图论树与割集
- 格式：pdf
- 大小：539.27 KB
- 文档页数：79
文档推荐
-
离散数学 第5章 树及其应用页数:1
-
树页数:30
-
图论树与割集页数:79
-
离散数学图论树共42页页数:42
-
图论——树页数:46
-
【5-图论】4.树【学生版】页数:5
-
第五章图论树页数:9
下载文档原格式
合集下载
图论中的割集算法设计与分析
图论中的割集算法设计与分析图论是数学的一个分支，研究的是图的性质及其应用。
在图论中，割集（Cut Set）是指将一个图分为两个非空子图所需要移除的边集合。
割集算法是解决图论问题中的一个重要方法，本文将介绍割集算法的设计与分析。
一、割集算法的基本概念与思想割集算法是针对无向图的，用来寻找图中的割集。
割集算法的基本思想是通过不断剪枝的过程，寻找导致图分裂的边集。
其具体步骤如下：1. 首先选择一个起始顶点，并将其标记为已访问。
2. 从起始顶点开始进行深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）。
3. 在遍历的过程中，将访问到的顶点与未访问的顶点之间的边加入当前的割集。
4. 如果当前的割集将图分为两个非空子图，则停止搜索，输出当前割集。
5. 否则，继续遍历其他未访问的顶点，直到所有顶点都被访问。
二、割集算法的设计与实现割集算法可以通过编程实现。
下面是一个基于深度优先搜索策略的割集算法的伪代码：1. 定义一个函数cutSet(graph, start)，其中graph为输入的图，start 为起始顶点。
2. 初始化一个空的集合cut，用来存储割集。
3. 初始化一个空的栈stack，用来进行深度优先搜索。
4. 将起始顶点start标记为已访问，并将其入栈。
5. while stack不为空：a. 取出栈顶的顶点vertex。
b. 遍历vertex的邻接顶点adjVertex：(1) 如果adjVertex未被访问过：i. 将vertex与adjVertex之间的边加入cut。
ii. 将adjVertex标记为已访问，并将其入栈。
iii. 若cut将图分为两个非空子图，则停止搜索，输出cut。
c. 将vertex出栈。
6. 如果搜索完所有顶点后仍未找到割集，则输出图不包含割集。
在具体的编程实现中，可以根据具体情况对算法进行优化，例如使用邻接表来表示图，提高算法的效率。
三、割集算法的分析与应用割集算法的时间复杂度取决于图的规模和结构，一般来说，割集算法的时间复杂度为O(|V| + |E|)，其中|V|是顶点的数量，|E|是边的数量。
图论小札
第一章基本概念概念1.顶点集：有序三元组G=(V, E, )称为一个图，V=||是有穷非空集。
2.边集：E称为边集，其中的元素叫做边。
3.关联函数：是从边界E, 到V中的有序的活无需的元素偶对的集合的映射。
4.有向边（弧）：由有序偶对对应的边。
5.无向图（有向图）：每一条边都是无向边（有向边）的图。
6.回合图：一些边是无向边，一些边是有向边。
7.相邻边：同一顶点相关联的两边8.环：两端点重合的边。
9.简单图：既无环又无重边的图10.完备图：任意两顶点相邻的简单图，记作，。
11.二部图：V=X Y，X Y=，X中任何两顶点不相邻，Y中任何两顶点不相邻。
12.完备二部图：X集合中的所有顶点都与Y集合中的所有顶点相连，|X|=m，|Y|=n，。
13.正则二部图：，。
14.空图：无边图。
15.拓扑等价：两个图形能经拓扑变化变成同一形状。
16.图同构的必要条件：习题1.161）两图的顶点数、边数相等；2）次数相同的顶点数也相等。
17.邻接矩阵:18.关联矩阵:19.正则图：各个顶点的度数相同20.邻接表定义1.子图：和若且时，，则称是G的子图。
2.生成子图：若，则称是G的生成子图。
3.由顶点集导出的子图：设，且，以为顶点集，两个顶点都在中的边为边集的G的子图，则称G的有由顶点集导出的子图，极为G[]。
4.由边集导出的子图：设，且为边集，的端点集为顶点集的G的子图，则称G的有由边集导出的子图，极为G[]。
5.同构：设有两个无向图G和H，若顶点集之间存在一一对应关系，且对应顶点之间的边也有一一对应关系，则称图G和H同构，记为G H。
习题1.166.定理1.任何图中，奇数次顶点的总数必为偶数。
第二章树定义1.通路：在无向图中，设，序列，称为从到的一条通路，记为2.道路：边不重复但顶点可重复的通路，记为3.路径：顶点不重复的通路，记为4.G的连通片（或G的分图）：G的最大连通子图，用表示G的连通片数目，表示图G连通。
第2章 树
推论2.4.1 每一连通图 都包含一生成树。 每一连通图G都包含一生成树 都包含一生成树。 推论
证明：令 T 为G的极小 minimal)连通生成子图 极小( 极小 连通生成子图 （即 T 的任一真子图都不是G的连通生成子图） （由定义知，T 可在保持连通性 保持连通性的前提下，用逐步 保持连通性 从G中去边的办法求出（ ∴所去的边一定在一圈中 边 （即非割边 非割边）（∴每步至少破坏一圈））。 由T的 非割边 定义知，ω(T) = 1 ， ω(T - e) = 2 ∀ e ∈ E(T) 。 即 T 的每边为割边，故由定理2.4知T为树。
2.1.4 G为 林 ⇔ ε = ν - ω。 2.1.5 若林G 恰有2k个奇点 奇点，则G 中存在k条边不重 奇点 的路 1 ,P2 ,..,Pk ,使得E(G) = E(P1 )∪E(P2 )∪ ... ∪E(Pk )。 2.1.6 正整数序列 (d 1 ,d 2 ,...,d ν )是一 棵树的度序 ν 列，当且仅当
定理2.5 设 T 为G的一生成树，e为G中不属于 定理 T的边，则T+e 含唯一的圈。 证明： 若e为环（即1-圈），结论显然成立。 不然，由于T 无圈，T + e 中的每个圈（若存 在的话）都包含e 。又，C为 T + e 的一圈 ⇔ C - e 为T 中连接e的两个端点的路。但， 由定理2.1知，T中恰只有一条这样的路，因 此 T + e中包含唯一的圈。
⇔ 不含圈的图。 树（tree） ⇔ 连通无圈图。 叶 (leave) ⇔ 树中度为1的顶点。 例：六个顶点的树
称边e为图G的割边( cut edge) ⇔ ω(G-e) > ω(G) 。 （或即 ω(G-e) = ω(G) + 1 ） （称边e为图G的非割边 ⇔ ω(G-e) = ω(G) 。）
集合论与图论第十章 树
（1）T是无回路的连通图； （2）T是无回路图，且e=n-1，其中e是边数； （3）T是连通图，且e=n-1； （4） T是无回路图，且在T的任何两个不相邻的顶点之
