2020届高考数学大一轮复习第十章第五节古典概型与几何概型教师用书理58

第4讲 随机事件与古典概型1．概率与频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．2．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1． (2)必然事件的概率：P (A )＝1． (3)不可能事件的概率：P (A )＝0． (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．4．古典概型(1)基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．(2)特点①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．(3)概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数．5．对古典概型的理解(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．(2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．导师提醒关注三个易错点(1)频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．(2)对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．(3)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．()(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.()(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．即不是互斥事件也不是对立事件解析：选 C.“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件，故选C.(教材习题改编)若A，B为对立事件，则()A．P(A＋B)≤1B．P(AB)＝1C．P(AB)＝0D．P(A)＋P(B)≤1解析：选C.由对立事件的定义可知：P(A＋B)＝1，P(A)＋P(B)＝1，P(AB)＝0.因此C选项正确．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56 B.25C.16 D.13解析：选A.由题意得，甲不输的概率为12＋13＝56.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________．解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，所以P(B)＝1－P(B)＝1－23＝13，显然A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝13＋13＝23.答案：2 3随机事件的频率与概率(师生共研)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值为900，300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X 的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为：(2)根据题意，Y ＝460＋X －7010×5＝X2＋425， 故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210) ＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220) ＝120＋320＋220＝310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310. 2．某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55.故P (A )的估计值为0.55. (2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3. (3)由所给数据得调查的 1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .互斥事件、对立事件的概率(师生共研)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M ，则M ＝A ∪B ∪C ，依题意，P (A )＝11 000，P (B )＝101 000，P (C )＝501 000，因为A ，B ，C 两两互斥， 所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率为611 000. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋101 000＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[提醒]间接法体现了“正难则反”的思想方法．1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4，故选B.2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：求：(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.古典概型的概率(多维探究)角度一简单的古典概型的概率(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112B.114C.115D.118(2)(2019·安徽宿州模拟)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为( )A.13B.25C.12D.35【解析】 (1)不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P ＝3C 210＝115，故选C. (2)将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n ＝C 26C 24C 22＝90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m＝C 13C 13C 12C 12C 11C 11＝36，所以每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为P ＝m n ＝3690＝25.故选B. 【答案】 (1)C (2)B角度二 古典概型与平面向量的交汇从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12【解析】 由题意可知m ＝(a ，b )有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有(3，3)，(5，5)共2个， 故所求的概率为16.故选A.【答案】 A角度三 古典概型与函数(方程)的交汇(1)(2019·益阳、湘潭调研)已知a ∈{－2，0，1，2，3}，b ∈{3，5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( )A.310B.35C.25D.15(2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A.736B.12C.1936D.518【解析】 (1)函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数，则a 2－2<0，又a ∈{－2，0，1，2，3}，故只有a ＝0，a ＝1满足题意，又b ∈{3，5}，所以函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是2×25×2＝25.故选C. (2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩⎨⎧1≤a ≤6，a ∈N *，1≤b ≤6，b ∈N *.所以a 和b 的组合有36种，若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，当Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a .当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1，2；当b ＝4时，a 可取1，2，3，4；当b ＝5时，a 可取1，2，3，4，5，6；当b ＝6时，a 可取1，2，3，4，5，6.满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝1936，故选C. 【答案】 (1)C (2)C角度四 古典概型与解析几何的交汇将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使两条不重合直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，若点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝137144的内部，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－518，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，718 C.⎝⎛⎭⎫－718，518 D.⎝⎛⎭⎫－518，718 【解析】 对于a 与b 各有6种情形，故总数为36种．两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的情形有a ＝2，b ＝4或a ＝3，b ＝6，故概率为P 1＝236＝118，两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2相交的情形除平行与重合(a ＝1，b ＝2)即可，所以P 2＝3336＝1112， 因为点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝137144的内部， 所以⎝⎛⎭⎫118－m 2＋⎝⎛⎭⎫11122＜137144，解得－518＜m ＜718，故选D. 【答案】 D(1)求古典概型的概率的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； 第三步，利用公式P (A )＝mn ，求出事件A 的概率．(2)求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．1．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数字奇偶性不同的概率是( )A.518B.49C.59D.79解析：选C.由题意得，所求概率为P ＝5×4×29×8＝59. 2．将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )A.12B.14C.16D.18解析：选B.A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法．