高中数学苏教版必修四教学案：第3章 3.3 几个三角恒等式-含答案

第8 课时： 3.3 几个三角恒等式【三维目标】：一、知识与技能1. 能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.3.能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.4.梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。

5.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、过程与方法1.让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生观察、类比、推广、特殊化和化归思想方法。

3.通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换；角的变换；不同三角函数之间的变换。

4.通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。

5.提高三角变换的能力三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.2.让学生经历数学探索和发现的欲望和信心，体验成功的感觉．3.通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点.4.通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展正向、逆向思维和发散思维能力。

[学业水平训练]已知函数()＝( － ) ，∈，则()的最小正周期是．解析：()＝－＝)－＝－(－)＋，故函数的最小正周期＝＝π.答案：π若θ是第二象限的角，且＜，则θ)(θ)－(θ))的值是．解析：∵θ是第二象限的角，且＜，∴π＋π＜＜π＋π，∈，∴θ)(θ)－(θ))＝＝＝－.答案：－若α（α－(π)）)＝－，则α＋α的值为．解析：原式可化为α－α）)＝－，化简，可得α＋α＝.答案：函数()＝(－)－·的最小正周期是．解析：()＝－－·)＝＋－＝(＋)－.故最小正周期为π.答案：π＝＋(＋)的最大值是．解析：原式＝＋－＝－＝( －)＝(＋)，∴＝.答案：设α＝(＜α＜π)，(π－β)＝，则(α－β)的值等于．解析：∵α＝(＜α＜π)，∴α＝－，α＝－.∵(π－β)＝，∴β＝－，β＝－，∴(α－β)＝α－β＋α β)＝＝.答案：求值： °( °－)．解：原式＝°·°－() ° °)＝°·° °)＝° °)＝－.已知＝，求α＋ α＋ α)的值．解：α＋α＋α)＝α＋α）α＋α α)＝α＋α α)＝α＋，由＝得，α＝＝，代入上式可得原式＝.[高考水平训练]已知(－α)＝，则(π＋α)－(α－)的值是．解析：∵(π＋α)＝＝－(－α)＝－.而(α－)＝－(α－)＝－＝.∴原式＝－－＝－.答案：－已知α＝，α是第二象限角，且(α＋β)＝，则β的值是．解析：∵α＝，α是第二象限角，∴α＝－，∴α＝－.又(α＋β)＝，∴β＝[(α＋β)－α]＝α＋（α＋β）α)＝＝.答案：已知α－β＝，α－β＝－，求(α＋β)的值．解：∵α－β＝，∴－＝.①∵α－β＝－，∴＝－.②①÷②，得－＝－.∴＝.∴(α＋β)＝＝＝.．已知函数()＝＋ .()若()＝(－)，求＋)的值；()求函数()＝()·(－)＋()的最大值和单调递增区间．解：()∵()＝＋，∴(－)＝－ .又∵()＝(－)，∴＋＝( －)，且≠，∴＝，∴＋)＝＋)＝＋)＝.()由题知()＝－＋＋，∴()＝＋＋，∴()＝(＋)＋.∴当(＋)＝时，()＝＋.由－＋π≤＋≤＋π，∈，得－＋π≤≤＋π，∈.故所求函数()的单调递增区间为[－＋π，＋π](∈)．。

