图论——树
- 格式：ppt
- 大小：2.17 MB
- 文档页数：46
文档推荐
-
离散数学 第5章 树及其应用页数:1
-
树页数:30
-
图论树与割集页数:79
-
离散数学图论树共42页页数:42
-
图论——树页数:46
-
【5-图论】4.树【学生版】页数:5
-
第五章图论树页数:9
下载文档原格式
合集下载
离散数学-图论-树
二叉树
• 定义:二元有序树称为二叉树.
– 每个顶点最多有两个子顶点,一般称为左子顶 点和右子顶点. – 类似地,称每个顶点的左子树和右子树. – 每个顶点的出度都是0或2,称为二叉正则树.
二叉树的性质
• 定理:设有二叉树T, (1)第i层最多有2i个顶点; (2)若T高度为h,则T最多有2h11个顶点，最 少有h个顶点; (3)树叶个数出度为2的顶点个数1.
1 2
Huffman树与最优编码
• 若以符号为树叶,符号概率为树叶的权,利 用通过Huffman算法得到的二叉树对符号 编码,则可以保证i pili最小. • 例:对1,1,2,3,5,6,7,8构造Huffman树.
7 3 2 1 1 5 6
8
编码：设 A, B, C, D 的频率（即权值）分别为 17％, 25％, 38％, 20％， 试设计哈夫曼编码（最佳前缀码/最优编码）。
最优编码
• 构成消息的各符号的使用频率是不一样 的,显然常用符号编码短一些,罕用符号编 码长一点,可以使传输的二进制位数最少. • 最优编码问题:给定符号集{a1,a2,...,am}, ai 的出现概率是pi,编码长度为li,要使i pili最 小.
例：如果需传送的电文为 ‘A B A C C D A’，它只用到四种字符， 用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D 的编码分别为 00， 01，10，11，则上述电文便为 ‘00010010101100’（共 14 位）， 译码员按两位进行分组译码，便可恢复原来的电文。 数据的最小冗余编码问题 在编码过程通常要考虑两个问题 译码的惟一性问题
5 1 5 6 6
U 1
1 5 6 1 5 5 4 6 5 4 5 5
2
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
图论——树
森林
推论： 具有k个分支的森林有nk条边， 其中n是G的顶点数。
无向树的性质
定理2.2
证明
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
设T有x片树叶，由握手定理及定理2.1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例2.1
例2.1 画出6阶所有非同构的无向树。 解答 设Ti是6阶无向树。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 首先证明 G中无回路。 若G中存在长度大于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
离散数学——树ppt课件
11
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
13
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
图论第三章(1)
16
定理4 定理 若G为有向连通图 Bk为G的一个基 为有向连通图, 的一个基 本关联矩阵, 本关联矩阵 则 秩(Bk) = n-1 . 的各行全部加到第k行 证：将关联矩阵B的各行全部加到第 行， 将关联矩阵 的各行全部加到第 则第k 行为零向量。记新得到的矩阵为B’, 则第 行为零向量。记新得到的矩阵为 则 秩(Bk) = 秩(B’) = 秩(B) = n-1 .
