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中考冲刺数学专题7——探究规律问题【备考点睛】近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，从填空、选择到解答题中都可见到这类探究规律问题,。
这类问题题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。
这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，往往出现在填空选择的最后一两道题、或解答题的最后几题，应引起考生的重视。
规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。
它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识。
【经典例题】类型一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式例题1 如图，在ABC Rt ∆中，2,1,90==︒=∠AC BC C ，把边长分别为321,,x x x ,……，n x 的n 个正方形依次放入ABC ∆中，请回答下列问题：（1）按要求填表：（2）第n 个正方形的边长=n x ；解答：如图，设0x BC =，则10=x ，——相当于搞清楚第一项； 由11C AB Rt ∆∽ABC Rt ∆,得21111==AC BC AC C B ，而,111x C B =11x AC AC -=， ,21211=-∴x x 解得,321=x 即3201⋅=x x ； 完全类似地可得2123232⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=x x 。
——搞清楚了递推关系。
把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。
n 1 2 3 n xABC1x2x 3xABC1x2x 3x1B 2B3B1C 2C 3C（1）依次应填94,32；278； （2）n⎪⎭⎫⎝⎛32例题2．（2010山东济宁）观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论； （3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ . 解答： （1）111n n -+ （2）证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n nn n +-+＝)1(1+n n .（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101＝12009120102010-=. 例题3 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。
七年级数学探究规律题七年级数学探究规律题，听起来像是要挑战大脑的节奏感！小伙伴们，今天我们要揭开这个神秘面纱，看看里面到底藏着什么宝藏。
我们得了解一下，所谓的“规律题”到底是个啥意思？别担心，不是在跟你说故事，这个“规律”其实就是数学里的隐藏版秘籍。
就像是找到一个游戏的隐藏关卡一样，有了规律，数学题就变得像玩游戏一样，有章可循。
你们有没有玩过找茬游戏？有的小伙伴肯定点点头。
数学规律题就像是那种找茬游戏，一开始看起来乱糟糟的，但是只要你发现了一个规律，哇哦，整个世界都清晰了。
比如说，有一个题目让你列出一串数字，然后问你下一个数字是什么？嗯，这可不是要你胡乱猜的。
得找规律啊！这规律藏得比鬼还精，就像是小偷藏在阴影里一样。
但是，别灰心丧气！数学可不是吓人的怪兽，它其实挺好玩的。
你要是搞明白了这些规律，就像是掌握了一套无敌的招式。
别人还在瞎猜的时候，你早就轻松过关了。
还记得小时候，有时候会拆开玩具看看它是怎么组成的吗？数学规律题有点像是那个过程，你要一步步拆解它，看看它的构造。
