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共轭梯度法公式
共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
其主要思想是通过利用前一次迭代的信息来加速当前迭代的速度，从而减少迭代次数和计算量。
共轭梯度法公式包括以下几个步骤：
1. 初始化：设初始解为x0，残量b0为Ax0-b，共轭方向d0=b0。
2. 迭代求解：对于第k次迭代，计算步长αk，使得xk+1=xk+αkd，其中d是共轭方向，满足dTkAd=0，即d是A的共轭向量。
3. 更新残量：计算新的残量bk+1=Axk+1-b，如果bk+1小于预设精度，则停止迭代。
4. 更新共轭方向：计算新的共轭方向dk+1=bk+1+βkdk，其中βk=(bk+1)Tbk+1/(bk)Tbk，保证dk+1与之前的共轭方向都是A的共轭向量。
5. 重复迭代，直到满足收敛条件，返回最终解xk+1。
共轭梯度法是一种高效的求解大型线性方程组的方法，尤其适用于稀疏矩阵和对称正定矩阵。
公式简单易懂，容易实现，且具有较快的收敛速度。
- 1 -。
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。
共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。
以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。
设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。
共轭梯度法matlab中文：共轭梯度法（Conjugate Gradient），是一种非常有效的求解对称大型线性系统的近似解的算法。
使用共轭梯度法来求解线性系统最终收敛于最小值，它是在不构造正定矩阵时，可以快速求解系统的一个有效解法。
拉格朗日方程，线性系统通常表示为Ax = b，其中A为系数矩阵，b为常数矩阵，x 为未知标量或未知向量。
给定矩阵A和b，共轭梯度法可以用来求解x。
共轭梯度法的基本思想是，不断改变梯度的方向直到梯度收敛为零。
梯度收敛的定义是：在不同的两个迭代过程中，两个梯度的乘积的值小于一个特定的参数。
由于梯度的收敛程度越小，时间复杂度也就越低。
matlab中，我们可以使用共轭梯度法导入函数cgs来解决线性系统的代数方程。
语句形式为[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b)，其中A是系数矩阵，b为常数矩阵，x 为未知量，flag表示结束状态，relres为相对残差，iter表示迭代次数，resvec为残差向量。
若要解决Ax = b，即：A = [1 2;3 4]我们用matlab cgs 函数进行求解，可以这样写:[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b);flag表示收敛情况，flag=0代表收敛，flag=-1代表系数矩阵A不能被处理。
relres 是收敛的相对误差，iter是迭代次数，resvec是残差向量，x为未知量。
上面的程序可以得到flag=0，relres=1.537e-14，iter=13，resvec=[1.0135e-14]。
上面的解为x=[-1;1]，解析解一致，表明matlab cgs函数可以成功求解对称大型线性方程组。
最后，共轭梯度法是一种近似求解线性系统的有效算法，它的优势是具有快速的收敛性，在计算时省去构造正定矩阵的时间，并且稳定。
共轭梯度法总结
共轭梯度法总结
一、什么是共轭梯度法
共轭梯度法（Conjugate Gradient Method），是一种用于求解线性方程组的迭代优化算法，它是一种搜索梯度的迭代算法。
共轭梯度法的基本思想是沿梯度的反方向搜索，并在每一步令搜索的方向接近更新的局部梯度。
它是一种非常有效的求解有约束的非线性优化问题的方法，是求解线性方程组的有效算法。
共轭梯度法可以看作是一种极小化函数的迭代方法，它最主要的思想是不断更新梯度的方向，从而寻找函数值最小的点。
二、共轭梯度法的原理
共轭梯度法是一种迭代优化算法，它以凸二次型函数为例，可以用来求解最小值问题。
它的基本思想是：
