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平面向量的三角形法则

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平面向量的三角形法则

平面向量是解决几何和物理问题中常用的数学工具之一。通过平面向量的运算和性质，我们可以方便地描述物理系统的位移、力和速度等概念。其中，平面向量的三角形法则是非常重要的基础知识。本文将详细介绍平面向量的三角形法则以及其应用。

一、平面向量的定义

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有方向的线段。根据平面向量的定义，我们可以用其起点和终点的坐标表示一个平面向量。例如，对于平面向量AB，其起点为A坐标(x1, y1)，终点为B坐标(x2, y2)，我们可以表示为向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

二、平面向量的三角形法则

平面向量的三角形法则是指当三个平面向量相互作用时，可以将它们的起点放在同一个点，然后将它们的终点连接起来形成一个三角形。这个三角形的对角线是第三个平面向量的和向量。具体来说，对于平面向量AB和AC，它们的和向量是平面向量AD，即AB + AC = AD。

三、平面向量的运算规则

1. 平面向量的加法

平面向量的加法满足交换律和结合律。换言之，对于任意平面向量AB，AC和AD，满足AB + AC = AC + AB，以及(AB + AC) + AD =

AB + (AC + AD)。 2. 平面向量的乘法

平面向量的乘法有数量积和向量积两种形式。

（1）数量积

数量积也称为点积，表示为AB · AC。数量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的横坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的纵坐标相乘，然后将两个结果相加。即AB · AC = ABx * ACx + ABy * ACy。其中，ABx为AB的横坐标，ACx为AC的横坐标，ABy为AB的纵坐标，ACy为AC的纵坐标。

（2）向量积

向量积也称为叉积，表示为AB × AC。向量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的纵坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的横坐标相乘，然后根据坐标轴的正负关系确定结果的方向。即AB × AC = (ABx *

ACy - ABy * ACx) * n。其中，n为垂直于平面的单位向量。

四、平面向量的应用

平面向量的三角形法则在物理学中有着广泛的应用。例如，当物体受到两个力的作用时，这两个力所对应的平面向量可以按照三角形法则进行合成，得到合力的平面向量，从而求解物体的运动状态。

此外，平面向量的三角形法则还可以用于解决几何问题。例如，已知一个三角形的两个边的平面向量，我们可以根据平面向量的三角形法则求解第三边的平面向量，从而判断三角形的形状和大小。 总结：

平面向量的三角形法则是描述平面向量相互作用的重要工具，它可以帮助我们方便地进行平面向量的加法运算和几何推导。通过三角形法则，我们可以合理运用平面向量解决物理和几何问题，从而提高问题的分析和解决能力。了解和掌握平面向量的三角形法则对于学习和应用数学和物理学科都具有重要的意义。

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平面向量教学与三角形旁心

平面向量教学与三角形旁心

５０　数学教学研究　第３１卷第５期２０１２年５月　

平面向量教学与三角形旁心　

岳昌庆，史志刚　

（北京师范大学ＩＯＤ８７５）　

摘要：本文在学生已知晓三角形内角平分戏定理及外角平分线定理的前提下．用平面向量的知识　

解决有关三角形旁心的问题．　关键词：平面向量；三角形旁心；应用　中圈分类号：Ｇ６３３．６　

本文约定：Ｉ旁一是在／＇，ＡＢＣ的内角　

ＢＡＣ平分线上的ＡＡＢＣ的旁心，　旁Ａ是以　

Ｉ旁一为圆心的ＡＡＢＣ的旁切圆的半径，口，ｂ，Ｃ　

分别为Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边长．　定理若　＝口　蕊－－－ｂ，　一ｃ，则　

一＝　．　

筒证设Ａ　与ＢＣ交于点Ｄ．　

因为ＡＤ平分　ＢＡＣ，由三角形内角平　分线定理，点Ｄ分砣的比　

｝ＢＤｆ—Ｉ　ＡＢｌ—Ｃ　丽一丽一　’　

