高三数学(文科)一轮学案【第10课时】向量的应用

在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。

高中新教材对解决这类问题引入了向量这个强大的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。

同时也进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法。

本文拟就向量在立体几何中的应用作初步的总结和探讨。

专题一空间各种距离的计算一、空间两点间的距离方法：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离 d=||例1：已知二面角α-l-β的大小是120o ,A、C l,Bα,且CD⊥l,AB=CD=a,AC=2a。

求BD的长。

解：∵ CD⊥l,AB⊥l,α-l-β=120o∴<,>=120o⇒<, >=60o∵∴||2=BACDACBA+=++2)(2=a2+4a2+a2+0+0+2a⋅acos60o=7a2 ∴||=例2：正方体正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别是AA1、D1C1的中点。

求M、N两点间的距离。

解：建立空间直角坐标系D-xyz则M（1，0，），N（0，，1）∴26)21()21()1(222=++-=故M、N两点间的距离为二、两条异面直线间的距离方法：设a、b是两条异面直线，是a、b a,B 则异面直线a、b间的距离d=即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。

例3：如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。

1) 求异面直线A1C1与B1C的距离。

2）求异面直线A1A1与BD1的距离解：1）建立空间直角坐标系D-xyz（如图）则A1（1,0,1），C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0)∴)1,0,1(),0,1,1(111=-=CBCA设111,),,(CAzyx⊥⊥=且则：得：z y x z x y x -==⇒⎩⎨⎧=+=+-00 取又 ∴∴3331==故异面直线。

《平面向量》一轮复习（文科）教学设计一．考纲要求平面向量是高中数学的新增内容是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高考的热点。

向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它同时具有代数的运算性和几何的直观性，是数形结合的典范。

向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇。

（一）、2016考试说明及解读（二）近三年全国卷部分考题展示：平面向量与解三角形交汇的题目3个选择题和7个填空题，其中有3道题是平面向量与解三角形的交汇（四）考情分析1．考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题，也可以为中档的解答题．2．考查内容主要是平面向量的共线与垂直的充要条件，平面向量的线性运算和数量积运算，平面向量的应用等．（五）高考预测1．预计本章在今后的高考中，还将以向量的线性运算、向量的夹角、模、数量积为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主．2．题型主要以选择、填空为主，因此训练题的难度多数应该控制在中档即可，要适当增加以向量为载体考查平面几何，三角函数，解析几何，数列，不等式等问题的综合训练．3．对于能力型高考题的准备，向量具有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识，更要立足基本知识，基本方法，基本技能。

二．复习目标1、通过平面向量的线性运算和数量积运算，强化对平面向量基本概念的理解及提高向量运算求解能力。

2、通过向量与其它知识交汇的题型，体会向量的工具性作用。

特别是要关注向量与三角函数、解三角形、解析几何的结合。

3、关注数学思想方法在本章中的渗透：思想方法：数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。

解题方法：基向量法、坐标法、待定系数法、几何作图法、函数法等。

三．专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）（一）进度安排本专题共有四讲内容：第一讲平面向量的概念及其线性运算第二讲平面向量基本定理及坐标表示第三讲平面向量的数量积第四讲平面向量应用举例前三讲每讲3课时，第四讲4课时，包括作业评讲，测试及评讲，共需两周时间。