（1）首先求得函数的梯度，即每一步优化的搜索方向，使梯度变为最小；
（2）以梯度的反方向搜索，令搜索的方向接近更新的局部梯度，而不是与旧的梯度成正比的步长；
（3）逐步更新搜索的方向为新的梯度；
（4）重复这个过程，直到所有的自变量满足限制条件。
三、共轭梯度法的优缺点
共轭梯度法最大的优点是它具有收敛速度快，可以在有限的迭代步数内收敛到最优解；另外，它还具有计算量小，不需要计算精确的
Hessian矩阵的优点。
共轭梯度法的缺点是它不能用来求解非凸优化问题，因为它只能求解凸优化问题；另外，它也不能用于强不可约的优化问题。
共轭梯度法矩阵相除1. 介绍共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种用于解决线性方程组的迭代算法，其特点是具有快速收敛速度和较低的存储需求。
在某些情况下，我们需要对矩阵进行相除操作，即矩阵的除法运算。
本文将介绍共轭梯度法和如何使用该方法进行矩阵相除。
2. 共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代法，用于求解形如Ax = b的线性方程组，其中A是对称正定矩阵，x是未知向量，b是已知向量。
共轭梯度法通过迭代的方式逐步逼近方程的解。
共轭梯度法的基本思想是，通过选择初始解x0和残差r0（初始残差为r0 = b - Ax0），不断更新解x和残差r，使得残差的范数最小化。
具体的迭代过程如下：1.初始化：选择初始解x0和残差r0，设置迭代次数k = 0。
2.计算搜索方向p：根据共轭梯度法的特性，搜索方向p与之前的搜索方向p(i-1)和残差r(i-1)相关。
p(i) = r(i-1) + (beta(i-1) * p(i-1))，其中beta(i-1)是一个常数。
3.计算步长alpha：根据当前搜索方向p(i)和残差r(i-1)，计算步长alpha(i)。
alpha(i) = (r(i-1) * r(i-1)) / (p(i) * A * p(i))。
4.更新解x：根据步长alpha(i)和搜索方向p(i)，更新解x。
x(i) = x(i-1)+ alpha(i) * p(i)。
5.更新残差r：根据步长alpha(i)、搜索方向p(i)和残差r(i-1)，更新残差r。
r(i) = r(i-1) - alpha(i) * A * p(i)。
6.判断终止条件：如果残差的范数小于给定的阈值，或达到最大迭代次数，则停止迭代；否则，返回步骤2。
共轭梯度法的迭代次数通常比较少，且收敛速度较快。
对于大规模的线性方程组，共轭梯度法是一种高效的求解方法。
3. 矩阵相除在某些应用中，我们需要对矩阵进行相除操作。
共轭梯度法对物质的一种分析方法，共轭梯度分析法是近几十年发展起来的无损检测技术。
共轭梯度技术是将多种物理效应相结合，并且具有较高的检出率、分辨率和灵敏度，这是一种具有很大发展潜力的分析技术。
共轭梯度法主要包括：共轭电子效应、共轭磁效应、共轭梯度效应。
共轭梯度分析技术是一种高效的新型无损检测技术。
其主要优点在于：①不需要使用电子源；②同时利用共轭电子效应和共轭磁效应，可以消除多种原子的外层电子对核磁矩的屏蔽作用，同时，也降低了铁磁性物质的饱和磁化强度的影响；③能够实现对缺陷浓度较低的金属或非金属材料的快速检测。
共轭梯度技术是20世纪70年代发展起来的无损检测技术，它是利用一些特殊的元素（如铝、铅、铋等）与一些有色金属的原子形成离子，或在两者之间形成过渡族的元素（如汞、铊、铟等），从而达到产生强共轭的效果，再利用超声场或磁场改变他们的相互作用，而不改变他们的化学性质。
共轭梯度的基本原理：①共轭电子效应。
就是利用一些电负性比较强的元素作为原子核，因此他们最外层的电子被核外其他电子吸引，由于距离原子核较远，受到核外电子的排斥，所以核外电子浓度较小。
其电子从价带跃迁到导带，然后再跃迁回价带，所以他们不显电性。
反之，价带中的电子被导带中的电子所吸引，从而降低了价带的电子密度，增加了导带的电子密度，使得原子的核外电子浓度减少，同样会使原子的磁矩减弱。
因此，与这些元素形成化合物的非金属元素的电子都会向原子核附近集聚，从而影响原子的磁矩。
但是当原子序数越高，因为核外电子对核磁矩的屏蔽作用越弱，元素形成的化合物的稳定性越高，原子序数越高的元素的电子就越容易向原子核靠拢。
②共轭磁矩效应。
与电子的共轭电子效应相反，铁磁性物质的原子的核外电子轨道对外磁矩的影响相对比较大。
