二项分布题目

二项分布

两点分布: 又称伯努利分布或0-1分布，是离散型的随机变量，变量只能取两个值，非0即1.

两点分布如下：

二项分布是重复n次的伯努利试验，当n等于1时，为伯努利分布。在每次试验中只有两种可能的结果（0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，相互独立。

抛硬币例子：现在抛硬币n次，确定k次正面朝上的概率，已知正面朝上的概率为p.

在n次实验中，选择k次正面朝上，有

种可能，每一种可能的发生概率为pk(1-p)n-k。

即：k次正面朝上（n-k负面朝下）的概率为：

由此，二项分布的分布列（律）为：

多项分布

多项分布是二项分布的推广，同样是重复n次实验，不同的是每次实验的取值不只2种，而有k种。

抛骰子例子：现在抛骰子n次，该骰子有6个面，已知每一个面的概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6. 现在想知道各个面出现次数分别为k1,k2,k3,k4,k5,k6的概率是多少？

在n次实验中，分别让各个面出现次数为k1,k2,k3,k4,k5,k6次，有

种可能，每一种可能的发生概率为 。

即：该概率为：

由此，对于n次实验，每次实验的取值有k种，k种情况分别发生了x1…xk次，概率分别为p1…pk.

即：多项分布的分布列（律）为：

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【模块标题】二项分布

【模块目标】★★★★★☆ 迁移

【模块讲解】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况

知识回顾：

1.定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n，

并且()()1nkkk

nPkCpp−==−（其中0,1,2,,kn=），即分布列为

 0 1 2

P ()001n

nCpp− ()1111n

nCpp−− ...

 k ... n

P (1)kknk

nCpp−− ...

()01nn

nCpp−

称这样的随机变量服从二项分布，记作：()npB，﹒

2.二项分布的期望与方差：若()npB，，则()=Enp，()()1Dnpp=−

【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星)

一.题型分类：

1.二项分布基本概念题型；

2.根据二项分布求某一事件的概率； 目标1 ★★★☆☆☆ 操作 学会计算二项分布的数字特征

目标2 ★★★★☆☆ 识别 学会二项分布在实际问题中的应用

目标3 ★★★★★☆ 迁移 利用不等式求解二项分布最值问题 2

3.根据二项分布求某一范围的概率；

4.根据二项分布求EX、DX及其变形；

5.根据EX求概率p及某一事件的概率

6.根据EX和DX求np

二.方法步骤：

1.根据条件判断是否服从二项分布；

2.根据二项分布的性质列出相应的分布列

3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差；

三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布

里面的参数，然后套用公式进行求解。

例1. 下列随机变量

服从二项分布的是（ ）。

高中数学二项分布例题

二项分布适用于一系列独立重复试验，每次试验只有两种结果，通常称为“成功”和“失败”。设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1p，进行n次试验后，成功的次数X遵循二项分布，其概率质量函数为：

P(X = k) = C(n, k) p^k (1 p)^(n k)

其中，C(n, k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。

例题一：简单二项分布的应用

在一项产品质量检验中，某种产品合格率为80%。若随机抽取10件产品，求其中恰好8件合格的概率。

解：此问题可以看作进行10次独立试验，每次试验成功的概率p为0.8，失败的概率为0.2，n为10，k为8。根据二项分布的概率质量函数，可以计算如下：

P(X = 8) = C(10, 8) (0.8)^8 (0.2)^2

计算组合数C(10, 8) = 45，带入公式后得：

P(X = 8) = 45 (0.8)^8 (0.2)^2 ≈ 0.1937。

恰好8件合格的概率约为19.37%。

例题二：计算不超过某个成功次数的概率

在一场考试中，某学生在过去的测试中，答对题目的概率为0.7。若该学生参加5次测试，求至少有3次答对的概率。

解：求至少有3次答对的概率，可以通过计算0到2次答对的概率并用1减去得到：

P(X ≥ 3) = 1 P(X ≤ 2) 计算P(X ≤ 2)：

P(X = 0) = C(5, 0) (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 1 0.00243 ≈

0.0024。

P(X = 1) = C(5, 1) (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 0.7 0.0081 ≈

0.028.

P(X = 2) = C(5, 2) (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 (0.49) 0.027

≈ 0.1323。

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0.0024 +

人教A版（2019）选择性必修第三册《7.4 二项分布与超几何分布》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）甲乙两战士进行射击比赛，甲不输的概率为0.59，乙输的概率为0.44，则甲不赢的概率和甲、乙两人战平概率分别是( )

A. 0.41，0.03 B. 0.56，0.03

C. 0.41，0.15 D. 0.56，0.15

（5分）

2.随机变量ξ可能取值为1,2,3,...,𝑚，且等可能，若𝑃(ξ<3)=0.4，则自然数𝑚的值为( )

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

3.（5分）市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品的合格率是95％，乙厂的合格率是80％，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 ( )

A. 0.665 B. 0.56 C. 0.24 D. 0.285

4.（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312

5.（5分）已知随机变量𝑋∽𝐵(8.12)，则𝐸(3X−1)=( )

A. 11 B. 12 C. 18 D. 36

6.（5分）某次抽奖活动中，参与者每次抽中奖的概率均为25，现甲参加3次抽奖，则甲恰好有一次中奖的概率为( )

A. 25 B. 18125 C. 54125 D. 925

7.（5分）某人有5把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试过的钥匙放在一旁，打开门时试过的次数ξ为随机变量，则𝑃(ξ=3)等于( )

A. 35 B. 15 C. 25 D. 3！5！

8.（5分）设ξ的分布列为𝑃(ξ=𝑘)=𝐶5𝑘(13)𝑘(23)5−𝑘，(𝑘=0,1,2,3,4,5)，求𝐷(3ξ)=( )