【5-图论】4.树【学生版】

离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。

图论中的树与树的性质图论是数学中的一个分支，研究各种图形的结构和性质。

其中，树是图论中非常重要的一个概念。

本文将介绍树的定义和性质，并探讨它在图论中的应用。

一、树的定义在图论中，树是一种特殊的无向图，它是一个连通的无环图。

这意味着树中的任意两个顶点之间都存在唯一的路径，并且不存在回路。

在树中，有一个特殊的顶点被称为“根”，其他顶点都与根有一条直接的路径相连。

根据根与其他顶点之间的距离可以将树分为不同的层次。

二、树的性质1. 顶点数与边数关系在一个树中，边的数量等于顶点数减1。

这可以通过归纳证明来证明。

2. 树的层次关系在树中，从根开始，每一层的顶点都与上一层的顶点相连。

树的层次关系可以用来刻画树中的信息流动或者依赖关系。

3. 叶子节点在树中，没有子节点的顶点被称为叶子节点。

树的叶子节点是最末端的节点，它们没有子节点与之相连。

4. 子树在一个树中，任意一个顶点都可以看作是一个树的根。

以某个顶点为根的子树包含了该顶点以及与之直接相连的所有顶点。

5. 树的深度树的深度是指树中从根到最深的叶子节点的层数。

树的深度也可以看作是树的高度，表示树的层数。

三、图论中树的应用图论中的树在很多问题中起到了重要的作用，下面列举几个常见的应用。

1. 最小生成树最小生成树是指在一个连通的带权无向图中选择一棵边的子集，使得这棵子树包含了图中的所有顶点，并且权重之和最小。

最小生成树常被用于网络设计、电路布局等问题中。

2. 网络路由在一个网络中，通过树的结构可以确定数据的传输路径，有效地避免了数据的冗余和混乱。

树结构的拓扑设计对于确定最短路径、避免环路等问题非常有帮助。

3. 数据压缩树结构可以用于数据的压缩和解压缩。

通过构建哈夫曼树，可以实现对数据的高效压缩，去除冗余信息，提高存储和传输效率。

4. 优先级队列优先级队列常通过堆这种数据结构来实现，而堆可以看作是一种特殊的树。

通过构建堆结构，可以高效地实现插入和删除操作，常被用于任务调度、最短路径算法等场景。

图 论 部 分 自 测 题一、内容提要基本概念：图，无向图，有向图，关联，邻接，零图，平凡图，环（自回路），结点度数（度数、入度、出度），简单图，多重图，正则图，完全图，子图（子图、真子图、生成子图），图的同构.路，回路，通路（初级通路，简单通路），通路的长度，闭通路（圈也即初级回路，简单回路），结点之间的连通性与可达性，无向图的连通性，有向图的连通性（弱连通、单向连通、强连通）。