问题1：我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么S (α＋β)＋S (α－β)，S (α＋β)－S (α－β)，C (α＋β)＋C (α－β)，C (α＋β)－C (α－β)会得到怎样的结论？提示：(1) sin(α＋β)＋sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)＋(sin αcos β－cos αsin β) ＝2sin αcos β；(2)sin(α＋β)－sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)－(sin αcos β－cos αsin β)＝2cos αsin β；(3)cos(α＋β)＋cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(cos αcos β＋sin αsin β)＝2cos αcos β；(4)cos(α＋β)－cos(α－β)＝(cos αcos β－sin αsin β)－(cos αcos β＋sin αsin β)＝－2sin αsin β.问题2：将问题1得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体，又会得到什么样的结论？ 提示：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2.积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆) (1)积化和差公式：sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]；cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式： sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2； sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2； cos α＋cos β＝2cosα＋β2cos α－β2； cos α－cos β＝－2sinα＋β2sin α－β2.问题：如何用tan α2表示sin α、cos α、tan α？提示：sin α＝2sinα2cos α2＝2sinα2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tan α21＋tan2α2；cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan2α2；tan α＝2tanα21－tan2α2.万能公式(1)sin α＝2tanα21＋tan2α2.(2)cos α＝1－tan2α21＋tan2α2.(3)tan α＝2tanα21－tan2α2.1．公式的推导积化和差公式的推导运用方程的思想把S (α＋β)与S (α－β)(或C (α＋β)与C (α－β))看作二元一次方程组解方程推得．和差化积公式的推导主要是角的变换．要认真体会这种思想方法．2．公式的记忆课标虽然对此二组公式不要求记忆，但记住运用起来总是方便些．可这样记忆公式： 积化和差由一项变两项应加系数12；和差化积由两项变一项加系数2；系数2则角半．“正加得正余弦，正减得余正弦，余加得余弦积，余减得正弦积”．“正余得正弦和，余正得正弦差，余积得余弦和，正积得正弦差”，角的规律是先和后差． 两角α、β的正弦、余弦的积都可化为12[f (α－β)±f (α＋β)]的形式．如果两角的函数同为正弦或余弦，则“f ”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则“f ”表示正弦．[例1] 求下列各式的值． (1)sin 37.5°cos 7.5°；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[思路点拨] 利用积化和差公式对所给式子进行变形，然后利用特殊角进行求解． [精解详析] (1)sin 37.5°cos 7.5°＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝12(sin 45°＋sin 30°) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12 ＝2＋14. (2)sin 20°cos70 °＋sin 10°sin 50°＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. [一点通] 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．1．函数y ＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最小正周期为________． 解析：cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝12⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －π3＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12cos π3 ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋14， ∴最小正周期为π. 答案：π2．化简：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)． 解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos (－2θ)] ＝－2sin θ(－12－cos 2θ)＝sin θ＋2sin θcos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ) ＝sin 3θ.[例2] 求函数f (x )＝sin 52x 2sinx 2－12的值域．[思路点拨] (1)先通分，将sin 5x 2－sin x2和差化积． (2)再积化和差得函数． (3)在定义域内求值域．[精解详析] f (x )＝sin5x 2－sin x 22sinx 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2sinx 2＝2cos 3x2sin x 2sinx2＝2cos3x 2cos x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝cos2 x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.∵sin x 2≠0，∴x2≠k π，即x ≠2k π(k ∈Z)． ∴－1≤cos x <1.当cos x ＝－14时，f (x )min ＝－98，当cos x 趋于1时，f (x )趋于2.故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－98，2.[一点通] 通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容，一般对同名异角三角函数的和或差可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．3．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°的值．解：法一：原式＝12(1－cos 40°)＋12(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12(sin 70°－sin 30°)＝34－sin 70°·sin 30°＋12sin 70° ＝34. 