专题一力和运动(于万堂)

二体问题及质心系问题一．质心运动定理二。

二体问题的动力学问题如果一个系统中有两个相互作用的质点,并且系统的合外力为零，这类问题叫做二体问题。

如图所示,两个质点的质量分别为1m 和2m ，两者之间的相互作用力分别21f 和12f ，则有：1121a m f = 2212a m f =所以有:212121)11(f m m a a +=- 即：1212212121a u a m m m m f =+= 其中u 叫做约化质量。

即：两个物体之间的相互作用力大小等于约化质量乘以两个物体的相对加速度。

假如两个质点的质量分别为1m 和2m ，相距为12r ，如果以质心C 作为参考系，则1球和2球的坐标为:122121r m m m r C += 122112r m m m r C += 对以上两个式子求导得：122121v m m m v C += 122112v m m m v C += 再对以上两式求导得:122121a m m m a C += 122112a m m m a C += 又因为：12212121a m m m m f += 所以：C a m f 11 = C a m f 22 = 即：二体问题中，两物体之间的相互作用力等于物体的质量乘以物体相对于质心的加速度。

三．．质心系中的二体问题的动量和动能 【动量问题】对于有相互作用的两个质点，其质心坐标为212211m m x m x m x C ++= 对上式求导得：212211m m v m v m v C ++= 即：221121)(v m v m v m m C +=+)()(2211C C v v m v v m -=- ，即：01122=+C C v m v m即:两个相互作用的物体，以其质心为参考系，系统的动量为零。

【动能问题】：当质量分别为m 和M 的两个小球在同一直线上分别以速度1v 和2v 运动时，试求：（1)他们质心的运动速度(2)将他们的动能表达为两项之和，其中一项只包含质心速度，另一项只包含相对速度（v 1—v 2）（3）如果两球发生正碰,说明只有第二项发生了改变（4）在(3）的情况下给出恢复系数和总动能损失E ∆之间的关系式【习题】水平光滑桌面上有两个质量分别为M 和m 的两个物体，两者用一根劲度系数为k 的弹簧连接而处于静止状态，今用棒击质量为m 的物体，使之获得一指向另一方的速度v ，试利用约化质量概念求出此后弹簧的最大压缩长度1.水平面上有一辆质量为M的小车，车内有一平台，平台上有一根轻质弹簧,弹簧一端与小车的后壁固定，将弹簧压缩一定线度后锁定，并将一个质量为m的小球靠在压缩弹簧的自由端，解除锁定，弹簧可将小球弹出，小球飞出平台落在地板上。

角动量 天体运动一、基本知识1、当物体运动时，如果物体受到的合外力始终指向某一定点，我们把该定点叫做其运动的“心”，该力叫做有心力2、叉乘两个矢量的叉乘的乘积等于两个矢量的乘积再乘以两个矢量夹角的正弦。

即：θsin B A B A C ⨯=⨯= ,C的方向遵循右手螺旋定则 3、角动量物体在运动过程中，其对某一点A 的位移与其动量的叉积叫做物体对该点的角动量。

即：αrmvsin v m r L =⨯=4、角动量守恒定律当一个物体受到的力矩为零，则这个物体的角动量守恒。

（物体在有心力的作用下，其角动量守恒）二、天体的运动1、万有引力的几个结论（1）一个质量均匀分布的球壁状物质层，对放在其内部区域的质点的万有引力为零，而对放在其外部的质点则产生引力作用，而且其作用就像是整个球壁层的质量都集中在的它的中心一样。

（2）一个质量分布均匀的球壁状物质层，总质量为M 半径为R ，某一质量为ｍ的质点与其的万有引力势能有以下规律。

=P E )R r (r Mm G >- =P E )R r (RMm G≤-【问题】1、在球壳内的一个质量为m 质点受到的球壳所施加的万有引力为_____________2.一半径为R 质量为M 的均匀球体内有一质点，该质点质量为m ，距球心的距离为r(r<R)，则球体对该质点的万有引力为 ________________________2、开普勒三定律（1）行星轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（2）从太阳画到行星的矢径，在相等的时间内扫过相等的面积。