当这些原子处于磁化状态时，内层电子只能自旋平行，但是这个平行的自旋磁矩，会使这些原子的自旋磁矩大小相等，互相抵消，因此这些原子呈顺磁性。
但当这些原子处于非磁化状态时，内层电子的自旋磁矩可以取向不同，所以，铁磁性物质又显示出反铁磁性。
最速下降法and 共轭梯度法
分类：matlab 2011-04-17 17:02 961人阅读评论(2) 收藏举报算法出版优化
注明：程序中调用的函数jintuifa.m golddiv.m我在之前的笔记中已贴出
最速下降法
%最速下降法求解f = 1/2*x1*x1+9/2*x2*x2的最小值，起始点为x0=[9 1]
%算法根据最优化方法（天津大学出版社）97页算法3.2.1编写
%v1.0 author: liuxi BIT
%format long
syms x1 x2 alpha;
f = 1/2*x1*x1+9/2*x2*x2;%要最小化的函数
df=jacobian(f,[x1 x2]);%函数f的偏导
epsilon=1e-6;%0.000001k=0;
x0=[9 1];%起始点
xk=x0;
gk=subs(df,[x1 x2],xk);%起始点的梯度
gk=double(gk);
while(norm(gk)>epsilon)%迭代终止条件||gk||<=epsilon
pk=-gk;%负梯度方向
f_alpha=subs(f,[x1 x2],xk+alpha*pk);%关于alpha的函数
[left right] = jintuifa(f_alpha,alpha);%进退法求下单峰区间
[best_alpha best_f_alpha]=golddiv(f_alpha,alpha,left,right);%黄金分割法求最优步长xk=xk+best_alpha*pk;
k=k+1;
gk=subs(df,[x1 x2],xk);
gk=double(gk);
end
best_x=xk;%最优点
best_fx=subs(f,[x1 x2],best_x);%最优值
共轭梯度法
%共轭梯度法求解f = 3/2*x1*x1+1/2*x2*x2-x1*x2-2*x1的最小值，起始点为x0=[0 0] %算法根据最优化方法（天津大学出版社）111页算法3.4.2编写
%v1.0 author: liuxi BIT
%format long
syms x1 x2 alpha;
f=50*(x2-x1^2)^2+(1-x1)^2;
df=jacobian(f,[x1 x2]);%函数f的偏导
epsilon=1e-6;%0.000001
k=1;
x0=[0 0];%起始点
xk=x0;
gk=subs(df,[x1 x2],xk);%起始点的梯度
gk=double(gk);
while(norm(gk)>epsilon)%迭代终止条件||gk||<=epsilon
%=========begin=====这段是与梯度向量法不同的地方================= if k==1
pk=-gk;%负梯度方向
else
beta=gk*gk'/(gk0*gk0');
pk=-gk+beta*pk0;%pk0代表p(k-1)
end
%========end======这段是与梯度向量法不同的地方=================
f_alpha=subs(f,[x1 x2],xk+alpha*pk);%关于alpha的函数
[left right] = jintuifa(f_alpha,alpha);%进退法求下单峰区间
[best_alpha best_f_alpha]=golddiv(f_alpha,alpha,left,right);%黄金分割法求最优步长xk=xk+best_alpha*pk;
%=========begin=====这段是与梯度向量法不同的地方================= gk0=gk;%gk0代表g(k-1)
pk0=pk;%pk0代表p(k-1)
% =========end=====这段是与梯度向量法不同的地方=================
gk=subs(df,[x1 x2],xk);
gk=double(gk);
k=k+1;
end
best_x=xk;%最优点
best_fx=subs(f,[x1 x2],best_x);%最优值。