法二：原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50° ＝(2sin 30°·cos 10°)2－12(sin 70°－sin 30°)＝cos 210°－12cos 20°＋14＝1＋cos 20°2－12cos 20°＋14＝34.4．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．解：∵cos α－cos β＝12，∴－2sinα＋β2sin α－β2＝12.① 又∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.② ∵sinα－β2≠0， ∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例3] 设tan θ2＝t ，求证：1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．[思路点拨] 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ即可．[精解详析] 由sin θ＝2tanθ21＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan θ221＋tan2θ2＝＋t21＋t2， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋tan θ21＋tan2θ2＝＋t 1＋t2，故1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ＝12(t ＋1)．[一点通] 在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成tan α2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值．5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin 2θ－2cos 2θ的值．解：令tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，∴tan θ＝12.sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2 θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 6．已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求sin(α＋β)，cos(α＋β)的值．解：∵sin α＋sin β＝2sinα＋β2cos α－β2＝14，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cosα－β2＝13.∴tan α＋β2＝34.∴sin(α＋β)＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×341＋916＝2425，cos(α＋β)＝1－tan2α＋β21＋tan2α＋β2＝1－9161＋916＝725.1．应用积化和差、和差化积公式应从以下几个方面考虑；(1)运用公式之后，能否出现特殊角；(2)运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项；(3)运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．2．积化和差、和差化积公式的应用(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．(2)对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化简结果可能在形式上不一致．不论使用哪套公式，只要正确使用公式，结果一般会殊途同归．有时为回避使用积与和差互化，可凑角后使用诱导公式、倍角、半角、和差角公式等．课下能力提升(二十七)一、填空题1．有下列关系式：①sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ；②cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ；③sin 3θ－sin 5θ＝－12cos 4θcos θ；④sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ； ⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确等式的个数是________． 解析：只有⑤正确． 答案：12．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2 α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β. ∴cos 2 α－sin 2β＝13.答案：133．若tan θ＋1tan θ＝m ，则sin 2θ＝________.解析：∵tan θ＋1tan θ＝m ，即tan 2θ＋1tan θ＝m ，∴sin 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2m. 答案：2m4．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________． 解析：∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )． 又－π2<A －B <π2，而0<cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.答案：125．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最小值是________．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－14， 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－1时，y 取得最小值为－34. 答案：－34二、解答题 6．求值：cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7. 解：cos2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝12sin2π7⎝⎛2sin 2π7·cos 2π7＋2sin 2π7·cos 4π7＋2sin 2π7·⎭⎪⎫cos6π7 ＝12sin2π7⎣⎢⎡sin 4π7＋sin 6π7＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π7＋sin 8π7＋⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π7＝12sin 2π7⎝⎛⎭⎪⎫sin 4π7＋sin π7－sin 2π7－sin π7－sin 4π7 ＝12sin2π7·⎝⎛⎭⎪⎫－sin 2π7＝－12. 7．求函数f (x )＝cos 4x cos 2x －cos 23x 的最大值和最小值．[k12]最新K12 解：f (x )＝12[cos(4x ＋2x )＋cos(4x －2x )]－1＋cos 6x 2＝12(cos 6x ＋cos 2x )－12－12cos 6x ＝12cos 2x －12＝－1－cos 2x 2＝－sin 2x .∵0≤sin 2 x ≤1.∴f (x )的最大值为0，最小值是－1.8．求值：cos 2 71°＋cos 71°cos 49°＋cos 2 49°.解：原式＝1＋cos 142°2＋12(cos 120°＋cos 22°) ＋1＋cos 98°2 ＝12＋12cos 142°－14＋12cos 22°＋12＋12cos 98° ＝34＋12(cos 142°＋cos 98°)＋12cos 22° ＝34＋cos 120°cos 22°＋12cos 22°＝34.。