15
要证k 要证 1 = k2 = … = kn-1 =0。 。 因为树中总存在树叶， 的一个树叶为v 因为树中总存在树叶，设T 的一个树叶为 i ， 中第i 则B中第 行的非零元素仅一个，故由 式知 中第 行的非零元素仅一个，故由(*)式知 ki= 0。 。 T中删去树叶 i 及相关的一边后得一新树 中删去树叶v 中删去树叶 及相关的一边后得一新树T’, 又有树叶v 又有k 而T’又有树叶 j ，又有 j= 0 ；…; 如此继续下 又有树叶 去， 最后可得 k1 = k2 = … = kn-1 =0， ， 因此a 线性无关。 因此 1, a2, …, an-1线性无关。 于是 秩(B) >= n-1，从而知命题成立。 ，从而知命题成立。
9
4. 定理 树中一定有叶子结点。 树中一定有叶子结点。
证明:若无叶子结点存在, 证明:若无叶子结点存在, 则每个结点 的度数不小2,则从任一结点出发， 的度数不小 ,则从任一结点出发，可以一 直往前行走。 直往前行走。 因为结点个数是有限的， 因为结点个数是有限的，故总会遇到 一个已到过的结点，这样就得到一个回路， 一个已到过的结点，这样就得到一个回路， 与树的定义矛盾。 与树的定义矛盾。 若图G的一个支撑子图 的一个支撑子图T是一棵 定义 若图 的一个支撑子图 是一棵 则称树T是 的一棵支撑树或生成树。 的一棵支撑树 树，则称树 是G的一棵支撑树或生成树。 • 图G有支撑树的充要条件是 是连通的。 有支撑树的充要条件是G是连通的 有支撑树的充要条件是 是连通的。
定理4 定理 若G为有向连通图 Bk为G的一个基 为有向连通图, 的一个基 本关联矩阵, 本关联矩阵 则 秩(Bk) = n-1 . 的各行全部加到第k行 证：将关联矩阵B的各行全部加到第 行， 将关联矩阵 的各行全部加到第 则第k 行为零向量。记新得到的矩阵为B’, 则第 行为零向量。记新得到的矩阵为 则 秩(Bk) = 秩(B’) = 秩(B) = n-1 .
15
要证k 要证 1 = k2 = … = kn-1 =0。 。 因为树中总存在树叶， 的一个树叶为v 因为树中总存在树叶，设T 的一个树叶为 i ， 中第i 则B中第 行的非零元素仅一个，故由 式知 中第 行的非零元素仅一个，故由(*)式知 ki= 0。 。 T中删去树叶 i 及相关的一边后得一新树 中删去树叶v 中删去树叶 及相关的一边后得一新树T’, 又有树叶v 又有k 而T’又有树叶 j ，又有 j= 0 ；…; 如此继续下 又有树叶 去， 最后可得 k1 = k2 = … = kn-1 =0， ， 因此a 线性无关。 因此 1, a2, …, an-1线性无关。 于是 秩(B) >= n-1，从而知命题成立。 ，从而知命题成立。
9
4. 定理 树中一定有叶子结点。 树中一定有叶子结点。
证明:若无叶子结点存在, 证明:若无叶子结点存在, 则每个结点 的度数不小2,则从任一结点出发， 的度数不小 ,则从任一结点出发，可以一 直往前行走。 直往前行走。 因为结点个数是有限的， 因为结点个数是有限的，故总会遇到 一个已到过的结点，这样就得到一个回路， 一个已到过的结点，这样就得到一个回路， 与树的定义矛盾。 与树的定义矛盾。 若图G的一个支撑子图 的一个支撑子图T是一棵 定义 若图 的一个支撑子图 是一棵 则称树T是 的一棵支撑树或生成树。 的一棵支撑树 树，则称树 是G的一棵支撑树或生成树。 • 图G有支撑树的充要条件是 是连通的。 有支撑树的充要条件是G是连通的 有支撑树的充要条件是 是连通的。
图论 第二章 树
u
v
G2
7/39
G1
对于有n个点的图G，由（3）的假设知删去G中某边可得 两个具有同样性质的子图G1与G2。设Gi 的点数与边数分别为 ni 与mi（i =1,2）。显然n1< n，n2 < n。由归纳假设有 n1= m1+1，n2= m2+1
相加得
n1+n2= m1+ m2+2 同时有 n1+n2= n， m1+ m2= m-1 代入（*）式得：n = m+1。 （*）
若不然，则G+uv存在另一个圈C’，且C’与C都是图G添加边 uv后产生的，即这两个不同圈都含有uv边。因而在原图中有
两条不同的连接u 与 v 的路，矛盾。
u C’
v G+uv
10/39
（6）G 无圈，添加任一条边可得唯一的圈。
（1）G 是树
需证明G连通。 假设不连通，则存在两个 顶点u 与 v 之间不存在通路，因此增 加uv边不会在G+uv产生圈，矛盾！
凯莱生成树递推计数公式是他在1889年建立的。
24/39
(G )
(G) (G e) (G e)
证明 由于G的每一棵不包含e 的生成树也是 G-e 的生成 树。由此推知 ，τ(G-e) 就是G 的不包含 e 的生成树的棵 数。 类似, τ(G●e) 就是G 的包含 e 的生成树的棵数。从 而知结论成立。
(k 2)nk
14/39
§2.2树的中心和形心