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
图论 第四章 割集
定理5.2.1 图G 关于生成树的基本圈
C1, C2 , , Cq p1 是线性无关的。
定理5.2.2 连通图G的任一环路均可表示成 若干个基本圈的环和。
定理5.2.3 连通（p,q）图G的所有环路和空图 的集合构成一个q-p+1维空间，记作 (G)称为圈 空间。
定理5.2.4 连通（p,q）图G的圈空间中元素的 个数为2 q-p+1。
第四章 割 集
4.1 割集与断集
我们定义连通图G的顶点数减1为图G的秩，记作 R(G)，即R(G)=p-1 如果G有k个连通分支，则R(G)=p-k
定义4.1.1 设S E(G),如果
1.R(G-S)=p-2
2.对S S,R(G-S)=p-1 则称边集S为图G的的一个割集(cut set)。
割集是指一个边集S，在G中去掉S的所有边后G变 为具有两个分支的分离图，但是去掉S中的部分边时 图仍然是连通的。
2
a
c
b
1
d
e
4
3
g f
5
1 2
1
d
e 3
f
g
5
2
a
4
e
3
g
5
2
a
c
b
2
1
d
e
4
3
2
a
1 f
e
4
3
g
g f
5
a b
1
4
3
d
5
2
a
b
5
1
d
4
3
f
5
1
3 2
a
b
c
d
e
f
割集
割集
割集，也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。
也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。
引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。
中文名：割集
别称：截集或截止集
对象：简化成图的路网
目的：计算最大运输量
割集法是针对简化成图（有向图或无向图）的路网，运用图论的相关理论与方法，计算最大运输量。
由于实际路网是一个多起点、终点，随机开放的复杂系统，要想采用图论的最大流最小割定理，就必须将实际的路网抽象成一个单起、终点的理想图。
那么如何简化路网及如何寻找路网的最小割集是这种方法的关键，目前，针对这2个问题，按照不同的路网简化方式，已建立了2种模型，即修正模型和衍生割集网络极大流模型。
运用割集法方法解决路网容量问题的关键在于如何将实际的路网抽象成一个单收发点的理想图及如何寻求路网的最小割集。
而上述2类模型虽然对这个问题有所处理，但其处理结果不是引起路网上的交通重新分配，就是疏漏某些流量，因此如何既简化了路网，又能得出合理而准确的结果是是目前亟待研究的重点。
《电路（第五版）》（邱关源著，高等教育出版社）中第十五章“电路方程的矩阵形式”，第一节“割集”中给出了割集的定义：连通图G的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G分离为两个部分，但是如果少移去一条支路，图仍将是连通的。
割集
Qinwei report
割集网络方程及应用
2
割集网络方程的应用 配电系统的故障模式直接与系统的最小割集相关联。最小割集是
一些元件的集合，当它们失效时，必然会导致系统失效。最小割集法 是将计算的状态限制在最小割集内，而不须计算系统的全部状态，从 而大大节省了计算量。每个割集中的元件存在并联关系，近似认为系 统的失效度可以简化为各个最小割集不可靠度地总和，从而对配电网
2
割集网络方程的应用
利用基本割集矩阵Q和降价关联矩阵A的关系，由Q得到A，进而
画出对应的网络图。还可以由基本回路矩阵得到对应的网络图，其 基本思路为利用基本回路矩阵和基本割集矩阵的关系，先由基本回
路矩阵直接写出基本割集矩阵，再由基本割集矩阵得到对应网络图
。割集定理可以用来确定不良数据的可检测性和可辨识性。
阵的广义特征值和特征矢量求解微分方程。 应用广义割集矩阵的概念，在故障树快速求解方法中求解模块
最小割集及故障树最小割集。 利用基本割集矩阵和基本回路矩阵问的对偶关系求取对偶电路 的方法。该方法系统性强，物理意义清楚，尤其在确定对偶电源的 极性或方向时，简捷方便。
Qinwei report
割集网络方程及应用
引起顶上事件发生必须的最低限度的割集。最小割集的求取方法有行 列式法、布尔代数法等。 最小割集表示系统的危险性 求出最小割集可以掌握事故发生的各种可能，了解系统的危险性。 每个最小割集都是顶上事件发生的一种可能，有几个最小割集，顶上 事件的发生就有几种可能，最小割集越多，系统越危险。从最小割集 能直观地、概略地看出，哪些事件发生最危险，哪些稍次，哪些可以 忽略，以及如何采取措施，使事故发生概率下降。
Qinwei report
Qinwei report
电路第十章 网络图论及网络方程
8
1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0
习题0 ：110-07 0求0Bf、1 C-1f -1 0 -1
1
[C
f
]
0 0 1 0 010 0树支0：10、21、30、05、19
-1 1
0 -1
0 0
1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1
2、基本割集关联矩阵Cf
7
四、A、Bf、Cf关系
1 0 0 1 1 0
选一棵对树于，一支个路有编向号图，[A] 0 1 1 1 0 0
先树支后连支。则有： 0 0 1 0 1 1
A At Al
B Bt Bl Bt 1
1 1 0 1 0 0 [Bf ] 1 1 1 0 1 0
1 4
2 3
5
21
10-5 基本割集法
一、标准支路伏安关系
Ik Yk Uk Yk Usk Isk
二、矩阵形式支路伏安关系:
Ib Yb Ub Yb Us Is
其中： Yb : 支路导纳矩阵
三、支路电流关系:
Cf Ib 0
i1 - i4 + i6 = 0 i2 + i4 + i5 = 0
3
2、回路（Loop)
回路是连通图G的一个子图， 满足：
1）连通图
2）每个节点仅关联两条支路
3）移去任一支路，则无闭合 路径
基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。
3、割集（Cut) 割集是连通图G的一些支路的集合，满足： 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分；
探索最小生成树的割定理
探索最小生成树的割定理最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是图论中的一个重要概念，它是指一个无向连通图中，边的权值之和最小的树。
