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高中数学必修一高一数学第四章(第五课时)正弦函数余弦函数的图象和性质()公开课教案课件课时训练练习教

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人教版高中数学必修第一册5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (课件)

人教版高中数学必修第一册5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (课件)

1. 通过做正弦、余弦函
数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画 数的图象，培养直观想象
出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点) 素养．
2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)
2．借助图象的综合应用，
3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点) 提升数学运算素养.
栏目导航
自
主PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛：
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/she ngwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lish i/
y＝sin
x(x∈R)的图象平移得到的原
因是什么？
语文课件：/kejian/yuw en/ 数学课件：/kejian/shuxue/
英语课件：/kejian/ying yu/ 美术课件：/kejian/me ishu/
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wul i/
PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函 PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/

5..4.1正弦函数、余弦函数的图象课件(人教版)

5..4.1正弦函数、余弦函数的图象课件(人教版)

高中数学必修第一册
问题探究
高中数学必修第一册
典例精析
例1 画出下列函数的简图：
（1） = 1 + , ∈ [0,2]； （2） = −, ∈ [0,2].
高中数学必修第一册
典例精析
例1 画出下列函数的简图：
（1） = 1 + , ∈ [0,2]；
因 此 ， 以 0 为 横 坐 标 ， 0 为 纵 坐 标 画 点 ， 即 得 到 函 数 图 象 上 的 点
(0, 0).
高中数学必修第一册
问题探究
把 轴上[0,2 ]这一段分成12等份，从而使0的值分别为0，

2

6
，

3
，பைடு நூலகம்
， … ，2；它们所对应的角的终边与单位圆的交点同样将圆周12等
份，再按照上述方法依次画点(0, 0).
高中数学必修第一册
问题探究
5
6
2
3

2
y
1

3
●
●

●
0
7
6
4
3
-1
3
2

6
5
3

6
●
2


3
2
11
6
●
●
2
3
5
6
7
6●
●
4 3 5
3 2
3
●
●
高中数学必修第一册
●
11
6●
●
2
x
问题探究
事实上，利用信息技术，可以在[0,2]上取足够多的点，并将这些点
简图吗？在确定图象形状时，应抓住哪些关键点？

高一数学《正弦函数、余弦函数的性质》(课件)

高一数学《正弦函数、余弦函数的性质》(课件)


2、奇偶性
正弦函数是奇函数、余弦函数是偶函数
正弦、余弦曲线
y 1
-2 -
o -1 y 1
x

2 3 4
-2
-
o -1
x

2 3 4
正弦、余弦曲线
y 1
-2 -
o -1 y 1
x

2 3 4
-2
-
o -1
x

2 3 4
(3) 单调性
2 2 2k ]( k Z )上都是增函数，其值从 1增大到1， 3 在每一个闭区间 [ 2k , 2k ]( k Z )上 2 2 都是减函数，其值从1减小到 1. 正弦函数在每一个闭区 间 [
正弦函数、余弦函数的性质
1. 函数周期性
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数
T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，
非零常数T叫做这个函数的周期.
函数y A sin(x ), x R及函数y A cos(x ), x R的周期T 2
2
时取得最大值 1，
3 当且仅当 x 2k 时取得最小值 1. 2
余弦函数当且仅当 x 2k时取得最大值 1， 当且仅当 x 2k 时取得最小值 1.
正弦、余弦曲线
y 1
-2 -
o -1 y 1
x

2 3 4
-2
-
o -1
x

2 3 4
(5) 对称性
【例2】利用三角函数的单调 性，比较下列 各组数的大小 (1) sin(

18 10 23 17 ( 2) cos( )与 cos( ). 5 4

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(共2课时课件)(人教A版2019高一数学必修第一册)

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(共2课时课件)(人教A版2019高一数学必修第一册)

