【精准解析】江苏省连云港市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

- 1 - 2019～2020学年第二学期高一期末调研考试

数学试题

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.22cossin88（ ）

A. 24 B. 24 C. 22 D. 22

【答案】C

【解析】

【分析】

由二倍角余弦公式22cossincos2，即可得结果.

【详解】由二倍角余弦公式可得，222cossincos(2)cos88842.

故选：C

【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力，属于容易题目.

2.不等式28x的解集是（ ）

A. (22,22) B. (,22)(22,)

C.

(42,42) D. (,42)(42,)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.

【详解】由28x得280x，即22220xx，

解得22x或22x，所以不等式的解集为(,22)(22,).

故选：B

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

- 2 - 3.若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是（ ）

A. 14 B. 13 C. 23 D. 34

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意求出所有基本情况的个数和满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解.

【详解】从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，共有甲不参加、乙不参加、丙不参加、丁不参加4种基本情况，甲被选中的基本情况有3种，

所以甲被选中的概率34P.

故选：D.

【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，属于基础题.

4.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55），[5，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的人数有（ ）

A. 45

B. 46

C. 48

D. 50

- 3 - 【答案】C

【解析】

【分析】

根据直方图求得相应频率，进而求得人数.

【详解】这80名教师中年龄小于45岁的频率为0.0400.08050.6，

人数为800.648（人），

故选：C.

【点睛】本题考查频率直方图中频率，频数的计算，属基础题.

5.过圆225xy上一点M（－1.2）作圆的切线l，则l的方程是（ ）

A. 230xy B. 250xy C. 250xy D.

250xy

【答案】B

【解析】

【分析】

利用切线与切点处的半径垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程.

【详解】圆225xy的圆心为O(0,0),直线OM的斜率为221,

所以切线l的斜率为1122,

∴直线l的方程为1212yx,即250xy,

故选：B.

【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，涉及直线的垂直的条件，属基础题.

6.两条平行直线6450xy与32yx的距离是（ ）

A. 1313 B. 1326 C. 51313 D. 51326

【答案】D

【解析】

【分析】

- 4 - 先将直线方程32yx化为：640xy，再利用两平行线间的距离公式求解.

【详解】直线方程32yx化为：640xy，

所以两条平行直线6450xy与32yx的距离是：

2255132664d.

故选：D

【点睛】本题主要考查两平行线间的距离的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7.如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝23，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（ ）

A. 18 B. 18 C. 14 D. 14

【答案】A

【解析】

【分析】

分别取BC、AB、AS的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、EA、ES，由题意结合平面几何的知识可得3EG、2FGEF、GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解.

【详解】分别取BC、AB、AS的中点E、F、G，连接EF、EG、FG、EA、ES，如图：

- 5 -

由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得3232EAESBC，

所以EGSA，22112332EGSESA，

由中位线的性质可得//FGSB且122FGSB，//FEAC且122FEAC，

所以GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角，

在GFE中，2224491cos22228GFEFGEGFEGFEF，

所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为18.

故选：A.

【点睛】本题考查了余弦定理的应用及异面直线夹角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.

8.圆222220xyxy的圆心为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为3，则满足条件的直线l的条数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】

分析】

求得圆心坐标和半径，根据面积，利用弦长公式和面积公式求得圆心到直线的距离，利用几何意义即可判定直线的条数，注意圆心可能在直线l的上方，也可以在直线l的下方.

- 6 - 【详解】222220xyxy化为标准形式为22(1)(1)4xy,圆心1,1C,半径2r,

设圆心到直线的距离为d,则222224ABrdd,

若△ABC的面积为21||432ABddd，解得3d或1d.

因为点0,3在圆C外，且l过点0,3且与圆C交于A，B两点，d的取值范围是[0,2),

3d或1d都有意义，

又∵圆心可能在直线l的上方，也可以在直线l的下方，

∴满足条件的直线l的条数为4，

故选：D.

【点睛】本题考查已知直线与圆的相交三角形的面积，探求直线的条数，涉及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属基础题.

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）

A. 两件都是一等品的概率是13

B. 两件中有1件是次品的概率是12

C. 两件都是正品的概率是13

D. 两件中至少有1件是一等品的概率是56

【答案】BD

【解析】

【分析】

由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.

【详解】由题意设一等品编号为a、b，二等品编号为c，次品编号为d，

从中任取2件的基本情况有：,ab、,ac、,ad、,bc、,bd、,cd，共6种；

- 7 - 对于A，两件都是一等品的基本情况有,ab，共1种，故两件都是一等品的概率116P，故A错误；

对于B，两件中有1件是次品的基本情况有,ad、,bd、,cd，共3种，故两件中有1件是次品的概率23162P，故B正确；

对于C，两件都是正品的基本情况有,ab、,ac、,bc，共3种，故两件都是正品的概率33162P，故C错误；

对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有,ab、,ac、,ad、,bc、,bd，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率456P，故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.

10.关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有（ ）

A. 过直线a有且仅有一个平面β，使b⊥β

B. 过直线a有且仅有一个平面β，使b//β

C. 在空间存在平面β，使a//β，b//β

D. 在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由题意结合线面垂直的性质可判断A；由线面平行的判定、性质可判断B；由异面直线的概念结合选项B即可判断C；由线面垂直的性质可判断D；即可得解.

【详解】对于A，若直线a，b不垂直，则不存在平面β，使b⊥β，故A错误；

对于B，存在直线c满足c//b，且与a相交，此时直线c与a确定的平面β，满足b//β；假设过直线a还存在另一平面满足//b，则平面上存在一个异于a的直线d满足//db，则//d，因为直线a为平面、β的交线，所以//da，//ba，不合题意；所以过直线a有且仅有一个平面β，使b//β，故B正确；

- 8 - 对于C，由B可知，在空间存在平面β，使a//β，b//β，故C正确；

对于D，若a⊥β，b⊥β，则//ba，与题意不符，所以在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题考查了线线、线面位置关系的判断，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，属于基础题.

11.正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为31，则（ ）

A. 正方体的外接球的表面积为12π B. 正方体的内切球的体积为3

C. 正方体的棱长为1 D. 线段MN的最大值为31

【答案】AD

【解析】

【分析】

设正方体的棱长为a，由线段MN的最小值为31求出a，按照球的性质逐一判断每个选项即可.

【详解】设正方体的棱长为a，则其外接球的半径为32Ra，内切球的半径为2aR，

正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，

可得MN的最小值为33122aa，解得2a，故C错误；

所以外接球的半径为3，表面积为4312，故A正确；

内切球的半径为1，体积为43，故B错误；

MN的最大值为31RR，故D正确；

故选：AD.

【点睛】本题考查正方体的外接球与内切球，正确求出正方体的外接球与内切球的半径是关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

12.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，