5.4向量的应用及向量与其他知识的综合问题考纲传真1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(b ≠0)． (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用①cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，②|AB |＝|AB →|＝AB →2＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．2．向量在物理中的应用(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用．(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W ＝f ·s . 3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．1．(人教A 版教材习题改编)已知三个力f 1，f 2，f 3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f 1＝(2，2)，f 2＝(－2，3)，则|f 3|为( )A ．2.5B ．42C ．22D ．5『解析』 由题意知f 1＋f 2＋f 3＝0，∴f1＝－(f 1＋f 2)＝(0，－5)，∴|f 3|＝5. 『答案』 D2．已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的( ) A ．内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心『解析』 OA →·OB →＝OB →·OC →⇒OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0⇒OB ⊥AC . 同理：OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 是△ABC 的垂心． 『答案』 D3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形 『解析』 AB →·BC →＋AB →2＝0可化为AB →·(BC →＋AB →)＝0， 即AB →·AC →＝0，所以AB →⊥AC →.所以△ABC 为直角三角形． 『答案』 D4．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( ) A ．以a ，b 为两边的平行四边形的面积 B ．以b ，c 为两边的平行四边形的面积 C ．以a ，b 为两边的三角形的面积 D ．以b ，c 为两边的三角形的面积『解析』 由题知，a ⊥c ，∴|cos 〈b ，c 〉|＝|sin 〈a ，b 〉|. 又|a |＝|c |，∴|b ·c |＝|b ||c |cos 〈b ，c 〉＝|b ||a |sin 〈a ，b 〉． 『答案』 A5．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是________．『解析』 ∵OP →·OA →＝4，∴(x ，y )·(1，2)＝4.∴x ＋2y －4＝0. 『答案』 x ＋2y －4＝0向量在平面几何中的应用(2013·潍坊模拟)已知直角梯形ABCD 中 ，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．『思路点拨』 以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点P 、C 、B 、A 的坐标，进而表示出|P A →＋3PB →|，然后转化为函数问题求解． 『尝试解答』建立平面直角坐标系如下图所示．设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，A (2，0)，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )．∴|P A →＋3PB →|2＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )，当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|最小，|P A →＋3PB →|min ＝5.『答案』 5,平面几何问题的向量解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解．(2013·西安模拟)已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为________．『解析』 法一 (坐标法)以C 为原点，建立平面直角坐标系如下图，设P 点坐标为(x ，y )且0≤y ≤3，0≤x ≤4，则CP →·(BA →－BC →)＝CP →·CA →＝(x ，y )·(0，3)＝3y ，当y ＝3时，取得最大值9.法二 (基向量法)∵CP →＝CA →＋AP →，BA →－BC →＝CA →， ∴CP →·(BA →－BC →)＝(CA →＋AP →)·CA →＝CA →2＋AP →·CA →＝9－AP →·AC →＝9－|AP →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝9－3|AP →|·cos ∠BAC ，∵cos ∠BAC 为正且为定值，∴当|AP →|最小即|AP →|＝0时，CP →·(BA →－BC →)取得最大值9. 『答案』 9向量在物理中的应用如下图4－4－1所示，已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 、摩擦力f 所做的功分别为多少？『思路点拨』 力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力F ，f 和位移的夹角．『尝试解答』 设木块的位移为s ，则F ·s ＝|F |·|s |cos 30°＝50×20×32＝500 3 J ， F 在竖直方向上的分力大小为|F |sin 30°＝50×12＝25(N)，所以摩擦力f 的大小为|f |＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 所以f ·s ＝|f |·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22 J. ∴F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J ．,1．物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型．2．应善于将平面向量知识与物理有关知识进行类比．例如，向量加法的平行四边形法则可与物理中力的合成进行类比，平面向量基本定理可与物理中力的分解进行类比．3．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题一质点受到平面上的三个力F 1、F 2、F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1、F 2成60°角，且F 1、F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．27B ．25C ．2D ．6『解析』 如下图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28.∴|F 3|＝27.『答案』 A向量在三角函数中的应用(2013·潍坊模拟)设a ＝(cos α，(λ－1)sin α)，b ＝(cos β，sin β)，(λ＞0，0＜α＜β＜π2)是平面上的两个向量，若向量a ＋b 与a －b 互相垂直． (1)求实数λ的值；(2)若a ·b ＝45，且tan β＝43，求tan α的值．『思路点拨』 (1)利用(a ＋b )⊥(a －b )得到|a |2－|b |2＝0，建立关于λ的方程求解． (2)根据a ·b ＝45，求出cos(α－β)，然后求出tan(α－β)，再求tan α.『尝试解答』 (1)由题设可得(a ＋b )·(a －b )＝0，即|a |2－|b |2＝0， 代入a ，b 坐标可得cos 2α＋(λ－1)2sin 2α－cos 2β－sin 2β＝0. ∴(λ－1)2sin 2α－sin 2α＝0，∵0＜α＜π2，∴sin α≠0，∴λ2－2λ＝0，又λ＞0，∴λ＝2.(2)由(1)知，a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝45，∵0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0，∴sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝－34.∴tan α＝tan 『(α－β)＋β』＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）·tan β＝－34＋431－（－34）×43＝724.∴tan α＝724.,1．解答本题(1)的关键是把向量垂直转化为数量积为0，解答题(2)的前提是利用a ·b 的值求出cos(α－β)的值．2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题，然后利用三角函数基本公式求解．(2013·宁波模拟)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 满足AB →＝BP →.(1)记函数f (α)＝PB →·CA →，求函数f (α)的最小正周期； (2)若O 、P 、C 三点共线，求|OA →＋OB →|的值．『解』 (1)AB →＝(cos α－sin α，－1)，设OP →＝(x ，y )，则BP →＝(x －cos α，y )， 由AB →＝BP →得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1，故OP →＝(2cos α－sin α，－1)． PB →＝(sin α－cos α，1)，CA →＝(2sin α，－1)，∴f (α)＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)＝2sin 2α－2sin αcos α－1＝－(sin 2α＋cos 2α) ＝－2sin(2α＋π4)，∴f (α)的最小正周期T ＝π.(2)由O 、P 、C 三点共线可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝43，sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425， |OA →＋OB →|＝（sin α＋cos α）2＋1＝2＋sin 2α＝745.一种手段实现平面向量与三角函数、平面几何与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算． 两种思想用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用．一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决．从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面几何问题，要求较低，但向量与三角函数、解析几何等知识交汇常常出现，平面向量在其中起一个穿针引线的作用．此类题目常以向量的运算为切入口，体现了向量的工具性作用．规范解答之七 平面向量在解析几何中的应用(12分)(2013·长沙模拟)已知平面上一定点C (－1，0)和一定直线l ：x ＝－4，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0. (1)求点P 的轨迹方程；(2)点O 是坐标原点，过点C 的直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，求OA →·OB →的取值范围． 『规范解答』 (1)设P (x ，y )，则Q (－4，y )， ∴PQ →＝(－4－x ，0)，PC →＝(－1－x ，－y )．∵(PQ →＋2PC →)·(PQ →－2PC →)＝0，∴PQ →2－4PC →2＝0，∴|PQ →|2＝4|PC →|2.2分 ∴(－4－x )2＝4『(－1－x )2＋(－y )2』， 整理得：x 24＋y 23＝1，即为点P 的轨迹方程.4分(2)①当过点C 的直线斜率不存在时，其方程为x ＝－1.解得A (－1，－32)，B (－1，32)．此时OA →·OB →＝－54，5分②当过点C 的直线斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)． 代入方程x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.8分∴y 1y 2＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－9k 23＋4k 2. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－5k 2＋124k 2＋3＝－54－334（4k 2＋3）.10分k 2≥0，∴－114≤－334（4k 2＋3）＜0，∴OA →·OB →∈『－4，－54)．综合①②知，OA →·OB →的取值范围是『－4，－54』.12分『解题程序』 第一步：设点P (x ，y )，表示向量PQ →与PC →； 第二步：利用向量数量积与模的运算，得点P 的轨迹方程； 第三步：当斜率不存在即直线x ＝－1时，求OA →·OB →的值； 第四步：当斜率k 存在时，用参数k 表示OA →·OB →；第五步：利用函数的性质与不等式的性质求OA →·OB →的取值范围；第六步：检验易错点，规范题目结论．易错提示：(1)不会对向量的条件进行转化，造成思维受阻，出现这种现象的原因是对平面向量代数化的思想理解不深刻．(2)忽略对过点C 的直线斜率的讨论， 导致解答不完整．变形能力差，部分同学虽得到OA →·OB →＝－5k 2＋124k 2＋3，却无法进一步求出其取值范围．防范措施：(1)加强坐标法的理解和运用，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．(2)通过向量的坐标运算把OA →·OB →转化为关于k 的函数，从而把求OA →·OB →的取值范围问题转化为求函数的值域；根据式子的结构特征，分离法是较好的方法．1．(2012·江苏高考)如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．『解析』 法一 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x ，2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x ，2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1，∴BF →＝(1－2，2)．∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.法二 设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋(22－1)AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·『BC →＋(22－1)AB →』＝(AB →＋12BC →)『BC →＋(22－1)AB →』＝(22－1)AB →2＋12BC →2＝(22－1)×2＋12×4＝ 2. 『答案』22．(2013·温州模拟)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .『解』 (1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝（sin β＋cos β）2＋（4cos β－4sin β）2＝17－15sin 2β≤4 2. 又当β＝－π4＋k π(k ∈Z )时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，即4cos α·4cos β－sin α·sin β＝0，所以a ∥b .。