（3）行星绕太阳运行周期的平方正比于各行星轨道长半轴的立方。

【综合训练】A1、根据万有引力定律，行星和太阳之间的引力势能为rMm GE p -=试根据机械能守恒定律，开普勒第一和第二定律分别求出行星运动的总机械能E ，面积速度S 和公转周期T 的公式（用G 、M 、m 、a 、b 表示）并证明开普勒第三定律2、一质量为m 的卫星绕质量为M 的地球做半长轴为a ，半短轴为b 的椭圆运动，则该卫星在近地点的曲率半径为__________,在远地点的曲率半径为____________,在半短轴的端点的曲率半径为___________,该卫星的机械能为_____________B3、质量为m 的宇宙飞船绕地球中心O 作圆周运动，已知地球半径为R ，飞船轨道半径为2R ，现要将飞船转移到另一个半径为4R 的新轨道上。

牛顿定律一. 质点系牛顿第二定律对于连接体的问题，如果组成连接体的各个物体的加速度相同时，采用的方法一般是“先整体，后隔离”。

如果加速度组成连接体的各个物体的加速度不相同时，则一般采用“质点系牛顿第二定律”来解答。

如果一个质点系中的诸质点1m 、2m …….n m 在某一个任意的x 方向上受到了质点系以外的沿x 方向的作用力1x F 、2x F ………nx F （注意不包括这些质点间的相互作用力）,从而使得物体1m 、2m ……n m 分别产生了加速度1a 、2a ……..n a 。

1.如图所示，一只木箱放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的总质量是M ，环的质量为m ，已知，环沿杆以加速度a ()g a <加速下滑，则此时木箱对地的压力为多大？2.一条轻绳跨过一轻滑轮，滑轮和轴的摩擦不计。

在绳的一端挂一质量为1m 的物体，在另一侧有一质量为m 2的环，求当环相对于绳以恒定的加速度2a 沿绳向下滑动时，物体和环相对于地面的加速度各为多大？环与绳间的摩擦多大？3.如图所示，一密度为0ρ ，重为1W 的铁块悬挂在细线下，并全部浸入密度为ρ的液体中，液体和杯共重2W ，置于地面上。

（1）铁块平衡时，线的拉力以及杯底对地面的压力各为多大？（2）若剪断细线，铁块在该液体中“自由下落”时，杯底对地面的压力为多大？4.如图所示,一质量为M 的楔形块放在水平桌面上,它的顶角为90°，两底角为α和β；a 、b 是两个位于斜面上的质量均为m 的木块。

（1）若a 、b 均静止。

而楔形块也静止不动。

这时楔形块对水平桌面的压力等于 （ ）A ．Mg+mgB ．Mg+2mgC ．Mg+mg(sinα+sinβ)D ．Mg+mg(cosα+cosβ) 此时地面对楔形块的摩擦力( )A ．向左B 。

向右C 。

无法确定D 。

无摩擦（2）若所有接触面都是光滑的。

现发现a 、b 沿斜面下滑，而楔形块静止不动，这时楔形块对水平桌面的压力等于 ( )A ．Mg+mgB ．Mg+2mgC ．Mg+mg(sin α+sinβ)D ．Mg+mg(cosα+cosβ)(3)此时地面对楔形块的摩擦力( )A ．向左B 向右C 无法确定D 无摩擦5.如图一个质量为M 的斜面放在粗糙的地面上，斜面的表面光滑，一个质量为ｍ的物块沿斜面自由下滑，斜面保持静止，求：物体在下滑的过程中，斜面受到的摩擦力和支持的的大小各多大？α6.如图所示，一根绳跨过装在天花板上的滑轮，一段接质量为M的物体，另一端吊一载人的梯子而平衡，人的质量为m。

牵连运动1．模型飞机以相对于空气h km /39的速度绕着一个边长为km 2的等边三角形飞行，设风速h km u /21=，方向与三角形的一边平行，并和飞机起飞方向相同，问：飞机绕三角形一周需要多少时间？2.几辆相同的汽车以等速度v 沿宽为c 的直公路行驶，每车宽为b ，前后两车头尾间距为a ，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少？3．一辆坦克以速度v 1=54km/h 行驶，子弹与坦克的运动方向成角060=ϕ以速度h km v /18000=射到坦克的正面防护板上，被板弹开。