邻接矩阵，可达矩阵，关联矩阵.树，森林，生成树，生成树的权，最小生成树，破圈法，避圈法.有向树，根树，有序树，根树高度，带权树，最优二叉树，求最优二叉树的方法，前辍码，求前辍码的方法.主要定理：Th 1 每个图G=<υ，E>中，结点总度数等于边数的两倍，∑∈ννdeg(υ)=2|E|.Th 2 在任何图中，度数为奇数的结点个数为偶数.定理1，2常称为握手定理及推论.Th 3 在有向图中，所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和， Th 4 n 个结点的无向完全图K n 的边数为).1(21-n n Th 5 在有n 个结点的简单图中，如果从结点υi 到结点υj 存在一条路，则从结点υi 到结点υj 必存在一条长度小于等于n-1的路.推论 在有n 个结点的图中，若从结点υi 到结点υj 存在一条中路，则必存在一条从υi 到υj 而长度小于n 的基本通路.Th 7 在有n 个结点的简单图中，若υi 到自身存在回路，则从υi 到自身存在长度小于等于n 的回路.推论 在有n 个结点的图中，若υi 到自身存在回路，则从υi 到自身存在长度小于等于n 的闭通路(基本回路).Th 10 设A(G)是图G 的邻接矩阵，则(A(G))L中的第i 行j 列元素)(L ij a 等于G 中联结υi 与υj 的长度为L 的路的数目.Th 20 (n,m)无向图G 是树，当且仅当G 连通且m=n-1. Th 21 (n,m)无向图G 是树，当且仅当G 中无回路且m=n-1.Th 22 连通无向图G 是树，当且仅当G 中任何一对结点间恰有一条基本通路.Th 23 无向图G 为树，当且仅当G 中无回路且对G 中任两点υi ,υj 间加一条边(υi , υj )则形成唯一的初级回路.Th 24 设T 为结点数为n(n ≥2)的无向树，则T 中至少有两片叶子.Th 30 任一棵二叉树的树叶可对应一个前辍码；任一个前辍码都对应一棵二叉树.二 自测题Ⅰ1、 单项选择题（35题）1、 仅由孤立点组成的图称为( ) (1)零图； (2)平凡图； (3)完全图； (4)多重图.2、 仅由一个孤立点组成的图称为( ) (1)零图； (2)平凡图； (3)多重图； (4)子图.3、 在任何图G=<υ,E>中，结点总度数与边数的关系为( )(1)V v v ∈)deg(=2|E|; (2)Vv v ∈)deg(=|E|; (3)∑∈=Vv E v |;|2)deg( (4)∑∈=Vv E v .||)deg(4、 在任何图G 中必有偶数个( ) (1)度数为偶数度的结点；(2)度数为奇数度的结点； (3)入度为奇数的结点； (4)出度为奇数的结点.5、 设G 为有n 个结点的无向完全图，则G 的边数为( ) (1)n(n-1); (2)n(n+1); (3)n(n-1)/2; (4)(n-1)/26、 设G=<υ，E>为无向图，|υ|=7，|E|=23，则G 一定是( ) (1)完全图； (2)零图； (3)简单图； (4)多重图.7、 下面哪一个图是简单图( )(1)G 1=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛<υ1,υ2>,<υ2,υ1>,<υ3,υ4>,<υ2,υ3>｝>; (2)G 2=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛<υ1,υ2>,<υ2,υ2>,<υ3,υ2>,<υ3,υ1>｝>; (3)G 3=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛(υ1,υ2),(υ3,υ1),(υ3,υ4),(υ2,υ1)｝>; (4)G 4=<｛υ1,υ2,υ3,υ4｝,｛(υ1,υ2),(υ1,υ3),(υ3,υ3)｝>.8、 图G 和G ’的结点和边分别存在一一对应关系是G ≅G’(同构)的( ) (1)充分条件； (2)必要条件； (3)充分必要条件；(4)既不充分也不必要条件.9、 含5个结点，3条边的简单图有( ) （1）2个； (2)3个； (3)4个； (4)5个.10、 设G=<υ,E>为简单图，|υ|=n,∆(G)为G 的最大度，则有( ) (1) ∆(G)<n; (2)∆(G)≤n; (3)∆(G)>n; (4)∆(G)≥n.11、 设图G=<υ,E>为任意图，则有( ) (1)E ⊆υ×υ; (2)E ⊄υ×υ; (3)υ×υ⊂E; (4)υ×υ=E.12、 给定下列序列，哪一个可构成无向简单图的结点度数序列( ) (1)(1,1,2,2,3); (2)(1,1,2,2,2); (3)(0,1,3,3,3); (4)(1,3,4,4,5).13、 