北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
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学必求其心得，业必贵于专精
北京市朝阳区2017—2018学年度第一学期期末质量检测
数学试卷（理工类) 2018.1
(考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合|(2)0Axxx，|ln0Bxx，则AB是
A. |12xx B.|02xx
C。 |0xx D。|2xx
2。 已知i为虚数单位,设复数z满足i3z，则z=
A.3 B。 4 C.10
D。10
3。 在平面直角坐标系中,以下各点位于不等式(21)(3)0xyxy表示的平面区域内的是
A。(00)， B.(20)， C。(01)，
D。 (02)，
4.“2sin2”是“cos2=0”的
A。充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 学必求其心得，业必贵于专精
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5。 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为
A。 4 B. 43
C.423 D.42
6。 已知圆22(2)9xy的圆心为C.直线l过点(2,0)M且与x轴不重合,l交圆C于,AB两点,点A在点M，B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是
A。 椭圆的一部分 B。 双曲线的一部分
C. 抛物线的一部分 D. 圆的一部分
7. 已知函数()fxxxa的图象与直线1y的公共点不少于两个,则实数a的取值范围是
A.2a B.2a C。20a
D。2a
8. 如图1,矩形ABCD中,3AD.点E在AB边上， CEDE且1AE。 如图2，ADE△沿直线DE向上折起成1ADE△．记二面角1ADEA的平面角为，当00180，时，
① 存在某个位置，使1CEDA；
② 存在某个位置，使1DEAC；
③ 任意两个位置，直线DE和直线1AC所成的角都不相等。 图1 BAEDCEBCDAA1图2 学必求其心得，业必贵于专精
以上三个结论中正确的序号是
A。 ① B. ①② C. ①③
D。 ②③
第二部分(非选择题 共110分）
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在答题卡上。
9。 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为 。
10。 执行如图所示的程序框图，输出S的值为 .
11.ABCD中，,EF分别为边,BCCD中点，若
AFxAByAE
（,xyR）,则+=xy_________.
12. 已知数列na满足11nnnaaa(2n)，1ap，2aq(,pqR）.设1nniiSa,则10a ；2018S .（用含,pq的式子表示）
13。 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()acbdabcd的一种“图形证明”。 开始
i=1，S=2
结束 i=i+1
i>4?
输出S 是 否 S=iS 学必求其心得，业必贵于专精
证明思路：
（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
(2）左图中阴影区域的面积为acbd，右图中，设BAD,右图阴影区域的面积可表示为_________(用含abcd,,,，的式子表示）;
（3）由图中阴影面积相等,即可导出不等式22222()()()acbdabcd。 当且仅当,,,abcd满足条件__________________时，等号成立。
14。 如图,一位同学从1P处观测塔顶B及旗杆顶A,得仰角分别为和90. 后退l (单位m）至点2P处再观测塔顶B，仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面,且C,1P,2P三点在同一条水平线上，则塔CB的高为 m；旗杆BA的高为 m。(用含有l和的式子表示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. （本小题满分13分）
已知函数21()sincossin2fxxxx. AP2P1BCbbdacdacdacbDCBA学必求其心得，业必贵于专精
（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；
(Ⅱ）在△ABC中，,,abc为角,,ABC的对边，且满足cos2cossinbAbAaB，
且02A，求()fB的取值范围.
16. (本小题满分13分）
为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施,比如“煤改电",“煤改气”，“国Ⅰ,Ⅱ轻型汽油车限行”,“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好)统计表。
表1：2016年12月AQI指数表：单位（3g/m）
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
AQI 47 123 232 291 78 103 159 132 37 67 204
日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
AQI 270 78 40 51 135 229 270 265 409 429 151
日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31
AQI 47 155 191 64 54 85 75 249 329
表2:2017年12月AQI指数表：单位（3g/m）
日1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 学必求其心得，业必贵于专精
期
AQI 91 187 79 28 44 49 27 41 56 43 28
日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
AQI 28 49 94 62 40 46 48 55 44 74 62
日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31
AQI 50 50 46 41 101 140 221 157 55
根据表中数据回答下列问题:
(Ⅰ)求出2017年12月的空气质量指数的极差；
(Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行)》规定:当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级。从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为,求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？结合数据说明理由。
17。 (本小题满分14分） 学必求其心得，业必贵于专精
如图，在三棱柱111ABCABC中，90ACB，D是线段AC的中点，且1AD
平面ABC．
(Ⅰ）求证：平面1ABC平面11AACC；
（Ⅱ)求证：1//BC平面1ABD；
（Ⅲ）若11ABAC，2ACBC,求二面角
1AABC的余弦值.
18. （本小题满分13分)
已知函数()cosfxxxa，aR.
（Ⅰ)求曲线()yfx在点2x处的切线的斜率；
（Ⅱ）判断方程()0fx（()fx为()fx的导数)在区间0,1内的根的个数，说明理由；
（Ⅲ）若函数()sincosFxxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a的取值范围.
A C
B B1 C1 A1
D 学必求其心得，业必贵于专精
19. (本小题满分14分)
已知抛物线:C24xy的焦点为F,过抛物线C上的动点P（除顶点O外）作C的切线l交x轴于点T.过点O作直线l的垂线OM（垂足为M）与直线PF交于点N.
（Ⅰ）求焦点F的坐标;
（Ⅱ）求证：FTMN；
（Ⅲ）求线段FN的长.
20. （本小题满分13分）
已知集合12,,...,nPaaa，其中iaR1,2inn。()MP表示+ijaa1)ijn（中所有不同值的个数.
（Ⅰ）若集合1,3,57,9P，，求()MP；
(Ⅱ）若集合11,4,16,...,4nP，求证：+ijaa的值两两不同，并求()MP；
（Ⅲ）求()MP的最小值.（用含n的代数式表示）
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北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1
一、选择题(40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D A A B B C
二、填空题（30分）
题号 9 10 11
答案 yx 48 12
题号 12 13 14
答案 p pq 2222sinabcd adbc sinl cos2sinl
三、解答题（80分）
15.
（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题知111()sin2(1cos2)222fxxx
11=sin2cos222xx
2=sin(2)24x.
由222242kxk（k）,
解得 88kxk 。
所以()fx单调递增区间为3[,]88kk(k). …………… 6分
（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sincos2sincossinsinBABAAB。
