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1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝li m Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx＝li m Δx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________________________________________________________________________.解析：2＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2＋x 0＋Δx －x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1. 证明：∵y ＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝li m Δx →0 x ＋Δx ＋1x ＋Δx －x ＋1x Δx＝x 2－1x 2＝1－1x2<1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的斜率小于1.一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 解析：选C.k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－2x 2Δx＝li mΔx →0 4x ·Δx ＋Δx 2Δx＝4x .则f ′(2)＝8. 3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＞0D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14) 解析：选D.k ＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，得x ＝12，故选D. 5．设f (x )为可导函数，且满足li mx →0 f －f －x x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－1C.12D ．－2 解析：选B.∵li mx →0 f －f －x x ＝－1， ∴li m x →0 f －x －f －x＝－1， ∴f ′(1)＝－1.6．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.y ′＝li m Δx →0 x ＋Δx 2＋a x ＋Δx ＋b －x 2＋ax ＋b Δx＝li m Δx →0 x ＋a Δx ＋Δx 2Δx＝2x ＋a ，因为曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线l 的方程是x －y ＋1＝0，所以切线l 的斜率k ＝1＝y ′|x ＝0，且点(0，b )在切线l 上，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ 0＋a ＝10－b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1.二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________.解析：li m Δx →0 a ＋Δx 2－a Δx＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2， ∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a ＝2.答案：29．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (1，－32)，则过点P 的切线的倾斜角为________． 解析：∵y ＝12x 2－2， ∴y ′＝li m Δx →0 12x ＋Δx 2－2－12x 2－Δx＝li m Δx →0 12Δx 2＋x ·Δx Δx ＝li m Δx →0 (x ＋12Δx )＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P (1，－32)处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 答案：45°三、解答题10．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)的斜率k ＝y ′|x ＝1＝li m Δx →0 ＋Δx 2－＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝li m Δx →0 (3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)直线的斜率为2，由点斜式得y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。
1．下列关于平行投影与中心投影的叙述正确的有________．(写出正确叙述的编号)
①平行投影和中心投影是几何体的不同表现形式，在实际问题中可根据需要进行选择；
②平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线交于一点；
③人的视觉和照片都具有中心投影的特点；
④太阳光线形成的投影是中心投影．
解析：根据平行投影和中心投影的概念，逐个进行判断．根据中心投影和平行投影的特点可知①②③都是正确的，而太阳光线形成的投影是平行投影．
答案：①②③
2．下列说法中正确的有________(只写出正确的编号)．
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，那么这个几何体是正方体；
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是长方形，那么这个几何体是长方体；
③如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体是长方体；
④如果一个几何体的正视图和左视图都是等腰梯形，那么这个几何体是圆台．
解析：①不正确，因为球也是三视图完全相同的几何体；②不正确，因为一个横放在水平位置的圆柱，其正视图和俯视图都是矩形；易知③正确；④不正确，因为一个正四棱台的正视图和左视图也可以都是等腰梯形．
答案：③
3．两条相交直线的平行投影是________．
解析：借助于长方体模型来判断．如图所示，在长方体ABCD－
A1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射，则相交直线CD1和DC1
在面ABCD上的平行投影是一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面
ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.
答案：两条相交直线或一条直线
4．如图所示的三视图表示的几何体为________．
解析：根据得到图形的形状进行判断．
答案：圆锥
一、填空题
1．下列说法中正确的个数是________．
(1)正方形的平行投影一定是菱形；
(2)平行四边形的平行投影一定是平行四边形；
(3)三角形的平行投影一定是三角形．
解析：若平面图形与投影面垂直，则上述三种说法中的平面图形的平行投影都是线段．答案：0
2．一个图形的投影是一条线段，则这个图形不可能是下列图形中的________(填序号)．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
解析：线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可为线段；长方体是
三维空间图形，其投影不可能为线段；直线的投影只能是直线或点．
答案：②⑤
3．(2010年高考课标全国卷)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱
解析：①三棱锥的正视线与其中一侧面平行可以得正视图为三角形；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得正视图为三角形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底，沿着一个侧面看，得正视图为三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆锥的底面水平放置，正视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形．
答案：①②③⑤
4．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线AC1在六个面上的投影长度总和是________．
解析：正方体的体对角线在各个面上的投影是正方体各个面上的对角线，因而其长度都是2，所以其和为6 2.
答案：6 2
5．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．
解析：①正方体，三视图均相同；②圆锥，主视图和左视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④正四棱锥，主视图和左视图相同．
答案：②④
6．下图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是________．
解析：先看俯视图，可以确定最底层结构，相当于“楼房地基布局”，然
后再由主视图和左视图确定每块“地基”上起几层，用小正方形中的数字表示
该位置的小正方体的个数，如图．
答案：5
7．如图，直三棱柱的所有棱长均为2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为________．
解析：左视图是长为2，宽为底面三角形的高，即为3的矩形．∴S＝2×3＝2 3.
答案：2 3
8．(2010年高考辽宁卷)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在
其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析：由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分
(四棱锥C 1-ABCD )，还原在正方体中，如图所示． 多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长AB ＝2知最长棱的长为2 3.
答案：2 3
9．如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，
且体积为12
，则该几何体的俯视图可以是图中的________．
解析：若俯视图为①，则该几何体为正方体，其体积为1，而不是12
；若俯视图为②，则该几何体为半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；若俯视图为④，则该几何体是圆柱的14
，且体积为π4；若俯视图为等腰直角三角形③，则得体积为12
. 答案：③
二、解答题
10．画出下图所示的正三棱柱和正五棱台的三视图．
解：正三棱柱的三视图如图①所示．
正五棱台的三视图如图②所示．
11．根据图中几何体的三视图想象物体原形，并画出物体的直观图．
解：(1)在(a)中，由三视图知，这个物体是一个四棱台，它的实物直观图如图①所示；
(2)在(b)中，由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形
和两个等腰三角形，它的实物直观图如图②所示．
上一张纸上写着数字“9”，如图所示．甲说他看到的是“6”，乙说他看到
的是“6”，丙说他看到的是“9”，丁说他看到的是“9”，试确定四人的位置．解：甲看到的是“6”，甲在图示中的上处；
乙看到的是“6”，乙在图示中的左处；
丙看到的是“9”，丙在图示中的右处；
丁看到的是“9”，丁在图示中的下处．。
