平方根(1)

课堂教学设计日期：2012 年月. 日2第一课时平方根（1）教学过程教学内容教学环节教师活动学生活动教学媒体使用预期效果(批注)一、创设情境，导入新课学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为252dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是212dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？二、师生互动，课堂探究归纳应用新知提出问题：（书P68页的问题）你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？1.归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a.2、试一试你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．3想一想下列式子表示什么意思？求出它们的值吗？4、例1 求下列各数的算术平方根：（1）100；(2)1；(3)6449；(4)0.0001学生思考并交流解法求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根。

三巩固练习P69练习 1、2四、探究怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？方法1：课本中的方法，方法2：可还有其他方法，鼓励学生探究。

问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？46课堂教学设计课题：立方根授课时数： 2日期：2012年月日81012课堂教学设计课题：实数授课时数： 2日期：2012年月日14161820。

平方根表（一）一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造。

2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。

3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。

4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。

二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。

2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。

三、教学过程由上一节的知识，我们知道，，，我们看到16、9、36的算术平方根为有理数，但我们也发现并非所有的有理数的平方根都是一个有理数，例如2的平方根，我们并不知道什么数的平方等于2，所以对于式子的值，我们只能求得它的任何精确度的近似值，如何求其近似值呢？由上节的内容，我们已经学到了平方与开平方运算是一为逆运算的。