当A ，C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法．所以所求概率为4＋224＝14.3．已知|p |≤3，|q |≤3，当p ，q ∈Z ，则方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个相异实数根的概率是________．解析：由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个相异实数根，可得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)>0，即p 2＋q 2>1.当p ，q ∈Z 时，设点M (p ，q )，如图，直线p ＝－3，－2，－1，0，1，2，3和直线q ＝－3，－2，－1，0，1，2，3的交点，即为点M ，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)．当点M (p ，q )落在圆p 2＋q 2＝1外时，方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个相异实数根，所以方程x 2＋2px －q 2＋1＝0有两个相异实数根的概率P ＝49－549＝4449.答案：4449正难则反在概率问题中的应用某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 【解】 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E －)＝1－P (E )＝910.(3)有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.[基础题组练]1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D ．1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.2．(2019·福建漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )A.15B.13C.14D.16解析：选 B.由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因为所有的限制条件对丙 、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是13.故选B.3．(2019·河南郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )A.110B.15C.310D.25解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A 55＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A 23A 12A 11＝36种取法，所以P ＝36120＝310.故选C. 4．(2019·甘肃兰州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)，其中a ∈{1，2，3，4}，b ∈{1，2，3，4}，且a ，b 取到其中每个数都是等可能的，则直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点的概率为( )A.14B.38C.12D.58解析：选B.直线l ：y ＝x 与双曲线C 的左、右支各有一个交点，则ba >1，总基本事件数为4×4＝16，满足条件的(a ，b )的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，故概率为38.5．为了准备2019届哈尔滨市中学生辩论大赛，哈六中决定从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，则这两个人来自同一个班级的概率是( )A.27B.17C.14D.18解析：选B.从高二年级的4个文科班级中每个班级选1名男生1名女生组成校辩论队，再从校辩论队中挑选2人做为一辩和二辩，基本事件总数n ＝C 28＝28，这两个人来自同一个班级包含的基本事件个数m ＝C 14C 22＝4，则这两个人来自同一个班级的概率是p ＝m n ＝428＝17.故选B. 6．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示命中靶心，4，5，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．解析：由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421，191，271，932，800，531，共6组随机数，所以所求概率为620＝0.30. 答案：0.307．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________．解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C 79＝36种，从(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)中任选3组，有C 34＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为436＝19. 答案：198．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213，134)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________．解析：从1，2，3，4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A 34＝24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1，2，3或1，3，4，所以共组成2A 33＝12个“好数”，故所求概率为1224＝12.答案：129．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.10．设a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率． 解：(1)由题意－b2×12a ≥－1，即b ≤a .而(a ，b )共有C 12·C 12＝4种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． 因为函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，所以这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故概率为16.[综合题组练]1．(2019·泉州模拟)已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为( )A.12B.13 C.14D.16解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张， 基本事件总数n ＝A 33＝6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m ＝C 13C 11C 11＝3，所以恰有一人取到自己身份证的概率为p ＝m n ＝36＝12.故选A.2．(2019·河南开封模拟)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )A.17B.27C.37D.47解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A 77＝5 040(种)．因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A 44.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中，5个位置排3个元素，也就是A 35，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有A 44A 35＝1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P ＝1 4405 040＝27.故选B.3．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i 次得到的向上一面的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________．解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n ＝6×6×6，要使a 1＋a 2＋a 3＝6，则a 1，a 2，a 3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数m ＝A 33＋C 13＋1＝10.故幸运数字为3的概率为P ＝106×6×6＝5108.答案：51084．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1，2，3；j ＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33 解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝9×8×71×2×3＝84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314. 答案：13145．某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查．这1 000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4，0.5)，[0.5，0.6)，[0.6，0.7)，[0.7，0.8)，[0.8，0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：11 000(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知，P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.6．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16. (1)记“xy ≤3”为事件A ， 则事件A 包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)， 所以P (A )＝516， 即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C . 则事件B 包含的基本事件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)． 所以P (B )＝616＝38. 事件C 包含的基本事件共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)． 所以P (C )＝516. 因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．。