设图C 为(n,m)图，且G 的每个结点的度数不是k 就是k+1，若G 中有N k 个k 度结点，则N k 为( )(1)n/2; (2)n(n+1);(3)n·k; (4)n(k+1)-2m.14、完全图K4的所有非同构的生成子图中，有几个是3条边的( )(1)1; (2)3;(3)4; (4)2.15、设G=<υ,E>为无向图，u,υ∈υ，若u,υ连通，则( )(1)d(u,υ)>0; (2)d(u,υ)=0;(3)d(u,υ)<0; (4)d(u,υ)≥0.16、任何无向图G中结点的连通关系是( )(1)偏序关系；(2)等价关系；(3)既是偏序关系又是等价关系；(4)既不是偏序关系又不是等价关系.17、有向图G=<υ,E>，其中υ=｛a,b,c,d,e,f｝,E=｛<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>｝是( )(1)强连通图； (2)单侧连通图；(3)弱连通图； (4)不连通图.18、设υ=｛a,b,c,d｝，则υ与下面哪个边集能构成强连通图( )(1)E1=｛<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,d>,<d,c>｝;(2)E2=｛<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>｝;(3)E3=｛<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>｝;(4)E4=｛<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>｝.19、设|υ|=n(n-1),G=<υ,E>是强连通图，当且仅当( )(1)G中至少有一条路；(2)G中至少有一条回路；(3)G中有通过每个结点至少一次的路；(4)G中有通过每个结点至少一次的回路.20、在有n个结点的连通图G中，其边数( )(1)最多有n-1条；(2)至少有n-1条；(3)最多有n条；(4)至少有n条.21、设A(G)是有向图E=<υ,E>的邻接矩阵，其中第i行中值为1的元素数目为( )(1)给点υi的入度； (2)给点υi的出度；(3)给点υi的度数； (4)给点υj的度数.22、 M(G)=(m ij)nxm是无向图G=<υ,E>的关联矩阵，υi∈υ是G中的孤立点，则( )(1)υi对应的一行元素全为0； (2)υi对应的一行元素全为1；(3)υi对应的一列元素全为0； (4)υi对应的一列元素全为1.23、 M(G)=(m ij)nxm是有向图G=<υ,E>的关联矩阵，若m ij=1，则在图G中( )(1)υi是e j的起点； (2)υi是e i的起点；(3)υi是e i的终点； (4)υi是e i的终点.24、若G是有n个结点的连通图，则其完全关联矩阵的秩为( )(1)n; (2)n-1;(3)n+1; (4)n2.25、 G=<υ,E>是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列哪种关系( )(1)点与点； (2)点与边；(3)边与点； (4)边与边.26、邻接矩阵具有对称性的图一定是( )(1)有向图; (2)无向图;(3)混合图; (4)简单图.27、下面哪一种图不一定是树( )(1)无回路的连通图；(2)有n个结点n-1条边的连通图；(3)每对结点间都有通路的图；(4)连通但删去一条边则不连通的图.28、设G=<υ,E>为<n,m>连通图，则要确定G的一棵生成树必删去G中的边数为( )(1)n-m-1; (2)n-m+1;(3)m-n+1; (4)m-n-1.29、具有4个结点的非同构的无向树的数目为( )(1)2; (2)3;(3)4; (4)5.30、具有6个结点的非构的无向树的数目为( )(1)4; (2)5;(3)7; (4)8.31、一棵树有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，则其1度结点数为( )(1)5; (2)7;(3)8; (4)9.32、一个树有2个4度结点，3个3度结点，其余的结点都是叶子，则叶子数为( )(1)9; (2)8;(3)7; (4)10.33、设有33盏灯，拟用一个电源，则至少需要有五插头的接线板数为( )(1)7; (2)8;(3)9; (4)14.34、下面给出的符号串集合中，哪一个是前辍码( )(1)｛1,01,001,000｝;(2)｛1,11,101,001,0011｝;(3)｛b,c,aa,bc,aba｝;(4)｛b,c,a,aa,ac,abb｝.35、下面给出的符号串集合中，哪一个不是前辍码( )(1)｛0,10,110,1111｝;(2)｛01,001,000,1｝;(3)｛b,c,aa,ac,aba,abc｝;(4)｛0011,001,101,11,1｝.2、填空题（34题）1、设G为(n,m)图,当时，称G为零图,当时，称G为平凡图.