二项分布表示形式

二项分布

科技名词定义

中文名称： 二项分布

英文名称： binomial distribution

定义： 描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。

所属学科： 大气科学 （一级学科）； 气候学 （二级学科）

本内容由 全国科学技术名词审定委员会 审定公布

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二项分布

二项分布即重复 n 次的伯努里试验。在每次试验中只有两种可能的结果 , 而且是互相对立的，

是独立的 , 与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变 , 则

这一系列试验称为伯努力试验。

目录

概念

医学定义

二项分布的应用条件

二项分布的性质

与两点分布区别

编辑本段 概念

二项分布（ Binomial Distribution ），即重复 n 次的伯努力试验

（ Bernoulli Experiment ） ,

用 ξ 表示随机试验的结果 .

如果事件发生的概率是 P, 则不发生的概率 q=1-p ， N 次独立重

二项分布公式

复试验中发生 K 次的概率是

P( ξ =K)=Cn(k)P(k)q(n-k)

注意 !: 第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。

那么就说这个属于二项分布 ..

其中 P 称为成功概率。

记作 ξ~B(n,p)

期望 :E ξ =np

方差 :D ξ =npq

如果

1. 在每次试验中只有两种可能的结果 , 而且是互相对立的 ; 2. 每次实验是独立的 , 与其它各次试验结果无关 ;

3. 结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变 , 则这一系列试验称为伯努力试验 .

在这试验中 , 事件发生的次数为一随机事件 , 它服从二次分布 . 二项分布

可

二项分布

以用于可靠性试验 . 可靠性试验常常是投入 n 个相同的式样进行试验 T 小时 ,

而只允许 k 个式样失败 , 应用二项分布可以得到通过试验的概率 .

二项分布

两点分布: 又称伯努利分布或0-1分布，是离散型的随机变量，变量只能取两个值，非0即1.

两点分布如下：

二项分布是重复n次的伯努利试验，当n等于1时，为伯努利分布。在每次试验中只有两种可能的结果（0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，相互独立。

抛硬币例子：现在抛硬币n次，确定k次正面朝上的概率，已知正面朝上的概率为p.

在n次实验中，选择k次正面朝上，有

种可能，每一种可能的发生概率为pk(1-p)n-k。

即：k次正面朝上（n-k负面朝下）的概率为：

由此，二项分布的分布列（律）为：

多项分布

多项分布是二项分布的推广，同样是重复n次实验，不同的是每次实验的取值不只2种，而有k种。

抛骰子例子：现在抛骰子n次，该骰子有6个面，已知每一个面的概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6. 现在想知道各个面出现次数分别为k1,k2,k3,k4,k5,k6的概率是多少？

在n次实验中，分别让各个面出现次数为k1,k2,k3,k4,k5,k6次，有

种可能，每一种可能的发生概率为 。

即：该概率为：

由此，对于n次实验，每次实验的取值有k种，k种情况分别发生了x1…xk次，概率分别为p1…pk.

即：多项分布的分布列（律）为：

共轭分布

在贝叶斯概率理论中，如果后验概率和先验概率满⾜同样的分布律，那么，先验分布和后验分布被叫做共轭分布，同时，先验分布叫做似然

函数的共轭先验分布。

Beta分布是⼆项式分布的共轭先验分布，⽽狄利克雷(Dirichlet)分布是多项式分布的共轭分布。

共轭的意思是，以Beta分布和⼆项式分布为例，数据符合⼆项分布的时候，参数的先验分布和后验分布都能保持Beta分布的形式，这种形式

不变的好处是，我们能够在先验分布中赋予参数很明确的物理意义，这个物理意义可以延续到后续分布中进⾏解释，同时从先验变换到后验

过程中从数据中补充的知识也容易有物理解释。

我们还是从⼀个例⼦讲起。假如你有⼀个硬币，它有可能是不均匀的，所以投这个硬币有 θ 的概率抛出Head，有 (1−θ) 的概率抛出Tail。如

果抛了五次这个硬币，有三次是Head，有两次是Tail，这个 θ 最有可能是多少呢？如果你必须给出⼀个确定的值，并且你完全根据⽬前观测

的结果来估计 θ，那么显然你会得出结论 θ=3/5。

但上⾯这种点估计的⽅法显然有漏洞，这种漏洞主要体现在实验次数⽐较少的时候，所得出的点估计结果可能有较⼤偏差。⼤数定理也告诉

我们，在重复实验中，随着实验次数的增加，事件发⽣的频率才趋于⼀个稳定值。⼀个⽐较极端的例⼦是，如果你抛出五次硬币，全部都是Head。那么按照之前的逻辑，你将估计 θ 的值等于 1。也就是说，你估计这枚硬币不管怎么投，都朝上！但是按正常思维推理，我们显然

不太会相信世界上有这么厉害的硬币，显然硬币还是有⼀定可能抛出Tail的。就算观测到再多次的Head，抛出Tail的概率还是不可能为0。

前⾯介绍的贝叶斯定理或许可以帮助我们。在贝叶斯学派看来，参数 θ 不再是⼀个固定的值了，⽽是满⾜⼀定的概率分布！回想⼀下前⾯介

绍的先验概率和后验概率。在估计 θ 时，我们⼼中可能有⼀个根据经验的估计，即先验概率，P(θ)。⽽给定⼀系列实验观察结果 X 的条件

1． 离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,XYL表示．

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X所有可能的取值ix与该取值对应的概率ip(1,2,,)inL列表表示：

X 1x 2x … ix … nx

P 1p 2p … ip … np

我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．

2．几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X的分布列为

X 1 0

P p q

其中01p，1qp，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布．

X 1 0

P 0.8 0.2

两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．

⑵超几何分布

一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件()nN≤，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为

CC()CmnmMNMnNPXm(0ml≤≤，l为n和M中较小的一个)．

我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率()PXm，从而列出X的分布列． 知识内容

数学期望

⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()C(1)kknknnPkpp(0,1,2,,)knL．