平面向量三角形面积公式

平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈推荐】

平面向量的“四心”是指三角形的外心、内心、重心和垂心，它们各自具有特殊的性质。在高中数学中，向量问题经常与“四心”问题结合考查。因此，熟悉向量的代数运算和几何意义是解决这类问题的关键。

四心知识点总结如下：

重心：

1.重心是三角形三条中线的交点，也是重心到三角形三个顶点距离之和最小的点。

2.重心坐标为$(\frac{1}{3}(x_A+x_B+x_C),\frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C))$。

垂心：

1.垂心是三角形三条高线的交点，也是垂足到三角形三边距离之积最大的点。 2.若垂心为$O$，则有$OA\cdot OB=OA\cdot OC=OB\cdot

OC$。

外心：

1.外心是三角形三条中垂线的交点，也是到三角形三个顶点距离相等的点。

2.若外心为$O$，则有$OA=OB=OC$，或$(OA+OB)\cdot

AB=(OB+OC)\cdot BC=(OC+OA)\cdot CA$。

内心：

1.内心是三角形三条角平分线的交点，也是到三角形三边距离之和最小的点。

2.若内心为$O$，则有$a\cdot OA+b\cdot OB+c\cdot

OC=0$，其中$a,b,c$为三角形三边的长度。

下面是一些经典题：

1.在$\triangle ABC$中，$D,E,F$分别为$BC,CA,AB$的中点，$M$为重心，则$\vec{AM}$等于（ ）。

A。$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$ B。$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})$

C。$\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$

D。$\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})+\vec{OG}$

平面向量专题：奔驰定理与三角形面积问题

1、奔驰定理：𝑂是ABC内的一点，且𝑥∙𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑧∙𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，

则𝑆∆𝐵𝑂𝐶:𝑆∆𝐶𝑂𝐴:𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑥:𝑦:𝑧

2、证明过程：已知𝑂是ABC内的一点，∆𝐵𝑂𝐶，∆𝐶𝑂𝐴，∆𝐴𝑂𝐵的面积分别为𝑆𝐴，𝑆𝐵，𝑆𝐶，

求证：𝑆𝐴∙𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆𝐵∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆𝐶∙𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .

延长𝑂𝐴与𝐵𝐶边相交于点𝐷，

则𝐵𝐷𝐷𝐶=𝑆∆𝐴𝐵𝐷𝑆∆𝐴𝐶𝐷=𝑆∆𝐵𝑂𝐷𝑆∆𝐶𝑂𝐷=𝑆∆𝐴𝐵𝐷−𝑆∆𝐵𝑂𝐷𝑆∆𝐴𝐶𝐷−𝑆∆𝐶𝑂𝐷=𝑆𝐶𝑆𝐵，

𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐶𝐵𝐶𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐷𝐵𝐶𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑆𝐵𝑆𝐵+𝑆𝐶𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆𝐶𝑆𝐵+𝑆𝐶𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，

∵𝑂𝐷𝑂𝐴=𝑆𝐵𝑂𝐷𝑆𝐵𝑂𝐴=𝑆𝐶𝑂𝐷𝑆𝐶𝑂𝐴=𝑆𝐵𝑂𝐷+𝑆𝐶𝑂𝐷𝑆𝐵𝑂𝐴+𝑆𝐶𝑂𝐴=𝑆𝐴𝑆𝐵+𝑆𝐶，

∴𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−𝑆𝐴𝑆𝐵+𝑆𝐶𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ，

∴−𝑆𝐴𝑆𝐵+𝑆𝐶𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑆𝐵𝑆𝐵+𝑆𝐶𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆𝐶𝑆𝐵+𝑆𝐶𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，

所以𝑆𝐴∙𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆𝐵∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑆𝐶∙𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .

（3）奔驰定理推论：𝑥∙𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦∙𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑧∙𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则

①𝑆∆𝐵𝑂𝐶:𝑆∆𝐶𝑂𝐴:𝑆△𝐴𝑂𝐵=|𝑥|:|𝑦|:|𝑧|

平面向量及其应用（解三角形篇）典型例题讲解

一、基本概念回归

1、正弦定理

①a

sin

A=bsinB=c

sinC=2R（为外接圆半径）②边角互化：；；

③比值：④应用：；；2、余弦定理 3、余弦定理变形：4、三角形面积公式

（为内切圆半径）5、三角形中常用角的变换注意这两个公式的正向，逆向应用6、三角形中，中线问题核心技巧①：向量形式，进一步可通过两边平方法求解核心技巧②：

7、三角形中角平分线常用结论

①倍角：

②内角平分线定理：或

1

/ 35③面积关系式：

高频考点一：利用正余弦定理解三角形角度1：利用正弦定理解三角形

1

．（2023

秋·

陕西西安·

高二统考期末）在中，内角A

，

B

，C

所对的边为a，b

，c

，若，则（ ）

A

．

B

．

或C．D．或

2

．（

2023

秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（ ）

A．B

．

C．或D

．或

3

．（2023

春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A

，B

，C

所对的边分别为a，b

，c，，则（

）

A

．B．C．D

．

4

．（2023

春·

湖南湘潭·高二统考期末）在中，，则______.5

．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；

(2)在

中，角，，的对边分别为，，，且，求的面积.角度2：利用余弦定理解三角形

1

．（2023

秋·

陕西宝鸡·高二统考期末）在中，已知，，，则（ ）

A．1B．C．2D．

2

．（

2023秋·

贵州黔东南

·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）A

．2B．C．4D．16

3

．（

2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为

、、，已知，

，且，则______.

2

/ 35

4

．（2023

春·

山西晋城·高三校考阶段练习）在中，角所对的边分别为

，满足.

(1)求；

(2)

若，求面积的最小值.

5

．（2023·

新疆乌鲁木齐·

统考一模）在△ABC

中，边a

，b

，c

所对的角分别为A

平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：

①交换律：abba；

②结合律：abcabc；③00aaa．

⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．

向量减法运算： b a C





abCC ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．

设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy．

向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．

①aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；

当0时，a的方向与a的方向相反；

当0时，0a．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．

⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．

向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线．

平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）