答案：2、在一个图中，若两个结点，则称这两点为邻接点，若一个结点，则该点称为孤立点.答案：3、图G为简单无向图，若，则G为完全图.无向完全图Kn有条边.答案：4、如图G=<υ,E>和G’=<υ’,E’>，若，则G’为G的真子图，若，则G’为G的生成子图.答案：5、在任何图G=<υ,E>中，结点υ的度数为，图G的最大度∆(G)= ，图G的最小度δ(G)= .答案：6、在任何图G=<υ,E>中，结点度数的总和∑∈Vvv)deg(= ；奇度结点必有个.答案：7、设图G有6个结点，若各结点的度数分别为：1,4,4,3,5,5，则G有条边，根据 .答案：8、设无向图G=<υ,E>中，|E|=12，若G中有6个3度结点，其余结点度数均小于3，则G中至少有个结点，根据 .答案：9、设G是(n,m)简单图，υ是G中度数为k的结点，e是G中一条边，由G-υ中有个结点，条边，G-e中有条边.答案：10、在有10个结点的图中(存在不存在) 结点总度数为45的图，因为 .答案：11、给定图G，则G的补图为 .答案：12、设图G=<υ,E>与G’=<υ’,E’>,G≅G’当且仅当且 .答案：[υ和υ’，E和E’存在一一对应关系；保持关联关系.]13、三个结点可构成，个不同构的简单无向图，个简单有向图.答案：14、在无向图G中，结点间点的连通关系满足性，性和性，是关系.答案：15、 设G=<υ,E>为无向连通图，若|υ|=100，|E|=100，则从G 中能找到 条回路.答案：16、 在有向图G 中，结点间的可达关系满足性质 .答案： 17、 在G 为简单有向图，若 ，则G 为强连通图，若 ；则G 为弱连通图. 答案： 18、 G 是有向图，当且仅当G 中有一条要至少通过每个结点一次的回路，G为 图；当且仅当G 中有一条通过每个结点的路时，G 为 图.答案：19、 有向图G 的邻接矩阵A(G)中，第i 行中值为1的元素数目为结点υi的 ，第j 行中值为1的元素数目为结点υj 的 .答案：20、 A(G)为图G=<υ,E>的邻接矩阵，结点υi ∈υ的出度为 ，入度为 ，(A(G))k 中的第i 行第j 列的元素a ij (k)为 . 答案： 21、 G 为无向图，M(G)为其关联矩阵，则M(G)中每一列有 个1，每一 行中元素的和数是 ，全0元素行对应的结点为 .答案： 22、 G 为有向图，M(G)为其关联矩阵，则M(G)中每一列中的非零元素为 ，孤立点对应行的元素 .答案：23、设图G=<υ,E>,υ=｛υ1,υ2,υ3,υ4｝的邻接矩阵A(G)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001111011010 ,则υ 1的入度 ，υ4的出度 ,从υ2到υ4长度为2的路有 条. 答案：24、 一个 图称为树，树叶为 ，树的分枝点为 . 答案： 25、 若对T 是 ，则称T 为图G 的生成树，树T 中的边称为 ， 称为弦. 答案：26、 无向图G 具有生成树，当且仅当 ，若G 为(n,m)连通图，要确定 G 的一棵生成树必删去G 的 条边. 答案：27、 设G 为n 个结点的连通图，G 的生成树T 的权为 ，若T ，则称T 为最小生成树.答案：28、 一棵树有2个2度分枝点，1个3度分枝点，3个4度分枝点，则有 片叶子.答案：29、 设G=<υ,E>是无向连通图，e ∈E ，若e 在G 的任何生成树中，则e 为 G 的 ，若e 不在G 的任何生成树中，则e 为G 的 .答案：30、一个有向树T称为根树，若，其中称为树根，称为树叶.答案：31、 5个结点可以构成棵非同构的无向树，又可构成棵非同构的根树.答案：32、设T为根树，若，则称T为m叉树；若，则称T为m叉完全树；若，则称T为m叉正则树.答案：33、设T为二叉树，树叶带权分别为w1,…,w t，其通路长为L(w i)，则T的树权w(t)= ，若，则称T为最优树.答案：34、设A为一个序列集合，若，则称A为前辍码.答案：3、判断题（正确填T,错误填N）（共24题）1、仅由一个孤立点构成的图称为平凡图.