最小生成树的算法有很多，其中一种经典的算法是普里姆算法（Prim's algorithm），另一种则是克鲁斯卡尔算法（Kruskal's algorithm）。
本文将探索最小生成树的割定理，即最小生成树的性质和定理。
一、最小生成树的割定理概述最小生成树的割定理是指：若一个边集合是图G的最小生成树的边集合，那么该边集合对应的割是图G的割集中权值最小的割。
割（Cut）是图论中一个重要概念，指的是将图中的顶点划分为两个不相交的非空集合，再在这两个集合之间的边中选择一个边集合。
割的权值是指选择的这个边集合的边权值之和。
割定理是指最小生成树的边集合对应的割是图中的割集中权值最小的割。
这个定理十分重要，对最小生成树的理解和应用有很大的帮助。
二、割定理的证明1. 证明最小生成树的边集合对应的割是图G的割集中的割。
假设最小生成树的边集合为T，割的权值最小的割为(M, V-M)，其中M为边集合，V为顶点集合。
设最小生成树的边集合T对应的割为(A, B)，其中A为边集合，B 为顶点集合。
如果(A, B)不是图G的割集中的割，那么一定存在(A', B')是图G的割集中的最小割，并且权值小于(A, B)。
根据割的定义，割的权值是指选取的边集合的边权值之和。
所以，权值小于(A, B)的割(A', B')，也就代表着边集合A'的权值小于边集合A的权值。
但是，假设A'是边集合T的真子集。
根据最小生成树的定义，最小生成树的边集合是能够连接图G的所有顶点，并且没有形成回路的边集合。
这就导致了边集合T中的一些边被割A'中的边替代，从而形成一个回路。
这与最小生成树的定义相悖。
所以，假设不成立，(A, B)是图G的割集中的割。
电网络理论2013第二章图论
第2章 网络图论基础
§ 2-1 图论的基本知识
• 图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 节点和支路的一个集合
分类：
无向图：未赋以方向的图。 混合图：只有部分支路赋以方向的图。 有向图：所有支路都赋以方向的图。 ::图并不反映支路之间的耦合关系。
元件的图
i1 i2
1 2
1
T ˆ ˆ u i i b ub 0 T b b
T T ˆ ˆb 0 ub i b i b u
或者
ˆ u i k k 0
k 1
b
ˆi u
k 1
b
k k
0
3. 特勒根定理的差分形式
ˆ 具有相同的拓扑结构，在t时刻， N ˆ 设网络N和 N i b， N的支路电压和电 ˆ b和 ˆ 的支路电压和电流分别为 u 流的变化量分别为u b和 i b ，则
u i i ub 0
T b b T b
或者
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒定律的证明
T u A un KVL： b
u u A
T b T n
u i u Aib u Aib
T b b T n T n
利用KCL：Ai b 0
u i 0
T b b
i ub 0
2
3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图
1
2
双口元件的图
连通图
• 连通图 如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一 条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则 称为非连通图。
§ 2-1 图论的基本知识
• 图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 节点和支路的一个集合
分类：
无向图：未赋以方向的图。 混合图：只有部分支路赋以方向的图。 有向图：所有支路都赋以方向的图。 ::图并不反映支路之间的耦合关系。
元件的图
i1 i2
1 2
1
T ˆ ˆ u i i b ub 0 T b b
T T ˆ ˆb 0 ub i b i b u
或者
ˆ u i k k 0
k 1
b
ˆi u
k 1
b
k k
0
3. 特勒根定理的差分形式
ˆ 具有相同的拓扑结构，在t时刻， N ˆ 设网络N和 N i b， N的支路电压和电 ˆ b和 ˆ 的支路电压和电流分别为 u 流的变化量分别为u b和 i b ，则
u i i ub 0
T b b T b
或者
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒定律的证明
T u A un KVL： b
u u A
T b T n
u i u Aib u Aib
T b b T n T n
利用KCL：Ai b 0
u i 0
T b b
i ub 0
2
3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图
1
2
双口元件的图
连通图
• 连通图 如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一 条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则 称为非连通图。
图论树与割集
4)无回路，如在任意两结点之间添上一条
边，得到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 必要性：设T是树．故无回路，由(3)已证任 意两点vi与vj之间有且只有一条基本路 径，故添上一条边(vi,vj)，只能得到唯 一的一条基本回路，故条件(4)成立。 充分性：设条件(4)成立，因而图无回路， 往证明图是连通的，若图不连通，则存在 两点，这两点之间不存在路径，则在这两 点之间添上一条边就不可能得到一个回路 与条件矛盾。
平凡树
•
定理3.1 具有n个结点m条边的无向图T是树， 当且仅当下列条件之一成立。
1. T无回路且m＝n一1 2. T连通且m＝n一1 3. 任意两结点之间必然存在且仅存在一条基本路 径(n≥2) 4. 无回路，如在任意两结点之间添上一条边，得 到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 5. 图连通，但去掉任一条边图将不连通。
• 生成树的构造方法： 破圈法，避圈法 ¾ 破圈法定理的证明也为我们提供了一种构造生 成树的方法，即每次去掉回路的任一条边，到 不再含有回路为止。这种方法称为破圈法.
