第一章振动和波动

1 kA 2 2
系统的动能 Ek随时间周期性变化
系统的势能 Ep 随时间周期性变化
系统的总机械能与时间变化无关，即简谐振动的总能量守恒
例五
一长度为L的无弹性细线，一端固定在A 点，另一端悬挂一质 量为m、体积很小的 物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处 于点O，这是振动系统的平衡位置，如 图。若将物体移离平衡位置，使细线与竖
Fm gvg
2x
d
2
g
2
1d2gxkx
2
是简谐振动
二 简谐振动的方程
方程的建立
k
m
om
k
F
o
m
k
F
o 图1-2
平衡位置 x 0
x
F 0
x
弹簧伸长 x 0 F 0
x0
x 弹簧压缩 F 0
公式的推导
F kx
F
ma
m
d2x dt 2
mdd2t2x
kx
dd2t2x
kx m
0
• 简谐振动的基本特征 • 简谐振动的方程 • 简谐振动的矢量图解法 • 简谐振动的能量
一 简谐振动的基本特征
2:24
运动的形式: xAcots(0)
受力的形式:弹性力（回复力) F kx
(注：k是劲度系数或倔强系数 )
例一
直径d的U形管，装有质量为m的液体,若液 体一个小的初始位移，液体在管中作微振 动，这种振动是否是简谐振动 .
2k k
m
m
2
1 2
k m
固有角频率 固有频率
1 T2 m
T
k
固有周期
0 的物理意义：
我们称 t0为位相。则 0 表示初始时刻的位相-----初
位相， 0 的大小由弹簧振子的初始状态决定。单位rad. 0 取
值范围 0 0
求 0 方法：
①已知 x0,v0,
x0 Acos0 v0 Asin0
矢量在x轴投影
t=t
A
t=0 A
t
0
o
x
x0
x
x0 Acos0
xAcots(0)
例四
一物体作简谐振动，振幅为15cm,频 率为4Hz,求物体从平衡位置运动到 x=+12cm (且向x轴正向运动）处，所需的最短时间。
解：用矢量图解法
a
d
平衡位置有两个
o 12cm
c b
x
a x00 v00
b x00v00
X=+12cm 位置有两个
c X=+12cm v>0
d X=+12cm v<0
有四个时间 a c a d b c b d
其中最短时间为
bc tmin
sintmin11250.8 tmin0.927tmin0.03s7
四 简谐振动的能量
总能量=振子的动能+弹簧的势能
其中
EEk Ep
Ek
1 mv2 2
T 2
T 表示完成一次完整振动所需要的时
间-----周期，T 的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位
（2） υ的引入
1 T
υ表示在单位时间内完成整振动的次数------频率， υ 的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位Hz
（3） ω的引入
T
1
2
2
ω表示在2π 秒内完成整振动的次数-------角频率（圆频率）， ω的大小由弹簧振子的固有性质决定。单位弧度/秒
A 的物理意义:
A xmax
A 是物体离开平衡位置的最大幅度-----振幅，A 的大 小由弹簧振子的初始状态决定。单位 m
x0 Acos0 A v0 Asin0
x02
(v0
)2
ω的物理意义,分三步分析
（1）T 的引入 t0 x0A co0 s
t 2 x A co 2 s (0 ) A c o 0 s x 0
第一章 振动和波动
▪振动(Vibration):任何一个物理量在某一 定
值附近随时间作反复变化。其中物体位置随时 间的变更称为机械振动。
▪波动（Wave)：振动的传播
内容提要
第一节 简谐振动 第二节 两个简谐振动的合成 第三节 平面简谐波动 第四节 两个平面简谐波动的合成
第一节 简谐振动
（1）证明重物的运动是简谐振 动。
L
解 Fm g k(xs)
m gkxks
m gkxmg
S
kx
是简谐振动。
（2）求 A, ,
L
解 t0时 ,x0s
且 静止放手 v0 0 代入 A
x02
(v0
)2
S
A x0 s
F
x
x
k
m
mgk s
g s
mg
1 g
2 2 s
（3）若以放手时开始计时，求简谐振动方程
1 2m Asi n t(0)2
1 2m 2A 2si2(n t0)
1 2kA 2si2n (t0)
Ep
1 2
kx2
12kAcost(0)2
1k 2
A2co2s(t0)
(注：2 k )
m
E 1 2 k2s A 2 i(n t0 ) 1 2 k2c A2 o (t s0 )
1 2k2A s2 i(n t0 ) c2 o (ts 0 )
tan0
v0
x0
②已知 A, x0,v0的符号
x0 Acos0
0
c
os1
x0 A
v0Asin0vv0 0 00则 则ssiinn00 0 0
00 00
例二
已知某简谐振动的振动曲线如图所示， 试写出该振动的简谐振动方程。
解 从图中可以看出,
A4cm,x02cm,v00 x10 ,v10
求振动方程需分三步：
令 2 k (为微分常数）
m
得到简谐振动的微分方程：
d2x dt2
2
x
0
Байду номын сангаас
其解为：
位移 xA co ts (0)
利用速度和加速度的数学定义，可得：
速度
vd dxtAsint(0)
加速度
ad d22 xt2Acost(0) A与0为积分常数
aV
x
0
t
简谐振动的位移、速度和加速度的函数曲线
振动方程中参数的物理意义
（1）求A
从图中可以看出
A4cm
x4cost (0)
（2）求 0 24cos0 03
（3）求
v0x04co st(0 )3
3
0 4 co s()
3
32
v10 3 2
5
6
x4co5 s(t)
63
例三
如图，一长为L的弹簧上端固定，下端挂一 重物后长度变(L+S)，并仍在弹性限度之内。 若将重物向上托起，使弹簧缩回原来的长度， 然后放手，重物将作上下运动。
直方向夹一小角θ ，然后将物体静止释
放，物体就在平衡位置附近 往返摆动起 来。这种装置称为单摆。证明单摆的振动 是简谐振动，并分析其能量。
解 xAcots(0)
scos(
gt s
0)
将初始条件代入上式： t0,x0s,v00
ssco 0s 0
xscos(gt )
s
三 简谐振动的矢量图解法
简谐振动可以用一个旋转矢量描绘。
A 矢量的长度代表振幅 A
A 矢量逆时针旋转的角速度代表角频率
A 矢量在初始时刻与x轴的角度代表初位相 0 A 矢量在任一时刻与x轴的角度代表位相 t0