．半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
所以 S△AOB＝12R2. 因为 VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB 面积为定值， 所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VO－ABC 最大， 所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VO －ABC 最大为13×12R2×R＝36， 所以 R＝6. 所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝4π×62＝144π.故选 C. 【答案】 C
类型二 根据三视图计算球的体积与表面积
[例 2] 若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的 表面积为( )
A．34π B．35π C．36π D．17π
【解析】 由几何体的三视图知它是底面为正方形且有一条侧
棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为 3、3、 4 的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以 4R2 ＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中 R 为外接球的半径)，外接球表面积 为 S＝4πR2＝34π，故选 A.

图解球体表⾯积和体积正确计算⽅法及计算公式图解球体表⾯积和体积正确计算⽅法及计算公式⼀、球体⾯积球体表⾯是可以由N个带弧形的等腰三⾓形拼凑⽽成，见图⼀、图⼆、图三。

设球体的⼆分之⼀⽔平中⼼为腰线，在球顶和球底正中各设⼀个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三⾓形。

根据定义：线的长度不因弯曲⽽改变，球⾯可⽆限分割成N个等腰三⾓形如图⼆、图四、图五所⽰，所有分割好带弧形的等腰三⾓形都可以⾃然平展成标准的等腰三⾓形，亦可将等腰三⾓形拼凑成⽅形。

在理解上述图例球体表⾯和等腰三⾓形的关系后，我们可以对球体表⾯积的计算有⽐较清晰的判断。

即，球体表⾯可以分割成N个相等的等腰三⾓形，等腰三⾓形亦可拼凑成⽅形，由此推导出球体⾯积可以⽤矩形公式计算。

即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之⼀的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表⾯积公式为：S=1/4周长×周长（见图六）#例1：已知球体直径是1个单位，求球体表⾯积（⽤上述最新推导公式S=1/4周长×周长）S =（÷4）×= ㎡⼆、球体体积设以球⼼作⼀条垂线或⽔平中⼼线，然后以垂线或⽔平中⼼向外将球体按等分⽆限分割成N个半圆楔形体。

见图七、图⼋。

球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图⼗。

从图七、图⼋、图九、图⼗看，球体从中⼼按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱⾼正好是球体周长的1/4。

则球体体积公式为：V =πR平⽅×周长的1/4或：V = D（直径的三次⽅）×例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（⽤上述最新推导公式）V =πR平⽅×周长的1/4= ××=三、公知公式在球体⾯积、体积计算中出现的错误1、球体⾯积如何检验球体⾯积计算的正确，最好的⽅法就是⽤计算结果制成N个等腰三⾓形的薄膜反贴球体表⾯。

球的表面积
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
S
i
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
1 3
Snhn
球的表面积
第
三
Si
步： hi
化
Vi
为
准 确
Si
R
和
O Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
hi的 值 就 趋 向 于 球 的 半 径R
原子弹
在山田须磨子（一位当年的爆炸目击 者）的一幅画：在遥远的广岛上空， 原子弹爆炸后发出彩虹一般绚丽的光 芒。
倒塌的钢架结构建筑物
广岛红十字医院里，一个严重 烧伤的学生仰面躺在一张草席 上。他的五官几乎全被原子弹 爆炸产生的热浪抹掉了。四天 后他死了。
原子弹
中国第一颗原子弹爆炸蘑菇云发展图
氘核
（1）发现
1939年12月，德国物理学家哈恩和他的助手 斯特拉斯曼发现，用中子轰击铀核时，铀核发 生了裂变。
（2）裂变产物 多种多样
235 92
U+
1 0
n
→15464
Ba
+
89 36
Kr
+310
n
235 92
U+
1 0
n
→15461Ba
+
92 36
Kr
+310
n
请计算铀裂变时释放的能量 已知铀核裂变的反应：
热核反应和裂变反应相比较，具有许多优越性。