¾ 避圈法在G中任找一条边e1，然后找一条不与 e1形成回路的边e2，再找一条不与边集合 (e1,e2)形成回路的边e3，如此继续下去使找 的边都不与已找到的边集合形成回路，直到 过程不能进行下去为止，则所有找到的边集 合{e1,e2,e3,...,em}构成的图就是G的一棵生 成树。
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1 将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1 N |S|=n-1 Y 输出S N 取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y j=j+1 停
图论 第6章 树和割集
推论1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。 推论2 任一非平凡树都是偶图。 推论3 任一非平凡树都是2-色的。
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图，则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
1.4 树的中心
定义3 设G=(V，E)是连通图，v∈V，数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心，G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点，或含有两个邻接的顶点。
（2）∑deg v=2q
（3）根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V,F)是树，则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V，E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V，F)是一个森林，则称T是G的生成森林。
1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
3极小连通图定义2若连通图g中去掉任一条边后得到一个不连通图则称g为极小连通图
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林向树，简称树， 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林，简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则下列命题等价： (1) G是树； (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结； (3) G连通且 p=q+1； (4) G无圈且 p=q+1； (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈； (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图，则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
1.4 树的中心
定义3 设G=(V，E)是连通图，v∈V，数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心，G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点，或含有两个邻接的顶点。
（2）∑deg v=2q
（3）根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V,F)是树，则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V，E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V，F)是一个森林，则称T是G的生成森林。
1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
3极小连通图定义2若连通图g中去掉任一条边后得到一个不连通图则称g为极小连通图
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林向树，简称树， 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林，简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则下列命题等价： (1) G是树； (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结； (3) G连通且 p=q+1； (4) G无圈且 p=q+1； (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈； (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。
电路原理12.1.1割集 - 割集
2. 由某个树支 bt 确定的基本割集应包含那些连支，每个这种连支 构成的单连支回路中包含该树支 bt 。
返回 上页 下页
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q2：{ 2，3，6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q3：{ 1，4，6}
②
1
①
③
3
④
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4：{ 1，5，2 }
返回 上页 下页
电路方程的矩阵形式
单树支割集(基本割集) 对一个连通图，若任选一个树，则对应的连支集合不能构成一个
割集(将所有连支移去后所得的图还是连通的)，故每一割集应至少包
12
4
3
{1，2，3，4}
割集
4 保留4支路，图不连通。
返回 上页 下页
电路方程的矩阵形式
同一个树的基本回路和基本割集关系
②
1
2
①5
③
43 ④6
基本回路 {1，2，3，4} {1，4，5}
{1，2，6}
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
1. 由某个连支 bl 确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树 支所构成的基本割集中含有 bl 。
