第7届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试

第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a （C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（ ）（A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(21x f x f -的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）2 （B ）21（C ）1 （D ）2log a4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）（A ）0︒<θ<180︒ （B ）0︒<θ<90︒ （C ）0︒<θ≤90︒ （D ）0︒≤θ≤90︒5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则------------------------（ ）（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数 （C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。

选择题
若a, b, c为等差数列，且a + b + c = 9，则b的值为？
A. 1
B. 3（正确答案）
C. 6
D. 9
已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4，则AB的长度为？
A. 5（正确答案）
B. 6
C. 7
D. 8
下列哪个数不是质数？
A. 2
B. 3
C. 4（正确答案）
D. 5
若一个长方形的长是宽的两倍，且其面积为128平方厘米，则长方形的宽为？
A. 4厘米
B. 6厘米
C. 8厘米（正确答案）
D. 16厘米
已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，则其公比为？
A. 2
B. 3（正确答案）
C. 4
D. 5
若一个圆的半径为r，且其面积与边长为r的正方形的面积相等，则圆的半径r为？
A. 1
B. √2
C. √π（正确答案）
D. π
下列哪个选项中的两个数互为相反数？
A. 2和-3
B. -2和-3
C. 2和-2（正确答案）
D. 2和0
已知一个三角形的三个内角之和为180°，若其中一个角为60°，另一个角为90°，则第三个角为？
A. 30°（正确答案）
B. 45°
C. 60°
D. 90°
若一个正方体的表面积为24平方厘米，则其体积为？
A. 4立方厘米
B. 6立方厘米
C. 8立方厘米（正确答案）
D. 12立方厘米。

高中数学希望杯竞赛高一(复试)(真题含详细答案)高中数学希望杯竞赛高一（复试）真题及详细答案选择题1.选择A，因为只有一种可能。

2.选择C，需要注意集合A的元素是y。

3.选择A，因为等价于|2x-1|<1/3.4.选择B，可以使用特殊值法，取等边三角形即可；事实上，在锐角三角形中，恒有sinA>cosB。

这里A、B位置可交换。

5.选择B，因为a=1/(1-a)无实数解，故而不可能只有1个元素。

设a是其元素，1/(1-a)也是其元素且不等于a，于是1/[1-1/(1-a)]也是其元素，令它等于a，此时有解于是A={2,1/2,-1}。

6.题目遗漏，无法回答。

7.选择D，需要注意旋转体的上下差异。

可以取下面的一半来算：先将下面的一半分成两部分，然后相加即可。

8.选择D，需要设直线交y轴于D。

∠BOA=120°，于是r=4/√3，然后解△BOD，正弦求出面积，余弦求BD，解得距离。

9.选择B，需要理解题意。

先算得y=(x+2)(x+2)-7，作出两个函数的图像，简单看一下即可。

10.选择D，可以使用特殊值法，算出a1，a2即可。

填空题11.填1/2012，因为令x=1，迭代前面几个，找出规律。

12.填-1，需要注意，360/(a-x)和-360/(a-x)都是A中元素，两者的x和为2a，而360的正因子共有4*3*2=24个，故而2a*24=336，解得a=7/13.简单，注意到a为负！令a=-1即可。

14.填-√3或√3，将集合A化简，可得x=sina。

y=1+cosa，于是x^2+(y-1)^2=1，和直线相切。

15.填105，两小时中行驶的路程为210或110，除以2即可。

16.填35，需要变形，y=(2011x)/(x-2011)，先考虑正整数情况，由于2011为素数，故而x-2011=1或x-2011=2011或x-2011为正整数，而x/(x-2011)=1+2011/(x-2011)，所以x-2011=1或x-2011=2011.注意到x，y位置可互换。

第四届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、 选择题1、如果函数)(x f y =有反函数，函数)(x f y =的图象过点),(b a -，则---------（ ）（A ）)(1x f y -=的图象过点),(b a -，)(1y f x -=的图象过点),(a b -。

