考研数学一高等数学-试卷4_真题-无答案

全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()nii X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2024年研究生考试试卷数学一、选择题（每题1分，共5分）1.设矩阵A为3阶可逆矩阵，矩阵B为A的伴随矩阵，则矩阵B 的行列式值为（）。

A.|A|^3B.|A|^2C.|A|D.1A.存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0B.存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0C.存在ξ∈(0,1)，使得f''(ξ)=0D.存在ξ∈(0,1)，使得f'''(ξ)=03.设函数f(x)=e^xsin(x)，则f(x)在x=0处的泰勒展开式为（）。

A.x+x^3/6+o(x^3)B.x+x^3/3!+o(x^3)C.x+x^3/2+o(x^3)D.x+x^3+o(x^3)4.设矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的特征值（）。

A.必为实数B.必为正数C.必为负数D.可以为复数5.设函数f(x)=x^33x，则f(x)在x=0处的拉格朗日中值定理的结论为（）。

A.存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0B.存在ξ∈(0,1)，使得f''(ξ)=0C.存在ξ∈(0,1)，使得f'''(ξ)=0D.存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0二、判断题（每题1分，共5分）1.若矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的逆矩阵也为对称矩阵。

（）2.若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f'(x)在区间[0,1]上恒大于0。

（）3.若矩阵A的行列式值为0，则矩阵A不可逆。

（）4.若函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)在区间[0,1]上可积。

（）5.若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A+kI的特征值为λ+k。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.设矩阵A为3阶矩阵，矩阵B为A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式值为______。

2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)在x=0处的泰勒展开式为______。

3.若矩阵A为对称矩阵，则矩阵A的特征值______。

2020年考研数学一真题及答案(全)全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1.若函数 $f(x)=\begin{cases}1-\cos x。

& x>0 \\ a x + b。

& x\leq 0\end{cases}$ 在 $x$ 连续，则 $ab=$答案：A详解：由 $\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)$ 得 $ab=1$。

2.设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(x)f'(x)>0$，则A) $f(1)>f(-1)$；(B) $f(1)f(-1)$；(D) $f(1)<f(-1)$。

答案：C详解：$f(x)f'(x)>0$ 表示 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和$(0,+\infty)$ 上单调，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增，所以 $f(1)>f(-1)$。

3.函数 $f(x,y,z)=xy+z$ 在点 $(1,2,0)$ 处沿着向量$n=(1,2,2)$ 的方向导数为A) $12$；(B) $6$；(C) $4$；(D) $2$。

答案：D详解：方向余弦$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+2^2+2^2}}=\frac{1}{3}$，$\cos\beta=\frac{2}{3}$，$\cos\gamma=\frac{2}{3}$，偏导数$f_x'=2xy$，$f_y'=x^2$，$f_z'=2z$，代入 $\cos\alphaf_x'+\cos\beta f_y'+\cos\gamma f_z'$ 即可。

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编1(总分78,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则A. B.C. D.2. 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有A. 一个极小值点和两个极大值点．B. 两个极小值点和一个极大值点．C. 两个极小值点和两个极大值点．D. 三个极小值点和一个极大值点．3. 设函数f(x)连续，且f"(0)＞0，则存在δ＞0，使得A. f(x)在(0，δ)内单调增加．B. f(x)在(一δ，0)内单调减少．C. 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)．D. 对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)．4. 设函数f(x)=，则f(x)在(一∞，+∞)内A. 处处可导B. 恰有一个不可导点C. 恰有两个不可导点D. 至少有三个不可导点5. 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在x0处的增量，△y 与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则A. 0＜dy＜△y．B. 0＜△y＜dy．C. △y＜dy＜0．D. dy＜△y＜0．6. 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是A. 若存在，则f(0)=0．B. 存在，则f(0)=0．C. 若存在，则f"(0)存在．D. 若存在，则f"(0)存在．7. 曲线y=+In(1+ex)渐近线的条数为A. 0B. 1C. 2D. 38. 设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f"(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是A. 若u1＞u2，则{un}必收敛．B. 若u1＞u2，则{un}必发散．C. 若u1＜u2，则{un}必收敛．D. 若u1＜u2，则{un}必发散．9. 设函数f(x)=｜ln(2+t)dt，则f"(x)的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 310. 曲线y=(x一1)(x一2)2(x一3)3(x一4)4的拐点是A. (1，0)．B. (2，0)．C. (3，0)．D. (4，0)．11. 曲线渐近线的条数为A. 1B. 2C. 3D. 412. 设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n为正整数，则f"(0)=A. (一1)n-1(n—1)!B. (一1)n(n一1)!C. (一1)n-1n!D. (一1)nn!13. 下列曲线中有渐近线的是A. y=x+sinxB. y=x2+sinxC. y=x+sinD. y=x2+sin14. 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A. 当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)B. 当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)C. 当f"(x)≥0时，f(x)≥g(x)D. 当f"(x)≥0时，f(x)≤g(x)15. 设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f"(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A. 0B. 1C. 2D. 32. 填空题1. 已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2一1=0确定，则y"(0)=_________．2. 曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________3. 曲线y=的斜渐近线方程为_________．4. 曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0，1)处的切线方程是__________．5. 设，则=_________．6. 设函数y=f(x)由方程y—x=ex(1-y)确定，则=_________．7. 设(t为参数)，则=__________．8. 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f"(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=___________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一真题及答案考研数学一是众多考研学子面临的一项重要挑战。