独立割集 单树支割集
独立割集
返回 上页 下页
电路方程的矩阵形式
应注意的是，割集是有方向的(移去割集的所有支路，图G 被分 离为两部分后，从其中的一部分指向另一部分的方向，即为割集的 方向，每个割集只有两个可能的方向)。若是基本割集，一般选取树 支的方向为割集的方向。
1
3
2
4
返回 上页 下页
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q2：{ 2，3，6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q3：{ 1，4，6}
②
1
①
③
3
④
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4：{ 1，5，2 }
返回 上页 下页
电路方程的矩阵形式
单树支割集(基本割集) 对一个连通图，若任选一个树，则对应的连支集合不能构成一个
割集(将所有连支移去后所得的图还是连通的)，故每一割集应至少包
12
4
3
{1，2，3，4}
割集
4 保留4支路，图不连通。
返回 上页 下页
电路方程的矩阵形式
同一个树的基本回路和基本割集关系
②
1
2
①5
③
43 ④6
基本回路 {1，2，3，4} {1，4，5}
{1，2，6}
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
1. 由某个连支 bl 确定的单连支回路应包含那些树支，每个这种树 支所构成的基本割集中含有 bl 。
独立割集 单树支割集
独立割集
返回 上页 下页
电路方程的矩阵形式
应注意的是，割集是有方向的(移去割集的所有支路，图G 被分 离为两部分后，从其中的一部分指向另一部分的方向，即为割集的 方向，每个割集只有两个可能的方向)。若是基本割集，一般选取树 支的方向为割集的方向。
1
3
2
4
《图论》复习提纲
《图论》复习提纲1、 图（1） 图的概念：图的定义；空图；平凡图；简单图；完全图；二部图；完全二部图；星；轮；补图；正则图（k--正则图）；同构；图的分类。
（2） 子图：子图的概念；真子图；G 的生成子图；G 的导出子图；主子图；G 的边导出子图。
（3） 顶点的度：顶点v 的度；奇顶点；偶顶点；握手定理；握手定理的推论。
（4） 道路与连通性：途径；链；道路；圈；圈的分类；连通图；非连通图；测地线；u 与v 之间的距离；G 的围长；G 的周长；G 的直径；G 是二部图的充要条件。
（5） 图的运算： 图 和的并；交；差；环和。
2、 树（1） 树的特性：树的定义；树的六个等价命题。
（2） 割边与割点：割边；割点；圈和割边的关系；树和割边的关系；如何判断树中的割点；不可分图；割点的三个等价命题；割边的三个等价命题。
（3） 生成树：生成树的定义；图有生成树的充要条件；判断一棵生成树的充要条件；求生成树的两种方法。
3、 欧拉图和哈密顿图（1）环路：环路；环路中顶点的度满足什么条件；图G 是连通环路的充要条件；什么是开链；多个环路的环和。
（2） 欧拉图：欧拉图和欧拉链；闭链、环路和欧拉图的关系；图G 是连通欧拉图的充要条件；两个欧拉图的环和。
（3） 哈密顿图：哈密顿圈和哈密顿图；哈密顿图的必要条件；哈密顿图的充分条件；满足什么条件G 是哈密顿图的充要条件是G+uv 为哈密顿图；图G 的闭包；简单图的闭包和哈密顿图的关系。
4、 割集（1）割集与断集：割集；断集；设T 是连通图G 的一棵生成树，并且e 是任一树枝，则：连枝集中是否包含G 的割集，T e +包含G 的几个割集；割集和生成树之间的关系是什么？（2）关联集：关联集；任一断集和关联集的关系；任一顶点的关联集和其余顶点关联集的关系。
5、连通性（1）连通度和边连通度：顶点割；点连通度；边连通度；点连通度、边连通度和最小度之间有什么关系；点连通度和边连通度的范围是多少；在什么条件下，边连通度和最小度相等；（2）2-- 连通图：块；P 和Q 是内部不相交的；图G 是2—连通的充要条件；图是不可分的几个等价命题。
图论中的割集算法设计与分析
图论中的割集算法设计与分析在图论中，割集（Cut Set）是指将图的顶点集合分成两个不相交的子集，使得其中一个子集与剩余部分构成一个切割。
割集算法是一种用于寻找割集的方法，它在诸多领域中都有广泛的应用。
本文将对割集算法的设计与分析进行探讨。
一、割集算法的概述割集算法的目标是寻找图中的最小割集，即将图划分成两个子图，并且割集中的边数最少。
最常用的割集算法是基于图的最大流最小割定理的Ford-Fulkerson算法。
该算法通过不断增加流量来找到切割，直到无法再增加为止。
然而，该算法在实践中的效率并不高，因此人们提出了许多改进的割集算法。
二、割集算法的设计1. Stoer-Wagner算法Stoer-Wagner算法是一种启发式算法，它通过迭代地计算图的最小割来找到割集。
该算法的基本思想是将图中的所有顶点分为两个集合，然后计算两个集合之间的最小割。
重复此过程，每次都将最小割的集合合并，直到只剩下一个顶点为止。
最后得到的割集即为图的最小割集。
2. Kernighan-Lin算法Kernighan-Lin算法是一种以贪心策略为基础的割集算法。
该算法的主要思想是通过不断地交换顶点，使得交换后的两个子图之间的割集权重最小。
算法的具体步骤如下：（1）初始时，将图的顶点随机分为两个子集。
（2）计算两个子集之间的割集权重。
（3）选择两个子集中的一个顶点v，将其从一个子集中移动到另一个子集中，并计算割集权重的变化量。
（4）重复步骤（3），直到无法得到更优的割集权重为止。
三、割集算法的分析1. 时间复杂度割集算法的时间复杂度与算法的设计有关。
对于Ford-Fulkerson算法，其时间复杂度为O(E * F)，其中E是图中的边数，F是最大流的值。
而对于启发式算法如Stoer-Wagner算法和Kernighan-Lin算法，其时间复杂度通常为O(V^3)或O(V^4)，其中V是图中的顶点数。
2. 空间复杂度割集算法的空间复杂度主要取决于图的表示方法。
第二篇 图论习题
例8 有17位学者，每2位讨论3篇论文中的一篇且仅一 篇，证明：至少有3位学者，他们相互讨论的是同一篇 论文。
习题3
例1 设p，q为正整数，则 （1）p为何值时，无向完全图Kp是欧拉图？p为何值 时Kp为半欧拉图？ （2）p,q为何值时Kp,q为欧拉图？ （3）p,q为何值时Kp,q为哈密顿图？ （4）p为何值时，轮图Wp为欧拉图？ 例2 判断如图所示的图是否为哈密顿图，若是写出哈 密顿圈，否则证明其不是哈密顿图。