我们看下面的计算：由此我们看到是一个在1.414和1.415之间的数，将上述运算继续下去，便可以得以更为精确的的近似值。

用这咱方法我们可以求得像、等这样式子的近似值，但显然这种方法十分麻烦，在实际解题过程中不易使用。

为了迅速求得一个数的平方根，我们一起来了解一下平方根表的结构，并学习如何利用这个表查得一些数的平方根。

我们先看表的左上角标有“N”，“N”所在的直列中的数是指被开方数的前两位数，“N”所在的横行中的数是被开方数的第三位数，表最右边的数叫做修正值。

表中间最头部分，是所求数的算术平方根，由四位有效数字的数构成它的第四位一般是四舍五入得到的。

由此我们可以清楚《平方根表》查得的平方根也是近似值，但我们在写结果时，仍用等号表示。

这个表中列出了从1.00至99.9的三个数位的数的算述平方根及其修正值，从中可以查到从1.000至99.99有四个有效数字的数的算术平方根的近似值。

第三章实数（解析板）1、平方根知识点梳理平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根的性质平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．同步练习一．选择题（共12小题）1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．﹣3或1【考点】平方根．【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．【解答】解：当2m﹣4＝3m﹣1时，m＝﹣3，当2m﹣4+3m﹣1＝0时，m＝1．故选：D．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数是解题的关键．2．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2B．±5C．5D．﹣5【考点】平方根．【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，则b＝﹣3，a＝﹣2，b＝3，则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．3．的平方根是（）A．±4B．4C．±2D．+2【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．【解答】解：＝4，±＝±2，故选：C．【点评】本题考查了平方根，先求算术平方根，再求平方根．4．的平方根是（）A．4B．±4C．2D．±2【考点】平方根；算术平方根．【分析】先化简＝4，然后求4的平方根．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：D．【点评】本题考查平方根的求法，关键是知道先化简．5．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【考点】平方根．【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．6．4的平方根是（）A．16B．2C．±2D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7．一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，则这个正数为（）A．5B．10C．25D．±25【考点】平方根．【分析】根据正数平方根互为相反数，可得一个平方根的和为0，根据解方程，可得x 的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解；一个正数的平方根为2x+1和x﹣7，∴2x+1+x﹣7＝0x＝2，2x+1＝5（2x+1）2＝52＝25，故选：C．【点评】本题考查了平方根，先求出平方根，再求出被开方数．8．a﹣1与3﹣2a是某正数的两个平方根，则实数a的值是（）A．4B．C．2D．﹣2【考点】平方根．【分析】先利用一个数两个平方根的和为0求解．【解答】解：∵a﹣1与3﹣2a是某正数的两个平方根，∴a﹣1+3﹣2a＝0，解得a＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了平方根，解题的关键是熟记平方根的关系．9．4的平方根是（）A．2B．﹣2C．±2D．16【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．10．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【考点】平方根．【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2＝0，解得：a＝﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．11．（﹣0.7）2的平方根是（）A．﹣0.7B．±0.7C．0.7D．0.49【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．【解答】解：∵（﹣0.7）2＝0.49，又∵（±0.7）2＝0.49，∴0.49的平方根是±0.7．故选：B．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．9的平方根为（）A．3B．﹣3C．±3D．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．【解答】解：9的平方根有：＝±3．故选：C．【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．二．填空题（共5小题）13．的平方根是±2．【考点】平方根；算术平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵＝4∴的平方根是±2．故答案为：±2【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．14．一个正数的平方根分别是x+1和x﹣5，则x＝2．【考点】平方根．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知x+1+x﹣5＝0，解得：x＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．15．的平方根是±3．【考点】平方根．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题．【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，∴的平方根是±3．故答案为±3．【点评】本题考查算术平方根、平方根的定义，解题的关键是记住平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，属于基础题，中考常考题型．16．如果的平方根等于±2，那么a＝16．【考点】平方根．【分析】首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出a的值．