又　Ｉ　ＢＤｌ＋ｆ　ＤＣＩ＝口，　

可得　

Ｉ　ＢＤＩ　，　

所以　

茄：　一　ｂｂ＋　ｃｅ．　１＋　叶　

连接ＢＩ旁＾，又ＢＪ旁＾平分　ＡＢＣ的外　

角，由三角形外角平分线定理，　

点Ｉ旁　分　的比为　

一！垒　壹垒！：一　ｆ　Ｊ旁＾Ｄｌ　ＩＢＤＩ　

收稿日期：２０１２—９３—０６　Ｃ　ｂ＋ｃ　＝一一＝一——一●　ａｃ　口　ｂ＋Ｃ　

所以，　

一ｂ＋ｃＯ－－－￣　

＿寺　

一　

硼　）　Ｄ十Ｃ　一—■　厂　

＿．——ｂ．　ｂ．．．．．．＋．．．．．．．．ｃ．．．ｃ．．．．．－．．．．．．．．ａ．．—ａ—　ｂ＋Ｃ－－ａ’　

同理，　

＝　ａａ－　ｔ－ａ：＝－　￣，　

ｃ一　．　

显然，平面向量的知识使三角形旁心问　

题的教学变得相对简单多了．　

具体运用该定理时，可以将点０选在　

ＡＡＢＣ的某一个顶点上，不妨将点０选在点　

Ａ上，则有　

推论１　ＡＡＢＣ中，　

旁＾一　６商＋ｃ　ｂ＋ｃ一口。　

我们来看一个常见的应用．　

例１设Ｉ　Ｉ＝４，ｌ　ｊ＝５，『　ｆ＝６，

　第３ｌ卷第５期２０１２年５月　数学教学研究　

且　旁　一　＋　，求　，　的值．　

简解由推论ｌ，　

一了６　Ａ　十７４　，　

所以　

６　４　ｍ—　，　一ｉ・　

当上述定理应用于平面直角坐标系中　

平面向量、解三角形

平面向量、解三角形

在高中数学中。平面向量融合了代数知识和几何知识，其在高考命题中　本知识的考查外．常与其他知识结合起来命题考查．解三角形也是高考的　边、判断三角形的形状等基础问题．　平面向量、Ｍ－－￣Ｆｅ　考点一览　—Ｊ，ｔｔ、．二，Ｕ　０重庆朝阳中学廖军　……・　……………一．……・穗　核心考点　考试说明　常考题型　难易程度　考点类型　核心考点１　平面向量的基本定理及坐标表示　选择题、填空题　一般　常考　核心考点２　平面向量的数量积　选择题、填空题、解答题　一般　常考　核心考点３　向量的应用　选择题、填空题、解答题　较难　常考　核心考点４　’　正弦定理和余弦定理　选择题、填空题、解答题　一般　必考　核心考点５　正弦定理和余弦定理　应用　选择题、填空题　一般　选考　核心考点　【考纲要求】　（１）了解平面向量的基本定理　及其意义．　（２）掌握平面向量的正交分解　及其坐标表示．　（３）会用坐标表示平面向量的　加、减与数乘运算．　（４）理解用坐标表示的平面向　量共线的条件．　蠢【考点解读】　平面向量的基本定理研究的是　平面内任意两个不共线向量的线性　组合表示，常与线性运算一起考查；　向量的坐标运算及向量共线问题也　是高考考查的热点．　【典型例题】　辘１　①有向线段就是向　量，向量就是有向线段；　②向量口与向量易平行，则口与易　的方向相同或相反：　③向量　与向量　共线，则Ａ．　Ｂ，ｃ，Ｄ四点共线；