2
,
3
2
,
5
2
2
2k
,
3
2
2k
,
k
Z
周 期
减区间：
3
2
,
2
,
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
2
2k ,
2
2k
,
k
Z
性
2 正弦函数、余弦函数的性质
-3 5 -2 3
2
2
-
2
y
1
o 2
-1
3 2
y=sinx
2
5 2
x
3
7 2
4
5.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的
各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？
3 典型例题
（3）因为
2
sin
1 2
x
4
6
2
sin
(
1 2
x
6
)
2
2sin(1 x ), 26
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.
练一练
求下列函数的周期：
(1)y 1 cos x, x R; 2
(2)y sin(1 x ), x R. 34
解：(1) 1 cos x 1 cos(上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0， 试判断f(x)是否为周期函数.
解：由已知有：f(x＋2)= -f(x), 所以f(x+4)= f[(x＋2)+2]= -f(x＋2) =-[-f(x)]= f(x), 即f(x＋4)=f(x), 所以由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.

高一数学最新课件-正弦函数、余弦函数的图象和性质 精品

高一数学最新课件-正弦函数、余弦函数的图象和性质 精品

3
2
x
2
y
(3)
2
1
-1
2
-2
y=2sinx, x[0, 2 ]
3
2
2 x
1+sinx 1 2
1
0
1
y
2
●
y=1+sinx x [0, 2 ]
1●
●
●
●
o
3
2
x
2
2
(2)按五个关键点列表
x
0
2
3
2
2
cosx 1 0 -1 0 1
-cosx -1 0
1
0 -1
y
y=-cosx x [0,2 ]
1
●
o
●
3●
2
x
2
2
-1 ●
●
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？ 2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
2 0
2
5
●
11
6 32 3 6
●
●
x
●
5
6
-1
●
●
●
3
sin(2k +x)= sinx (k Z)
y y=sinx (xR)
1
2 0
-1
2 3 4 5
6 x
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( 3 ,-1)、 (2 ,0)

5-4-1正弦函数、余弦函数的图象 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5-4-1正弦函数、余弦函数的图象 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3
2
2
x -4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
5
6
x
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
在函数 = ，


∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 2

0,0 ， ，1 ， ，0
2
3
， − 1 ，（2，0）
2
y
1
o

2

3
2
2
x
1
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数 = ， ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因
y
1
O
-1
1
y
2

3 2
π
5 2π
2 3

0
，
3
x
5

，
2

3

例3
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x 的定义域.
2
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
3.注意与诱导公式、三角函数定义等知识的联系；
4.巩固图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”.
布置作业
课后习题1、2
余弦函数的“五点画图法”
x
cosx
y
0

2

1
0
-1
1
o
3
2
2
0
1
y=cosx，x[0, 2]

正弦函数、余弦函数的性质(一) 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

正弦函数、余弦函数的性质(一) 课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

(1)y=sin
-
1 2
x+ 3
,x∈R;
T= 2π =4π 1 2
(2)y=|cos 2x|,x∈R.
y
T=
π 2o2来自x22．已知 f(x)＝2cosπx，则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝________. 3
解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有 f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
+
π 18
(k∈Z )时，ymax=2
x= kπ-
π 12
(k∈Z )时，ymin=-2
令3x+
π 3
=
2kπ
-
π 2
5π x=kπ + 12
(k∈Z )时，ymax=4
x=
2kπ 3
-
5π 18
(k∈Z )时，ymin=-2
二.周期函数的概念
由正、余弦函数的图象可知, 正、余弦曲线每相隔2π个单位重复出 现， 这一规律的理论依据是什么？
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
【答案】A
【解析】因为 f x x cos x sin x ，则 f x x cos x sin x f x ，即题中
所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项 CD 错误；且x 时，
y cos sin 0 ，据此可知选项 B 错误，故选 A。
于是
2sin
1 2
x
π 6
2π
2
sin
1 2
x
π 6
，
原函数的周期为4π
所以

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质-高一数学同步精讲课件(人教A版必修第一册)

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质-高一数学同步精讲课件(人教A版必修第一册)
1
3 5