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴＝4，∴a＝（）2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．要注意在平方和开方之间的转化．17．4的平方根是±2．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求非负数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．三．解答题（共10小题）18．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．【考点】平方根；立方根．【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．【解答】解：由题意，有，解得．∴±＝＝±3．故a+b的平方根为±3．【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a 的立方根．19．若一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，求a的值．【考点】平方根．【分析】利用正数的两平方根和为0，进而求出m的值，即可得出答案．【解答】解：∵一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，∴2m﹣3+5﹣m＝0，解得：m＝﹣2，则2m﹣3＝﹣7，解得a＝49．【点评】此题主要考查了平方根的定义，得出m的值是解题关键．20．一个正数x的两个不同的平方根是3a﹣4和1﹣6a，求a及x的值．【考点】平方根．【分析】由于应该正数的两个平方根互为相反数，据此可列出关于a的方程，求出a的值，进而可求出x的值．【解答】解：由题意，得：3a﹣4+1﹣6a＝0，解得a＝﹣1；所以正数x的平方根是：7和﹣7，故正数x的值是49．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．21．求x的值（1）16x2﹣49＝0（2）24（x﹣1）2﹣6＝0【考点】平方根．【分析】（1）先移项，再两边都除以16，继而两边开平方即可得；（2）先移项，再两边都除以24，继而两边开平方，最后解方程即可得．【解答】解：（1）∵16x2﹣49＝0，∴16x2＝49，∴x2＝，则x＝±；（2）∵24（x﹣1）2﹣6＝0，∴24（x﹣1）2＝6，则（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，解得：x＝或x＝．【点评】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．22．已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b﹣5立方根﹣3，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得a、b的值；接着估出的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得1+3a＝49，2a﹣b﹣5＝﹣27；故a＝16，b＝54；又有10＜＜11，可得c＝10；则a+b+c＝16+54+10＝80．则80的平方根为±4．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根．【考点】平方根；立方根；估算无理数的大小．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案．【解答】解：根据题意，可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8；故a＝5，b＝2；又∵2＜＜3，∴c＝2，∴a+b+c＝5+2+2＝9，∴9的平方根为±3．【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．24．求下列各式中x的值．（1）（x+1）2﹣4＝0．（2）3x2+4＝﹣20．【考点】平方根．【分析】（1）根据平方根，即可解答；（2）根据平方根，即可解答．【解答】解：（1）（x+1）2﹣4＝0，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x＝1或x＝﹣3．（2）3x2+4＝﹣20，3x2＝﹣24，x2＝﹣8，原方程无解．【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．25．已知x＝1﹣a，y＝2a﹣5．（1）已知x的值4，求a的值及x+y+16的平方根；（2）如果一个数的平方根是x和y，求这个数．【考点】平方根；整式的加减．【分析】（1）先列式1﹣a＝4，可得a的值，根据y＝2a﹣5可得y的值，从而进行计算可得答案；（2）根据一个数的平方根互为相反数，可得a的值，根据平方运算，可得答案．【解答】解：（1）∵x的值4，∴1﹣a＝4，a＝﹣3，∴y＝2a﹣5＝2×（﹣3）﹣5＝﹣11，∴x+y+16＝4﹣11+16＝9，即x+y+16的平方根是±3；（2）∵一个数的平方根是x和y，∴1﹣a+（2a﹣5）＝0，解得a＝4，当a＝4时，（1﹣a）2＝（1﹣4）2＝9，答：这个数是9．【点评】本题考查了平方根和整式的加减，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，以防漏掉．26．已知2m+3和4m+9是x的平方根，求x的值．【考点】平方根．【分析】①正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m 的值；②2m+3＝4m+9，可求得m的值．然后利用平方根的定义即可求得x的值．【解答】解：∵2m+3和4m+9是x的平方根，∴2m+3+4m+9＝0或2m+3＝4m+9，解得：m＝﹣2或﹣3，当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1；当m＝﹣3时，2m+3＝﹣3．∴x＝（±1）2＝1或x＝（﹣3）2＝9．故x的值为1或9．【点评】本题考查了对平方根的定义和性质，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．27．已知2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，求m的值和这个正数的平方根．【考点】平方根．【分析】正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到2m+3+4m+9＝0，可求得m的值，然后利用平方根的定义即可求得这个正数的平方根．【解答】解：∵2m+3和4m+9是一个正数的两个平方根，∴2m+3+4m+9＝0，解得：m＝﹣2，当m＝﹣2时，2m+3＝﹣1，4m+9＝1．故m的值为﹣2，这个正数的平方根是±1．【点评】本题考查了平方根，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键11。