（B ）)(1x f y -=的图象过点),(a b -，)(1y f x -=的图象过点),(b a -。

（C ）)(1x f y -=的图象过点),(a b -，)(1y f x -=的图象过点),(b a -。

（D ）)(1x f y -=的图象过点),(a b --，)(1y f x -=的图象过点),(b a --。

2、函数)(x f y =的定义域和值域都是-R ，那么函数)(x f y --=的图象----（ ）（A ）在第一象限（B ）在第二象限（C ）在第三象限（D ）在第四象限3、正方体的对角线长度是3，则正方体的表面积是------------------------------（ ）（A ）33 （B ）6 （C ）36 （D ）124、三棱锥A-BCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则C 在面ABD 内的射影是∆ABD 的（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心------------------------------（ ）5、奇函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，函数)(1x f y -=在),0[+∞上是减函数，则)(x f y -=在]0,(-∞上-----------------------------------------------------------------（ ）（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）有时是增函数，有时是减函数（D ）有时是增函数，有时是减函数，有时是常函数6、函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象间的关系是--------------------（ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于x 轴对称（C ）关于直线a x 2=对称 （D ）关于直线a x =对称7、对于任何Z k ∈，都有)cos()sin(ππαπαk k ++=+，则α的值是------------（ ） （A ）4ππ+k （B ）43ππ+k （C ）2ππ+k （D ）43ππ-k （以上Z k ∈） 8、不等式0>tgx 的解集是P 1，不等式0cos sin >⋅x x 的解集是P 2，不等式0csc sec >⋅x x 的解集是P 3，则有------------------------------------------------------（ ）（A ）321P P P ==（B ）321P P P =⊂（C ）321P P P ⊂=（D ）123P P P =⊂9、用棱长为a 的正方体，削成一个体积最大的正四面体，这个正四面体的表面积是（A ）243a （B ）223a （C ）23a （D ）232a -------------（ ） 10、正n )3,(≥∈n N n 棱台上、下底面、侧面的面积依次是21,S S )0(12>>S S ，侧S ，若侧S S S =-)(212，则棱台侧面与底面所成二面角的大小是------------（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）75︒11、三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90︒，M 为底面ABC 内的任意一点，∠APM=α，∠BPM=β，36sin =α，66cos =β，则∠CPM 的值是----------（ ） （A ）30︒（B ）45︒ （C ）60︒ （D ）75︒12、如果对任何),1(+∞∈x ，都有βαx x >，则有理数α、β间的关系是-------（ ）（A ）α0>，β0<（B ）α0<，β0>（C ）α>β（D ）|α|>|β|13、定义在R 上的函数)(x f y =有反函数，则函数b a x f y ++=)(的图象与b a x f y ++=-)(1的图象间的关系是-------------------------------------------------（ ）（A ） 关于直线b a x y ++=对称 （B ）关于直线b a y x ++=对称（C ）关于直线b a x y -+=对称 （D ）关于直线b a y x -+=对称14、函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。

3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。

4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。

6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。

7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。

9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。

11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。

12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说：“我会开。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开。