求弹开的子弹将以怎样的速度飞行？4.一帆船在静水中顺风飘行，风速为v0，问：船速多大时，风供给船的功率最大？（设帆面是完全弹性面，且与风向垂直）5.在海面上有三艘轮船，船A以速度u向正东方向航行，船B以速度2u向正北方向航行，船C以速度22u向东偏北45º方向航行。

在某一时刻，船B和C恰好同时经过船A的航线并位于船A的前方，船B到船A的距离为a，船C到船A的距离为2a.若以此时刻作为计算时间的零点，求在t时刻B、C两船间距离的中点M到船A的连线MA绕M点转动的角速度。

关系1:杆上各点沿杆方向的速度方向分量相等。

[相关练习]1.如图，一杆一端靠在光滑的竖直墙面上，一端放在光滑的 水平面上，当杆下滑至如图所示的位置时.(1) 杆端A 点和B 点速度关系是什么?(2) A 相对于B 作什么运动?【发散1】四根同样的硬杆长均为L ，杆端用铰链相连，构成菱形，其对角线BD 比对角线AC 长，菱形平放在桌面上，某时刻A 和C 两顶点以同样大小的速度v 沿直线AC 朝相反的方向开始运动，求当菱形变成正方形时顶点B 相对桌面的加速度？关系2:用两根绳连接的物体，沿绳方向的速度相等（因为绳不可伸长）。

[相关练习]1.人拉船过程中，人的速度为0v 假设绳子与水平方向的夹角为θ时，船的速度多大？如果在人匀速拉船，则船做的是什么运动？如果此时船和滑轮之间的绳长为l ，人的速度为0v ，绳子与水平方向的夹角为 ，船运动的加速度为a,则此时人的加速度为多大？【发散1】距离河岸（看成直线）500m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为min /1r 转动，当光速与岸边成600时，光束沿岸边移动的速率为______________【发散2】如图所示，AB 为水平的光滑细杆，另一细杆OP 可饶AB 上方距AB 高为h 的O 轴转动，两杆都穿过环Q 。

专题一力和运动一、知识要点聚焦(知识脉络图及主要规律和公式)二、例题精讲1．练习选择研究对象，灵活运用整体法与隔离体法．⑴连接体是指两个或几个物体相连接组成的物体系．对于连接体问题，若将连接体作为整体，则不必分析连接体内各物体之间的相互作用力，只要分析外界对连接体整体的作用力即可，从而简化受力分析和解题过程，这就是整体法．而隔离法则是将物体从连接体中隔离出来，化内力为外力，这样才能求解连接体内物体之间的相互作用力。