定义1 设 G = (V, E) 是一连通图， v∈V，令 e(v) = max {d(u,v) | u∈V } 则称 e(v)为顶点 v 的离心率；又令 r(G) = min {e(v) | v∈V } 称 r(G) 为图 G 的半径。 比较图的直径与离心率的定义可知，图G 的直径是 G 的最大离心率；e(v) = r(G) 的点 v ，称为 G 的一个 中心点， G 中全体中心点的集合称为G 的中心。
图论 第二章 树(tree)
定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是研究图及其性质的数学分支。
在图论中，树是一种特殊的无环连通图，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍图论中树以及树的性质的相关内容。
一、树的定义与基本性质树是一个连通且无环的无向图。
具体定义如下：1. 一个只有一个顶点的图是一个树。
2. 一个连通的图，如果删除任意一条边，则图不再连通，那么该图就是一个树。
树具有以下基本性质：1. 一棵树有且只有一个连通分量。
2. 在一棵树中，任意两个顶点之间存在唯一路径。
3. 一棵树的边数比顶点数少1。
树的性质使得其在各个领域有着广泛的应用。
下面将介绍树的一些重要性质。
二、树的性质1. 最小生成树最小生成树是指在一个带权图中，找到一个树，使得该树的边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
最小生成树在网络设计、电力传输等领域有着重要的应用。
2. 无向树与有向树的转化无向树可以通过给每条边赋予方向而转化为有向树，同样，有向树也可以通过移除边的方向而转化为无向树。
3. 树的直径树的直径是指树中任意两个顶点之间的最长路径。
求树的直径的算法可以通过两次BFS或DFS来实现。
树的直径问题在网络拓扑、动态规划等领域有重要应用。
4. 中心与半径树的中心定义为树中顶点到其他所有顶点的距离之和最小的顶点。
树的半径定义为树中顶点到离其最远的顶点的距离。
中心和半径是树中的重要概念，它们在设计网络、发现故障等方面有着重要应用。
5. 树的遍历树的遍历是指按照一定规则来访问树的所有顶点。
常用的树的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
树的遍历在路径搜索、关系分析等方面有广泛应用。
6. 散射树散射树是一种特殊的树结构，它是由无向图中一棵以散射点为根的最小生成树与散射关键路径组成。
散射树在光纤传输等领域有着广泛的应用。
以上是图论中树的一些性质的简要介绍，树作为图论中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
从最小生成树到树的遍历，树的性质在各个领域都有着广泛的应用。
图论中的树与森林
图论中的树与森林
在图论中，树和森林是两个重要的概念，它们是有机连通且无圈的图。
接下来将分别介绍树和森林的定义与性质。
1. 树
树是一种无圈的连通图，且任意两个顶点之间只有一条简单路径。
换句话说，树是一个极小连通图。
树有以下性质：
- 任意一棵树有n个顶点和n-1条边。
- 任意一棵树的任意两个顶点之间有唯一路径。
- 任意一棵树都是连通的，去掉任意一条边就不再连通。
- 任意一棵树没有回路。
- 任意一棵树中加入一条边都会形成回路。
- 一棵含有n个顶点的图是树当且仅当它有n-1条边且连通。
树是一种重要的数据结构，常用于解决树/图相关的问题，比如最小生成树、拓扑排序等算法。
2. 森林
森林是由若干棵不相交的树构成的连通图。
换句话说，森林是多个树的集合。
森林有以下性质：
- 森林中每个连通分支都是一棵树。
- 森林中各棵树之间没有边相连。
在实际问题中，森林通常用于表示一组有关系但不完全联通的数据
集合，比如多个家族的家谱关系等。
在计算机科学领域，树和森林被广泛运用于算法设计和数据结构中。
它们是图论中的重要概念，深入了解树和森林的性质有助于理解和解
决相关问题。
图论中的树与森林是一门深奥的数学学科，通过不断学
习和实践，我们可以更好地运用它们来解决实际问题。
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是数学中的一个分支，研究各种图形的结构和性质。
其中，树是图论中非常重要的一个概念。
本文将介绍树的定义和性质，并探讨它在图论中的应用。
一、树的定义在图论中，树是一种特殊的无向图，它是一个连通的无环图。
这意味着树中的任意两个顶点之间都存在唯一的路径，并且不存在回路。
在树中，有一个特殊的顶点被称为“根”，其他顶点都与根有一条直接的路径相连。
根据根与其他顶点之间的距离可以将树分为不同的层次。
二、树的性质1. 顶点数与边数关系在一个树中，边的数量等于顶点数减1。
这可以通过归纳证明来证明。