”三人的话只有一句是真话。

会开车的是。

14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。

回校后，小明补给小光28元。

小明、小光各带了元，每本书价元。

中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试卷(第一天)一、填空题(每题 7分,共70分)1 .k w N* ,且k 至3,假设一元二次方程(k —1)x2 — px +2k = 0的两个根都是正整数那么 12(p+k)2 +51(p+k)—3 的值等于.【解析】设方程(k —1)x 2—px+2k =0的两个根x 1,x 2都是正整数,由韦达定理,得2k 2由②,x 1x 2 =上~ =2+—,又由于k w N*,且k 23,所以k —1 = 2,即k = 3, k -1 k -1于是x 1x 2 =3,所以x 1 +x 2 =4,代入①得p = 8 , 故 12(p k)2 51(p k)-3=12 112 51 11 -3 =2021.2 .假设等腰直角三角形的三个顶点均在边长为 1的正方形的边上,且不与正方形的顶点重合,那么该等腰直角三角形面积的取值范围为 .… 1 1【解析】［1,1)4 23.2021年全国高中数学联赛一试试卷由 8道填空题和3道解做题组成,其中填空题每题 7分；解做题分步给分,第一道解做题 14分,分三步各自分数为 4,4,6分；第二和第三道解答题均为15分,分三步每步5分,解做题中假设第n 步不得分那么第 m 步(m>n)也不得分；那 么共有 种得分方式恰好能够得到 80分.(用数字作答)【解析】由于填空题每题7分,解做题第二题和解做题第三题均为每步 5分,所以我们优先考虑解做题第一题的得分(1)解做题第一题得14分时 由于总分被扣掉20分,因此只能是被扣掉 4个5分,填空题 总分值,这4个5分的扣分情况有 3种(第二题扣15第三题扣5,第二题扣10第三题扣10, 第二题扣5第三题扣15)综上知共有 3+28+3+0=34种情况24 .假设关于x 的方程lg(x +20x) — lg(8x —6a —3) =0有唯一解,那么实数 a 的取值范围是【解析】-163 ::: a ::: _1 6 25 .设集合 A={1,2,||l,n} , A, A,lll,A(t 之 2)是 A 的不同子集,假设 A 三 Az ^ll ： A ,那么 称集合{A,A,III, A}为A 的一条长度为t 的链；那么A 的所有长度为2的不同的链的条数 是.(两条链不同,当且仅当其中一条链所包含的子集与另一条链所包含的子集 至少有一个不同) 【解析】3n - 2n .6 .如图,在△ ABC 中,AB = 2, AC=1 , /BAC =120 , O 是△ ABC 的外心,且X 1x 2 ~「k -12k k^1(2)解做题第一题得 个填空题被扣分,共有 (3)解做题第一题得 8分时由于余下题目被扣掉C 82=28种情况4分时由于余下题目被扣掉讨论知这样的情况共有 (4)解做题第一题得 3种10分或0分时,易知没有得 14分,因此只能是余下题目中恰只有两 10分,因此只能是被恰被扣掉 2个5分, 80分的情况T T TAO = K AB + NAC,那么九十N =. -113【解析】13. 67.四面体的6条棱长分别为2、2、2、2、a、a,且这样的四面体恰有两个,那么a的取值范围是O 【解析】.6 - x 2 :二a ：：2 2且2 = 28.设［x］表示不超过x的最大整数,那么［〔叵匚〕2021］被11除的余数是.2【解析】设b =1 +' , 1 = 1 -2行,那么—1<P<0, 1 <«<2,且ot+P=1, aP =一1, 故口,P是方程X2 -X-1 =0的两个不等实数根,令人=〔/ + P n ,那么可得An也=An书+ A , 且A =1 , A2 =3,得数列｛A n｝被11除的余数构成数列为：1 , 3, 4, 7, 0, 7, 7, 3, 10, 2,1,3, 4,…,是周期为10的数列.又当n是奇数时,［〔tW5〕n］=A n,当n是偶数时,［〔伫而门=A —1 ,故A2021被11 2 2除的余数为1.9.A={(x,y)||x| + |y|E2} , B ={( x,y) |(x —6)2+ y2< 4},贝U C={(x,y)|x = x1 2X2 , y = y12y2 , (x1,y1) w A, (x2, y2) w B}所表示区域的面积是.【解析】(x—3)2 +(y-y)2 =(]—3)2+(二)24表示以P(：+3,^)为圆心,半径为1的圆及其内部；而P点在A'={(x, y)||x—3|+| y |< 1}内运动,由图像可知,面积为2 4.2 •二10.对于n 22 , a1,a2,…,a n 为1,2,…,n的一个全排列,且满足有且只有一个旧｛1,2,…,n—1｝,使得廿Aa i书,那么这种排列的个数为.解：a1 ：二a2 :二：二ai ,ai •鼻 1 ,ai 1 ：二a i 2 :二：：：a n所以,对某个i定下后,我们先从原集合中任意选出i个数,从小到大排列为a1 <a2<…< a i,剩下的数从小到大排列为a i由<a i也< <a n,由于a i >a i41,所以只要排除选出的恰好是｛1 , 2…,i｝这种情况即可n 4 n n, P n =£〔C；-1〕=£〔C； -1〕=£C：_〔n+1〕=2n -n-1 i 1i =0 i =0〔备选〕11.使得nsin1 >5cos1+1成立的最小正整数n的值为【解析】5(备选)12.正方体 ABCD —A i B i C i D i 的棱长为1, O i 是底面A i B i C i D i 的中央,M 为 棱BB 〔的中点,那么四面体 01ADM 的体积为. 、解做题(每题 20分,共80分)令 t -,m 2 - 4 (t 0).… . ...9a那么⑤式可化为S ；ABFi = 一16当且仅当t 2 = 一时,“=〞成立,3此时 m = 2—21,3,, ,、一 2 21 直线l 的方程为 x = ± j1y —64,32 211、椭圆「的方程为二三a b = i(a>b>0),离心率l 过点M ( —2a,0)交椭圆「于A 、 B 两点,且 1 e=— 21 ,'是椭圆厂的左焦点,直线1 1 1 .. ----- + ------- = 一,当△ ABF i 的面积最大 |AF i | |BF i | ---- 12时,求直线 l 的方程.解：：.椭圆__ ___ __ 1「的离心率是-,2•-c =1a,2b 2=3a 2,4椭圆的方程可写为_ 22_ 23x 4y =3a设直线l 的方程为x = my -2a①、②联立 得 一 2 、 2 一一 2 一(3m - 4)y -12may 9a =0依题意,该方程的判别式4 >0,即 m 2 -4 . 0A (x i, y i )、 1|AF i |= d i2B (X 2, y 2)两点到左准线的距离分别为1;|BF i |= —d 2 2⑤ (5)d i 、d 2,因此 d i =|myi|d 2=|my 2| i y i y 2 -代入④式得|BF i | 12ma 3m 2 4 ' |12ma|9a 2—,可化为|工+工|二皿 ④12 y i y 2249a 2y y |m|24解得a=32,i0 1 i3a|=9a 2 2 m 2 -4 3m 2 4i5t , 9a 22一3t 2 162=192^3,即 x 一号-y 64 =020 1 12、数列｛a n ｝满足a 0 =-,a n 2 a n 」 ,nw N 十,求证: 2n 2n:二 a n：二 1证实：先证a n ：二1 易知 a n A 0, a n — 1 — a n 」—15a n —1 同写 由a 0 = 再证a n 一可得, 2 2n 2 1 2an 」 a n 二 1 , a n 」1 a n 」(a n 」- 1) a n 」1 .0 :二 a n ：二 110 ■ a n — ~ a n J 10, c 1 . 1 z =- 0 •:二 -1 ：：：一( 一 a n 2 a 1 1—< ------ a n 2an- 1) £(•15 1 1 -1):二… 卞(一一1) 2 a . 1 2n - a n a n 故结论成立. 2n n 20 13、正实数 x, y, z 满足 2 2 2 2 - X x +y +z =3,求口= --------------- 2 + 4x - x 2 -^y _2^z_-2 -24y - y 4z - z 的最小值. 解：由于正实数x, y, z 满足 2 2 2 cx y z =3.• 0 :二 x ：二..3 ：二29 2 9-^-^ 54x -x 2 -x 1 2 — x 1得；——2--[5(2-x)-2] = 4x -x 98 -5x 同理上匕_ 3上44y - y 9 4z - z8-5z一 92 - x 2 - y 2 - z2224x -x 4y - y 4z -z-r9(x y z)又(x y z)2 M3(x 2 y 2z 2) = 98 53-9(x y z)-12-x 2-y 2-z20分+_____________ i _ +2 2 24x -x 4y - y 4z -z1 3P (2n-1)P 〜成立.(2n 1)P (2n 3)P (4n -1)P 1 3P -3(2n -1)P(2n 1)P (2n 3)P (4n-1)P再考察P =2, -1时不等式不成立,所以猜想0V p <1,以下证实.1(0,1 )时x p 为上凸函数,所以X W (0,1 )时(1 — x)p +(1+x)p为减函数.令x =—— 2k一 1 11 1得：(1)p+(1 +—)p>(1——1一)p十(1 十一1—).整理得:2k 2k 2k -2 2k -2(2k -1)p (2k 1)p (2k -3)p (2k -1)p 1P 3P> --------------------- > 一,〉 ---------------------k p (k-1)p1Pb b dd ,一 > ---- > —(a, b,c,d > 0)得： a a c c 1P 3P (4n -1)p 1P 3P 5P 7P 1P 3P 13P (2n -1)p 1 3P1P两边减1既得所求不等式.(备选)定义在(0,1］上的连续函数f(x)满足对所有的x,yW(0,1］有a + f (x + y -xy) +f (x) f (y) « f (x) + f (y).……①求所有的实数a,使得存在f(x)是非常值函数. 解：在式①中,令 x=y=1 ,得a +f (1) + f 2(1)E2f (1),故 a<4-[f(1)-2]2<4.……5 分假设a",取函数f :定义域是(0,1],值域是[2,min{4-a,1}],那么对x,y^(0,1],有a f (x y - xy) f(x)f (y) -(f (x) f (y))=a f(x y - xy) (1 - f (x))(1 - f (y)) -1<a+3-a +犯-1=0.……10 分假设a仍然在式①中令x = y=1,有(f(1)-步肛那么f(1)=]在式①中,令y =1,得a + f(1)+f(1)f (x) Wf(1) + f(x),故 f (x)>2(x^(0,1]).在式①中令x = y ,得f(2x-x 2)<2f(x)-f 2(x) -4 <j.当x 取遍(0,1]的所有实数时,2x —x 2 =1 —(1—x)2也取遍(0,1]的所有实数,故 -1 3..总有f (x)e[-,-].……15分2 4设t 是函数f (x)的最大值,那么14、求所有的实数 p,使不等式: 11 3p13P 5P3p 5P 7P 7P 9P 11P 答案：0< P <1 考虑P =0,1时 1 _ 1 3P 13P 5P 3P 5P - 7P 7P • 9P • 11P利用:t = f max(x) = f m ax(2x-x2) <[2 f(x)-f2(x) -4]m ax = [-( f 2(x) -1)2 +3京=4-(j)2.即(t -2)2 <0,从而,t=2 .故f (x)三2... ........ 一…-1故所求的a的取值范围是a <-.4。