§16.1 平方根与立方根1. 平方根（1）(杨瑞捷)一、 教学目标1. 掌握平方根及算术平方根的概念．2. 能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根．3. 培养学生观察问题和概括问题的能力．二、 教学重点平方根和算术平方根的概念和性质．三、 教学难点平方根与算术平方根的区别与联系．四、 教学过程(一) 创设情境，导入新课洋洋在玩“七巧板”时，不小心把“七巧板”里面的正方形丢了，爸爸决定自己做一个和原来一样的正方形．但现在只知道正方形的面积是25平方厘米，问爸爸能否完成这个任务?(学生探讨，回答问题)(二) 观察概括由正方形的面积容易得到其边长为5厘米，故爸爸要完成任务只需做一个边长为5厘米的正方形即可．由此引入平方根的意义．1. 平方根：如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根．问题：25的平方根只有一个吗?(学生回答问题，引导发现一个正数的平方根有2个，且互为相反数)2. 试一试：(1) 144的平方根是多少? (2) 0的平方根是多少?(3)254的平方根是多少? (4) －4有没有平方根?为什么?(请学生自己也编3道题目，同桌交换解答，你发现了什么?)通过“试一试”让学生自己发现结论，教师再加以总结．概括：（1）一个正数有两个平方根，且互为相反数；（2）零只有一个平方根；（3）负数没有平方根．3. 算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．记作a，读作“根号a”．问题：（1）正数a的平方根怎样记?（2）零的算术平方根是什么?4. 开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．引导学生认识到将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根．(三) 练习反馈例1 将下列各数开平方：(1) 49； (2) 1.69．(题(1)由学生口述，老师边纠正边板演，题(2)由学生独立完成) (四) 课堂小结本节课你有什么收获?谈谈你的看法．(五) 布置作业课本第4页练习第1题．补充：判断下列说法是否正确：(1) ±1的平方根是1．(2) 1的平方根是1．(3) －25的平方根是±5．(4)324＝±18．(5) 9是(－9)2的算术平方根．(6) －5是25的平方根．§16.1 平方根与立方根1. 平方根(2)(郑劭鹏)一、教学目标1. 巩固平方根、算术平方根的概念．2. 会用计算器求平方根．二、教学重点计算器的使用操作．三、教学难点领悟一个非负数的平方根存在的必然性．四、教学过程(一) 复习上节内容，创设问题情境上节课洋洋的爸爸替洋洋做了一个面积为25平方厘米的正方形，补齐了“七巧板”．如果“七巧板”里的正方形面积是26平方厘米，请问：洋洋的爸爸能否照样完成任务呢?(二) 学生讨论，师生共同分析归纳这个问题即求26的算术平方根．分析：因为25＝5，36＝6，所以5＜26＜6．但我们很难找到一个准确的有理数，使其平方等于26，怎么办?(三) 利用计算器求平方根例用计算器求下列各数的算术平方根．(1) 121； (2) 529； (3) 26．解：(1) 在计算器上依次键入1 2 1 ＝，显示结果为11，所以121的算术平方根为121＝11．(2) 略．(3) 在计算器上依次键入2 6 ＝ ，显示结果为5.099 019 514，所以26的算术平方根为26＝5.099 019 514．如果精确到0.01，那么26≈5.10．(四) 练习反馈1. 课本第5页练习第2、 3题．2. 补充练习：填空：(精确到0.001)(1)35＝_______； (2)4.0±＝_______； (3)6-＝_______； (4)3±＝_______；(5) 5的平方根是_______； (6)49的平方根是_______．(五) 小结1. 一个非负数的平方根一般可通过平方运算或计算器求得．2. 一个非负数的平方根可能是整数，也可能是小数(包括有限小数和无限小数)．(六) 作业布置课本第7页习题16.1第1、4题．§16.1 平方根与立方根2. 立 方 根(刘雯雯)一、 教学目标1. 理解立方根的概念，并会用根号表示．2. 理解立方与开立方互为逆运算，会根据立方运算求一个数的立方根．3. 会使用计算器求任意数的立方根．4. 培养学生用类比的方法获取新知识的习惯，提高学生合理推理的能力． 二、 教学重点立方根的意义．三、 教学难点类比思想的运用．四、 教学过程(一) 情景引入现有体积为216cm 3的一个正方体木盒，它的每一条棱长是多少?(二) 类比探索这个问题的实质是提出怎样的一个计算问题?类比“平方根”的概念，你可以抽象出一个什么样的概念?分组讨论．(学生讨论发言，指出立方根的概念)下列各数的立方根分别是多少? (1) 27； (2) －27； (3) 0．自己编三道求立方根的题目，同桌交换解答，观察这些题目的答案，你有什么发现?(培养学生观察问题、概括问题的能力)概括：任何数都只有一个立方根；正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．我们已学过平方根如何表示，你能通过类比的方法，猜测立方根怎样表示吗? (学生讨论，小组合作)(三) 应用举例例1 求下列各数的立方根：(1)278； (2) －125； (3) －0.008．