高考数学一轮复习 4.4平面向量的应用学案4、4 平面向量的应用学考考查重点1、考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2、考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题、本节复习目标1、掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离；2、体会数形结合思想，重视向量的工具性作用、教材链接自主学习1、向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题、(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0、(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a⊥b⇔ab＝0⇔x1x2＋y1y2＝0、(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)、2、平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式、在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题、此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质、基础知识自我测试1、平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为_____、2、已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c ＝(cos α，sin α)，α∈R，实数m，n满足ma＋nb＝c，则(m－3)2＋n2的最大值为________、3、已知A、B是以C为圆心，半径为的圆上的两点，且||＝，则等于()A、－B、C、0D、4、 a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)(xb－a)为一次函数”的()A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件题型分类深度剖析题型一应用平面向量的几何意义解题例1 平面上的两个向量，满足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4、向量＝x＋y (x，y∈R)，且a22＋b22＝1、(1)如果点M为线段AB的中点，求证：＝＋；(2)求||的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值、变式训练1: 在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△P AB与△ABC的面积之比是 ( )A、B、C、D、题型二平面向量与三角函数的交汇例2 已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，且p与q是共线向量、(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cos取最大值时，B的大小、变式训练2 :△ABC 的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________、题型三平面向量与解析几何的综合问题例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且＝0、(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求的最小值、变式训练3 :已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程、题型四直击高考例4 已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝，n＝，m⊥n、(1)求角A的大小；(2)若a＝2，cos B＝，求b的长、变式训练4：（1）（xx辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c。