2. 树的层次关系在树中，从根开始，每一层的顶点都与上一层的顶点相连。
树的层次关系可以用来刻画树中的信息流动或者依赖关系。
3. 叶子节点在树中，没有子节点的顶点被称为叶子节点。
树的叶子节点是最末端的节点，它们没有子节点与之相连。
4. 子树在一个树中，任意一个顶点都可以看作是一个树的根。
以某个顶点为根的子树包含了该顶点以及与之直接相连的所有顶点。
5. 树的深度树的深度是指树中从根到最深的叶子节点的层数。
树的深度也可以看作是树的高度，表示树的层数。
三、图论中树的应用图论中的树在很多问题中起到了重要的作用，下面列举几个常见的应用。
1. 最小生成树最小生成树是指在一个连通的带权无向图中选择一棵边的子集，使得这棵子树包含了图中的所有顶点，并且权重之和最小。
最小生成树常被用于网络设计、电路布局等问题中。
2. 网络路由在一个网络中，通过树的结构可以确定数据的传输路径，有效地避免了数据的冗余和混乱。
树结构的拓扑设计对于确定最短路径、避免环路等问题非常有帮助。
3. 数据压缩树结构可以用于数据的压缩和解压缩。
通过构建哈夫曼树，可以实现对数据的高效压缩，去除冗余信息，提高存储和传输效率。
4. 优先级队列优先级队列常通过堆这种数据结构来实现，而堆可以看作是一种特殊的树。
通过构建堆结构，可以高效地实现插入和删除操作，常被用于任务调度、最短路径算法等场景。
图论课件第二章_树
例如确定社区医院的修建位置就可以建模成求图的中心问题2树的形心概念与性质设u是树t的任意一个顶点树t在顶点u的分支是指包含u作为一个叶点的极大子树其分支数为顶点u的度数
图论及其应用
应用数学学院
1
第二章 树
本章主要内容
一、树的概念与性质
二、生成树
三、最小生成树
2
本次课主要内容
(一)、树的概念与应用 (二)、树的性质 (三)、树的中心与形心
16
2 m ( G ) d ( v ) k 1 kn 2 ( k ) 2 n 1 2 n 2
v V ( G )
所以，有：m (G)>n-1,与G是树矛盾！ 例10 设G是森林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条 边不重合的路P1, P2 ,…, Pk,使得：
v2 e2 e5 v1 v4 e4 e3 e6 v3
e1
7
该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或 称为赋权图中的最小连接问题。 例4 化学中的分子结构与树 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h
h h h
h
h
h
8
例5 电网络中独立回路与图的生成树 早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学 家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就 可以得到一独立回路。 例6 通信网络中的组播树 在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向 目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。
图论及其应用
应用数学学院
1
第二章 树
本章主要内容
一、树的概念与性质
二、生成树
三、最小生成树
2
本次课主要内容
(一)、树的概念与应用 (二)、树的性质 (三)、树的中心与形心
16
2 m ( G ) d ( v ) k 1 kn 2 ( k ) 2 n 1 2 n 2
v V ( G )
所以，有：m (G)>n-1,与G是树矛盾！ 例10 设G是森林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条 边不重合的路P1, P2 ,…, Pk,使得：
v2 e2 e5 v1 v4 e4 e3 e6 v3
e1
7
该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或 称为赋权图中的最小连接问题。 例4 化学中的分子结构与树 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为： h h h h h h h h h h h h h h
h h h
h
h
h
8
例5 电网络中独立回路与图的生成树 早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学 家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就 可以得到一独立回路。 例6 通信网络中的组播树 在单播模型中，数据包通过网络沿着单一路径从源主机向 目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。