第5讲古典概型最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知识梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.4.古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.()解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)共4个，故所求概率为P ＝436＝19.答案 B3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925解析 甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25＝410＝25. 答案 B4.(2017·嘉兴一模)从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________.解析 所求概率为P ＝1－C 22C 25＝910. 答案 9105.从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为奇数的概率是________.解析 和为奇数的两个数为一奇一偶，故所求概率为P ＝C 13C 13C 26＝915＝35. 答案 356.(2017·金华十校联考)如果下了课后，教室里最后还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学.如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为________.解析已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种.那么下一位是男同学的可能性只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，故P＝36＝1 2，∴下一位是女同学走的可能性为1－12＝1 2.答案1 2考点一基本事件与古典概型的判断【例1】袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法. 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为5 11，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3 11，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.规律方法古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的.【训练1】(1)下列问题中是古典概型的是()A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果.解析(1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个.(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)8种结果.答案(1)D(2)8考点二简单的古典概型的概率【例2】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率.解由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型.(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.∵事件B包含的基本事件数m＝C13C13＝9.∴P(B)＝936＝14，则P(B)＝1－P(B)＝34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为3 4.(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”.又事件C包含基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共有8个.∴P(C)＝836＝29，从而P(C)＝1－P(C)＝1－29＝79.∴点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为7 9.规律方法计算古典概型的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n；(2)求出事件A所包含的基本事件个数m；(3)代入公式求出概率P.解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法. 【训练2】(1)(2015·广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.521 B.1021 C.1121 D.1(2)(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.解析(1)从袋中任取2个球共有C215＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有C110C15＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝10 21.(2)将一颗质地无均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有36种，其中点数之和不小于10的有(6，6)，(6，5)，(6，4)，(5，6)，(5，5)，(4，6)，共6种，故所求概率为1－636＝5 6.答案(1)B(2)5 6考点三复杂的古典概型的概率【例3】(2015·四川卷改编)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34 C36C36＝1100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99 100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.则P(B)＝C23C23C46＝35，P(C)＝C33C13C46＝15.由互斥事件的概率加法，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝35＋15＝45，故所求事件的概率为4 5.规律方法(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.(2)注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.【训练3】(2016·威海模拟)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4，白球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，求小球编号最大值为4的概率.解基本事件总数为n＝C36＝20，(1)取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数为m＝C12C24＋C22C14＝16，∴取出的3个球中，含有编号为4的小球的概率P＝mn＝1620＝45.(2)小球编号最大值为4的基本事件个数为C23C12＋C13C22＝9，所以，小球编号最大值为4的概率P＝9 20.[思想方法]1.古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.2.确定基本事件个数的方法列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.[易错防范]1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的.2.对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16解析 从A ，B 中任意取一个数，共有C 12·C 13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∴P ＝26＝13.答案 C2.(2017·黄山一模)从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( )A.310B.15C.12D.35解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件数有C 35＝10种.根据三角形三边关系能构成三角形的只有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)共3个基本事件，故所求概率为P ＝3C 35＝310. 答案 A3.(2017·台州调研)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点落在直线2x －y ＝1上的概率为( )A.112B.19C.536D.16解析 落在2x －y ＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)共3个，故所求的概率为P ＝36×6＝112.答案 A4.(2017·台州调研)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析 选出一个三位数有A 34＝24种情况，取出一个凹数有C 34×2＝8种情况，所以，所求概率为P ＝824＝13.答案 C5.如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1，2，3；j ＝1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31a 32 a 33 A.37 B.47 C.114 D.1314解析 从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314.答案 D二、填空题6.(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.解析 这两只球颜色相同的概率为C 22C 24＝16，故两只球颜色不同的概率为1－16＝56. 答案 567.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P ＝C 24C 24C 24＝16. 答案 168.高一某班级在学校数学嘉年华活动中推出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i 次得到的点数为x i ，若存在正整数n ，使得x 1＋x 2＋…＋x n ＝6，则称n 为游戏参与者的幸运数字.(1)游戏参与者的幸运数字为1的概率为________；(2)游戏参与者的幸运数字为2的概率为________.解析 (1)设“游戏参与者的幸运数字为1”为事件A ，由题意知x 1＝6，抛掷了1次骰子，相应的基本事件空间为ΩA ＝{1，2，3，4，5，6}，共有6个基本事件， 而A ＝{6}，只有1个基本事件，所以P (A )＝16.(2)设“游戏参与者的幸运数字为2”为事件B ，由题意知x 1＋x 2＝6，抛掷了2次骰子，相应的基本事件空间为ΩB ＝{(x 1，x 2)|1≤x 1≤6，1≤x 2≤6，x 1∈N ，x 2∈N }，共有36个基本事件，而B ＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，共有5个基本事件，所以P (B )＝536.答案 (1)16 (2)536三、解答题9.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件数为C23＋C22＝4，所以P(D)＝4 15.故这2件商品来自相同地区的概率为4 15.10.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解(1)由题意，(a，b，c)所有的可能的结果有33＝27(种).设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种.所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为1 9.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种.所以P(B)＝1－P (B)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为8 9.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则()A.p1＜p2＜p3B.p2＜p1＜p3C.p1＜p3＜p2D.p3＜p1＜p2解析随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种.事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)共10种，其概率p1＝1036＝518.事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝1318.因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝12.故p1<p3<p2.答案 C12.(2017·金华质检)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.115 B.15 C.14 D.12解析 由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种. 故所求事件的概率P ＝4·A 33C 36A 33＝15.答案 B13.(2017·台州质量评估)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答).解析 法一 6节课的全排列为A 66种，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法是：先排三节文化课，再利用插空法排艺术课，即为(A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33)种，由古典概型概率公式得P (A )＝A 33C 23A 22A 22＋2A 33A 33A 66＝15.法二 6节课的全排列为A 66种，先排三节艺术课有A 33种不同方法，同时产生四个空，再利用插空法排文化课共有A 34种不同方法，故由古典概型概率公式得P (A )＝A 33A 34A 66＝15.答案 1514.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率.解 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n ＝C 13×C 13＝9种选法.记“2名教师性别相同”为事件A ，则事件A 包含基本事件总数m ＝C 12·1＋C 12·1＝4，∴P (A )＝m n ＝49.(2)从报名的6人中任选2名，有n ＝C 26＝15种选法.记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝2C 23＝6.∴选出2名教师来自同一学校的概率P (B )＝615＝25.15.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. (1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C 2n ，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C 27.由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P ＝C 2n C 27＝17，则n (n －1)＝6，解得n ＝3(舍去n ＝－2)，即袋中原有3个白球.(2)设事件A 为“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，P (A )＝C 14×C 13C 17×C 16＝4×37×6＝27.(3)设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件A i ，i ＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P (B )＝P (A 1∪A 3∪A 5)＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.。