高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

3 几个三角恒等式课堂导学三点剖析1。

三角函数恒等式应用举例【例1】 运用三角函数变换证明tan 2α=ααααcos 1sin sin cos 1+=-. 思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan2α变成角α的三角函数.证明：tan 2α=2cos2sin αα =αααααsin cos 12cos2sin 22sin 22-=. tan 2α=2cos2sin αα=.cos 1sin 2cos 22cos 2sin 22ααααα+= ∴tan 2α=αααcos 1sin sin cos 1+=-a 成立。

温馨提示这组公式的结构特征是用cosα与sinα表示2α的正切值,可称为半角公式. 2．三角函数变换的应用【例2】 将下列各式化简为Asin(ωx+φ）的形式：（1）cosx —sinx ；(2）3sinx+3cosx ；(3)3sinx-4cosx;（4)asinx+bcosx(ab≠0).思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形。

解：（1）cosx —sinx=-（sinx-cosx ） =2-(22sinx-22cosx) =2-（sinxcos 4π-cosxsin 4π） =2-sin(x —4π).本题化简结果不唯一,也可这样变换：cosx —sinx=2(22cosx —22sinx ） =2（sinxcos 43π+cosxsin 43π）=2sin （x+43π).（2)3sinx+3cosx=23(23sinx+21cosx ） =23（sinxcos 6π+cosxsin 6π) =23sin(x+6π).(3)3sinx —4cosx=5（53sinx 54-cosx ）令cosφ=53,φ为第一象限角，则sinφ=54。