第五章图论树
条边，要使G成为树，G中只应留下5条边，故应删去
10条边，选C。
4。最小生成树 在带权图G中所生成的总权数最小的生成树称为
最小生成树。 5。最小生成树的求法
选取权数最大的边所在的回路，去掉其中权数 最大的边，如此做下去，直到求出生成树为止。这 样求出的生成树一定是最小生成树。
还有一种方法称为克鲁斯特尔算法。先去掉所有 的边，然后从权数最小的边的开始，从小到大逐步选 取，如果所选取的边和已选取的边构成了回路，则不 选取这条边重新选取，直到连接完所有的结点。这样 求出的树就是最小生成树。
3。任何非平凡树中至少有2片树叶。
二、生成树
1。生成树 若图G的生成子图是一棵树，则称此树是G的生
成树。
2。树的补 图G中不属于生成树T的边的集合称为树T的补。
3。生成树的求法 一般可用破圈法做，即把图G中的回路去掉一
条边，使它不再是回路。如此做下去，直到恰好把
所有的回路都破坏掉，就得到了生成树。
用破圈法一共要去掉
条边。
e 1v
[例题]
设G=<V,E>是有p个结点，s条边的连通图，则从G
中删去
条边，才能确定G的一棵生成树。
解：设要删去k条边，s k v 1, k s 1 v
[例题]
设G是有6个结点的完全图，从G中删去 C 条
边则能得到树。
A) 6
B) 9
C) 10
D) 15
解：∵G是有6个结点的完全图，∴G中共有6×5/2=15
a
1e 2
d
T=<{a,b,c,d,e},{(c,b),(b,e),(e,a),(e,d)}>。 3 b
c
1
[例题]
图论
结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0
结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F
树的度：3
B
叶子：K，L，F，G，M，I，J
结点I的双亲：D
A
结点L的双亲：E
C
D
结点B，C，D为兄弟 结点K，L为兄弟
E
KL
结点A的层次：1 结点M的层次：4
F GH M
IJ
树的深度：4
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
树的 基本术语 树结点： 包含一个数据元素及若干指向子树的分支； 孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子； 双亲结点：B结点是A结点的孩子，则A结点是B结点的双亲； 兄弟结点：同一双亲的孩子结点； 堂兄结点：同一层上结点； 结点层次：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推； 树的高（深）度：树中最大的结点层 结点的度：结点子树的个数 树的度： 树中最大的结点度。 叶子结点：也叫终端结点，是度为0的结点； 分枝结点：度不为0的结点（非终端结点）； 森林：互不相交的树集合； 有序树：子树有序的树，如：家族树； 无序树：不考虑子树的顺序；
树是递归结构，在树的定义中又用到了树的概念
例：下面的图是一棵树
B
E
F
A
C
D
G HIJ
T={A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}
A是根，其余结点可以划分为3个互不相交的集合： T1={B, E, F} , T2={C, G} , T3={D, H, I, J}
这些集合中的每一集合都本身又是一棵树，它们是A的子树。 例如 对于 T1，B是根，其余结点可以划分为2个互不相交的集合： T11={E}，T12={F}，T11,T12 是B的子树。
图论 第6章 树和割集
推论1 任一非平凡树中至少有两个度为1的顶点。 推论2 任一非平凡树都是偶图。 推论3 任一非平凡树都是2-色的。
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图，则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
1.4 树的中心
定义3 设G=(V，E)是连通图，v∈V，数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心，G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点，或含有两个邻接的顶点。
（2）∑deg v=2q
（3）根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V,F)是树，则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V，E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V，F)是一个森林，则称T是G的生成森林。