2
2 3
2

2
O
1

2

3
2
2
5
2
3
x
函数
y＝sin x(x∈R)
y＝cos x (x∈R)
图像
·
最
值
·
周期
T=2
奇偶性
对称轴
对称中心
增区间
减区间
最值
=
奇函数
π
2
+ , ∈ Z
(, 0) ∈ Z
π
π
[− + 2, + 2], ∈ Z
典 型 例 题 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
例1 (1)函数 = (2
(2)函数 = (2
(3)函数 =

(
6

− )的单调递减区间为___________________
6

− )， ∈ [0,2]的单调递减区间为_____
6
− 2)的单调递增区间为___________________
跟 踪 训 练 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
(1)函数 = 2(

− )，
3
∈ [−, 0]的单调递增区间是(
5
A.[−, − ]
6
5

B.[− , − ]
6
6

C.[− , 0]
3

D.[− , 0]
6
(2)函数 =

3(
3
− 2)的单调递减区间为_________________
(1) 函数() = (2 − Nhomakorabea)，

高一数学正弦函数、余弦函数的图像和性质课件

高一数学正弦函数、余弦函数的图像和性质课件

....
描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线.
y sin 如: x 3 0.8660 3 查表 ) 描点 ( 3 ,0.8660
y
P

3
y 1 1
O
M
x 0

2

- 3 2
2
-
x
1 -
几何法： 作三角函数线得三角函数值,描点 ( x, sin x) ,连线
-
-
-
-
-
－1
用诱导公式来作余弦函数y=cosx,x∈R的的图像 y= cosx = cos(-x) = sin[
y

2
-(-x)] = sin(x+ 2 )
从图像中我们看到cosx由sinx 向左平移 2 个单位后得到

1
-
4
2
o
-
2
4
x
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , ……与y=cosx,x∈[0,2π]的图象 形状相同
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx的图象
o x
1-
-
-
-
-
-
6
-
4
2
2
-1 -
4
6
-
4 , 2 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 y=cosx的图象在……， , 2 , 0 , ……与y=cosx,x∈[0,2π ]的图象相同
-
-
-
-
-
－1
想一想

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(课件)高一数学同步精讲 人教A版2019必修第一册)原创精品

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(课件)高一数学同步精讲 人教A版2019必修第一册)原创精品

3 5 23
11 6
2
x
-1 -
图象的最低点
4 五点作图法
3. 通过上面的分析，你能不能更快捷地画出正弦函数 和余弦函数的简图？如何画？
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标). (2) 描点(定出五个关键点). (3) 连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
练一练
在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y=sinx，x[0, 2] 和 y=cosx，x[ , 3 ]的简图，
3
答案：
(
k
2
5
12
,0)(k Z )
4 五点作图法
y
图象的最高点
1-
与x轴的交点
-1
o
(0,6 0)3
-
( ,0)
(2 ,0)
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
图象的最低点
4 五点作图法
y
图象的最高点
1-
(2 ,1)
与x轴的交点(
3
2
,0)
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
D.3
答案：C
3 余弦函数图象
1.如何利用正弦函数 y sin x, x R 的图象得到余弦函数 y cos x, x R 的图象？
向左平移
y sin x的图象 个单位
6
4
2
y cos x sin(x ) 的图象
2
y-
1
o-
2
-1
4
6 x
余弦曲线

高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件

高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件

上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：

+ ( ∈ ) 时取得最大值1，


当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；

①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +




+ ，所以自变量增加 ，函数值




+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.