例10 某工厂生产由6种不同颜色的纱织成的双色布。 双色布中，每一种颜色至少和其他3种颜色搭配。证 明:可以挑出3种不同的双色布,它们含有所有6种颜色。 与例8等价的例题： 例11 今要将6个人分成3组（每组2个人）去完成3项 任务，已知每个人至少与其余5个人中的3个人能相互 合作，问： ⅰ (1)能否使得每组2个人都能相互合作？ (2)你能给出集中方案？（两种） 例12 设G=(V,E)是p(p>3)个顶点的简单无向图,设G中 最长路L的长度为l(l≥2)，起点与终点分别为u,v， 而且degu+degv≥p。证明：G中必有与L不完全相同但 长度也为L的路。
i 1
证明:存在一棵顶点度数为d1,d2,…,dp的树。 例12证明:任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。
例1 设图G中有9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。 证明:G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。 例2 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例3 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。
例15 设G为p个顶点的简单无向图。 (1) 若G的边数q= (p-1)· (p-2)/2+2，证明G为 哈密顿图。 (2) 若G的边数q= (p-1)· (p-2)/2+1，则G是否 一定为哈密顿图？ 例16 如图所示的图G是哈密顿图。试证明：若图中 的哈密顿回路中含边e1，则它一定同时也含e2。 例17 已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1和两个人握过手， v2,v3,v4,v5各和3个人握过手，v6和4个人握过手， v7,v8各和5个人握过手，v9和6个人握过手。证明:这 9个人中一定可以找出3个人互相握过手。
习题3
例1 设p，q为正整数，则 （1）p为何值时，无向完全图Kp是欧拉图？p为何值 时Kp为半欧拉图？ （2）p,q为何值时Kp,q为欧拉图？ （3）p,q为何值时Kp,q为哈密顿图？ （4）p为何值时，轮图Wp为欧拉图？ 例2 判断如图所示的图是否为哈密顿图，若是写出哈 密顿圈，否则证明其不是哈密顿图。
例10 某工厂生产由6种不同颜色的纱织成的双色布。 双色布中，每一种颜色至少和其他3种颜色搭配。证 明:可以挑出3种不同的双色布,它们含有所有6种颜色。 与例8等价的例题： 例11 今要将6个人分成3组（每组2个人）去完成3项 任务，已知每个人至少与其余5个人中的3个人能相互 合作，问： ⅰ (1)能否使得每组2个人都能相互合作？ (2)你能给出集中方案？（两种） 例12 设G=(V,E)是p(p>3)个顶点的简单无向图,设G中 最长路L的长度为l(l≥2)，起点与终点分别为u,v， 而且degu+degv≥p。证明：G中必有与L不完全相同但 长度也为L的路。
i 1
证明:存在一棵顶点度数为d1,d2,…,dp的树。 例12证明:任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。
例1 设图G中有9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。 证明:G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。 例2 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。 例3 已知p阶(简单)无向图中有q条边，各顶点的度数 均为3，又2p=q+3，试画出满足条件的所有不同 构的G。
例15 设G为p个顶点的简单无向图。 (1) 若G的边数q= (p-1)· (p-2)/2+2，证明G为 哈密顿图。 (2) 若G的边数q= (p-1)· (p-2)/2+1，则G是否 一定为哈密顿图？ 例16 如图所示的图G是哈密顿图。试证明：若图中 的哈密顿回路中含边e1，则它一定同时也含e2。 例17 已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1和两个人握过手， v2,v3,v4,v5各和3个人握过手，v6和4个人握过手， v7,v8各和5个人握过手，v9和6个人握过手。证明:这 9个人中一定可以找出3个人互相握过手。
08版电路基础第10章 网络图论与网络方程
2、回路（Loop) 回路是连通图G的一个子图，满足： 1）连通图 2）每个节点仅关联两条支路 3）移去任一支路，则无闭合路径
2、回路（Loop) 回路是连通图G的一个子图，满足： 1）连通图 2）每个节点仅关联两条支路 3）移去任一支路，则无闭合路径
基本回路：单连支回路
基本回路的方向 ：单连支方向 注：利用回路法求解电路时， 可选基本回路作为独立回路
②
任意两个节点间至少有一条路经
图G1中所有的支路和节点都在图G中 每个支路都表示该支路电流的方向
② ③ ① ④
①
③
④
② ③ ① ④
② ③
①
④
4、标准支路
Ik
Uk
4、标准支路
Ik
Uk
二、树、回路、割集 1、树（Tree): 连通图G的一个 子图，满足： 1）含有G全部节点
2）连通图
二、回路关联矩阵B
1、回路关联矩阵B 行：代表回路序号 列：代表支路序号 矩阵元素取值:
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 B 0 0 1 1 0 1
1 2
1 ——同向关联：支路j与回路i关 联,支路j方向与回路i方向一致。 ——反向关联：支路j与回路i关 bij 1 联,支路j方向与回路i方向相反。 0 ——无关联：支路j与回路i
第十章 网络图论及网络方程
网络分析主要问题： 1）选择独立变量 ——拓扑学理论
2）列写网络方程 ——矩阵代数方程 3）网络方程求解 ——计算机应用
10-1 基本定义和概念
一、网络拓扑图
1、支路(Branch)： 将每个元件用线段表 示，每条线段称为支路。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 生成树的构造方法： 破圈法，避圈法 ¾ 破圈法定理的证明也为我们提供了一种构造生 成树的方法，即每次去掉回路的任一条边，到 不再含有回路为止。这种方法称为破圈法.
