初中物理竞赛及自主招生专题讲义第四讲光现象初步第二节平面镜成像含解析

第二节平面镜成像一、平面镜的成像规律平面镜所成的像是正立的虚像，像与物大小相等，像与物到镜面的距离相等且像与物的连线与镜面垂直.亦即像与物关于镜面对称.物体发出的光线经过平面镜反射后,反射光线的反向延长线在镜后会聚为虚像，如图2.37所示。

当我们在镜前时，经过平面镜反射后进入人眼的光线看起来好像是从镜后的虚像S 发出的。

二、平面镜的典型问题（一）根据光路的可逆性确定平面镜观察范围的光路图观察者不动，通过平面镜能看到物体的范围是多大？对这一问题常应用光路可逆性原理,把眼睛看做“发光体”，眼睛发出的光照亮的区域即为能看到的区域。

例1 如图2。

38所示，某人躺在地板上，眼的位置在A处.一只小虫在地板上从右向左爬，从天花板上的平面镜MN看到小虫的像，问小虫爬到何处时,人在平面镜中就看不到小虫了？请画图说明。

分析与解假设人眼为一光源，它的像为A'.人眼“发出”的光照射到平面镜上后，反射出的光照亮地板的区域为S S，注意画12光路图时要按光实际传播的方向加上箭头。

如图2.39所示，S S区域发出的光经平面镜反射后12可到达A点，即A处的眼睛可通过平面镜看到S S区域的小虫的像，当小虫爬到12S S区域以外12时,就不能通过平面镜看到它的像了。

例2 （第22届全国预赛试题)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球，距球心为2R处有一点光源S,球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图2。

40所示。

若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，筒的内半径r最大为多少？分析与解当光源S发出的光线经圆筒内表面反射后，反射光线全部被球接收，则点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收。

自光源S作球的切线SM，并画出S经筒壁反射形成的虚像点S'，从S'画出球面的切线S N',如图2。

41（a）所示。

可以看出，只要S M'和S N'之间有一夹角,则从简壁上反射的光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收。

如果筒的半径恰好减小到能使S M '和S N '重合，如图2。

41（b ）所示,则对应的筒的半径0r 就是题目所要求的内半径的最大值。

设光线SM 与球切于P 点，则由三角形面积公式，可知SO OM SM OP ⋅=⋅，即 ()220022R r R r R ⋅=+⋅解得0233R r = （二)平面镜与物体间的相对运动由平面镜成像特点-—像与物关于镜面对称，易得以下结论：（1)若平面镜不动，物体沿垂直于镜面的方向以速度v 向镜面运动,则像以速度v 向镜面运动(对镜的速度），像相对于物体以速度2v 运动。

（2）若物体不动，镜沿垂直于镜面的方向以速度v 向物体运动,则像相对镜以速度v 向镜面运动,像相对物体以速度2v 运动。

下面通过例题给出当物体运动方向任意时，像与物体之间的速度关系。

例3 一个点光源S 放在平面镜MN 前，若MN 不动，光源S 以2m /s 的速度沿与镜面成60︒角的方向向右做匀速直线运动，如图2.42所示，则光源在镜中的像将（ )。

A ．以4m /s 的速率沿直线SO 的方向向右平移B ．以2m /s 的速率沿垂直于SO 的方向向下平移C ．从镜的另一侧向O 点做速率为2m /s 的直线运动D ．在S 上看到像以23m /s 的速度向S 靠近分析与解 如图2.43所示,用对称法作S 的像S '，并作经时间t 后点光源的位置1S 及对应像的位置1S '，由对称关系可知11SS S S ''=，故得像1S '将沿直线1S O '以2m /s v =的速率做直线运动，故C 正确,由对称关系可知,在t 时间内S 和S '向镜面靠近的距离SA 和S A ''大小相等。

它们互相靠近的距离为2x SA S A SA ''∆=+=，S 和S '靠近的速度为022cos3023m /s ss x SA v v t t'∆===⨯︒= 故D 项正确。

因此本题的正确选项为CD 。

例4 如图2。

44所示，点光源S放在平面镜前，试问：(1）若S不动,镜以速度v沿OS方向向右平移，S的像将如何运动?（2)若S不动,镜以O为圆心，沿顺时针方向转动θ角，且转动角小于45︒，S的像将绕O点转动多少角度？分析与解（1)如图2。

45（a）所示，镜面向右平移，设在t时间内由O点移到S点，同时像物重合，即t时间内O点的位移为'=︒=,v'=,故S'沿S'和S的连vt，而S'的位移为2sin45SS vt线向s运动。

(2)设镜绕O点顺时针转过θ角()45θ<︒,则SO与平面镜的夹角变为︒-，如图2.45（b）所示,根据像与物的对称性可知，S O'与镜面45θ的夹角也变为45θ︒-，所以像S'绕O点顺时针转动2θ角。

（三）互成夹角的平面镜（角镜）成像个数问题当物体在一块平面镜前时，只能通过该平面镜成一个像。

但当物体位于两块互成一定夹角的平面镜前时,成像个数却比较复杂，下面分不同情况给出该类问题的解决方法。

1．两镜面夹角θ不能整除360︒的情况如图2.46（a ）所示，两镜面1OM 与2OM 的夹角为θ，OS 与镜面1OM 的夹角为α。

则S 可通过镜面1OM 和2OM 成像，通过1OM 所成的像又可以通过2OM 再次成像,同样，通过2OM 所成的像又可以通过1OM 再次成像……所以，物点S 可以成多个像。