第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级 姓名一、选择题 1、若11)(+-=x x x f 的定义域为A ，)]([x f f 的定义域为B ，则-----------------（ ） （A ）R B A = （B ）B A ⊃ （C ）B A = （D ）B A ⊆2、已知21y y y -=，其中1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当1=x 和2=x 时都有21=y ，则y 与x 之间的关系是----------------------------------------（ ）（A ）xx y 1832-= （B ）2183xx y +=（C ）1832x x y +=（D ）xx y 1832+=3、若函数)(log 23a ax x y -+=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是---------（ ）（A ）R （B ）+R（C ）),0()4,(+∞--∞ （D ）)0,4(-4、已知函数||)(a x x f +=，当3≥x 时为增函数，则--------------------------------（ ）（A ）3=a （B ）3-<a （C ）3-=a （D ）3-≥a5、函数|||log |)(2x x f =的图象与直线π=y 的交点的个数是-------------------（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）46、定义域是全体实数的函数)(x f ，对于常数a 都有)()(x a f x f -=，那么这个函数的图象的对称轴是直线-----------------------------------------------------------------（ ）（A ）a x = （B ）2ax = （C ）a x 2= （D ）2ax -=7、关于x 的一元函数)0(1≠-+=k k kx y 的图象与坐标轴围成的三角形的面积是2，则k 值的集合是-------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）}223,223,1{+--（B ）}0,1{-（C ）}32,223{++（D ）∅8、幂函数αx y =，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数-（ ）（A ）一定是奇函数（B ）一定是偶函数（C ）一定不是奇函数（D ）一定不是偶函数9、23)(-=x x f ，则)]0([1f f -的值是---------------------------------------------（ ）（A ）98（B ）8- （C ）0（D ）81-10、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1各棱所在直线中，与直线AC 1成异面直线的直线的条数是-------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10二、A 组填空题11、函数)927(log )1(x x y -=+的定义域为 。