2021年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）空间向量及应用2021年高考数学一轮复习精品学案（人教版a版）-空间向量及应用2021年高考数学一轮复习精品学案（人教版a版）空间向量及其应用领域一．【课标要求】（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；②介绍空间向量的概念，介绍空间向量的基本定理及其意义，掌控空间向量的拓扑水解及其座标则表示；③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用领域①理解直线的方向向量与平面的法向量；②能够用向量语言定义线线、线面、面面的横向、平行关系；③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④能够用向量方法化解线线、线面、面面的夹角的排序问题，体会向量方法在研究几何问题中的促进作用.二．【命题走向】本谈内容主要牵涉空间向量的座标及运算、空间向量的应用领域。

本谈就是立体几何的核心内容，中考对本谈的实地考察形式为：以客观题形式实地考察空间向量的概念和运算，融合主观题利用空间向量谋夹角和距离.预测2021年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度.三．【要点通识科】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具备大小和方向的量叫作向量。

例如加速度、速度、力等.成正比向量：长度成正比且方向相同的向量叫作成正比向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

表明：①由成正比向量的概念所述，一个向量在空间位移至任何边线，仍与原来的向量成正比，用同向且相切的存有向线段则表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的位移，而空间向量研究的就是空间的位移。

2．向量运算和运算率ob?oa?ab?a?bba?oa?ob?a?bopa(r)加法交换率：a?b?b?a.加法结合率：(a?b)?c?a?(b?c).数乘分配率：?(a?b)??a??b.说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立.3．平行向量(共线向量)：如果则表示空间向量的存有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