　核，　考点揭秘　ＨＥＸＩＮ　ＫＡＯＤＩＡＮ　ＪＩＥＭｌ　④如果ａ∥６，ｂ／／ｃ，那么ａ∥ｌｃ．　以上命题中正确的个数为——．　‘破解思路　（１）正确理解向量　的相关概念及其含义是解题的关键．　（２）共线向量即为平行向量，它　们均与起点无关．　（３）向量可以平移，平移后的向　量与原向量是相等向量．解题时．不　要把它与函数图象的移动混为一谈．　完美解答①不正确，向量可　以用有向线段表示，但向量不是有　向线段：　②不正确．若ａ与ｂ中有一个为　零向量时也互相平行，但零向量的　方向是不确定的，故两向量方向不　一定相同或相反：　③不正确．共线向量所在的直　线可以重合，也可以平行：　④不正确，如果ｂ＝Ｏ时，则ａ与ｃ　不一定平行．答案为０．　例　设　，西为不共线向量．　ｉ　＋２　，百亡：一４　，　．＿一５ａ一３ｂ，贝Ⅱ　使　Ａ百　成立的Ａ值为　破解思路运用向量的线性运　算进行求解．　完美解答　：　＋蔚＋　＝口＋　＋（—　）＋（　ａ－３ｂ）＝－８ａ－２ｂ＝２（－－４ａ一　）：２赢，所以Ａ值为２．　、　例篓　设　．Ｅ分别是ＡＡＢＣ　ｆｌ４Ｊ￣ＺＡＢ，ＢＣ上的点，ＡＤ＝，、Ｉ＿＿ＡＢ，ＢＥ＝　２＿　＿ＢＣ，若赢：Ａ　＋，￣＝４－－－ｄ（ａ１，Ａ：为实　数），则Ａ　＋　的值为　破解思路利用向量共线定理　和平面向量基本定理，用向量　，　表示疏，再与已知中含参数的向　量等式进行比较，即可求出Ａ　，Ａ：的　值，从而可得Ａｌ＋Ａ２的值．　Ａ　４６　图１　Ｃ　完美解答如图１，因为Ｄ，Ｅ分　别是△ＡＢＣ的边ＡＢ．ＢＣ上的点，且　ＡＤ：ｌＡＢ，ＢＥ：２＿ＢＣ，所以赢：　＋　２　３　赢：　＋　蔚：　＋　ｆ　一　２　３　２　３　）：一　＋　．又因为赢：　６　３　Ａ－　＋Ａ　，所以　１，　了２，所　以Ａｔ＋Ａ　１．　例趣已舭（－２，４），Ｂ（３，一１），　ｃ（一３，一４）．设　，赢　，　：ｃ，且　：３ｃ．蔬：一　．　（１）求３口十　—３ｃ．；　（２）求满足ａ＝ｒａｂ＋ｎｃ的实数ｍ，ｒｔ；　（３）求　，Ｊ７、ｒ的坐标及向量　的　坐标．　破解思路向量的坐标运算主　要是利用加、减及数乘运算法则进　行．若已知有向线段两端点的坐标．　则应先求出向量的坐标．解题过程　中要注意方程思想的运用及正确使　用运算法则．　完美解答　由已知得ａ＝（５，　－５），ｂ＝（－６，一３），ｃ＝（１，８）．　（１）３　一３ｃ＝３（５，－５）＋（－６，－３）－　３（１，８）：（１５—６－３，一１５—３—２４）＝　（６，－４２）．　（２）因为ｍｂ＋ｎｃ＝（－６ｍ＋ｎ，－３ｍ＋　８　－６ｍ＋ｎ＝５，－３ｍ＋８ｎ＝－５．解得Ｅｎ＝－Ｉ　’　．　Ｉ　．　（３）设Ｄ为坐标原点，因为　＝　一　：３ｃ．所以　：３ｃ＋　：　（３，２４）＋（一３，一４）：（０，２０）．所ＣＡＭ的　坐标为（０，２０）．又　：　一　一２ｂ，　所以　＝一２ｂ＋Ｏ－－－￣＝（１２，６）＋（一３，一４）＝　（９，２），所以Ⅳ的坐标为（９，２）．所以　肘　（９，一１８）．　【变式练习】　１．已知０为ＡＡＢＣ内一点，且　＋　＋２　：０．则ＡＡ　ＯＣ￣ＡＡＢＣ　的面积之比是——．　２．在平面直角坐标系ｘＯｙ中，四　邀　ＡＢＣＤ　邈ＡＢ　ｆ　ＤＣ．ＡＤ　ｆ　ＢＣ　已知Ａ（－２，０），Ｂ（６，８），ｃ（８，６），则Ｄ　点的坐标为　３．已知０Ａ上ＯＢ，ｌＯＡ　ｌ＿ｌ，ＩＯＢＩ＝　、／了，点ｃ在厶４　ＯＢ内，且厶４　ＯＣ＝６１Ｙ，　设　：ｍ　＋ｎ　（ｍ，　∈Ｒ），则　的　值为（　）　Ａ．１　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．一１　３　２　４　４．如图２．四边形ＡＢＣＤ是正方　形，延长ＣＤ至Ｅ，使得ＤＥ＝ＣＤ，若动点　点Ａ出发．沿正方形的边按如下　路线运动：Ａ　日　Ｃ　ｐＡ—Ｄ．　（１）当点助边ＢＣ的中点时，请　用　，￣，Ａ－ｂ：　（２）满足　Ａ　亩　商且Ａ　＝ｌ　的点贿几个？　Ｅ　Ｄ　Ａ　图２　Ｃ　Ｐ　