高一希望杯试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的描述？A. 地球是平的B. 地球是圆的C. 地球是方的D. 地球是三角形的答案：B2. 根据题目描述，下列哪个数学公式是正确的？A. \( a^2 + b^2 = c^2 \)（当a, b, c为直角三角形的边）B. \( a^2 + b^2 = c^2 + 2ab \)C. \( a^2 + c^2 = b^2 \)D. \( a^2 + b^2 + c^2 = 0 \)（当a, b, c为零向量）答案：A3. 在化学中，水的化学式是什么？A. H2OB. O2HC. OH2D. H2O2答案：A4. 以下哪个选项不是植物的六大器官之一？A. 根B. 茎C. 叶D. 花答案：D（花是生殖器官，但不是六大器官之一）5. 以下哪个历史事件标志着中国近代史的开端？A. 鸦片战争B. 辛亥革命C. 抗日战争D. 五四运动答案：A6. 在物理中，下列哪个公式描述了牛顿第二定律？A. \( F = ma \)B. \( F = mv \)C. \( F = m \frac{v^2}{r} \)D. \( F = \frac{1}{2}mv^2 \)答案：A7. 以下哪个选项是正确的描述？A. 所有生物都需要氧气才能生存B. 所有生物都需要水才能生存C. 所有生物都需要阳光才能生存D. 所有生物都需要土壤才能生存答案：B8. 以下哪个选项是正确的描述？A. 光速在真空中是恒定的B. 光速在不同介质中是相同的C. 光速在不同介质中是恒定的D. 光速在真空中会随着时间变化答案：A9. 在地理学中，以下哪个选项是正确的描述？A. 地球的自转方向是自东向西B. 地球的自转方向是自西向东C. 地球的公转方向是自东向西D. 地球的公转方向是自西向东答案：B10. 在音乐理论中，以下哪个选项是正确的描述？A. C大调的调号是两个升号B. G大调的调号是一个升号C. F大调的调号是四个降号D. D大调的调号是五个升号答案：D二、填空题（每空1分，共10分）1. 根据题目描述，地球的自转周期是________小时。