（）2、仅由一个孤立点构成的图称为零图. （）3、仅由n(n≥2)个孤立点构成的图称为平凡图. （）4、任一图G=<υ,E>的最大度∆(G)必小于G的结点数. （）5、简单图G的最大度∆(G)必小于其结点数. （）6、设图G和图G’，G≅G’当且仅当G和G’的结点和边分别存在一一对应关系. （）7、在n(n≥2)个结点的简单图G中，若n个奇数，则G与其补图_G的奇度结点数一定相同. （）8、在n(n≥2)个结点的简单图G中，若n个奇数，则G与其补图_G的奇度结点数不一定相同. （）9、任何具有相同结点数和边数的图都同构. （）10、在无向图中，结点间的连通关系是等价关系. （）11、若图G是连通的，则G的补图_G必是连通图. （）12、若图G不是连通的，则G的补图_G也是不连通的. （）13、在有向图中，结点间的可达关系满足自反性和传递性. （）14、在有向图中，结点间的可达关系是等价关系. （）15、图G的邻接矩阵A(G)中第i行里值为1的元素个数是结点υ1的入度.（）16、设图G为有向图，A(G)是其邻接矩阵，则A(G)是对称的. （）17、图G的关联矩阵M(G)中每一列至少有两个非零元素. （）18、图G的可达矩阵P(G)是刻划G中结点到结点的可达关系. （）19、G的可达矩阵P(G)是刻划G中的结点到边的可达关系. （）20、设图G是有n个结点，n-1条边的无向图，则G为一棵树. （）21、任何树T都至少有两片叶子. （）22、设图G是无向连通图，G的生成子图T称为G的生成树. （）23、｛0000,0010,010,011,111,01,10｝是一个前辍码. （）24、｛000,001,01,10,11｝是一个前辍码. （）4、简答题（共15题）1｛6,6,5,4,3,2,1｝是否可以是一图的结点度数的序列？为什么？解：2设G为有6个结点的图，若各结点的度数分别为：1,2,2,3,5,5，那么图G有n条边？根据什么？解：3试画出所有5个结点，3条边的简单无何图及其对应的补图(不同构).解：4设无向图G中有12条边，已知G中有3度结点个，其余结点的度数均小于问G中至少有多少个结点？为什么？解：.5设有七人a,b,c,d,e,f,g.已知a会讲英语，b会计是汉语和英语，c会讲英语、意大利语和俄语，d会讲日语和汉语，e会讲德语和意大利语，f会讲法语、日语和俄语，g会讲法语和意大利语.试问这七人是否可任意交谈(必要时相相互翻译).解：6已知图G的邻接矩阵A如下，试画出图G.A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001010000000010100000010解：7 给出G 的邻接矩阵；(1) 求各结点的出、入度；(2) 求从结点G 出发长度为3的所有回路.解：(1)G 的邻接矩阵A(G)=(2)结点的入度和出度：a b c d d 入度 出度(3)从C 出发长度为3的回路有 条：和8 给定G 的邻接矩阵；(1) G 中长度为4的路有多少条？其中有几条为回路？ 解：(1)G 邻接矩阵 A=(2) 由A 通过矩阵运算得：A 4=9 求图G=<V,E>的关联矩阵，其中V=｛υ1，υ2，υ3，υ4，υ5｝，E=｛<υ2,υ1>,<υ2,υ3>,<υ2,υ4>,<υ2,υ5>,<υ3,υ2>,<υ3,υ1>,<υ5,υ1>,<4,υ5>｝. 解： M=10 已知图G 和G ’的关联矩阵分别为M 和M’，试给出其图形表示.M=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001101011010110101，M ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------100010001101011010110101解：11 若图G 有n 个结点，n-1条边，G 一定是一棵树吗？为什么？解：12 画出结点数n ≤5的所有树(不同构).解：13 某城市拟在六个区之间架设有线电话网，其网点间的距离如下面有权图 矩阵给出.试给出架设线路的最优方案.请画出图并计算出线路长.A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00610500070896703021003040580401092010 解：依题意设六个区a,b,c,d,e,f 用结点表示，由矩阵A 可得带权图G 如图所示.G 的最小生成树即为所求的最优方案设计图. 最优线路的长度即最小生成树之权.14 一个有向图G ，有且仅有一个结点的入度为0，其余结点的入度为1， 则G 一定是根树吗？解：15 由给定权按Huffman 算法构成如下的最优树.1 2 4 6 9 12 15 18 24 46[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。