周练四(平面向量和解三角形)

周练四(平面向量和解三角形)

第1页 2011-2012学年度高一第二学期数学周练四

（内容：平面向量、正余弦定理）

班级 学号 姓名 成绩

一、选择题（共12题，每题5分）

１．若M是ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是 （ ）

A．ACBCAB B．CMBMAM

C．BCMBAM D．ACAM

2．若|a+b|=|a|+|b|成立，则必有 （ ）

A．a ＝）（Rb B．a＝）（0b

C．a＝）（0b D． a＝000abb（）或

3．在中ABC，cAB，bAC，若点D满足DCBD2，则AD （ ）

A．cb3132 B．bc3235 C．cb3132 D．cb3231

4．已知向量），（sin2cos2CA，OC=（2，2），则向量|OA|的取值范围是 （ ）

A．[1，3] B．[1，23] C．[2，3] D．[2，23]

5．已知向量a = (2,1)， ba = 10，||ba= 52，则︱b ︱= （ ）

A．5 B．10 C．5 D．25

6．已知向量a=（1，2），），（32b，若向量c满足（ac）//b，）（bac，则c  （ ）

平面向量的运算法则

平面向量的运算法则

平面向量运算法则

（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：

1）结合律：aa)()(。

2）分配律：aa)(，baba)(。

（2）向量的数量积运算法则：

1）abba••。

2）)()()(babababa•••。

3）cbcacba•••)(。

（3）平面向量的基本定理。

21,ee是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数21,，满足2211eea。

（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：cos||||baba•，数量积ba•等于a的长度||a与b在a的方向上的投影cos||b的乘积。

（5）平面向量的运算法则。

1）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a+b＝1212(,)xxyy。

2）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a-b＝1212(,)xxyy。

3）设点A11(,)xy，B22(,)xy，则2121(,)ABOBOAxxyy。

4）设a＝(,),xyR，则a＝(,)xy。

5）设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，则a•b＝1212()xxyy。

（6）两向量的夹角公式：

121222221122cosxxyyxyxy（a＝11(,)xy，b＝22(,)xy）。

（7）平面两点间的距离公式：

,ABd＝||ABABAB222121()()xxyy（A11(,)xy，B22(,)xy）。

（8）向量的平行与垂直：设a＝11(,)xy，b＝22(,)xy，且b0，则有：

1）a||bb＝a12210xyxy。

2）ab （a0） a·b＝012120xxyy。

（9）线段的定比分公式：

设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点，是实数，且12PPPP，则