第五节古典概型[考纲传真](教师用书独具)1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．(对应学生用书第178页)[基础知识填充]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n.4．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.[知识拓展]划分基本事件的标准必须统一，保证基本事件的等可能性．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A ．815B ．18C ．115D ．130C [法一：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.法二：所求概率为P ＝1C 13C 15＝115.] 3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A ．45B ．35C ．25D ．15C [从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C ．]4．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________．910 [所求概率为P ＝1－C 22C 25＝910.]5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．56 [掷两个骰子一次，向上的点数共有6×6＝36种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P ＝1－66×6＝56.](对应学生用书第178页)(1)(2017·佛山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A ．521B ．1021C ．1121D ．1 (2)(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．25(1)B (2)D [(1)从袋中任取2个球共有C 215＝105种取法，其中恰有1个白球，1个红球共有C 110C 15＝50种取法，所以所取的球恰有1个白球1个红球的概率为50105＝1021. (2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所以所求概率P＝1025＝25.故选D．]为()【导学号：79140357】A．16B．112C．536D．518(2)(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A．518B．49C．59D．79(1)C(2)C[(1)同时掷两枚骰子出现的可能有6×6＝36种，其中向上的点数和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种，所以所求概率P＝5 36，故选C．(2)法一：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518.∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.故选C．法二：依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C29＝59.故选C．]某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．[解](1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34 C36C36＝1 100.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3.则P(ξ＝2)＝C23C23C46＝35，P(ξ＝3)＝C33C13C46＝15.由互斥事件的概率加法公式可知，P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝35＋15＝45，故所求事件的概率为4 5.动．参加活动的儿童需转动如图10-5-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：图10-5-1①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C．则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．(2018·长沙模拟(二)节选)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：5-2的频率分布直方图：图10-5-2(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．[解](1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定．(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375,0.5,0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件．故所求的概率P＝C23C14C11＋C13C24C11C48＝37.从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【导学号：79140358】[解](1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)从6件样品中抽取2件商品的基本事件数为C26＝6×52×1＝15，每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件数为C23＋C22＝4，所以P(D)＝4 15.故这2件商品来自相同地区的概率为4 15.。

