作业4-FR共轭梯度法

最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。

对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)T d,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)T ds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。

因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。

2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λk d(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ R n，允许误差ε> 0，置k = 1。

(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。

(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λk d(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λk d(k)，置k = k + 1，转步骤(2)。

共轭梯度法1.共轭方向无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。

以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。

设有二次函数：f(x) = 1/2 (x - x*)T A(x - x*) ,其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面1/2 (x - x*)T A(x - x*) = c是以x*为中心的椭球面，由于▽f(x*) = A(x - x*) = 0，A正定，因此x*是f(x)的极小点。

最优化共轭梯度法最优化共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种迭代求解线性方程组或优化问题的方法。

它的特点是对于二次正定函数，可以在有限次迭代内精确地求出最优解。

在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法表现出了较好的收敛性和全局能力。

共轭梯度法的核心思想是通过选择适当的方向，使得每一次方向的梯度互相“共轭”，从而加快收敛速度。

当目标函数为二次函数时，共轭梯度法能够在有限次迭代中得到精确解；而对于非二次函数的优化问题，共轭梯度法通过先验条件选择合适的方向，最大程度地减小目标函数值。

共轭梯度法的基本步骤如下：1.初始化参数：设置初始点的位置和方向，对于非二次函数，通常选取梯度方向作为方向。

2. 计算步长：通过线方法（如Armijo准则、Wolfe准则等）定位到目标函数上降速度最快的点，并计算目标函数在该点的梯度。

3.更新方向：利用“共轭”梯度法，根据先验条件计算新的方向。

4.判断终止条件：判断目标函数值是否满足设定的终止条件，若满足则停止迭代，否则返回步骤2对于二次函数，最优化共轭梯度法表现出了优良的性能。

当目标函数是非二次函数时，共轭梯度法的表现会有所下降，但仍然比一般的梯度下降法更具有优势。

因此，共轭梯度法常被用于求解大规模线性方程组、信号处理、数字滤波、机器学习等领域。

最优化共轭梯度法的优点在于：收敛速度较快，全局能力较强，不需要存储海量信息。

然而，该方法也存在一些缺点。

首先，共轭梯度法对目标函数的性质有一定的要求，例如目标函数必须是光滑的，并且梯度向量必须是有效的。

其次，共轭梯度法对初始点的选择较为敏感，不同的初始点可能导致不同的解。

总结来说，最优化共轭梯度法是一种高效的优化算法，可以加快目标函数收敛速度，尤其适用于解决二次函数优化问题。

在非二次函数的优化问题中，共轭梯度法以其较好的收敛性和全局能力在实际应用中发挥着重要作用。

共轭梯度法1. 算法原理求解一个系数矩阵为正定矩阵的线性方程组可通过求泛函)(x f 的极小值点来获得，进而可以利用共轭梯度法来求解。

共轭梯度法中关键的两点是，确定迭代格式)()()1(k k k k d x x α+=+中的搜索方向)(k d 和最佳步长k α。

实际上搜索方向)(k d是关于矩阵A 的共轭向量，在迭代中逐步构造之；步长k α的确定原则是给定迭代点)(k x 和搜索方向)(k d 后，要求选取非负数k α，使得)()()(k k k d x f α+达到最小，即选择0≥k α，满足)(min )()()(0)()(k k k k k d x f d x f kααα+=+≤。

设迭代点)(k x和搜索方向)(k d已经给定，k α可以通过一元函数)()()()(k k d xf g αα+=的极小化)()(min )()(0k k d xf g ααα+=≤来求得，所以最佳步长)()()()(k k k k k Addd r TT=α。

在给定初始向量)0(x 后，由于负梯度方向是函数下降最快的方向，故第1次迭代取搜索方向)0()0()0()0()(Ax b x f r d-=-∇==。

令)0(0)0()1(d x x α+=，其中)0()0()0()0(0Addd r TT=α。

第2次迭代时，从)1(x 出发的搜索方向不再取()1r，而是选取)0(0)1()1(d r d β+=，使得)1(d与()0d 是关于矩阵A 的共轭向量，即要求)1(d 满足()()()0,01=Ad d ，由此可求得参数)0()0()0()1(0-Ad d Ad r TT=β，然后从()1x 出发，沿方向)1(d进行搜索得)1(1)1()2(d x xα+=，其中1α已由上面k α的计算式获得。