整体法和隔离体法在解决连接体问题中经常是交替采用的．⑵整体与隔离体实际上是解决问题时是对全局还是对局部进行分析思想的一种体现．隔离体既可以是几个物体，也可以是一个物体，或物体的一部分．⑶加速度相同的连接体问题,一般优先整体法求解；加速度不同的连接体问题，一般采用隔离体法求解．⑷整体法与隔离体法可广泛应用于平衡问题，动力学问题，电路问题等，实际上物理中多体问题的处理都要涉及到这种方法．【例1】如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速度在动摩擦因数为 的水平面上向左做匀减速运动，则中间一质量为m 的土豆A 它的总作用力大小是多少？【例2】如图所示，A 、B 、C 三个物体用绳相连，力F 拉A 、B 、C 一起在光滑水平面上运动，现在中间的B 上再加一个小物体，它和B 一起运动．设拉力F 不变，那么加上小物体后，两段绳中的拉力F a 和F b 的变化情况是：A . F a 增大B . F b 增大C . F a 变小D . F b 不变【例3】如图所示，静止在水平面上三脚架的质量为M ，它中间用两根质量不计的轻弹簧连着一质量为m 的小球．当小球上下振动时，三脚架对水平面的压力为零的时刻，小球加速度的方向，大小是 ．2．练习如何判断物体的运动情况．判断物体的运动情况应先分析物体的初始条件，抓住物体的初速度和合外力这两个基本物理量，然后再根据这两个量的关系进行分析：（1）判断物体运动轨迹曲直的方法：物体的速度与合外力（或加速度）共线，物体做直线运动；物体的速度与合外力（或加速度）不共线物体做曲线运动，曲线运动一定是变速运动．（2）判断物体是否做变速运动的方法：物体的合外力不为零（或加速度不为零），物体做变速运动．否则物体静止或做匀速直线运动．（3）判断物体加速减速的方法：物体的速度与合外力（或加速度）之间的夹角为锐角或二者同方向，物体做加速运动；物体的速度与合外力（或加速度）之间的夹角为钝角或二者反方向，物体做减速运动．（4）判断物体是否做匀变速运动的方法：物体的合外力（或加速度）恒定，物体做匀变速运动，例如自由落体运动是典型的匀变速直线运动，平抛运动是典型的匀变速曲线运动；物体的合外力（或加速度）发生变化，物体做变加速运动，例如弹簧振子的简谐运动是典型的变加速直线运动，匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动．【例4】在光滑水平面上有一个静止的物体．0时刻开始同时受到两个力F 1与F 2作用，若两力随时间的变化如图所示，则下列说法正确的是：A .在第2S 内物体做加速运动，加速度的大小逐渐减小，速度逐渐增大B .在第3S 内物体做加速运动，加速度的大小逐渐减小，速度逐渐增大C .在第4S 内物体做加速运动，加速度的大小逐渐减小，速度逐渐增大D .在第6S 内物体的加速度为零，运动方向与F 1方向相同 3．学会抽象物理模型．物理联系实际问题解决的关键就是通过受力分析和运动情况分析，将整个物理过程分解为一个或几个典型的物理模型．物理模型从研究对象上可分为质点、点电荷、光线等，从运动性质上可分为匀速直线运动、匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周运动、简谐运动等物理模型．物理模型中包含了重要的物理思想和主要的物理思维方法以及处理问题的手段，学好高中物理的关键是学会建立合适的物理模型。

机械能 一．几种力的功 （１）重力的功 （２）弹簧弹力的功弹簧在弹力kx F =的作用下，从位置1x 运动到了位置2x ，这一过程中弹簧弹力做负功，做的负功的绝对值等于如图梯形部分的面积。

所以有：22211221kx 21kx 21)x x )(2kx kx (W -=-+-=1、锤子每次从同一高度下落打击木桩，每次有0080的能量传给木桩，且木桩受到的阻力f 与插入地面的深度x 成正比，求木桩每次打入的深度比？2、如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形木块，木块体积为V ，高为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，用一细棒把木块缓慢地压至容器底部，求木棒的压力做了多少功?Ｏ 1x 2二、动能定理用动能定理解决问题的优越性在于对力作用的中间过程不予考虑，只要考虑初状态和末状态，这给问题的解决带来了不少的方便例题、两个质量均为ｍ的小球，用细绳连接起来，置于光滑的水平面上，绳刚好被拉直，用一个恒力Ｆ作用在连绳的中点，Ｆ的方向水平且垂直于绳的初始位置，Ｆ力拉动原来处于静止状态的小球，问在两个小球第一次相撞前的瞬间，小球垂直于Ｆ作用线的方向上的分速度是多大？（绳子长为２Ｌ）Array三、势能和机械能守恒1.一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。

试问在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。

2.一个盛满水的圆柱形水桶，桶底和壁都很轻很薄，桶的半径为R，高为h，桶的上缘处在湖面下深度为H处，如果用轻绳将它缓慢的上提，直到桶的底面刚离开水面，若不计水的阻力，求上提过程中拉力所做的功。

3.一个质量m=200.0千克，长l 0=2.00米的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部（如图7-8）。

桶内的横截面积S=0.500米2（桶的容积为l 0S ），桶本身（桶壁与桶底）的体积V 0=2.50×10-2米3。