3．3几个三角恒等式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解．(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题．(3)揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．2．过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．通过例题讲解，总结方法．通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力，●重点难点重点：积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导．难点：综合运用公式进行三角恒等变换．(教师用书独具)●教学建议1．关于积化和差公式的教学建议教师首先让学生复习两角和与差的正、余弦公式，观察公式左边的结构形式，如：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.引导学生自己导出三角函数的积化和差公式及sin αcos β＝12[sin(α－β)＋sin(α＋β)]等等．2．关于和差化积问题的教学建议教师要强调把两个三角函数式的和差化为积的形式，最后结果应是几个三角函数式的积的最简形式．●教学流程错误!⇒错误!⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角函数的积化和差与和差化积公式进行三角函数式的求值计算的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握解决三角函数式化简问题中的化简技巧及化简要求.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角恒等式证明的基本思路和方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．2.能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)积化和差与和差化积公式【问题导思】利用两角和与差的正弦公式能否用sin(α＋β)与sin(α－β)表示sin αcos β和cos α·sin β？【提示】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βsin α－β＝sin αcos β－cos αsin β，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]和差化积公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2万能代换公式【问题导思】结合前面所学倍角公式，能否用tan α2表示sin α？【提示】 sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2cos2α2＋sin2α2＝2tanα21＋tan 2α2，即sin α＝2tanα21＋tan 2α2. 设tan α2＝t ，则sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2.三角函数式求值问题 求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【思路探究】 首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差． 【自主解答】 原式＝cos 10°cos 30°cos 50° cos 70°＝32cos 10°cos 50°cos 70° ＝32[12(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°] ＝38cos 70°＋34cos 40°cos 70° ＝38cos 70°＋38(cos 110°＋cos 30°) ＝38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316.1．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的．2．求值主要方法有：①消去法；②方程法；③比例性质法等．求sin 220°＋cos 250°＋sin 20°·cos 50°的值．【解】 法一 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70°＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34.法二令x＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°，y＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°，则x＋y＝2＋sin 70°，①x－y＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°)＝－2sin70°sin 30°－12，即x－y＝－12－sin 70°，②①＋②得2x＝2－12＝32，∴x＝34.即sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝34.三角函数式化简问题化简(1tanα2－tanα2)(1＋tan α·tanα2)．【思路探究】题目中有角α2，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把α2的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即得．【自主解答】(1tanα2－tanα2)(1＋tan αtanα2)＝(1＋cos αsin α－1－cos αsin α)(1＋sin αcos α·1－cos αsin α)＝2cos αsin α(1＋1－cos αcos α)＝2cos αsin α·1cos α＝2sin α.1．三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用．2．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．化简：cos2A＋cos2(2π3＋A)＋cos2(4π3＋A)．【解】 原式＝1－cos 2A2＋1－cos 4π3＋2A 2＋1－cos 8π3＋2A2＝32－12[cos 2A ＋cos(4π3＋2A )＋cos(8π3＋2A )] ＝32－12[cos 2A ＋2cos(2π＋2A )cos 2π3] ＝32－12[cos 2A －cos(2π＋2A )]＝32.三角恒等式的证明 求证：sin αsin(60°＋α)sin(60°－α)＝14sin 3α.【思路探究】 恒等式的左边是函数积的形式且各三角函数的角不一样，应根据积化和差公式对左边变形整理，进行角的统一．【自主解答】 左边＝sin α[－12(cos 120°－cos 2α)]＝14sin α＋12sin αcos 2α ＝14sin α＋14[sin 3α＋sin(－α)]＝14sin 3α＝右边， ∴原等式成立．1．当对三个或三个以上的正弦或余弦函数因式的积通过积化和差公式进行化简时，选择因式的依据是使两因式的和或差是特殊角或与其他因式的角相同或相关．2．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C2.【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )， 即C 2＝90°－A ＋B 2. ∴cos C 2＝sin A ＋B 2.∴sin A ＋sin B ＋sin C＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋sin(A ＋B )＝2sin A ＋B 2·cos A －B 2＋2sin A ＋B 2·cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2(cos A －B 2＋cos A ＋B 2)＝2cos C 2·2cos A 2·cos(－B2) ＝4cos A2cos B 2cos C2. ∴原等式成立.进行三角恒等变换时忽略角的取值范围致误已知α为第三象限角，且cos α2＞0，tan α＝3，求tan α2的值．【错解】 ∵tan α＝3， ∴2tan α21－tan 2α2＝3，∴3tan2α2＋2tan α2－3＝0， ∴tan α2＝－13＋103或tan α2＝－13－103.【错因分析】 本题由于忽略角的取值范围而导致错误，应对α2的范围进行讨论．【防范措施】 在进行三角恒等变换时，忽略了角的取值范围，出现前、后取值范围不一致的情况．