一般地，设已经求出)()()1(k k k k d x x α+=+，计算)1()1(++-=k k Ax b r。

共轭梯度法是一种常用的迭代方法，用于求解线性方程组Ax = b。

它适用于对称正定矩阵的情况，可以高效地求解大规模的线性方程组。

下面是使用共轭梯度法求解方程组的一般步骤：1. 初始化：选择一个初始解x0 和初始残差r0 = b - Ax0，设置初始搜索方向d0 = r0。

2. 迭代计算：进行迭代计算，直到满足停止准则（如残差的大小或迭代次数达到一定阈值）为止。

a. 计算步长αk = (rk^T rk) / (dk^T A dk)，其中rk = b - A xk 是当前的残差。

b. 更新解xk+1 = xk + αk dk。

c. 计算新的残差rk+1 = rk - αk A dk。

d. 计算新的搜索方向dk+1 = rk+1 + (rk+1^T rk+1) / (rk^T rk) dk。

e. 更新迭代次数k = k + 1。

3. 输出解：当满足停止准则时，输出最终的解x。

需要注意的是，共轭梯度法的效率和收敛速度与矩阵的条件数有关。

对于病态矩阵或条件数较大的情况，可能需要进行预处理或使用其他更适合的求解方法。

此外，共轭梯度法还可以应用于非线性方程组的求解，采用牛顿法等方法来迭代求解。

在实际应用中，可以使用现有的数值计算库或软件来实现共轭梯度法，以提高计算的效率和精度。

无约束优化方法—共轭梯度法1.共轭梯度法共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算海赛矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。

其基本思想是利用负梯度方向，构造一共轭方向，使其尽快达到最优点。

共轭梯度法迭代过程如图1所示。

1X 2图1 共轭梯度法迭代过程()k 1x +点是沿()k x 点负梯度方向()()K k Sg =-搜索到的极值点。

如果接着从()k 1x +点出发，不是按着其负梯度方向()kg -搜索，而是沿着通过*x 点的方向()1K S +搜索，显然立即就能搜索到极值点*x 。

根据共轭理论，它们应当满足()()(1)1k Tk SAS+=即()KS 与()1K S +是互为共轭方向，新构造的共轭方向()1K S +，可由矢量合成，()(1)(1)()()2k k k k SgSβ++=-+()k β值可根据在极值点附近目标函数等值线近似为二次型函数的道理，推到出：()(1)(1)(1)2()()()()2||||3||||k T k k k k T k k gg g g g g β+++==利用两个点的梯度()k g和(1)k g+，就可以构造一个与梯度矢量为共轭的矢量()1K S +，沿着该方向搜索，即可求得极值点。

共轭梯度法程序框图如图2所示。

图2 共轭梯度法程序框图2. 共轭梯度法的应用用共轭梯度法计算22121212()52410f X x x x x x x =+---+ 的最优解，其中：初始点()0[1,1]T X =。

收敛精度ε=0.0001(1).共轭梯度法程序设计#include "stdio.h" #include "math.h"double fun1(double x1,double x2) {double y;y=x1*x1+x2*x2-5*x1*x2-2*x1-4*x2+10; return y; }double fun2(double g[],double d[]) {double buchang;buchang=-(g[0]*d[0]+g[1]*d[1])/(d[0]*(2*d[0]-5*d[1])+d[1]*(-5*d[0]+2*d[1])); return buchang; }main(){ double t, beta,x1=1,x2=1,d[2],g[4], y, m,e=0.0001; int k=1;g[0]=2*x1-5*x2-2; g[1]=2*x2-5*x1-4; m=(sqrt(g[0]*g[0]+g[1]*g[1]));while(m>e&&k<=200) { if (k==1) {d[0]=-g[0]; d[1]=-g[1];beta=0; } else {beta=(g[0]*g[0]+g[1]*g[1])/(g[2]*g[2]+g[3]*g[3]); d[0]=-g[0]+beta*d[0]; d[1]=-g[1]+beta*d[1]; }t=fun2(g,d); x1=x1+d[0]*t; x2=x2+d[1]*t; g[2]=g[0]; g[3]=g[1];g[0]= 2*x1-5*x2-2;g[1]= 2*x2-5*x1-4;m=sqrt(g[0]*g[0]+g[1]*g[1]); k++; }y=fun1(x1,x2);printf("迭代次数为k=%d\n",k);printf("分别输出x1=%f,x2=%f\n",x1,x2); printf("极小值y=%f",y); }(2).程序运行结果(3).结 论用共轭梯度法计算22121212()52410f X x x x x x x =+---+的最优解为*( 1.142857,0.857143)X =-- ,*()12.857143F X = 。