1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
3极小连通图定义2若连通图g中去掉任一条边后得到一个不连通图则称g为极小连通图
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林向树，简称树， 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林，简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则下列命题等价： (1) G是树； (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结； (3) G连通且 p=q+1； (4) G无圈且 p=q+1； (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈； (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。
1.3 极小连通图
定义2 若连通图G中去掉任一条边后得到一个不连通图，则称G 为极小连通图。 推论4 图G是树当且仅当G是极小连通图。
1.4 树的中心
定义3 设G=(V，E)是连通图，v∈V，数 e(v)=max{d(v,u)} 称为v在G中的偏心率。 数 r(G)=min{e(v)} 称为G的半径。 满足r(G)=e(v)的顶点v称为G的中心点。G的所有中心点组成 的集合称为G的中心，G的中心记为C(G)。 定理2 每棵树的中心或含有一个顶点，或含有两个邻接的顶点。
（2）∑deg v=2q
（3）根据具体的题设条件进行特殊的不等式的放缩[解题关键] 例3 设G是一棵树且Δ(G)≥k，证明：G中至少有k个1度顶点。
1.7 生成树（包含所有顶点的树）
定义1 设G=(V,E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V,F)是树，则称T是G的生成树。 定义2 设G=(V，E)是一个图，若G的一个生成子图 T=(V，F)是一个森林，则称T是G的生成森林。
1.8 生成树存在问题
定理1 图G有生成树的充分必要条件是G为一个连通图。
3极小连通图定义2若连通图g中去掉任一条边后得到一个不连通图则称g为极小连通图
第六章
树和割集
内容
树及其性质、生成树、割集
第一节
1.1 树和森林向树，简称树， 记为T。 定义2 无圈的无向图称为无向森林，简称森林。
1.2 树的特征性质
定理1 设G=(V,E)是一个(p,q)图，则下列命题等价： (1) G是树； (2) G的任两个不同顶点间有唯一的一条路联结； (3) G连通且 p=q+1； (4) G无圈且 p=q+1； (5) G无圈且任加一条边得到有唯一圈； (6) G连通且任去掉一条边得不连通图。
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是数学中的一个重要分支，研究的对象是图，即由若干个顶点和边连接的结构。
在图论中，树是一种特殊的图，它具有许多独特的性质和特点。
一、树的定义及性质在图论中，树被定义为一个无环连通图，也就是说，树是一个连通的无向图，并且不存在环。
树有许多重要的性质，包括：1. 任意两个顶点之间有唯一的简单路径。
2. 一个有n个顶点的树有n-1条边。
3. 一个图是树的充分必要条件是该图连通且有n-1条边。
二、树的类型在图论中，树可以分为多种类型，常见的包括：1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。
2. 森林：由若干棵不相交的树组成的集合。
3. 二叉查找树：一种特殊的二叉树，具有快速查找和插入性能。
4. 最小生成树：一个无向图的最小生成树是一棵包含图中所有顶点的树，且边的权值之和最小。
三、树的应用树在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用，其中最常见的包括：1. 数据结构：树是计算机中常用的数据结构之一，例如二叉搜索树、堆、红黑树等。
2. 网络拓扑：树结构常被用于描述网络拓扑结构，如局域网、广域网等。
3. 编程算法：许多算法问题可以通过树的结构来描述和解决，例如深度优先搜索、广度优先搜索等。
四、树的特殊性质除了上述基本性质外，树还有许多特殊性质，如：1. 叶子节点：树的叶子节点是指度为1的节点，即没有子节点的节点。
2. 高度：树的高度是指从根节点到最深叶子节点的最长简单路径的长度。
3. 平衡树：一种特殊的树结构，具有良好的平衡性能和查找效率。
总之，树是图论中的重要概念，具有许多独特的性质和应用。