【正解】 ∵tan α＝3，所以2tanα21－tan 2α2＝3，∴3tan2α2＋2tan α2－3＝0， ∴tan α2＝－13＋103或tan α2＝－13－103.∵cos α2＞0，α为第三象限角， ∴α2为第四象限角， 所以tan α2＜0，∴tan α2＝－13－103.1．三角函数式化简结果的三大要求 (1)能求值的求值；(2)不能求值的要保证三角函数的种类最少、项数最少、次数最低； (3)分式的分母中尽量不含根号． 2．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到探求出已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．1．sin 105°＋sin 15°＝________.【解析】 原式＝2sin 105°＋15°2·cos 105°－15°2＝2sin 60°cos 45°＝62.【答案】622．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是________．【解析】原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin 50°－14＋12cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14. 【答案】 143．化简cos α＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α)＝________. 【解析】 cos α＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α) ＝cos α＋2cos αcos 120° ＝cos α－cos α＝0. 【答案】 04．求证：(1)sin(α＋β)·sin(α－β)＝cos 2β－cos 2α； (2)cos α－cos βsin α＋sin β＝tan β－α2. 【证明】 (1)∵左边＝－12[cos 2α－cos 2β]＝－12[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝cos 2β－cos 2α＝右边， ∴原等式成立．(2)∵左边＝－2sin α＋β2sin α－β22sin α＋β2cos α－β2＝－sinα－β2cosα－β2＝－tan α－β2＝tan β－α2＝右边，∴原等式成立.一、填空题1．sin 37.5°cos 7.5°＝________.【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】2＋142．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝________.【解析】 原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】 tan 20°3．函数f (x )＝sin(2x －π3)cos(2x ＋π3)的周期是________．【解析】 ∵f (x )＝12[sin 4x ＋sin(－2π3)]＝12sin 4x －34， ∴T ＝2π4＝π2.【答案】 π24．(2013·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝________. 【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】325．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于________．【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 －796．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为________．【解析】 设该等腰三角形顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，∴sin β＝sin(π2－α2)＝cos α2.∵2cos2α2－1＝cos α，∴cos α2＝cos α＋12＝31010. 【答案】310107．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________. 【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3.【答案】 3 二、解答题9．已知θ∈(π，32π)且sin θ2＝35，求：(1)sin θ1＋cos θ；(2)sin θ＋2cos θ. 【解】 ∵sin θ2＝35，θ∈(π，32π)，∴θ2∈(π2，34π)．∴cos θ2＝－1－sin 2 θ2＝－ 1－352＝－45.设t ＝tan θ2＝sinθ2cos θ2＝35－45＝－34.(1)sin θ1＋cos θ＝2t 1＋t 21＋1－t 21＋t2＝2t 2＝t ＝－34. (2)sin θ＋2cos θ＝2t 1＋t 2＋2·1－t 21＋t 2＝2t ＋2－2t21＋t2＝2×－34＋2－2×－3421＋－342＝－25.10．求函数f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]的最小正周期与最值．【解】 f (x )＝sin x [sin x －sin(x ＋π3)]＝sin x ·2cos(x ＋π6)sin(－π6) ＝－sin x cos(x ＋π6) ＝－12[sin(2x ＋π6)＋sin(－π6)] ＝－12sin(2x ＋π6)＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. ∵sin(2x ＋π6)∈[－1,1]， ∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝－14. 11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)， ∴3sin α－π12cos α－π12＝sin α＋π12cos α＋π12. ∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)． ∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)． ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.(教师用书独具)求函数f (x )＝sin 52x 2sin x 2－12的值域． 【思路探究】 先通分，再将sin 52x －sin x 2和差化积，约去分母sin x 2，再变形为只含一个三角函数符号的形式．然后在函数f (x )的定义域内求值域．【自主解答】 f (x )＝sin 5x 2－sin x 22sin x 2＝sin3x2＋x－sin3x2－x2sinx2＝2cos3x2sin x2sinx2＝2cos3x2cosx2＝cos(3x2＋x2)＋cos(3x2－x2)＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2(cos x＋14)2－98.∵sinx2≠0，∴x2≠kπ，即x≠2kπ(k∈Z)．∴－1≤cos x＜1.当cos x＝－14时，f(x)min＝－98，当cos x趋于1时，f(x)趋于2.故函数f(x)的值域是[－98，2)．通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容．一般对同名异角三角函数的和或差，可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差．已知函数f(x)＝sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．【解】(1)f(x)＝sin(2x－π6)＋2sin2(x－π12)＝sin(2x－π6)＋1－cos(2x－π6)＝sin(2x－π6)－sin[π2－(2x－π6)]＋1＝sin(2x－π6)－sin(－2x＋2π3)＋1＝2cos－π6＋2π32sin4x－π6－2π32＋1＝2sin(2x－5π12)＋1，∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)由(1)知：当sin(2x－5π12)＝1时，f(x)max＝2＋1，此时，2x－5π12＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋11π24(k∈Z)，∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是：{x |x ＝k π＋11π24，k ∈Z }.。