姓名，年级：时间：第五节古典概型与几何概型2019考纲考题考情1．古典概型(1）基本事件的特点①任何两个基本事件是互斥的。

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.（2）古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

(3）古典概型的概率公式P(A)＝错误!。

2．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.(2)几何概型的两个基本特点（3）几何概型的概率公式P（A)＝错误!.1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法。

2．概率的一般加法公式P(A∪B）＝P（A）＋P（B)－P（A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时,P(A ∪B)＝P（A)＋P(B），此时P（A∩B)＝0。

3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的,前者概率的计算与基本事件的区域长度（面积或体积）的大小有关，而与形状和位置无关。

4．几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果。

一、走进教材1．(必修3P 127例3改编)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( ）A.错误! B 。

错误! C 。

错误! D 。

错误!解析 所有基本事件的个数为6×6＝36,点数之和为5的基本事件有(1，4)，（2,3），（3,2），(4，1）共4个。

故所求概率为P ＝错误!＝错误!。

故选B 。

答案 B2．(必修3P 140练习T 1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )解析 如题干选项中各图,各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P （A )＝38,P （B )＝28，P (C ）＝错误!，P (D )＝错误!.故选A 。

【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习 第十章 第5节古典概型与几何概型练习一、选择题1．(2015·兰州模拟)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(3,6)．则向量p 与q 共线的概率为( )A.13 B.14 C.16D.112[解析] 由题意可得：基本事件(m ，n )(m ，n ＝1,2，…，6)的个数＝6×6＝36. 若p ∥q ，则6m －3n ＝0，得到n ＝2m .满足此条件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三个基本事件．因此向量p 与q 共线的概率为P ＝336＝112.[答案] D2．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～12毫米的杆上系一根长度为1 m 的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0.2 m 的概率为( )A.12B.35C.25D.23[解析] 与两端都大于0.2 m 即空竹的运行范围为(1－0.2－0.2)m ＝0.6 m ，记“空竹与两端距离都大于0.2 m”为事件A ，则所求概率满足几何概型，即P (A )＝1－0.2－0.21＝35.[答案] B3．(2015·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12 B.13 C.14D.18[解析] 易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.[答案] C4．从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为( ) A.15 B.25 C.35D.45[解析] 从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数共有(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)、(1,3,5)、(2,3,4)、(2,4,5)中三个数字和为奇数，所以概率为25.[答案] B5．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别为m ，n ，向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1,0)的夹角记为α，则α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4的概率为( )A.518B.512C.12D.712[解析] 依题意得a ＝(m ，n )共有36种情况，其中与向量b ＝(1,0)的夹角α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4需满足n m＜1，即m ＞n ，则有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(5,4)，(6,4)，(6,5)，共15种情况．所以所求概率为1536＝512. [答案] B6．(2015·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732D.3132[解析] 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，e ＝c a＝a 2－b 2a ＜32，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞b 2，a 2＜4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ，a ＜2b ，又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.[答案] B7．(2015·安庆一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2与l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则点P (36P 1,36P 2)与圆C ∶x 2＋y 2＝1 098的位置关系是( )A ．点P 在圆C 上B ．点P 在圆C 外 C ．点P 在圆C 内D ．不能确定[解析] 易知当且仅当a b ≠12时两条直线相交，而a b ＝12的情况有三种：a ＝1，b ＝2，此时两直线重合；a ＝2，b ＝4，此时两直线平行；a ＝3，b ＝6，此时两直线平行，而投掷两次的所有情况有36种，所以两条直线平行的概率P 1＝236＝118.两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112，∴点P (2,33)，点P 与圆心(0,0)的距离为4＋1 089＝ 1 093＜ 1 098，故点P 在圆C 内．[答案] C8．(2015·河南三市联考)在区间[－π，π]内随机取两个数分别为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4[解析] 函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，需Δ＝4a 2－4(－b 2＋π2)≥0，即a 2＋b 2≥π2成立．而a ，b ∈[－π，π]，建立平面直角坐标系，满足a 2＋b 2≥π2的点(a ，b )如图阴影部分所示，所求事件的概率为P ＝2π×2π－π32π×2π＝4π2－π34π2＝1－π4.[答案] B9．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线x a ＋y b ＝1的斜率k ≥－12的概率为( )A.13 B.12 C.23D.14[解析] 记a ，b 的取值为数对(a ，b )，由题意知a ，b 的所有可能取值有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，(3,1)，(3,2)，…，(3,6)，(4,1)，(4,2)，…，(4,6)，(5,1)，(5,2)，…，(5,6)，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种．由直线x a ＋yb＝1的斜率k＝－a b ≥－12，知a b ≤12，那么满足题意的a ，b 可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为936＝14.[答案] D10．在棱长为3的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( )A.127B.2627C.827D.18[解析] 正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率为P ＝V 1V ＝127.[答案] A11．(2014·湖北高考) 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －1≤0.确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14 C.34D.78[解析] 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78.[答案] D12．(2015·宁波模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.34[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ≤0，f 2 ≤0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.[答案] C二、填空题13．在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．[解析] 要使2x 2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax ≤2x 2＋8，即a ≤2x ＋8x在(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8x≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a ≤8，因此0≤a ≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45. [答案] 4514．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．[解析] 由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222. 若用两种颜色有122；212；221；211；121；112. 所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14.[答案] 1415．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________．[解析] 如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，从O ，A ，B ，C ，D 这五点中任取两点的情况有C 25＝10种．∵正方形的边长为1，∴两点距离为22的情况有(O ，A )，(O ，B )，(O ，C )，(O ，D )4种，故P ＝410＝25. [答案] 2516.(2014·福建高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．[解析] 因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝e x的图像关于正方形的对角线所在直线y＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛1e ln xdx ＝2(x ln x －x )⎪⎪⎪e1＝2[(eln e－e)－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝2e2.[答案] 2e2。