(题(1)由学生口述，老师板演，其余两题由学生独立完成)例2 用计算器求下列各数的立方根：(1) 1331； (2) －343； (3) 9.263．(分析：与求平方根类似，可直接按书写顺序键入)学生动手操作，体会操作步骤．(四) 练习巩固课本第7页练习第1、2题．(五) 拓展延伸1. 27的立方根与－27的立方根有什么关系?2. a的立方根与－a的立方根有什么关系?(六) 课堂小结这节课你学会了什么?与上节课相比有什么异同?(七) 布置作业课本第7页习题16.1第2、3题．§16.2 二次根式1. 二次根式的概念(陈友才)一、教学目标(一) 知识目标了解二次根式的概念，理解二次根式的基本性质．(二) 能力目标培养学生分类讨论的数学思想．(三) 情感目标通过小组合作学习，体验探索学习数学的乐趣．二、教学重点二次根式的基本性质．三、教学难点探索化简2a的过程．四、教学过程(一) 提出问题1上一节课我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号a.想一想： (1) a表示什么?(2)a需要满足什么条件?为什么?让学生合作交流，然后回答问题，归纳为： (1) 当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根；当a 是零时，a 表示零，也是零的算术平方根．(2) a 是非负数，即a 应满足条件a ≥0，因为负数没有平方根．概括：形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．范例1：要使式子1-x 有意义，字母x 的取值必须满足什么条件?解：由 x －1≥0，得x ≥1．显然可得a ≥0 (a ≥0)． (1)探索：若1-x ＋(y －2)2＋｜z ＋3｜＝0，你能说出x 、y 、z 的值是多少吗?试一试：完成课本第10页练习第2题．(二) 提出问题22)(a (a ≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证．例如：2)4(＝4，2)10(＝10等．(通过小组活动用计算器举例验证)概括可得：2)(a ＝a (a ≥0)．(2)反思：2)5(-＝－5，对不对?如果不对，错在哪里?试一试：完成课本第10页练习第1题．探索：能否用平方差公式把2x －3分解因式?(三) 提出问题32a 等于什么? a 的取值有没有限制?我们不妨取a 为2， (－2)， 3， (－3)， …，计算对应的值，有22＝4＝2；2)2(-＝4＝2；23＝9＝3；2)3(-＝9＝3；…… 概括：当a ≥0时，2a ＝______；当a ＜0时，2a ＝______．也就是说，2a ＝__________＝⎩⎨⎧<≥).0(__________),0(__________a a (引导学生体会分类讨论的数学方法)探索：2)(a 与2a 是一样的吗?说说你的理由，并与同学交流． (学生分组讨论，并交流、归纳、总结，培养学生合作学习的意识)(四) 知识回顾1. 什么叫做二次根式?2. 二次根式有哪些性质?(1) a ≥0 (a ≥0)；(2) 2)(a ＝a (a ≥0)；(3) 2a ＝｜a ｜＝⎩⎨⎧<≥).0(__________),0(__________a a(五) 布置作业1. 课本第14页第1题．2. 计算：(1) 2)5(； (2) 27； (3) 2)8(-； (4) 216x ．§16.2 二次根式 3. 二次根式的加减法(陈炳瑞)一、 教学目标1. 使学生会辨别两个根式是同类二次根式．2. 会合并同类二次根式．3. 通过二次根式的加减运算，进一步体会分类的思想方法．二、 教学重点明确同类二次根式，会合并同类二次根式．三、 教学难点如何辨别两个根式是同类二次根式．四、 教学过程(一) 新课引入1. 简述整式及同类项的概念：让学生自行编1～2道整式加减的题目并计算．(要求所编题目至少要有两项是同类项)例如：计算(1)y x y x +--33443； (2)12462222+--+b a ab b a ab ．2. 请两个学生上台解答上述两题．解：(1)原式＝y x y x 3)14()43(33--=+-+-．(2)原式＝1431)26()41(2222++-=+-+-b a ab b a ab ．3. 简要讲评计算情况．(二) 讲述新课1. 让学生改题再计算(可改自己编的题)．要求把同类项中的字母带上二次根号，即(1)y x y x +--33443； (2)12462222+--+b a ab b a ab ． 2. 让学生都改完题目后，提问如何计算，并鼓励学生上台计算上述两题． 解：(1)原式＝y x x y x 333--=--．(2)原式＝14314322++-=++-b a a b b a ab ．3. 老师巡视过程中可能发现有不同解答方法：如第(1)小题答案可能有三种情况：①直接合并：y x 33--；②先合并，再化简：y x x 3--；③先化简，再合并：y x x 3--．4. 讲解什么是同类根式，什么是合并同类根式．5. 以第(1)题为例，让学生充分讨论三种不同解法，提问如何选择方法． 方法一：yx y x +--33443＝y x 33--．(直接合并，但没有化成最简根式)方法二：yx y x +--33443＝yx 33--＝y x x 3--．(直接合并，再化为最简根式)方法三：y x y x +--33443 ＝y x x 43-y x x +-4＝y x x 3--．(先化为最简根式，再合并)学生讨论，发现第一种解法的答案不是最后结果． 