然后，你就能看见那些看不见的联系，就像是拼图一样，一块块儿地衔接起来。
别以为数学规律题就是干巴巴的数字堆砌。
它们还藏着生活的哲理。
比如说，有一道题是让你推测一个序列的下一个数，看似毫无头绪，但是它可能在暗示着某种规律，就像是生活中的那些不经意的启发一样。
找规律就像是侦探破案一样，你得收集线索，分析证据，最后得出一个结论。
那个结论，往往是那么让人拍手称快，就像是解开了谜题的最后一块拼图。
别忘了，数学规律题不是只有一条路可走。
你得从不同的角度来审视它们，就像是从山的不同侧面去攀登，总有一条路是通的。
别把自己限制在一个固定的思维模式里，灵活点，多尝试，才能找到那些看似藏得很深的规律。
数学规律题有时候也会让你感受到一种“啊哈！”的快感，就像是突然明白了一个复杂电影情节的结局，原来一切都是那么自然而然。
所以，小伙伴们，别怕难题，敢于追求规律，挑战自己的脑细胞，说不定就能在这些数字中找到属于你自己的小秘密呢！记得，数学不只是考试题，它更是一门探索未知世界的钥匙，谁拿到了钥匙，谁就能打开属于自己的新大门。
七年级数学找规律经典题型一、数字规律1. 数列规律例1：观察数列1，3，5，7，9，…，求第n个数。
解析：首先观察这个数列，发现相邻两个数的差值都是2。
第1个数是1 = 2×1 1；第2个数是3 = 2×2 1；第3个数是5 = 2×3 1；第4个数是7 = 2×4 1；第5个数是9 = 2×5 1。
所以可以得出第n个数为2n 1。
例2：观察数列2，4，8，16，32，…，求第n个数。
解析：这个数列中，后一个数都是前一个数的2倍。
第1个数是2 = 2^1；第2个数是4 = 2^2；第3个数是8 = 2^3；第4个数是16 = 2^4；第5个数是32 = 2^5。
所以第n个数为2^n。
2. 数字循环规律例：有一组数按照1， 1，1， 1，…的规律排列，求第n个数。
解析：观察这组数字，发现数字是1和 1交替出现。
当n为奇数时，第n个数为1；当n为偶数时，第n个数为 1。
可以用(-1)^(n + 1)来表示，当n = 1时，(-1)^(1+1)=1；当n = 2时，(-1)^(2 + 1)= 1。
二、图形规律1. 图形数量规律例1：用火柴棒搭三角形，搭1个三角形需要3根火柴棒，搭2个三角形需要5根火柴棒，搭3个三角形需要7根火柴棒，…，求搭n个三角形需要多少根火柴棒。
解析：搭1个三角形需要3根火柴棒，即2×1+1；搭2个三角形时，第二个三角形和第一个三角形共用一条边，所以需要3 + 2 = 5根火柴棒，即2×2+1；搭3个三角形时，第三个三角形和前面的三角形共用两条边，所以需要3+2×2 = 7根火柴棒，即2×3 + 1。
所以搭n个三角形需要2n+1根火柴棒。
例2：观察下列图形的点数规律：第1个图形有1个点；第2个图形有1 + 3 = 4个点；第3个图形有1+3 + 5 = 9个点；第4个图形有1+3+5 + 7 = 16个点；求第n个图形的点数。
专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。
解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。
一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是 。
谈初中数学探究规律型问题及解题策略谢绍焕(福建省宁德市蕉城区蕉城中学ꎬ福建宁德３５２１００)摘㊀要:探究规律型问题是初中数学学习中的常见题型.这类数学问题是根据已有的特例或条件ꎬ探寻相关问题所蕴含的数学规律性和不变性ꎬ体现了 从特殊到一般 的数学思想方法.此类问题通常呈现出的已知条件是变化的一串数字㊁一组式子或图形等ꎬ需要学生经过阅读㊁观察㊁操作㊁分析㊁比较㊁猜想㊁推理等方法探寻规律.在这个过程中ꎬ培养了学生敏锐的观察力㊁严密的逻辑推理能力和一定的计算能力.关键词:初中数学ꎻ探究规律ꎻ解题策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０５－００３８－０３收稿日期:２０２３－１１－１５作者简介:谢绍焕(１９７１.