2018-2019学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019 学年北京市朝阳区高三 （上）期末数学试卷 （理

科）

副标题

题号 一 二 三 总分

得分

一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）

1. 已知集合 A={ x N|1 ≤x≤ 3} B={2 3 4 5} ，则 A B= ） ∈ ， ， ， ， ∪ （

A. {2} ， ， B. {2 ，3}

C.

{2 ，

5} D.

{1， ， ， ，

5} 3 4 2 3 4

2. 设复数 z 满足（ 1+i） z=2i，则 |z|=（ ）

A. B. C. D. 2

3. 执行如图所示的程序框图，若输入的S=12 ，则输出的

S=（）

A. -8 B. -18 C. 5 D. 6

4. 在平面直角坐标系 xOy 中，过 A（ 4， 4）， B（ 4， 0）， C（ 0，4）三点的圆被 x

轴截得的弦长为（ ）

A. 2 B. C. 4 D.

5. 将函数 y=sin2x

的图象向右平移 φ φ 0

）个单位后，图象经过点 ，则 φ

（ ＞ 的

最小值为（ ）

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A. B. C. D.

6. 设 x

为实数，则“ x 0

”是“

”的（ ）

＜

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. x a

＞ 0

且 a≠1 a

的取值范围是 （ ） 对任意实数 ，都有 （ ），则实数

A. B.（， C. （ ， ） D.

[3， ）

1 3] 1 3 +∞

8. 以棱长为 1 的正方体各面的中心为顶点， 构成一个正八面体， 再以这个正八面体各

面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为（ ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）

9. 已知数列 { an } 为等差数列， Sn 为其前 n 项的和．若 a1+a3 =6， a4=7，则 S5 =______ ．

10. 已知四边形的顶点 A，B，C，D 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示， 则

=______．

11. 如图，在边长为 1 的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ______．

12. 过抛物线 y2=4 x 焦点 F 的直线交抛物线于 A B A B l 的垂线， ， 两点，分别过 ， 作准线

垂足分别为 C， D．若 |AF|=4|BF|，则 |CD |=______．

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13. 2018 年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠．国际象棋中骑士的移 动规则是沿着 3×2 格或 2×3 格的对角移动．在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数

学家研究了“骑士巡游”问题：在 8×8=64 格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑

士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出

了骑士的一种走法， 它从图上标 1 的方格内出发， 依次经过标 2，3，4，5，6， ，

到达标 64 的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标 64 的方格内直接走

回到标 1 的方格内．如果骑士的出发点在左下角标 50 的方格内，按照上述走法，

______（填“能”或“不能”）走回到标 50 的方格内．若骑士限制在图（二）中

的 3×4=12 格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上

角标 1 的方格内出发，依次不重复经过 2，3，4，5，6， ，到达右下角标 12 的方

格内，分析图（二）中 A 处所标的数应为 ______ ．

14. 如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1 的

等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是______．

三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）

15. 在 △ABC 中，已知 A= ， BC=13．

（ Ⅰ）求 AB 的长；

（ Ⅱ）求 BC 边上的中线 AD 的长．

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16. 某日 A， B， C 三个城市 18 个销售点的小麦价格如表：

销售点序号 所属城市 小麦价格（元 / 销售点序号 所属城市 小麦价格（元 /

吨） 吨）

1 A 2420 10 B 2500

2 C 2580 11 A 2460

3 C 2470 12 A 2460

4 C 2540 13 A 2500

5 A 2430 14 B 2500

6 C 2400 15 B 2450

7 A 2440 16 B 2460

8 B 2500 17 A 2460

9 A 2440 18 A 2540

（ Ⅰ）甲以 B 市 5 个销售点小麦价格的中位数作为购买价格， 乙从 C 市 4 个销售点

中随机挑选 2 个了解小麦价格． 记乙挑选的 2 个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望；

（ Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A，B， C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．

17. 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是平行四边形， BC1⊥C1C，平面 A1C1CA ⊥ 平面 BCC1B1，且 E， F 分别是 BC， A1B1 的中点．

（ Ⅰ）求证： EF ∥平面 A1C1CA；

（ Ⅱ）当侧面 A1C1CA 是正方形，且 BC1=C1C 时，

（ ⅰ）求二面角 F -BC1-E 的大小；

（ ⅱ）在线段 EF 上是否存在点 P，使得 AP⊥EF ？若存在，指出点 P 的位置；若不

存在，请说明理由．

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18. 已知函数 f（ x） =xex- （ m≥0）．

（ Ⅰ）当 m=0 时，求函数 f（ x）的极小值；

（ Ⅱ）当 m＞ 0 时，讨论 f（ x）的单调性；

（ Ⅲ）若函数 f （ x）在区间（ -∞， 1）上有且只有一个零点，求 m 的取值范围．

19. 过椭圆 W：=1 的左焦点 F 1 作直线 l1 交椭圆于 A， B 两点，其中 A（ 0， 1），

另一条过 F1 的直线 l 2 交椭圆于 C，D 两点（不与 A，B 重合），且 D 点不与点 （ 0，

-1）重合．过 F1 作 x 轴的垂线分别交直线 AD， BC 于 E，G．

（ Ⅰ）求 B 点坐标和直线 l1 的方程；

（ Ⅱ）求证： |EF 1|=|F1G|．

20. 已知 a1，a2， ， an * ，an 满足如下两 ， 是由正整数组成的无穷数列，对任意 n∈N

个条件：

① an 是 n 的倍数；

② |an-an+1| ≤5．

（ Ⅰ）若 a1=30，a2=32 ，写出满足条件的所有 a3 的值；

（ Ⅱ）求证：当 n≥11时， an≤5n；

（ Ⅲ）求 a1 所有可能取值中的最大值．

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答案和解析

1.【答案】 D

【解析】

解：集合A={x ∈N|1≤x≤3}={1，2，3} ，

B={2 ，3，4，5} ，

∴A∪B={1 ，2，3，4，5} ．

故选：D．

利用并集定 义直接求解．

本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题．

2.【答案】 C

【解析】

【分析】

本题考查了复数的运算法 则、模的计算公式，考查了推理能力与 计算能力，

属于基础题．

利用复数的运算法 则、模的计算公式即可得出．

【解答】

解：∵（1+i）z=2i，

∴（1-i）（1+i）z=2i（1-i），即z=i+1 ，

则 |z|= ，

故选 C．

3.【答案】 A

【解析】

解：模拟程序的运行，可得

S=12，n=1

执行循环体，S=10，n=2

不满足条件 S+n≤0，执行循环体，S=6，n=3

不满足条件 S+n≤0，执行循环体，S=0，n=4

不满足条件 S+n≤0，执行循环体，S=-8，n=5

满足条件 S+n≤0，退出循环，输出 S 的值为 -8．

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