6. 举两例让学生探索进行二次根式加减的方法．(1) 24312223233+++-； (2) 3248381227+++-．7. 学生计算结果发现两题答案相同．第(1)题能直接合并，而第(2)题表面看无同类根式，不能直接合并，通过化简二次根式后发现正好是第(1)题．因此总结出二次根式加减的方法：应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．(三) 课堂练习课本第14页练习第2题．(四) 布置作业课本第14页习题第3题的第（4）、（5）题．§16.2 二次根式2. 二次根式的乘除法(1)(万群)一、教学目标1. 使学生能够掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算．2. 使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练地化简二次根式．3. 培养学生合情推理能力．二、教学重点会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算．三、教学难点二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．四、教学过程(一) 引入新课1. 观察下面的例子：(1)4×25＝2×5＝10；4⨯＝100＝10．254⨯．于是可以得到：4×25＝25(2)16×9＝4×3＝12；16⨯＝144＝12．916⨯．于是可以得到：16×9＝92. 由学生归纳得出结论：由前面所举特殊例子，引导学生总结出：一般有aabba．⨯b=,0(≥≥)0(二) 新课1. 二次根式的乘法注意：(1) 二次根式的乘法，可以直接利用公式)0,0(≥≥=⨯b a ab b a ； (2) 运算的结果，应该尽量化简．2. 例1 计算： (1) 7×6；(2)21×32． 解：(1) 7×6＝67⨯＝42． (2)21×32＝3221⨯＝16＝4．等式)0,0(≥≥=⨯b a ab b a ，也可以写成)0,0(≥≥⨯=b a b a ab ，利用它可以进行二次根式的化简，例如)0(22≥=⨯=a b a b a b a ．利用这个性质可以对二次根式进行变形：将因式适当改变后移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．例2 化简(1)12； (2)34a ．解：(1) 12＝3232323422=⨯=⨯=⨯． (2) 34a ＝a a a a a a 22422=⨯=⨯⨯． 3. 让学生思考：不查表，比较23与32的大小．学生讨论得出：法一：23＝1829=⨯， 32＝1234=⨯．因为18＞12， 所以 1218>， 所以 23＞32．法二：(23)2＝18， (32)2＝12． 因为18＞12，所以23＞32．4. 让学生讨论回答用长3cm ，宽2.5cm 的邮票30枚摆成一个正方形，这个正方形的边长是多少?你可以用几种不同的方法求解?(三) 作业1. 第14页习题18.2第2题的第(1)(2)题，第3题的第(1)(2)题，第4题．§16.2 二次根式 2. 二次根式的乘除法(2)(万 群)一、 教学目标1. 使学生能掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算．2. 使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式．二、 教学重点二次根式的除法运算法则以及用它进行简单的二次根式的除法运算；化简二次根式；探索二次根式的除法运算法则的过程．三、 教学难点探求二次根式的除法运算法则．四、 教学过程(一) 引入新课回顾二次根式的乘法公式：)0,0(≥≥=⨯b a ab b a ．(二) 小组合作讨论，探索规律让学生分小组讨论：参考二次根式的乘法法则的研究，探索二次根式的除法法则，并归纳出：)0,0(>≥=b a baba ． 提问：1. 这里为什么要求0,0>≥b a ?2. 能得到)0,0(>≥=b a b a b a 吗? (三) 范例例1 计算：(1)315； (2)324．1. (1) 由老师示范； (2) 可由学生讨论解题方法．提问：除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，讨论出另外解法，例如：315=535394533315===⋅⋅．2. 学生讨论：上述解法哪种较简便?例2 化简：21 (要求分母不带根号)．解：21＝2222222121212==⨯⨯==．引导学生总结出：二次根式的化简结果应满足以下两点：(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含能开得尽的因式或因数，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”．引导学生总结出二次根式的化简的具体方法：化去根号下的分母；并把被开方数能开得尽的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面．(四) 做一做1. 由学生板演，并由同学进行评价．化简：(1)51； (2)208．2. 用提问的方法引导学生探索其他方法．(五) 课堂练习第12页练习第1题的第(3)(4)题．思考：化简a ab ．(六) 作业第14页习题18.2第2题的第(3)题，第3题的第(3)题．