为了帮助大家更好地了解考研数学一的考试内容和题型，以下为大家提供近年来的考研数学一真题及答案解析。

先来看一道函数极限的题目。

例 1：求极限$＼lim_{x\to 0}＼frac{＼sin 2x}｛x}＄这道题考查的是基本的极限公式。

我们知道，当$x\to 0$时，＄＼lim_{x\to 0}＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，所以对于这道题，我们可以将分子变形为$2\times ＼frac{＼sin 2x}｛2x}＄，那么原式就等于$2\times\lim_{x\to 0}＼frac{＼sin 2x}｛2x} ＝ 2\times 1 ＝ 2$再来看一道多元函数求偏导数的题目。

例 2：设$z ＝ x^2 ＋ xy ＋ y^2$，求$＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄，＄＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄对于这道题，我们分别对$x$和$y$求偏导数。

＄＼frac{＼partial z}｛＼partial x} ＝ 2x ＋ y$＄＼frac{＼partial z}｛＼partial y} ＝ x ＋ 2y$接下来是一道关于曲线积分的题目。

例 3：计算曲线积分$＼int_C （x^2 ＋ y^2)ds$，其中$C$是圆心在原点，半径为$a$的圆。

我们先写出圆的参数方程：＄x ＝ a\cos t$，＄y ＝ a\sin t$，＄t\in0, 2\pi$，＄ds ＝＼sqrt{（＼frac{dx}｛dt}）＾2 ＋（＼frac{dy}｛dt}）＾2}dt ＝ adt$则原式可化为：＄＼int_0^｛2\pi} （a^2\cos^2 t ＋ a^2\sin^2 t)adt ＝＼int_0^｛2\pi} a^3 dt ＝ 2\pi a^3$下面看一道概率论的题目。

例 4：已知随机变量$X$服从参数为$＼lambda$的泊松分布，且$P(X ＝ 1) ＝ P(X ＝ 2)＄，求$＼lambda$。

考研数学一（高等数学）-试卷1(总分102, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设当x→0时，有ax 3＋bx 2＋cx～，则( )．SSS_SINGLE_SELA a＝，b＝1，c＝0B a＝，b＝1，c＝0C a＝，b＝－1，c＝0D a＝0，b＝2，c＝02.设f(x)＝，g(x)＝x 3＋x 4，当x→0时，f(x)是g(x)的( )．SSS_SINGLE_SELA 等价无穷小B 同阶但非等价无穷小C 高阶无穷小D 低阶无穷小3.设，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．SSS_SINGLE_SELA 低阶无穷小B 高阶无穷小C 等价无穷小D 同阶但非等价的无穷小4.设{an }与{bn}为两个数列，下列说法正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA若{an }与{bn}都发散，则{anbn}一定发散B若{an }与{bn}都无界，则{anbn}一定无界C若{an}无界且＝0，则＝0D若an 为无穷大，且＝0，则bn一定是无穷小5.设f(x)＝在(一∞，＋∞)内连续，且＝0，则( )．SSS_SINGLE_SELA a＞0，b＞0B a＜0，b＜0C a≥0，b＜0D a≤0，b＞06.设α～β(x→a)，则等于( )．SSS_SINGLE_SELA eBe 2C 1D7.设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0使得( )．SSS_SINGLE_SELA 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)B 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＜f(0)C 当x∈(0，δ)时，f(x)为单调增函数D 当x∈(0，δ)时，f(x)是单调减函数8.设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y"＋py"＋qy＝sin2x＋2e x的满足初始条件f(0)＝f"(0)＝0的特解，则当x→0时，( )．SSS_SINGLE_SELA 不存在B 等于0C 等于1D 其他9.下列命题正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 若｜f(x)｜在x＝a处连续，则f(x)在x＝a处连续B 若f(x)在x＝a处连续，则｜f(x)｜在x＝a处连续C 若f(x)在x＝a处连续，则f(x)在x＝a的一个邻域内连续D 若[f(a＋h)一f(a一h)]＝0，则f(x)在x＝a处连续2. 填空题1.SSS_FILL2.SSS_FILL3.SSS_FILL4.SSS_FILL5.当x→0时，x—sinxcos2x～cx k，则c＝__________，k＝__________．SSS_FILL6.SSS_FILL7.SSS_FILL8.SSS_FILL9.设f’(x)连续，f(0)＝0，f"(0)＝1，则＝___________.SSS_FILL10.设f(x)一阶连续可导，且f(0)＝0，f"(0)≠0，则＝___________.SSS_FILL11.设f(x)连续，且＝__________.SSS_FILL12.SSS_FILL13.设f(x)在x＝0处连续，且，则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________．SSS_FILL14.设在x＝0处连续，则a＝___________，b＝___________.SSS_FILL3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一真题答案2024简介本文是对2024年考研数学一真题的详细解析和答案解释。

