二项分布知识点

工作材料

范文材料 《二项分布》知识点整理

：二项分布的定义

二项分布即重复n次的伯努力试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验

二：超几何分布

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有m件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P

此时我们称随机变量X服从超几何分布

）超几何分布的模型是不放回抽样

2）超几何分布中的参数是m,N,n

上述超几何分布记作X~H。

二项分布：

一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

，k=0，1，2，…n，

此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B（n，p），并记

。

独立重复试验： 工作材料

范文材料 独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．

一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

此时称随机变量X服从二项分布，记作

并称p为成功概率．

独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．

独立重复试验概率公式的特点：

是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．

二项分布的判断与应用：

二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布．

二项分布

两点分布: 又称伯努利分布或0-1分布，是离散型的随机变量，变量只能取两个值，非0即1.

两点分布如下：

二项分布是重复n次的伯努利试验，当n等于1时，为伯努利分布。在每次试验中只有两种可能的结果（0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，相互独立。

抛硬币例子：现在抛硬币n次，确定k次正面朝上的概率，已知正面朝上的概率为p.

在n次实验中，选择k次正面朝上，有

种可能，每一种可能的发生概率为pk(1-p)n-k。

即：k次正面朝上（n-k负面朝下）的概率为：

由此，二项分布的分布列（律）为：

多项分布

多项分布是二项分布的推广，同样是重复n次实验，不同的是每次实验的取值不只2种，而有k种。

抛骰子例子：现在抛骰子n次，该骰子有6个面，已知每一个面的概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6. 现在想知道各个面出现次数分别为k1,k2,k3,k4,k5,k6的概率是多少？

在n次实验中，分别让各个面出现次数为k1,k2,k3,k4,k5,k6次，有

种可能，每一种可能的发生概率为 。

即：该概率为：

由此，对于n次实验，每次实验的取值有k种，k种情况分别发生了x1…xk次，概率分别为p1…pk.

即：多项分布的分布列（律）为：

1

【模块标题】二项分布

【模块目标】★★★★★☆ 迁移

【模块讲解】 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况

知识回顾：

1.定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n，

并且()()1nkkk

nPkCpp−==−（其中0,1,2,,kn=），即分布列为

 0 1 2

P ()001n

nCpp− ()1111n

nCpp−− ...

 k ... n

P (1)kknk

nCpp−− ...

()01nn

nCpp−

称这样的随机变量服从二项分布，记作：()npB，﹒

2.二项分布的期望与方差：若()npB，，则()=Enp，()()1Dnpp=−

【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星)

一.题型分类：

1.二项分布基本概念题型；

2.根据二项分布求某一事件的概率； 目标1 ★★★☆☆☆ 操作 学会计算二项分布的数字特征

目标2 ★★★★☆☆ 识别 学会二项分布在实际问题中的应用

目标3 ★★★★★☆ 迁移 利用不等式求解二项分布最值问题 2

3.根据二项分布求某一范围的概率；

4.根据二项分布求EX、DX及其变形；

5.根据EX求概率p及某一事件的概率

6.根据EX和DX求np

二.方法步骤：

1.根据条件判断是否服从二项分布；

2.根据二项分布的性质列出相应的分布列

3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差；

三.难点： 本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布

里面的参数，然后套用公式进行求解。

例1. 下列随机变量

服从二项分布的是（ ）。

二项分布知识点整理

二项分布是概率论中一种离散概率分布，用于描述在n次重复的独立二分类试验中，成功的次数的概率分布情况。在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能的结果，一种是成功，另一种是失败。

下面，将对二项分布的定义、性质和相关公式进行整理:

1.二项分布的定义:

在n次重复的独立二分类试验中，假设每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则成功的次数X服从二项分布。记为X~B(n,p)。

2.二项分布的概率函数:

二项分布的概率函数表示为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素组成一个集合的方案数。

3.二项分布的期望和方差:

二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。

4.二项分布的性质:

(1)在二项分布中，成功的概率p是恒定不变的，与试验次数n无关。

(2)在试验次数固定的情况下，成功的次数越多，失败的次数越少。

(3)当试验次数n增加时，二项分布的形状逐渐向正态分布靠近。

5.二项分布的相关公式:

(1)二项系数的计算公式:C(n,k)=n!/(k!(n-k)!) (2) 二项分布的期望和方差的计算公式: E(X) = np, Var(X) =

np(1-p)

(3) 二项分布的累积分布函数: P(X≤k) = Σ(i=0 to k) C(n,i) *

p^i * (1-p)^(n-i)

(4)二项分布的正态近似:当n足够大时，可以用正态分布来近似二项分布的概率。

6.二项分布的应用:

二项分布在实际生活中有广泛应用，例如:

(1)投硬币的结果：每次投掷硬币，出现正面或反面的概率为0.5

(2)制造业的质量控制：每个产品是否合格的概率为p，可以通过抽样检测来判断合格品的比例。

(3)市场调查的结果：例如一项调查中，问卷调查的结果中满意度的比例。

(4)疾病的传播：可以使用二项分布来估计其中一种疾病在人群中传播的比例。