通过深入研究树的结构和特点，可以更好地理解和应用图论的知识，为解决实际问题提供有力的工具和方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义
设G是连通图，T, T’是G 的两个生成树， 如E(T) 与E(T’)不同， 我们说这是两个不同的生成树。 记G的生成树的个数为
2.3 求生成树的方法
广度优先搜索
深度优先搜索
2.4 最小生成树
定义2.5 设T是无向连通带权图G＝<V,E,W>的一棵生成树， T的各边权之和称为T的权，记作W(T)。
例： 设T1和T2都是树T的子树， T3是T1与T2的公共边端点形成 的顶点子集的导出子图， 则T3也是树。
说明：由于T是树，T3是T的子图， T3一定不含圈，只需证明T3 连通。
证明： 如T3是空图， 得证。否则，
T3一定不含圈， 我们只需要证明T3连通。 在V(T3)中任取两个 顶点 u, v， 则u, v属于T1也属于T2.又由于T1和T2都是树， 则 在T1和T2分别存在唯一的路P1(u, v)和P2(u, v). 又因为 P1(u,v)和P2(u,v)是T上的路， 而T又是树， 所有 P1(u,v)=P2(u,v), 即P1(u,v)上的边也在T2上。 从而P1(u,v)是 T3上子图， 即， u,v在T3上连通。由于u, v的任意性知T3连通 。证毕。
V1,v2,..vt为叶，(1)若vi，vj为兄弟，则li=lj.
(2)设T+是带权w1+w2, w3, …, wt Huffman树, 将w1+w2 相应的叶子生出两个新叶分别带权w1，w2 则得到带 权w1，w2, w3, …, wt Huffman树
求最优树的算法去掉， 在剩下的 图中再找圈， 再破。。。直到不存在圈。
“生长法“
设S记录子树
初始化， S包含取定的任意一个点
从S到V-S中的边中选取权最小的一条边另外一个顶 点加入到S中
直到所有的点都被包含在S中
例2.3
例2.3 求下图所示两个图中的最小生成树。
W(T1)＝6
W(T2)＝12
例题
例如 求所示图的一棵最小生成树。
解答
最小生成树 W(T)=38
小节结束
2.6 根树及其应用
设D是有向图，若D的基图是无向树，则称D为有向树。 在所有的有向树中，根树最重要，所以我们只讨论根树。
二叉树的应用
根树的定义
定义2.6 T是n(n≥2)阶有向树， (1) T为根树— T中有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1
根树的分类
(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树。
(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序
r叉树——每个分支点至多有r个儿子 r叉有序树——r叉树是有序的 r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子 r叉正则有序树——r叉正则树是有序的
r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈，
显然圈是唯一的。
(6)(1)
如果G中没有圈，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在 所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
只需证明G是连通的。 u,v∈V，且u≠v，则新边(u,v)∪G产生唯一的圈C， 显然有C -(u,v)为G中u到v的通路，故u～v， 由u,v的任意性可知，G是连通的。
(3)(4)
如果G中无回路且m＝n-1，则G是连通的且m＝n -1。
只需证明G是连通的。（采用反证法）
假设G是不连通的，由s(s≥2)个连通分支G1,G2,…,Gs组成 ，并且Gi中均无回路，因而Gi全为树。
由(1)(2)(3)可知，mi＝ni-1。于是，
m mi (ni 1) ni s n s
分支点——度数大于或等于2的顶点。 举例 如图为九个顶点的树。
无向树的等价定义
定理 2.1 设 G＝<V,E> 是 n 阶 m 条边的简单无向图，则下面各命题 是等价的：
（1）G是树。
（2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。 （3）G中无回路且m＝n1。 （4）G是连通的且m＝n1。 （5）G是连通的且G中任何边均为桥。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若G中无回路，G为自己的生成树。