图论中的树与树的性质图论是数学中的一个重要分支，研究的对象是图，即由若干个顶点和边连接的结构。

在图论中，树是一种特殊的图，它具有许多独特的性质和特点。

一、树的定义及性质在图论中，树被定义为一个无环连通图，也就是说，树是一个连通的无向图，并且不存在环。

树有许多重要的性质，包括：1. 任意两个顶点之间有唯一的简单路径。

2. 一个有n个顶点的树有n-1条边。

3. 一个图是树的充分必要条件是该图连通且有n-1条边。

二、树的类型在图论中，树可以分为多种类型，常见的包括：1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点的树。

2. 森林：由若干棵不相交的树组成的集合。

3. 二叉查找树：一种特殊的二叉树，具有快速查找和插入性能。

4. 最小生成树：一个无向图的最小生成树是一棵包含图中所有顶点的树，且边的权值之和最小。

三、树的应用树在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用，其中最常见的包括：1. 数据结构：树是计算机中常用的数据结构之一，例如二叉搜索树、堆、红黑树等。

2. 网络拓扑：树结构常被用于描述网络拓扑结构，如局域网、广域网等。

3. 编程算法：许多算法问题可以通过树的结构来描述和解决，例如深度优先搜索、广度优先搜索等。

四、树的特殊性质除了上述基本性质外，树还有许多特殊性质，如：1. 叶子节点：树的叶子节点是指度为1的节点，即没有子节点的节点。

2. 高度：树的高度是指从根节点到最深叶子节点的最长简单路径的长度。

3. 平衡树：一种特殊的树结构，具有良好的平衡性能和查找效率。

总之，树是图论中的重要概念，具有许多独特的性质和应用。

通过深入研究树的结构和特点，可以更好地理解和应用图论的知识，为解决实际问题提供有力的工具和方法。

图论中的树与森林图论是一门研究图的结构和性质的数学分支，而树和森林则是图论中重要的概念。

本文将对图论中的树与森林进行介绍与分析。

一、树的定义及性质树是一种特殊的图，它是连通且无环的无向图。

树可以看作具有分支结构的图，其中每个节点只有一个入度（除了根节点）和零到多个出度。

树的定义具有以下性质：1. 树中任意两个节点之间都存在唯一的路径，这个路径是唯一的。

2. 树中的边数比节点数少1，记作|E| = |V| - 1，其中|E|表示边数，|V|表示节点数。

3. 删除树中任意一条边后，将得到两个单独的树。

二、树的特殊类型在图论中，树有一些特殊的类型，包括二叉树、平衡树、最小生成树等。

1. 二叉树：二叉树是每个节点最多只有两个子节点的树。

它可以是空树，或者由一个根节点及左子树、右子树组成。

2. 平衡树：平衡树是一种特殊的二叉树，它的左子树和右子树的高度差不大于1。

3. 最小生成树：最小生成树是指在一个连通带权无向图中，选择一个权值最小的子图，使得这个子图是一个树，并且覆盖了图中的所有节点。

三、森林的定义及性质森林是由零个或多个不相交的树组成的图。

和树类似，森林也是一个连通且无环的无向图。

森林的定义具有以下性质：1. 森林中每个树的边数比节点数少1。

2. 森林的节点数等于所有树的节点数之和。

3. 森林中的任意两个节点之间可能存在多个路径。

四、树与森林在实际应用中的意义树和森林在实际应用中有着广泛的意义和应用，以下是一些例子：1. 计算机科学中，树和森林常用于构建数据结构，例如二叉搜索树、哈夫曼树等。

2. 在网络领域，树和森林可以用于路由算法、拓扑结构等。

3. 在人工智能中，决策树常用于分类和回归问题。

4. 遗传学中，基因进化树可以用于研究不同物种的进化关系。

五、总结图论中的树和森林是重要的概念，在数学和计算机科学中都有着广泛的应用。

树具有连通且无环的特点，可以看作是一种具有分支结构的图。

而森林由零个或多个不相交的树组成，是一种更加复杂的结构。