5.5 向量的应用巩固·夯实基础一、自主梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前的问题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力.链接·提示许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题,跨学科应用也是它的一个特点.二、点击双基1.已知双曲线x 2-22y =1的焦点F 1、F 2，点M 在双曲线上且1MF ·2MF =0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.34 B.35 C.332 D.3 解析：如图，不妨设M 在右支上，则MF 1⊥MF 2.设|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2,由定义r 1-r 2=2a=2. ①Rt △MF 1F 2中，r 12+r 22=(2c)2=12. ②①式平方代入②后得r 1r 2=4,∴S △MF1F2=21r 1r 2=2=21|F 1F 2|·h=21×23h.∴h=332. 答案：C(文)若O 是△ABC 内一点,++=0,则O 是△ABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC,则=+.又++=0,∴+=-.∴-=.∴O 为AD 的中点,且A 、O 、D 共线.又E 为OD 的中点,∴O 是中线AE 的三等分点,且OA=32AE. ∴O 是△ABC 的重心.答案：D2.已知点A(3,1)、B(0,0)、C(3,0),设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E,若=λ,则λ等于 …( ) A.-23 B.23 C.-3 D.-31 解析：由=λ,得λBE 21=-23.故选择A. 答案：A3.已知向量a=(2cos α,2cos β),b=(3cos β,3sin β),若a 与b 的夹角为60°,则直线xcos α-ysin α+21=0与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=21的位置关系是( ) A.相交 B.相交且过圆心 C.相切 D.相离 解析：由题意得32)sin sin cos (cos 6⨯+βαβα=21, ∴cos αcos β+sin αsin β=21. 圆心为(cos β,-sin β).设圆心到直线的距离为d,则d=1|21sin sin cos cos |++βαβα=1>22, ∴直线和圆相离.故选D.答案：D(文)已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA +OB |=|OA -OB |,其中O 为原点,则实数a 的值为( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6解析：由|+|=|-|,得·=0,∴OA ⊥OB.联立方程组⎩⎨⎧=+=+,4,22y x a y x 整理得2x 2-2ax+(a 2-4)=0, 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),∴x 1+x 2=a,x 1·x 2=242-a . ∴y 1·y 2=(a-x 1)·(a-x 2)=a 2-a(x 1+x 2)+x 1x 2=21a 2-2. ∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∴242-a +22a -2=0.∴a 2=4.∴a=±2. 又∵Δ=(-2a)2-8(a 2-4)>0,∴a 2<8.∴a ∈(-22,22),而±2∈(-22,22).故选C.答案：C4.在四边形ABCD 中，AB ·BC =0,BC =AD ，则四边形ABCD 是______________________. 解析：由·BC =0知⊥BC .由BC =知BC AD.∴四边形ABCD 是矩形. 答案：矩形5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb 成立的实数x 、y 取值是_____________.解析：依题意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),⎩⎨⎧=+-=-,53,3y x y x 解得⎩⎨⎧==.4,7y x 答案：7、4诱思·实例点拨【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t ，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不?解：(1)OP =+t AB =(1+3t,2+3t). 若P 在x 轴上，则2+3t=0,∴t=-32; 若P 在y 轴上，只需1+3t=0,∴t=-31; 若P 在第二象限，则⎩⎨⎧>+<+.032,031t t ∴-32<t<-31. (2)∵=(1,2)，=(3-3t,3-3t).若OABP 为平行四边形，则=.⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解,∴四边形OABP 不能成为平行四边形. 链接·聚焦本题第(2)问还可以利用共线的充要条件：∵OP =OA +t ,∴OP -OA =t .∴Ap =t AB .∴A 、B 、P 共线.∴四边形OABP 不能成为平行四边形.【例2】 已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.(1)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；(2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)=(p 、q)(p 、q 为常数)的向量c 的坐标.解：(1)设a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),则ma+nb=(ma 1+nb 1,ma 2+nb 2).∴f(ma+nb)=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1),mf(a)+nf(b)=m(a 2,2a 2-a 1)+n(b 2,2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1).∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q.∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q,p).讲评：要利用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题，这也是向量运算中比较常用的方法.【例3】 已知m 、n 、p 、q ∈R,求证：mp+nq ≤22n m +·22q p +.剖析：本题若采用平方法，则需对mp+nq 的符号进行讨论，然后再平方，若能把握其结构特点，联想到平面向量的数量积性质，则问题容易解决.证明：设a=(m,n),b=(p,q),度 ∵|a ·b|≤|a||b|,∴|mp+nq|≤22n m +·22q p +. ∴mp+nq ≤22n m +·22q p +.。

D BA C α 【考纲解读】1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定. 【要点梳理】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。

高中数学教案平面向量的运算与应用高中数学教案：平面向量的运算与应用一、引言平面向量是高中数学中的重要概念之一，它在数学中具有广泛的应用价值。

本教案将介绍平面向量的基本运算，包括向量的加减法、数量乘法以及向量的模、方向角等概念。

同时，还将探讨平面向量在几何、物理等领域的应用，帮助学生更好地掌握和应用平面向量。

二、平面向量的基本概念1. 向量的定义在平面上，向量可以用有向线段表示。

其中，有向线段的方向由箭头表示，长度表示向量的大小。

向量通常用小写字母加箭头表示，如$\overrightarrow{AB}$。

2. 向量的加法对于平面上的两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$，它们的和记作$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$，可以通过首尾相连进行几何运算。

3. 向量的减法对于平面上的两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$，它们的差记作$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$，可以通过首尾相连进行几何运算。

4. 向量的数量乘法对于一个向量$\overrightarrow{AB}$和一个实数$k$，它们的数量乘记作$k\overrightarrow{AB}$，表示将向量的长度按照比例进行拉伸或缩放。

5. 向量的模向量$\overrightarrow{AB}$的模表示向量的长度，记作$|\overrightarrow{AB}|$，可以通过勾股定理计算。

6. 向量的方向角向量$\overrightarrow{AB}$的方向角表示向量与平行于$x$轴正方向的夹角，记作$\alpha$。

可以通过三角函数计算，其中\[\alpha = \arctan\left(\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\right)\]三、平面向量的运算规律1. 交换律：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}+\overri ghtarrow{AB}$2. 结合律：$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{EF}=\over rightarrow{AB}+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF})$3. 数量乘法结合律：$k(l\overrightarrow{AB})=(kl)\overrightarrow{AB}$4. 数量乘法分配律：$(k+l)\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{AB}$5. 加法与数量乘法的分配律：$k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})=k\overrightarrow{AB}+k\ overrightarrow{CD}$相关练习及讲解请见附表.四、平面向量的应用1. 向量的位移在平面上，可以将向量看作物体的位移，通过矢量的加减法计算物体的位置变化。

1、向量的概念及运算 一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。

大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。