若G中含圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 其次证明 m＝n-1。（归纳法） n＝1时，G为平凡图，结论显然成立。 设n≤k(k≥1)时结论成立， 当n=k+1时，设e＝(u,v)为G中的一条边， 由于G中无回路，所以G-e为两个连通分支G1、G2。 设ni、mi分别为Gi中的顶点数和边数，则ni≤k ，i＝1,2， 由归纳假设可知mi＝ni-1，于是 m＝m1+m2+1＝n1-1+n2-1+1＝n1+n2-1＝n-1。
举例
下图所示的三棵2叉树T1,T2,T3都是带权为2、2、3、3、5的2叉树 。
W(T1)=2×2+2×2+3×3+5×3+3×2=38 W(T2)=3×4+5×4+3×3+2×2+2×1=47 W(T3)=3×3+3×3+5×2+2×2+2×2=36
定理2.5
设T是Huffman树， w1≤w2 ≤ … ≤ wt
例2.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
2.2 生成树
定义2.2 设G为无向图， （1）T为G的树—T是G的子图并且是树。 （2）T为G的生成树—T是G的生成子图并且是树。 （3）e为T的树枝—设T是G的生成树，e∈E(G)，若e∈E(T)。 （4）e为T的弦—设T是G的生成树，e∈E(G)，若eE(T)。 （5）生成树T的余树—导出子图G[E(G)-E(T)] 。记作 T
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。
i 1 i 1 i 1
s
s
s
由于s≥2，与m＝n-1矛盾。
(4)(5)
如果G是连通的且m＝n1，则G是连通的且G中任何边均为桥。
只需证明G中每条边均为桥。 e∈E，均有|E(G-e)|＝n-1-1＝n-2，
由（若G是n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1）可知，G-e已不是 连通图，
所以，e为桥。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。 因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。 又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知， u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
给定实数w1, w2, …, wt，且w1≤w2 ≤ … ≤ wt。 ①连接权为w1, w2的两片树叶，得一个分支点，其权为w1+w2。 ② 在w1+w2, w3, …, wt中选出两个最小的权，连接它们对应的顶 点（不一定是树叶），得新分支点及所带的权。
由定理2.1可知，Ti的边数mi＝5，
由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。 (1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2 (4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
（6）G中没有圈，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在 所得图中得到唯一的一个含新边的圈。
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。 存在性。
由G的连通性及定理14.5的推论（在n阶图G中，若从顶点vi到 vj(vivj)存在通路，则vi到vj 一定存在长度小于等于n-1的初级 通路(路径)）可知， u,v∈V，u与v之间存在路径。
G的所有生成树中权最小的生成树称为G的最小生成树。
求最小生成树的算法（避圈法(Kruskal)） (1)设n阶无向连通带权图G＝<V,E,W>有m条边。不妨设G中没有 环（否则，可以将所有的环先删去），将m条边按权从小到大 排序：e1,e2,…,em。 (2)取e1在T中。 (3) 依次检查 e2,…,em ，若 ej ( j≥2) 与已在 T 中的边不构成回路， 取ej也在T中，否则弃去ej。 (4)算法停止时得到的T为G的最小生成树为止。
充分性的另外一种证法：若G是连通图，T是G的边数 最少的连通生成子图，则任取e∈E(T), T-e已不连 通。 由定理可得， T是树。从而知连通图G有生成 树。
例题：连通图G的无圈子图T’是G的某个生成树的子图
注： 等价于要找到一个生成树包含这个无圈子图的 所有边。
证明：不妨设G不是树（如是树，结论已经成立）， 则G中含圈C. 则在C上有一条边e它不在T’上。 则 G1=G-e仍然连通，且T’是G1的无圈子图。G1上的圈数 比G的圈数少。 用G1代替G， 可使G1是圈数减少而保 持连通，但仍以T’为子图。由于G的圈数有限， 最后 得到一个图Gk, Gk无圈连通仍包含无圈子图T’，而Gk 是图G的生成树。于是T’是G是生成树Gk的子图。