§16.3 实数与数轴(1)(赵宏彬)一、 教学目标1. 了解实数的意义，能对实数进行分类．2. 了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数．3. 会估计两个实数的大小．二、 教学重点了解实数意义，能对实数进行分类，了解数轴上的点与实数一一对应，并能用数轴上的点来表示无理数．三、 教学难点用数轴上的点来表示无理数． 四、 教学过程(一) 创设问题情境，导入实数的概念1. 提出问题：问题1：用什么方法求2?其结果如何?问题2：你能利用平方关系验算所得结果吗?即把所得结果平方后会等于2吗?为什么?问题3：验证的结果不是2，而是接近于2，这说明了什么问题?问题4：如果用计算机计算2，结果如何呢?让学生阅读课本第15页计算机显示的结果，后面能否写完?后面有没有规律呢?那么它的结果属于什么小数呢?问题5：既然后面写不完，那么有没有一个有理数的平方等于2?如果2不是有理数，那么它是一个怎么样的数呢?2. 回顾以往知识：(1) 什么叫做有理数呢?整数和分数统称有理数．(2) 随意写出三个分数，将它化成小数，看看结果如何?任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数．(3) 小数可以分为几种?有限小数、无限循环小数、无限不循环小数．3. 导入无理数的概念：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们都属于分数，都是有理数，而无限不循环小数不能化为分数，所以2不是有理数，我们把这样的无限不循环小数都叫做无理数．提问：除了2之外，还有哪些也是无理数?为什么?有理数和无理数统称为实数．(二) 试一试问题1：按照计算器显示的结果，你能想像出2在数轴上的位置吗?问题2：你能在数轴上找到2表示的点吗?请同学们准备两个边长为1的正方形纸片，分别沿它的对角线剪开，得到四个什么三角形?如果把四个三角形拼成一个大的正方形，其面积为多少?其边长为多少?根据这个事实，我们就可以画出表示2的点，如图：(三) 反思提高问题1：如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴将被填满吗? 问题2：如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?总结：数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来每一个实数(有理数或无理数)也都可以用数轴上的一个点来表示，即实数与数轴上的点一一对应．(四) 例题讲解例 试估计23+与π的大小关系．说明：正实数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行． 提问：若将本题改为－(23+)与－π的大小关系，如何解答?(五) 课堂练习课本第17页练习第1题，第18页练习第3题．(六) 小结1. 什么叫无理数?2. 什么叫实数?3. 有理数和数轴上的点一一对应吗?为什么?4. 无理数和数轴上的点一一对应吗?为什么?5. 实数与数轴上的点一一对应吗?为什么?(七) 作业设计1. 在下列数：－0.5， －3π， 21，5，7，722，36， 0，3125-中有理数有：________________；正数有：________________； 无理数有：________________；负数有：________________．2. 比较下列各组中两个实数的大小：(1) 27与35； (2) －62与－33．3. 在数轴上作出－2的对应点，如何作出3的对应点呢?16.3 实数与数轴(2)(唐朝宣)一、 教学目标1. 了解有理数的相反数和绝对值等概念以及运算法则、运算律在实数范围内仍然适用．2. 能利用运算法则进行简单四则运算．二、 教学重点了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，利用运算法则进行简单四则运算． 三、 教学难点熟练地运用法则进行实数的四则运算．四、 教学过程(一) 创设问题情境，导入新知1. 复习(1) 用字母表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．(2) 用字母表示有理数的加法交换律和结合律．(3) 写出平方差公式和完全平方公式．(4) 有理数a 的相反数是什么?不为0的数a 的倒数是什么?有理数a 的绝对值是什么?2. 在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数、绝对值等概念，大小比较，运算法则及运算律仍然适用．(二) 例题讲解例1 计算：23322--π．(结果精确到0.01)分析：对于实数的运算，通常可以取它们的近似值来进行．例2 计算：(1)(2＋1)(2－1)；(2)3312-；(3)2)1( ．3(三) 课堂练习课本第17页练习第2题，第18页练习第4题．(四) 小结1. 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．2. 实数的运算法则： a＋b＝b＋a， (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， a×b＝b×a，(a×b)×c＝a×(b×c)， (a＋b)×c＝ac＋bc．3. 实数的计算公式．(五) 作业第21页复习题第2、3题．。