高中数学 3.3 几个三角恒等式互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.积化和差公式sin αcos β=21［sin(α+β)+sin(α-β)］； cos αsin β=21［sin （α+β)-sin(α-β)］；cos αcos β=21［cos(α+β)+cos(α-β)］；sin αsin β=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］.公式的推导如下：∵sin（α+β)=sin αcos β+cos αsin β(S α+β)， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(S α-β)， cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β(C α+β)， cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(C α-β). 则公式S α+β+S α-β,S α+β-S α-β, C α+β+C α-β,C α+β-C α-β得：sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, sin(α+β)-sin(α-β)=2cos αsin β, cos(α+β)+cos(α-β)=2cos αcos β, cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin α·sin β. 即sin αcos β=21［sin(α+β)+sin(α-β)］① cos αsin β=21［sin(α+β)-sin(α-β)］② cos αcos β=21［cos(α+β)+cos(α-β)］③sin αsin β=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］④公式①②③④叫做积化和差公式. 2.积化和差公式的规律（1）两角的正弦，余弦的积都可化成 ±［f(α+β)±f(α-β)］的形式.(2)如果两角的函数同为正弦或余弦，那么“f”表示余弦；如果一为正弦一为余弦，那么“f”表示正弦. （3）如果两角函数中有余弦函数，那么在后面的“±”处取“+”，无余弦函数时，取“-”. （4）仅当两角函数均为正弦函数时，前面的“±”才取“-”，其他情况均为“+”. 3.和差化积公式sin θ+sin φ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-;sin θ-sin φ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-;cos θ+cos φ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-;cos θ-cos φ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.在积化和差公式①②③④中，若令α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-,把α,β的值代入公式①②③④乘以2,再把公式反用，就能得出和差化积公式.4.和差化积公式的特点（1）公式的左边全是同名函数的和或差，前两个是正弦的和与差，后两个是余弦的和与差，右边积的系数前三个是2，最后一个是-2.（2）左边的角前面一个是θ，后面一个是φ，积式中的角，前面一个是原来两角和之半，即2ϕθ+，后面一个是原来两角差之半，即2ϕθ-.（3）正弦和的积式为正弦乘以余弦，正弦差的积式为余弦乘以正弦，余弦和的积式全为余弦，余弦差的积式全为正弦.5.学习积化和差与和差化积要注意的几个问题（1）积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.（2）不论是积化和差还是和差化积中的“和差”与“积”，都是指三角函数间关系而言，并不是指角的关系. （3）只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式.如果是一正弦与一余弦的和与差，可先用诱导公式化为同名函数后，再运用和差化积公式化成积的形式.（4）三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用.（5）积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替作用，如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑二倍角公式的变形应用进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而有利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.（6）为了能把三角函数式化成积的形式，有时需要把某些数当作三角函数值，如把21-cos α化为积的形式，将21看作cos 3π. 活学巧用【例1】 求下列各式的值 （1）cos125πsin 12π；（2）2cos50°cos70°-cos20°. 解析:（1）方法一：cos125πsin 12π=21［sin （125π+12π）-sin （125π-12π）］ =21（sin 2π-sin 3π）=21（1-23）=21-43.方法二：cos125πsin 12π=cos 125πcos 125π=cos 2125π=265cos1π+=4321223126cos1-=-=-π（2）原式=cos（50°+70°）+cos （50°-70°）-cos20°=cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-21. 【例2】求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.解法一：原式=21sin10°·sin50°·sin70° =21sin10°·(-21)(cos120°-cos20°) =41sin10°(21+cos20°) =81sin10°+41sin10°cos20° =81sin10°+81［sin30°+sin(-10°)］=161. 解法二：原式=cos20°cos40°cos60°cos80°=21cos20°cos40°cos80° =︒20sin 21·sin20°cos20°cos40°cos80° =︒20sin 41·sin40°cos40°cos80° =︒20sin 81sin80°cos80° =︒20sin 161·sin160°=16120sin 1620sin =︒︒. 【例3】︒170sin 21-2sin70°的值等于（ ）A.1B.-1C.2D.-2解析：原式=︒︒--=︒︒-︒-=︒︒︒-10sin 2)10sin 21(2110sin 2)10sin 30(sin 2110sin 210sin 20cos 1=1.答案：A【例4】 化简下列各式.（1）sin104°+sin16°；(2)cos(α+4π）+cos(α-4π)； (3)sin75°-sin15°；(4)cos75°-cos23°. 解析：(1)sin104°+sin16°=2sin 216104︒+︒cos 216104︒-︒ =2sin60°cos44°=3cos44°.(2)cos(α+4π)+cos(α-4π) =2cos2)4()4(cos 2)4()4(παπαπαπα--+-++ =2cos αcos 4π=2cos α.(3)sin75°-sin15°=2cos 21575sin21575︒-︒︒+︒ =2cos45°sin30°=2·22·21=22. (4)cos75°-cos23°=-2sin 22375sin22375︒-︒︒+︒=-2sin49°sin26°. 【例5】 化简.7cos 5cos 3cos cos 7sin 5sin 3sin sin AA A A AA A A ++++++解析：原式=)5cos 3(cos )7cos (cos )5sin 3(sin )7sin (sin A A A A A A A A ++++++=AA A A AA A A cos 4cos 23cos 4cos 2cos 4sin 23cos 4sin 2∙+∙+=)cos 3(cos 4cos )cos 3(cos 4sin A A A A A A ++=tan4A【例6】 已知A 、B 、C 为三角形的三个内角，且方程(x 2-1)sinB-(x 2-x)sinC-(x-1)sinA=0有两个相等的实数根，求tan2A ·tan 2C的值. 解析：原方程化为：（sinB-sinC ）x 2+(sinC-sinA)x+sinA-sinB=0易得两相等实根为x 1=x 2=1,由韦达定理可得 2sinB=sinA+sinC ，即4sin2C A +·cos 2C A +=2sin 2C A +·cos 2CA -， 即2cos 2C A +=cos 2CA -，即2(cos2A cos 2C -sin 2A sin 2C )=cos 2A cos 2C +sin 2A sin 2C ， ∴cos 2A cos 2C =3sin 2A sin 2C ，∴tan 2A ·tan 2C =31.【例7】若x-y=A （定值），则sinxsiny 的最大值是（ ）A.sin22A B.21cosA C.cosA D.cos 22A解析：sinxsiny=-21［cos(x+y)-cos(x-y)］=-21cos(x+y)+21cosA ∴当cos(x+y)=-1时, sinxsiny 有最大值21 (1+cosA)=cos 22A . 答案：D。