在数学和计算机科学领域，无约束优化问题一直是一个热门的研究课题。

而fr共轭梯度法作为一种求解无约束优化问题的重要方法，在实际应用中展现出了强大的优化能力。

本文将就fr共轭梯度法求解无约束优化问题进行全面评估和探讨。

1. 无约束优化问题的定义无约束优化问题是指在没有约束条件的情况下，寻找一个函数的最小值或最大值的问题。

数学上通常用以下形式表示：\[ min\ f(x) \]\[ s.t.\ x \in R^n \]其中，\( f(x) \)为目标函数，\( x \)为自变量。

无约束优化问题在实际应用中广泛存在，比如在机器学习、信号处理、金融等领域都有着重要的应用价值。

2. fr共轭梯度法的基本原理fr共轭梯度法是一种常用的无约束优化方法，它主要用于求解二次型函数的极小值点。

其基本原理是通过迭代的方式，利用fr共轭方向进行搜索，从而逐步逼近最优解。

具体来说，fr共轭梯度法的迭代公式为：\[ x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k \]其中，\( x_k \)为第k次迭代的解，\( d_k \)为fr共轭方向，\( \alpha_k \)为搜索步长。

3. fr共轭梯度法的优势和局限性fr共轭梯度法相对于其他优化算法具有一定的优势，比如收敛速度较快、内存占用小等。

但是，它也存在一些局限性，比如对非二次型函数的性能表现不佳、依赖初始点选取等。

在实际应用中需要结合具体问题特点来选择合适的优化算法。

4. fr共轭梯度法在深度学习中的应用在深度学习领域，优化算法对于模型训练的收敛速度和性能表现有着重要影响。

fr共轭梯度法作为一种优化算法，被广泛应用于深度学习模型的训练过程中。

它可以有效地加速模型的收敛速度，提高训练效率。

5. 个人观点和理解从我个人的角度来看，fr共轭梯度法作为一种经典的优化算法，在实际应用中展现出了较高的效率和性能。

它在求解无约束优化问题时具有明显的优势，特别适用于二次型函数的优化。

最优化方法第四次作业题目：利用FR-共轭梯度法求解无约束优化问题22212122min ()44412x R f x x x x x x ∈=+--。

初始点(0)(0.5,1).T x=- ()()T k k T kk k k k k k g g g g k d g k g d 111110.0,;0,-----=⎩⎨⎧≥+-=-=ββ一、程序function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0)%功能：用FR 共轭梯度法求解无约束问题min f （x ）%输入：x0是初始点，fun,gfun 分别是求目标函数和梯度%输出：x,val 分别是近似最优点和最优值，k 是迭代次数maxk=5000;rho=0.6;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-4;n=length(x0);while (k<maxk)g=feval(gfun,x0);%计算梯度itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));itern=itern+1;%计算搜索方向if (itern==1)d=-g;elsebeta=(g'*g)/(g0'*g0);d=-g+beta*d0;gd=g'*d;if (gd>=0.0)d=-g;endendif (norm(d)<epsilon),break ;end %检验终止准则m=0;mk=0;while (m<20) %用Armijo 搜索求步长if (feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m;break ;endm=m+1;endx0=x0+rho^mk*d;val=feval(fun,x0);g0=g;d0=d;k=k+1;endx=x0;val=feval(fun,x);二、程序运行结果>> x0=[-0.5,1]';>> [x,val,k]=frcg('fun','gfun',x0)x =1.00002.0000val =-12.0000k =10即22212122min ()44412x R f x x x x x x ∈=+--的极小值点x=[1;2]；minf(x)= -12。