单调性


−
−



−



同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

新教材人教版高中数学必修第一册 5-4-2-1 正弦函数、余弦函数的性质 正弦、余弦函数的周期性

新教材人教版高中数学必修第一册 5-4-2-1 正弦函数、余弦函数的性质 正弦、余弦函数的周期性

由图象可知 T＝π.
第十三页，共三十四页。
[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos＝ 2π 求得． |ω|
(2)定义法：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得
定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x)，那么非零常数 T 叫做这
第二十三页，共三十四页。
[ 典例 3] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是
()
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin π2＋2x
D．y＝cos 32π－2x
[ 解析]
(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
2x|是偶函数，y＝sin
π＋2x 2
＝
cos 2x 是偶函数，y＝cos 32π－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小
正周期 T＝π. [ 答案] (1)D
第二十四页，共三十四页。
[ 典例 3] (2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若
f(x)的最小正周期为π，且当 x∈ 0，π2 时，f(x)＝sin x，则 f
5π 3 等于(
)
A．－1 2
B．1 2
C．－ 3 2
D． 3 2
[ 解析]
所以函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x的定义域为
x∈Rx≠2kπ＋32π，k∈Z
，
显然定义域不关于原点对称．
故函数 f(x)＝1＋s1i＋n xsi－n cxos2x是非奇非偶函数．
第十九页，共三十四页。
[方法技巧]
判断函数奇偶性的思路

人教版高中数学课件：正弦余弦函数的图象与性质

人教版高中数学课件：正弦余弦函数的图象与性质
( 0 , 0 ) ( , 0 ) ( 2 , 0 )
x
5 3 11 6

-
-1
o

6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
2
图象的最低点 ( 32 , 1)
-1 -
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最高点
( 0 ,1) ( 2 ,1)
1-
-1
o

6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
与x轴的交点 ( , 0 ) ( 32 , 0 ) x 2
( , 1 )
-
图象的最低点
-1 -
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0高点
( 0 ,1) ( 2 ,1)
1-
-1
o

6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
与x轴的交点 ( , 0 ) ( 32 , 0 ) x 2
( , 1 )
-
图象的最低点
-1 -
sin x , x 0 , 2
利用三角函数线 作三角函数图象
如: x 查表 y sin 3 0 . 8660 移动到直角坐标系内，从而确定对应的点 (x,sinx). 3

【课件】正弦函数、余弦函数的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

【课件】正弦函数、余弦函数的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册


光滑的曲线连接起来。
在精度要求不高的情况下作函数y=sinx，x∈[0，2]的
图象，只要先作出这五个点，然后用光滑的曲线连接
起来即可，这种作图法叫“五点画图法”即“五点法”
新知引入
余弦函数的图像又是怎样的呢？如何作出来？
回忆正弦函数和余弦函数的哪些关系，能否通过图
形变换，将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
你会用五点法作出余弦函数的图像吗？
选哪个区间上的五点？观察下图，探索分析。
不难发现,自变量在[－,]这一周内的图像，更靠近原点，且在
对称性、增减性等方面，更具有特点，所以图像更具有代表性。
新知引入
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数
变换得到y=1+sinx，x∈[0，2]的图象吗？
先认真观察右图变化
对于任意一个x0∈[0 ,2]
设y1=sinx0， y2=1+sinx0
y2－y1＝1
即函数y=sinx，x∈[0，2]
的图象的每一点向上平移
一个单位就得到y=1+sinx，
x∈[0，2]的图象
图5.4-6
Flash
动画
巩固与练习

对于函数y=cosx，由诱导公式cosx=sin(x＋ )得，


y= cosx=sin(x＋ ) ，x∈R.


而函数y=sin(x＋ ) ，x∈R的图象和正弦函数y=sinx，x∈R

的图像又有怎么的关系？
新知引入

y=sin(x＋ )

y=sinx，
1、①与②两函数的图像形状相同；

高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质通用版知识精讲.doc

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高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质通用版【本讲主要内容】正弦函数、余弦函数的图象和性质【知识掌握】【知识点精析】2. 三角函数的周期性①周期函数的定义：一般地，对于函数)(x f ，若存在常数T （T ≠0），使得当x 取它定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f 就叫做周期函数，T 叫做)(x f 的周期。

②最小正周期：若)(x f 的所有周期中存在一个最小正数，则称这个最小正数为最小正周期。

③正弦函数，余弦函数都是周期函数，2k π（k ∈Z 且k ≠0）都是它们的周期，最小正周期是2π。

（注意：以后若不加说明，周期都是指函数的最小正周期）④一般地：函数)sin(ϕω+=x A y ，x ∈R 及函数)cos(ϕω+=x A y ，x ∈R （其中A ，ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω>0）的周期为π2=T（0，1）（2π，0）（π，－1）（23π，0）（2π，1）因此，【 例1. （1）y)(6262Z k k x k ∈+<<+∴ππ∴函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ，65262|ππππ 说明：确定三角函数的定义域的依据是：①正、余弦函数自身的定义域（大前提），见第一页表格。

