2018-2019学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

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2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．（5分）已知集合A＝{x∈N|1≤x≤3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B＝（ ）

A．{2} B．{2，3} C．{2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}

2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝（ ）

A

． B

． C． D．2

3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的S＝12，则输出的S＝（ ）

A．﹣8 B．﹣18 C．5 D．6

4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x

轴截得的弦长为（ ）

A．2 B． C．4 D．

5．（5分）将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，

图象经过点，

则φ的最小值为（ ）

A

． B

． C

． D

．

6．（5分）设x为实数，则“x＜0

”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

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C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）对任意实数x，都有（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是

（ ）

A

． B．（1，3] C．（1，3） D．[3，+∞）

8．（5分）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体

各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为（ ）

A

． B

． C

． D

．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．（5分）已知数列{a

n}为等差数列，S

n为其前n项的和．若a

1+a

3＝6，a

4＝7，则S

5＝ ．

10．（5分）已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，

则＝ ．

11．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三

棱锥的体积为

．

12．（5分）过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线l

的垂线，垂足分别为C，D．若|AF|＝4|BF|，则|CD|＝ ．

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13．（5分）2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠．国际象棋中骑士的

移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动．在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数

学家研究了“骑士巡游”问题：在8×8＝64格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，

是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的

一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2，3，4，5，6，…，到达标64的

方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格

内．如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法， （填“能”或

“不能”）走回到标50的方格内．若骑士限制在图（二）中的3×4＝12格内按规则移动，

存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复

经过2，3，4，5，6，…，到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应

为 ．

14．（5分）如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分

面积的最大值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

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15．（13分）在△ABC中，已知A

＝，BC＝13．

（Ⅰ）求AB的长；

（Ⅱ）求BC边上的中线AD的长．

16．（13分）某日A，B，C三个城市18个销售点的小麦价格如表：

销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨） 销售点序号 所属城市 小麦价格（元/吨）

1 A 2420 10 B 2500

2 C 2580 11 A 2460

3 C 2470 12 A 2460

4 C 2540 13 A 2500

5 A 2430 14 B 2500

6 C 2400 15 B 2450

7 A 2440 16 B 2460

8 B 2500 17 A 2460

9 A 2440 18 A 2540

（Ⅰ）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随

机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数

为X，求X的分布列及数学期望；

（Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A，B，

C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．

17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A

1B

1C

1的侧面BCC

1B

1是平行四边形，BC

1⊥C

1C，平面

A

1C

1CA⊥平面BCC

1B

1，且E，F分别是BC，A

1B

1的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面A

1C

1CA；

（Ⅱ）当侧面A

1C

1CA是正方形，且BC

1＝C

1C时，

（ⅰ）求二面角F﹣BC

1﹣E的大小；

（ⅱ）在线段EF上是否存在点P，使得AP⊥EF？若存在，指出点P的位置；若不存在，

请说明理由．

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18．（13分）已知函数f（x）＝xex

﹣（m≥0）．

（Ⅰ）当m＝0时，求函数f（x）的极小值；

（Ⅱ）当m＞0时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣∞，1）上有且只有一个零点，求m的取值范围．

19．（14分）过椭圆W

：＝1的左焦点F

1作直线l

1交椭圆于A，B两点，其中A（0，

1），另一条过F

1的直线l

2交椭圆于C，D两点（不与A，B重合），且D点不与点（0，

﹣1）重合．过F

1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G．

（Ⅰ）求B点坐标和直线l

1的方程；

（Ⅱ）求证：|EF

1|＝|F

1G|．

20．（13分）已知a

1，a

2，…，a

n，…是由正整数组成的无穷数列，对任意n∈N*，a

n满足

如下两个条件：

①a

n是n的倍数；

②|a

n﹣a

n+1|≤5．

（Ⅰ）若a

1＝30，a

2＝32，写出满足条件的所有a

3的值；

（Ⅱ）求证：当n≥11时，a

n≤5n；

（Ⅲ）求a

1所有可能取值中的最大值．

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2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．【解答】解：集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，

B＝{2，3，4，5}，

∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．

故选：D．

2．【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．

则|z|＝．

故选：C．

3．【解答】解：模拟程序的运行，可得

S＝12，n＝1

执行循环体，S＝10，n＝2

不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3

不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4

不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5

满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．

故选：A．

4．【解答】解：根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，

又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），

则有，

解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，

即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，

令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x

1＝0，x

2＝4，

即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），

则圆被x轴截得的弦长为4；

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故选：C．

5．【解答】解：函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，解析式为y＝sin2（x

﹣φ），

又此时图象经过点，

∴＝sin2

（﹣φ），∴2

（﹣φ）＝2kπ

+或2kπ

+，k∈Z．

解得φ＝﹣kπ

+或φ＝﹣kπ，k∈Z．

又φ＞0

，故它最小的值是，

故选：B．

6．【解答】解：1）若x＜0，﹣x＞0

，则：；

∴“x＜0

“是““的充分条件；

2

）

时，；

解得x＜0；

∴“x＜0

“是““的必要条件；

综上得，“x＜0

”是“”的充分必要条件．

故选：C．

7．【解答】解：∵log

a（ex+3）≥1＝log

aa，

∴若a＞1，则ex+3≥a恒成立，∵ex+3＞3，∴此时1＜a≤3，

若0＜a＜1，则ex+3≤a恒成立，∵ex+3＞3，∴此时a无解，

综上所述，1＜a≤3，

即实数a的取值范围是（1，3]．

故选：B．

8．【解答】解：正方体C

1各面中心为顶点的凸多面体C

2为正八面体，

它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，

该正方形对角线长等于正方体的棱长，

所以它的棱长a

2

＝

＝，

以C

2各个面的中心为顶点的正方体为图形C

3是正方体，