共轭梯度法求解最优控制问题共轭梯度法，听起来像是一个高大上的名字吧？这个名字比它的实际应用要复杂得多。

简单说，咱们要用这个方法来解一些特别“挑剔”的问题，尤其是在最优控制问题上。

什么是最优控制？嘿，别急，慢慢跟我来。

最优控制其实就像是在玩一个游戏，你需要在一堆复杂的规则里找到一个最聪明、最省力的办法，把结果做得最好。

就好像你要开车从A地到B地，尽量避开所有的交通堵塞，顺顺利利又省油。

这听起来不就很有挑战性嘛？那怎么解决呢？别急，问题的关键就在于我们要用“共轭梯度法”。

你可能会想：“共轭梯度法”这四个字让人一看就头大，难道就没有个简单点的方法了吗？别担心，虽然名字听着挺吓人，但它的作用比名字要亲民得多。

共轭梯度法其实就是一种很聪明的“迭代法”，帮你一步一步地逼近最优解，不像某些方法需要你算一大堆东西，它就像一个脚踏实地的小步走，不急不躁，靠着一点一点的积累，最终带你走到正确的答案。

拿最优控制问题来说吧。

咱们的目标是什么？就是控制一个系统，让它按照我们最想要的方式运动，而最优控制法就是教你怎么在有限的资源下，做出最合适的选择。

比如你是一个驾驶员，车子的油量有限，但你还想在最短时间内到达目的地，这就需要做出智慧的选择。

而在实际应用中，这种“选择”往往都包含着方方面面的数学模型，复杂得让人头大。

好，话说回来。

我们要解决这些问题，最常见的办法是“梯度下降法”。

你听名字就知道，这就是沿着一个方向不断下降的过程。

就像你站在一座山上，想要走到山底。

梯度下降法就是告诉你，往下走走看，看能不能找到最低点。

可是，偏偏山路曲折得像迷宫，你可能走着走着就偏离了正确的方向，或者一不小心就掉进了一个小坑里，反而走得更远。

这时候呢，梯度下降法可能就不够用了，怎么办？这时候就得用“共轭梯度法”了。

共轭梯度法的厉害之处就在于，它不像普通的梯度下降法那样死盯一个方向不放，而是聪明地选择了多个方向来逐步接近最优解。

就像你去登山，发现前面有一块大石头挡路，这时你会选择绕过它，或者找条捷径。

一、 试验目:1、 掌握求解无约束最优化问题 F-R 共轭梯度法, 以及约束最优化问题 Wolfe 简约梯度法。

2、 学会用MATLAB 编程求解问题, 并对以上方法计算过程和结果进行分析。

二、 试验原理与步骤: 1、 F-R 共轭梯度法基础步骤是在点)(k X 处选择搜索方向)(k d , 使其与前一次搜索方向)1(-k d相关A 共轭, 即(1)()(1),0k k k d d Ad --<>=然后从点)(k X 出发, 沿方向)(k d 求得)(X f 极小值点)1(+k X, 即)(min )()()(0)1(k d X f X f k k λλ+=>+如此下去, 得到序列{)(k X }。

不难求得0,)1()(>=<-k k Ad d解为)()1()1()()()()1(,,k k k k k k k d Ad d d AX b XX><>-<+=--+注意到)(k d 选择不唯一, 我们可取)1(1)()()(--+-∇=k k k k d X f d β由共轭定义0,)1()(>=<-k k Ad d 可得: ><><-=----)1()1()1()(1,,k k k k k Ad d Ad r β共轭梯度法计算过程以下: 第一步: 取初始向量)0(X , 计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=><><-=-=-∇==(0)0(0)(1))0()0()0()0(0(0)(0)(0)(0)d X X ,,X )X (r d λλAd d Ad r A b f第1+k 步: 计算⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=><><-=+=><><-=-=-∇=+------(k)0(k)1)(k )()()()()1(1(k))()1()1()1()(1(k)(k)(k)d X X ,,r ,,X )X (r λλββk k k k k k k k k k k k k Ad d Ad r d d Ad d Adr A b f2、 Wolfe 简约梯度法Wolfe 基础计算步骤:第一步: 取初始可行点 x 0∈X l ,给定终止误差ε>0 , 令k:=0;第二步: 设 I B k是x k m 个最大分量下标集, 对矩阵A 进行对应分解 A =(B k ,N k );第三步: 计算 ∇f(x k)=(∇B f(x k )∇Nf(x k )) ,然后计算简约梯度r N k=−(B k −1N k )T ∇B f(x k )+∇N f(x k );第四步: 结构可行下降方向 p k . 若||p k ||≤ε , 停止迭代,输出x k 。