通过分析和解答真题，可以帮助考研数学一科目的考生深入理解考试内容，提高解题能力和应对考试的自信心。

一、选择题部分1. 题目解析题目：在平面直角坐标系中，抛物线y=f(x)的焦点为(1,a)，且|a|>1，则f(x)的解析式可能是哪一个？解析：首先，我们知道抛物线的一般方程可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数。

题目给出了焦点的坐标为(1,a)，利用焦点的性质可以得到抛物线的焦点公式为$(\\frac{-b}{2a}, c + \\frac{1}{4a})$。

将给定的焦点坐标代入，可以得到$(1,a)=(\\frac{-b}{2a}, c + \\frac{1}{4a})$。

根据方程组的解法，我们可以得到b=−2a和$c = \\frac{a^2 - 1}{4}$。

将b和c的值代入抛物线的一般方程中，可以得到$f(x) = ax^2 - 2ax + \\frac{a^2 - 1}{4}$。

2. 答案解释根据题目解析的结果，我们可以得到抛物线f(x)的解析式为$f(x) = ax^2 - 2ax + \\frac{a^2 - 1}{4}$。

其中，a的取值范围是|a|>1，即a为正负大于1的任意实数。

二、计算题部分1. 题目解析题目：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在$\\xi \\in (a, b)$，使得$f'(\\xi) + f(\\xi) = 0$。

解析：根据题目的条件，函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0。

根据罗尔定理，如果函数在闭区间两端的函数值相等，那么在开区间内一定存在一个点使得导数为零。

我们可以应用罗尔定理来证明题目给出的结论。

假设f(x)是满足题目条件的函数，根据罗尔定理，存在$\\xi \\in (a, b)$，使得$f'(\\xi) = 0$。

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》真题试卷【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。

1．曲线1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭的渐近线方程为（ ）。

A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e2．已知微分方程式y ′′＋ay ′＋by ＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（ ）。

A ．a ＜0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＝0，b ＞0 D ．a ＝0，b ＜03．设函数y ＝f （x ）由2sin x t t y t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ）。

A ．f （x ）连续，f ′（0）不存在B ．f ′（0）存在，f ′（x ）在x ＝0处不连续C ．f ′（x ）连续，f ′′（0）不存在D ．f ′′（0）存在，f ′′（x ）在x ＝0处不连续4．已知a n ＜b n （n ＝1，2，...），若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“级数1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛”的（ ）。

A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC ＝0，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵0A BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0AB C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0E AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩分别为γ1，γ2，γ3，则（ ）。

A ．γ1≤γ2≤γ3 B ．γ1≤γ3≤γ2 C ．γ3≤γ1≤γ2 D ．γ2≤γ1≤γ36．下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（ ）。

A ．11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11020002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D ．11022002a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭7．已知向量121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2线性表示，则γ＝（ ）。

高数1考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值为：A. 1B. -1C. 3D. 5答案：A2. 已知函数y=ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. ln(x)D. e^x答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x dx的值为：A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B4. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)的导数为______。

答案：3x^2-12x+112. 计算不定积分∫x^2 dx的值为______。

答案：x^3/3 + C3. 设函数g(x)=e^x，求g'(x)的导数为______。

答案：e^x4. 计算定积分∫(1到2) (x^2-2x) dx的值为______。

答案：2三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，然后计算f'(1)=-3，f(1)=0。

切线方程为y=-3(x-1)，即y=-3x+3。

2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。

答案：利用定积分的性质，∫(0到π) sin(x) dx = -cos(x)|_0^π = 2。

3. 已知函数y=x^2-4x+c，求c的值，使得曲线y=x^2-4x+c与x轴相切。

答案：令y=0，得到x^2-4x+c=0，判别式Δ=16-4c=0，解得c=4。

4. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值。

答案：利用指数函数极限的性质，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

5. 计算二重积分∫∫D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。

答案：利用极坐标变换，得到∫∫D (x^2+y^2) dxdy = ∫(0到2π)∫(0到1) r^3 drdθ = π。

2004年全国硕士研究生入学考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-L ydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,, (D)αγβ,, (8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n n a 为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n n a 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n n a 发散(C)若级数∑∞=1n n a 收敛,则0lim 2=∞→n n a n (D)若级数∑∞=1n n a 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=t ty dx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于 (A)2(2)f (B)(2)f (C)(2)f - (D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu (B)21α-u(C)21α-u (D) α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ= (B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()e b a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程10nx nx+-=,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x,并证明当1α>时,级数1nn xα∞=∑收敛.(19)(本题满分12分)设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,nnna x x xx a x xnnx nx n a x++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。