由于平面镜成像原理是光的反射，因此每成一个像,说明光线被反射一次。

如图2.46（b)所示，我们可以作出镜面1OM 通过2OM 所成的像，以及像又成的像……这样,相邻的镜面或者镜面的像之间的夹角仍为θ，只要从物点S 出发的光线和这些镜面或者镜面的像有交点，则就可以使S 成像,确定交点的个数即为成像个数.先确定S 通过镜面1OM 所成的像的个数.设物点S 经1OM 成像1n 个，画出自S 射向1OM 的光线SA ,则当SA 趋近SO 时交点最多，为1n 个,由几何关系得()111180n n αθαθ+-<︒<+则有21801801n ααθθθθ︒︒+-<<+其中2n 亦为正整数。

因此,物点S 成像个数为12N n n =+。

例5 如图2.47所示，平面镜1OM 和2OM 之间的夹角75θ=︒，在两镜之间有一物点S （为了容易看，将S 与平面镜的交点O 连为一直线，实际上也可以把这条直线视为一个物体）,OS 与两镜面的夹角分别为()20α=︒和()55β=︒，则S 在1OM 和2OM 之间可以成多少个像?分析与解 由题知两镜面夹角75θ=︒，不能整除360︒，因此我们只能利用前面介绍的方法，分别求出S 通过平面镜1OM 成像个数1n 和通过2OM 。

成像个数2n ，即可求得总共的成像个数。

对1OM 有 ()11201751802075n n ︒+-⨯︒<︒<︒+⨯︒ 解得122231515n +<<+,因此13n =。

对2OM 有 ()21551751805575n n ︒+-⨯︒<︒<︒+⨯︒解得2221233n +<<+,因此22n =。

所以共有5个S 所成的像。

2．两镜面夹角θ能整除360︒的情况当θ能整除360︒时，求物点S 经两平面镜所成的像的个数m ，可令360m θ︒=。

①若m 为偶数，则由对称性可以证明最后2个像重合于同一点，人们习惯上将两个完全重合的像计为一个像，因此实际看到像的个数为1m -个;②若m 为奇数时,成像个数与实际看到像的个数都为m 。

例6把两块平面镜竖直放置，并使它们之间的夹角为60︒。

在它们的夹角的角平分线上放一点燃的蜡烛，则烛焰在两个平面镜里总共可成的虚像数是( ）A ．5个B ．4个 C．3个 D ．2个分析与解 由题可知，两镜面夹角60θ=︒，能整除360︒，且3606θ︒=为偶数，因此成像个数36015N θ︒=-=。

我们也可以根据平面镜成像特点，利用几何作图的方法找出各像点。

如图2.48所示，由于平面镜成像具有对称性，可得S 点在平面镜OM 中的像点1S ，S 点在平面镜ON 中的像点2S ,这是两个基本像点，只要它们还落在另一镜前就要反复成像。

1S 点在平面镜ON 中的像点为3S ,3S 在平面镜OM 中的像点为4S ,2S 在平面镜OM 中的像点为5S ，5S 在平面镜ON 中的像点也是4S 。

由以上作图可知，像S，2S，3S，4S，5S都在以OS为半径，以1O为圆心的圆周上，所以S在平面镜中成5个像.故A项正确。

练习题1．（上海第7届大同杯初赛）如图2。

49所示,在井的上方放置一块平面镜，若与水平方向成40︒角的太阳光能竖直照到井底，则平面镜与水平方向的夹角θ应是（）。

A．25︒B．40︒ C．60︒D．65︒2．如图2.50所示,两平面镜镜面夹角为α（锐角)，点光源S位于两平面镜之间，在S发出的所有光线中（).A．只有一条光线经镜面两次反射后经过S点B．只有两条光线经镜面两次反射后经过S点C．有两条以上的光线经镜面两次反射后经过S点D．有几条光线经镜面反射两次经过S点与S的位置有关3．如图2.51所示，a,b,c三条光线交于S点，如果在S点前任意位置放置一块平面镜，则a，b,c的三条反射光线( )。

A．可能交于一点也可能不交于一点B．一定不交于一点C．交于镜前的一点，成为一实像点D．它们的延长线交于镜后一点，得到一个虚像点4．（上海第7届大同杯初赛）直线状物体AB与平面镜平行，当平面镜绕跟AB平行的某轴线转过20︒角时，AB跟它的像之间的夹角是( ）。

A．40︒B．20︒C．0︒D．0︒与40︒之间的某角度5．（上海第6届大同杯初赛)平面镜前有一个长为30cm的线状物体MN,M端距镜面为7cm，N端距镜面为25cm，如图2。

52所示.则N点的像N'到M端的距离是（)。

A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm6．如图2。

53所示，在竖直平面xOy内,人眼位于()0,4P位置处，平面镜MN竖直放置，其两端M，N的坐标分别为()3,1和()3,0,若某发光点S在该竖直平面y轴的右半部分某一区域内自由移动时，此人恰好都能通过平面镜看见S的像，则该区域的最大面积为（)。

(图中长度单位为m）A．23.5m C．24m0.5m B．2D．24.5m7．平面镜前有一个发光点S沿与镜面成30 的方向，以速度v 向镜面运动,如图2。

54所示。

则S和它的像之间的接近速度是（）。

A．v B．2v C．1v2D．3v8．平面镜前有一个发光点S，S到平面镜的垂线的垂足为O，如图2。