②若函数是分式函数，则分母不为零。

③若函数是偶次根式，则被开方式非负。

④若函数是形如)10)((log ≠>=a a x f y a ，的函数，则其定义域由0)(>x f 及a>0且a ≠1共同确定。

例2. 求下列函数的最大值与最小值。

（1）)4sin(2π--=x y （2）4sin 5cos 22-+=x x y分析（1）：可利用y=sinx 的值域求解，特别注意)4sin(π-x 前面有“－”号。

解（1）：当224πππ+=-k x ，即)(432Z k k x ∈+=ππ时 )4sin(π-x 取最大值1，从而112min =-=y当224πππ-=-k x ，即)(42Z k k x ∈-=ππ时)4sin(π-x 取最小值－1，从而3)1(2max =--=y分析（2）：利用三角函数的恒等变形公式将原函数化为关于sinx 的二次函数，把问题转化为二次函数求最值问题。

5.正弦函数、余弦函数的性质-【精选】人教A版高中数学必修第一册ppt课件(优质课件

5.正弦函数、余弦函数的性质-【精选】人教A版高中数学必修第一册ppt课件(优质课件

而在每个闭区间 [ 2 k , 2 k ]( k Z 上) 都是减函数，
其值从1减小到－1。
新知探究 例1 不通过求值，比较下列各数的大小：
（1） sin( π )与sin( π )；
18
10
（2）cos( 23π )与cos(17π ) ．
5
4
解：（1）因为 π π π 0 ， 2 18 10
2
5 3
2
x
例
求函数
y
sin
1 2
x
π 3
，x
2π，2π的单调递增区间．
解：令 z
1 2
x
π，x 3
2π，2π
，则z
2π，4π 33
．
因为
y
sin
z，z
2π ，4π 33
的单调递增区间是 z
π 2
，π 2
，
且由 π ≤ 1 x π ≤ π 得 5π ≤ x ≤ π ，
22 32 3
3
则 y 3cos z
化未知为已知
练习
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
(1)sinx > 0 : (0 2k , 2k ) k Z
(2)sin x 0 :( 2k ,0 2k ) k Z
yHale Waihona Puke 13 52
(1)cos x
2 3
2
0:
(
O
2
2
1
2k , 2k
3
2
正弦函数余弦函数的性质 （二）
1.定义域和值域
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课 题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（4）教学目的：1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－15．周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 7．单调性正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1二、讲解范例：例1 求函数y ＝sin 21x-π的单调增区间 误解：令ｕ＝21x-π ∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上递增 ∴2k π－2π≤21x -π≤2k π＋2π解得－4k ≤x ≤－4k ＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k ，－4k ＋2］(k ∈Z ) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝21x-π，忽视了ｕ是x 的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令ｕ＝21x-π，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上为减函数，∴原函数在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上递增设2k π＋2π≤21x-π≤2k π＋23π解得－4k －2≤x ≤－4k (k ∈Z )∴原函数在［－4k －2，－4k ］(k ∈Z )上单调递增 解法二：将原函数变形为y ＝－sin 21-x π 因此只需求sin 21-x π＝y 的减区间即可 ∵ｕ＝21-x π为增函数 ∴只需求sin ｕ的递减区间 ∴2k π＋2π≤21-x π≤2k π＋23π解之得：4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z )∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z ) 一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1来求三角函数的最值例2 a 、b 是不相等的正数求y ＝x b x a x b x a 2222cos sin sin cos +++的最大值和最小值解：y 是正值，故使y 2达到最大(或最小)的x 值也使y 达到最大(或最小)y 2＝a cos 2x ＋b sin 2x ＋2x b x a 22sin cos +·x b x a 22cos sin +＋a sin 2x ＋b cos 2x＝a ＋b ＋x b a ab 2sin )(422-+ ∵a ≠b ，(a －b )2＞0，0≤sin 22x ≤1 ∴当sin2x ＝±1时，即x ＝22ππ+k (k ∈Z )时，y 有最大值)(2b a +； 当sin x ＝0时，即x ＝2πk (k ∈Z )时，y 有最小值a ＋b二、利用三角函数的增减性 如果f (x )在［α，β］上是增函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (β)，最小值f (α)；如果f (x )在［α，β］上是减函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (α)，最小值f (β)例3 在0≤x ≤2π条件下，求y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y ＝22cos 1x +－2sin2x －3·22cos 1x-＝2(cos2x －sin2x )－1 ＝22 (cos2x cos 4π－sin2x sin 4π)－1＝22cos(2x ＋4π)－1∵0≤x ≤2π，4π≤2x ＋4π≤45πcos(2x ＋4π)在［0，83π）上是减函数 故当x ＝0时有最大值22当x ＝83π时有最小值－1cos(2x ＋4π)在［83π，2π］上是增函数 故当x ＝83π时，有最小值－1当x ＝2π时，有最大值－22综上所述，当x ＝0时，y max ＝1 当x ＝83π时，y min ＝－22－1三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解例4求f (x )＝sin 4x ＋2sin 3x cos x ＋sin 2x cos 2x ＋2sin x cos 3x ＋cos 4x 的最大值和最小值解：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋2sin x cos x (sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x cos 2x =1＋2sin x cos x －sin 2x cos 2x令ｔ＝21sin2x ∴－21≤ｔ≤21①f (ｔ)＝1＋2ｔ－ｔ2＝－(ｔ－1)2＋2 ②在①的范围内求②的最值当ｔ＝21，即x ＝k π＋4π(k ∈Z )时，f (x )max ＝47 当ｔ＝－21，即x ＝k π＋43π(k ∈Z )时，f (x )min ＝－41四、求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1．注意sin x 、cos x 自身的范围例5求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值解：y ＝cos 2x －3sin x ＝－sin 2x －3sin x ＋1＝－(sin x ＋23)2＋413 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3说明：解此题易忽视sin x ∈［－1，1］这一范围，认为sin x ＝－23时，y 有最大值413，造成误解 2．注意条件中角的范围例6已知｜x ｜≤4π，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值解：y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －21)2＋45∵－4π≤x ≤4π∴－22≤sin x ≤22 ∴当sin x ＝－22时 y min ＝－(－22－21)2＋45＝221-说明：解此题注意了条件｜x ｜≤4π，使本题正确求解，否则认为sin x ＝－1时y 有最小值，产生误解3．注意题中字母(参数)的讨论例7求函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23(0≤x ≤2π)的最大值 解：∵y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋85a －23＝－(cos x －2a )2＋42a ＋85a －21∴当0≤a ≤2时，cos x ＝2a ，y max ＝42a ＋85a －21当a ＞2时，cos x ＝1，y max ＝813a －23 当a ＜0时，cos x ＝0，y max ＝85a －21说明：解此题注意到参数a 的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cos x ＝2a时，y 有最大值会产生误解 4．注意代换后参数的等价性例8已知y ＝2sin θcos θ＋sin θ－cos θ(0≤θ≤π)，求y 的最大值、最小值解：设t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－4π) ∴2sin θcos θ＝1－ｔ2∴y ＝－ｔ2＋ｔ＋1＝－(ｔ－21)2＋45 又∵ｔ＝2sin(θ－4π)，0≤θ≤π∴－4π≤θ－4π≤43π∴－1≤ｔ≤2 当ｔ＝21时，y max ＝45当ｔ＝-1时，y min ＝－1说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数ｔ∈［－1，2］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生ｔ＝21时有最大值而无最小值的结论 三、课堂练习：四、小结 三角函数最值的求解：三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！” 主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开， 煮饭和洗衣，都要请它来。

”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。