¾ 避圈法在G中任找一条边e1，然后找一条不与 e1形成回路的边e2，再找一条不与边集合 (e1,e2)形成回路的边e3，如此继续下去使找 的边都不与已找到的边集合形成回路，直到 过程不能进行下去为止，则所有找到的边集 合{e1,e2,e3,...,em}构成的图就是G的一棵生 成树。
定义3.4 设T是图G的一棵生成树，由T的树枝和一条 弦构成的回路称为对应于这条弦的基本回路，基本 回路的集合，称为基本回路集。 b
b e1 e7 e6 f a c a e9 e5 e d e (a) e4 d f e8 e2 c e3
如左图是右图的一棵生成树则 对应于弦e1的基本回路是C(e1)＝{e1,e6,e7} 对应于弦e2的基本回路是C(e2)＝{e2,e7,e8} 对应于弦e4的基本回路是C(e4)＝{e4,e3,e8,e9} 对应于弦e5基本回路是C(e5)＝{e5 e6 e9} 树T的基本回路集是C＝{C(e1)C(e2)C(e3)C(e4)}
平凡树
•
定理3.1 具有n个结点m条边的无向图T是树， 当且仅当下列条件之一成立。
1. T无回路且m＝n一1 2. T连通且m＝n一1 3. 任意两结点之间必然存在且仅存在一条基本路 径(n≥2) 4. 无回路，如在任意两结点之间添上一条边，得 到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 5. 图连通，但去掉任一条边图将不连通。
1) T无回路且m＝n一1 (证明树的定义<=>条件(1)) 必要性(=>)设T是树。现对结点进行归纳证明 m＝n一1。 当n＝1时，m＝0，公式成立。设n=k时公式成立， 即m＝k-1，考察n=k+1的情况，即增加了一个结点。设 为v，下面证明结点v仅与原k个结点中的一个结点连接. 如不然。不与k个结点中的任一结点连接，则v是孤 点，与树是连通的定义不符。 如果v与k个结点中连接的点不止一个，不妨设两个点 v1与v2都与v连接，即与v关联的边有两条(v,v1)及 (v,v2)，因为v1与v2是原来k个点中的任意两个点，它 们原来是连通的，这样v1与v2将通过与v关联的这两条 边形成回路，与树无回路矛盾，因此，增加一个点一 定增加也只能增加一条边，故公式m=n-1成立。
• 定理3．4 任何一棵有两个以上结点的树至 少有两片树叶。 证：已知 m = n −1又 ∑ deg(v ) = 2m = 2n − 2 因树 是连通的， 没有次数为0的结点（孤点）。 如果树没有一片树叶（即任一结点的次数都 ∑ deg(v ) ≥ 2n 与 ∑deg(v ) =2n−2 大于等于2）则 矛盾， 如果树只有一片叶，则
不包含在回路中时，e才是割边。
定理3.3
无向树T的所有分枝点均为割点。
证：设v是T的任一分枝点，则deg(v)＞1,所 以存在与v邻接的不同的结点u与w,因此uvw则 是T中u到w的唯一一条通路，若在T中去掉v及 其关联边后，u与w将不连通,按定义，v是割点。
如果去掉一个结点v及与v关连的边，图将不连通， 则称结点v为图的割点。
充分性(<=)设条件(1)成立，只要证明图连通，根据 定义,即得T是一棵树。 【反证法】 设图不连通而是分成了K个连通分支 T1,T2,...,Tk, 每一分图的结点数和边数用ni和mi表 示(1≤i ≤ k)，则 k k
n=
∑n
i =1
i
m=
∑m
i =1
i
因每一个分图都是连通的而且无回路，根据树的定义 知每个分图都是一棵树，应有mi＝ni一1．故
d
最小生成树 最小生成树很有实际应用价值.例如结点是 城市名,边的权表示两个城市间的距离, 从一个城市出发走遍各个城市,如何选择 最优的旅行路线.又如城市间的通信网络 问题,如何布线,使得总的线路长度最短. 例如:右图所示 2 v2 D D v3 3 5 1 2.求最小生成树算法 7 1 2 7 v1 D 8 v8 D D v5 3 D v4 ---Kruskal算法: 4 3 4 6 2 4 v7 D D v6 (避圈法) 6
③ 设T是G的一棵生成树，B是G的任一回路，不失一般性， B包含边的集合写成 {e , e ,..., e , e ,..., e }
i1 i2 ij ij +1 im
其中 eik 是弦 (k = 1,2,..., j ) , eir (r = j + 1,2,..., m) 是树枝, 则含有上面这些弦的基本回路可以写成 Ci1 , Ci 2 ,..., Cij B' = Ci1 ⊕ Ci 2 ⊕ ... ⊕ Cij 设 因此B’只含弦 e i1 , e i 2 ,..., e ij 不再含其他的弦，而B也只 含这些弦， 所以 B ⊕ B'将不再含有弦而只含有树枝，但是我们知道回路 的环和仍是回路或者是回路的边不重并集,因此只含树枝而 不含弦是不可能的，只能有 B ⊕ B ' = φ 成立， 即 B = B' = C ⊕ C ⊕ ... ⊕ C