课题：古典概型与几何概型知识点一、古典概型古典概型：（1）所有基本事件有限个；（2）每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型.如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P =（3）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数； ②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）= 总的基本事件个数包含的基本事件数A【典型例题】例1.4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )A.12B.13C.23D.34例2.同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是( )A.118B.112C.19D.16例3.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________． 例4.甲，乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．例5.从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________． 例6.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．【举一反三】1．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A.13B.512C.12D.7122．已知集合M ＝{}1，2，3，4，N ＝{}a ，b |a ∈M ，b ∈M ，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.183．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．4．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9 (cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是________．5．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：（1）A ：取出的两球都是白球；（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球．知识点二、几何概型1.基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）= 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．2.几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多【典型例题】例1.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于（ ） A.21 B. 32 C.53 D.52 例2.（ ） A.101 B.91 C.111 D.81 例3.用力将一个长为3米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为________．例4.如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是________． 例5.有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为________．(填序号)【举一反三】1．在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则含有麦锈病种子的概率是________．2．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．3．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )＝_______.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．5．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________．6．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．【课堂巩固】1．同时向上抛100个铜板，落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为对这100个铜板下面情况更可能正确的是（ ）A ．这100个铜板两面是一样的B ．这100个铜板两面是不同的C ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的2．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个红球与都是黒球B ．至少有一个黒球与都是黒球C ．至少有一个黒球与至少有1个红球D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球3．设,A B 为两个事件，且()3.0=A P ，则当（ ）时一定有()7.0=B PA ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 Ｃ．B A ⊆ Ｄ． A 不包含B4. 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（ ） A.157 B.158 C.53 5. 在1万 km 2的海域中有40 km 2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是. A.2511 B.2491 C.2501 D.2521 【课后练习】正确率：__________1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ）A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.72．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ ）A ．4030B ．4012C ．3012 D ．以上都不对 3．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ）A ．81B ． 83C ． 85D ． 87 4. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（ ） A.2251 B.3001 C.4501 5. 取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是（ ） A.21 B.31 C.41 6.在20瓶墨水中，有5瓶已经变质不能使用，从这20瓶墨水中任意选出1瓶，取出的墨水是变质墨水的概率为_________.7. 从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，则三个数字完全不同的概率是_________.8. 在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率..9. 抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率；（2）出现两个4点的概率.。