平方根（一）教学目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根；3.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生的兴趣。

教学重点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

教学难点：算术平方根的概念。

一 情境导入：同学们，2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度1v （米／秒）而小于第二宇宙速度：2v （米／秒）．1v 、2v 的大小满足gR v gR v 2,2221==.怎样求1v 、2v 呢？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念．请看下面的问题．二 提出问题，感受新知展示教科书第2页的动脑筋（问题略），然后提出问题：你是怎样求出地砖的边长等于0.3 m 的呢？（学生思考并交流解法）三 归纳新知上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数．一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x =a (x ≥0)中，规定x =a .思考：这里的数a 应该是怎样的数呢？试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根，因为……四 应用新知例．（课本第3页的例1）求下列各数的平方根：（1） 36；(2) 925；(3) 1.21；（4） 1 建议：首先应让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式，应该用怎样的记号来表示它，在此基础上再求出结果，例如求100的算术平方根，就是求一个数x ，使2x =100，因为100102 ，所以；五 探究拓展提出问题：（课本第160页）怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？方法1：课本中的方法，略；方法2：可还有其他方法，鼓励学生探究。

《平方根》教学设计[课题名称]苏科版数学八年级上册第四章第一节《平方根》第一课时。

[教材简解]本节教材是学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”认识了运算“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方。

在这节内容的学习中要认识学习平方根，学习平方根的概念及其运用。

并对“乘方”和“开方”、“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导——探索——类比——发现”中发展学习数学的能力。

对平方根的性质，教材是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”中的具体问题，让学生根据平方根的意义，举例讨论分析类比得出结果，再分析结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论。

因此学生必须了解平方根的性质产生的背景，经历性质的探索过程、理解、掌握基本技能；同时也力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。

[目标预设]1、培养学生的逻辑分析能力。

使学生理解经历数的平方根的概念形成过程，，能运用根号表示一个数的平方根；让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力，使学生能把本节课知识与先前已学经验、知识建立联系，更好地分析问题，使知识系统化。

2、培养学生的综合转化能力。

掌握用平方运算求某些数的平方根的方法。

通过学生利用利用观察、归纳、类比、概括、推理等多种综合分析手段，从而由特殊到一般地探究出平方根性质，提高处理实际问题的能力。

3、培育学生合作交流的能力。

通过了解乘方与开方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的平方根，让学生利用已经具有的合作学习的经验，感受到创造性活动带来的愉快，体会真正的数学美，增强相互间的合作与交流，培养的数学情感。

[重点难点]1、重点：平方根的概念，会用根号表示一个非负数的平方根。

2、难点：学会理解归纳平方根的性质，并能运用开平方运算求一个非负数的平方根。

[设计思路]本小节安排两课时，第一课时：在具体的例子中抽象出数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根，发展学生的抽象概括能力。

先通过对乘方的意义到总结出平方根的基本概念，然后解决单纯数或者式子的平方根的计算；第二课时，归纳类比得到算术平方根的概念和基本性质并解决一些简单的现实问题。

1到30的算术平方根表格1的平方是1
2的平方是4
3的平方是9
4的平方是16
5的平方是25
6的平方是36
7的平方是49
8的平方是64
9的平方是81
10的平方是100
11的平方是121
12的平方是144
13的平方是169
14的平方是196
15的平方是225
16的平方是256
17的平方是289
18的平方是324
19的平方是361
20的平方是400
21的平方是441
22的平方是484
23的平方是529
24的平方是576
25的平方是625
26的平方是676
27的平方是729
28的平方是784
29的平方是841
30的平方是900
立方根的概念：
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果x³=a,那么x叫做a的立方根。

平方根的概念：
平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root）。

一个正数有两个实平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，就是0本身；负数有两个共轭的纯虚平方根。