4)无回路，如在任意两结点之间添上一条
边，得到一个且仅一个基本回路。(n ≥ 2) 必要性：设T是树．故无回路，由(3)已证任 意两点vi与vj之间有且只有一条基本路 径，故添上一条边(vi,vj)，只能得到唯 一的一条基本回路，故条件(4)成立。 充分性：设条件(4)成立，因而图无回路， 往证明图是连通的，若图不连通，则存在 两点，这两点之间不存在路径，则在这两 点之间添上一条边就不可能得到一个回路 与条件矛盾。
m=
∑ m = ∑ (n − 1) = n − k
i i i =1 i =1
k
k
如k≥2 ,则m=n-k<n-1与题设矛盾，所以图是连通 的，即图T是树。
2) T连通且m＝n一1
必要件：设T是树，则T连通且由(1)已证m=n-1， 故条件(2)成立。 充分性：设条件(2)成立，只要证明图无回路即符 合树的定义。 现对n用归纳证明，当n＝1或2时，显然图无回 路，命题成立。设n＝k时图无回路，这时边的数目 为m’=k-1现考察n=k+1时的情况，增加了一个结 点，设为v,此时边的数目为m=k,比m’多了一条边， 这条边的一个端点必然是v(否则v无关联达成为孤 点，与图是连通的相矛盾)另一个端点是原来k个结 点中的某一结点，由于原来k个点是无回路的，现 在增加的这条边也不可能通过结点v构成回路，即 m＝k+1 时图也无回路，按定义图T是树.
n i i =1
n
n
i
i
i =1
1 i=
∑ deg(v ) ≥ 2(n −1) +1 = 2n −1
i i =1
n
仍然矛盾，故至少有两片树叶。 • 定义 由不相连的树组成的图称为森林。
生 成 树
• 生成树 若无向图G的生成子图T是一棵树， 则称T为图G的生成树。
图中(b)，(c)，(d) 等是图(a)的生成树。
定理3.6 设G是一连通无向图，则 ① G的任一回路至少含一条基本回路的弦. ② 所有基本回路的环和不为空集，即
⊕C
i =1
kiΒιβλιοθήκη ≠ φ , k = N (G ) = m − n + 1
③ G的任一回路均可写成是若干个基本回路 的环和。
证： ① 如果有一回路不含任何基本回路的弦，即 回路中的边全是树枝，它们一定包含在生 成树中，但生成树是没有回路的，所以回 路中至少有一条边不是树枝而是弦。 ② 因为每一基本回路只有一条弦，不同的基 本回路含有不同的弦，根据环和的性质， 所有基本回路的环和不可能是空集。
定理3．5 一个连通图至少有一棵生成树。 证： 如果连通图G无回路，根据的定义，则G本身就是 一棵生成树。 如果连通图G有回路，去掉回路的任一条边得到生 成子图G1，显然G1仍然是连通的，如果G1不含回 路，则G1就是G的生成树，否则又可去掉回路的任 一条边得到另一个生成子图，只要生成图还有回 路，就去掉回路的一条边，由于图的有限性，最 后一定得到不含回路的生成子图T，由于每次去掉 回路的一条边，并不破坏图的连通性，所以T是G 的生成树。
|S|=n-1, 说明是树 最后S={a1, a2, a3,… ,an}
边按升序排序:边(vi, vj)记成eij e34 e23 e38 e17 边 e28 权
e24
e45 3 e12 7
e57 3 e18 8
e16 4
1 1 2 2 2 3 e35 e46 e67 e58 边 e78 e56 4 5 6 6 7 权 4 2 v2 D D v3 3 5 1 1 7 2 7 v1 D 8 v8 D D v5 3 D v4 4 3 4 2 v2 D 6 2 4 v7 D D v6 1 6 v1 D v8 D 4 2 v7 D
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通 图. S=Φ i=0 j=1 将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em S=S∪{ai} j=j+1 ai=ej i=i+1 N |S|=n-1 Y 输出S N 取ej使得 S∪{ ej}有回路? Y j=j+1 停
树与割集
无 向 树 生 成 树 有向树 有向树的应用 图的中心和中位点 图的连通性 习题
树是一种特殊的图, 它是图论中重要的概 念之一, 它有着广泛的应用.在计算机科学中 有如判定树、语法树、分类树、搜索树、目 录树等等.
无
向
树
• 定义 一个连通且不含回路的无向图称为无向树，简称树。 常用符号T(m,n)表示一棵树，其中n表示树的结点数，m表 示树的边数(树枝数)。次数为1的结点称为树的树叶次数大 于1的结点称为树的分枝点，边称为树枝。只有一个结点的 树称为平凡树，它的次数为0(无树枝)，如图中的(d)就是一 棵平凡树。