１－)ꎬ男ꎬ福建省宁德市人ꎬ本科ꎬ一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀探究规律型问题是历年中考必考知识点ꎬ这类问题通常也被称为归纳猜想型问题.或是给出一组图形操作变化过程ꎬ或是给出某一类问题情境ꎬ或是给出一组有着某种特定关系的数ꎬ要求学生观察㊁分析㊁推理ꎬ找出其中蕴含的规律ꎬ在此基础上猜想㊁归纳出一般性结论ꎬ这类问题对于学生思维能力的培养有积极影响.笔者以历年中考试题为例ꎬ简要阐述初中数学探究规律型问题及解题策略.１探究规律型问题的分类１.１根据问题的结构特征分类１.１.１循环型问题这类问题中各项在排列上有一定的规律性ꎬ呈现周期性循环.例１㊀观察算式:３１＝３ꎬ３２＝９ꎬ３３＝２７ꎬ３４＝８１ꎬ３５＝２４３ꎬ３６＝７２９ꎬ３７＝２１８７ꎬ３８＝６５６１ꎬ 确定３２０１１个位数字是.１.１.２非循环型问题这类问题中的已知各项不会呈现周期性循环ꎬ但它们有共同特征ꎬ遵循同一个表达式所反映的基本规律.例２㊀数列２ꎬ４ꎬ８ꎬ１６ꎬ 则第９０项是.１.２根据问题的表现形式分类１.２.１数列㊁代数式型问题这类问题具体可分为数列型问题和代数式型问题.数列型问题中的已知条件是一串数字ꎬ例１和例２就是此类型问题ꎻ代数式型问题中的已知条件是一组代数式㊁等式或者不等式.例３㊀观察算式:①１ˑ３－２２＝３－４＝－１②２ˑ４－３２＝８－９＝－１③３ˑ５－４２＝１５－１６＝－１第ｎ个式子表示为.１.２.２纯图形型问题此类问题通常是把一系列图形按一定方法编排ꎬ要求通过观察㊁比较㊁分析㊁思考ꎬ探究它们在形状或位置上的排列顺序和变化规律.例４㊀一串图案按如图所示规律排列ꎬ第２０１３个图案是.１.２.３数列㊁代数式与图形结合型问题此类问题也以图形形式出现ꎬ但不止要求探究８３图形形状或位置上的变化规律ꎬ更要求探究数量上的变化规律.图形中蕴含着数量关系ꎬ图形只是外在的载体ꎬ实质与核心是数与式ꎬ它体现了数形结合的思想ꎬ也是近年来热点题型之一[１].例５㊀如图１所示ꎬｎ＋１个边长为２的等边三角形有一条边在同一直线上ꎬ设әＢ２Ｄ１Ｃ１的面积为Ｓ１ꎬәＢ３Ｄ２Ｃ２的面积为Ｓ２ꎬ ꎬәＢｎ＋１ＤｎＣｎ的面积为Ｓｎꎬ则Ｓｎ＝(用含ｎ的式子表示).图１㊀ｎ＋１个等边三角形排列顺序１.２.４动手操作型问题这类问题中详细描述了操作过程或操作方法ꎬ用以指导操作或空间想象ꎬ探究每一步呈现的规律.例６㊀将相对面上的点数分别为１与６㊁２与５㊁３与４正方体骰子ꎬ按图①放置于水平桌面上ꎬ再将骰子按图②先向右翻滚(如图２所示)ꎬ然后按逆时针方向旋转９０ʎꎬ视为一次变换.连续进行２０次变换之后ꎬ则朝上一面的点数是.图２㊀正方形骰子翻滚顺序２探究规律型问题的解题策略解答这类问题时ꎬ应依据问题给出的特殊例子或条件ꎬ通过观察㊁操作㊁类比㊁归纳等方法ꎬ探寻相关问题的规律与特征.２.１循环型和非循环型问题的解题策略２.１.１循环型问题的解题策略解决这类问题的关键是根据题目中的已知条件分析图形或数据的循环周期ꎬ再确定所求的项与循环周期中第几个一致.如解答例１时ꎬ通过观察分析３１＝３ꎬ３２＝９ꎬ３３＝２７ꎬ３４＝８１ꎬ３５＝２４３ꎬ３６＝７２９ꎬ可得出个位数字３ꎬ９ꎬ７ꎬ１ꎬ并依次循环.再求２０１１ː４的余数为３ꎬ得出３２０１１的个位数字与３３的个位数字相同ꎬ都是７.２.１.２非循环型问题的解题策略这类问题中的已知项遵循共同的表达式.解题时应侧重对已知项进行比较分析ꎬ寻找共同的规律ꎬ再列出表达式.２.２数列㊁代数式型ꎬ纯图形型ꎬ数列㊁代数式与图形结合型和动手操作型问题的解题策略２.２.１数列㊁代数式型问题的解题策略解决这类问题时ꎬ先写出数或式的基本结构ꎬ再通过比较各数或式中相同部分和不同部分ꎬ找出各部分特征.若是循环型问题ꎬ就按循环型解题策略进行解答ꎻ若是非循环型问题ꎬ首先要观察题中已知项的结构ꎬ若能把它们都直接与序号建立联系ꎬ就可以直接写出表达式.如解答例２时ꎬ通过观察２ꎬ４ꎬ８ꎬ１６ꎬ直接得到第ｎ项的表达式２ｎꎬ则第９０项是２９０.又如解答例３时ꎬ可以看出每个式子所表示的意义是:一个数与比它大２的数相乘的积减去它们平均数的平方ꎬ所得的差都等于－１.把它与序号对应起来ꎬ第ｎ个式子为ｎ(ｎ＋２)－(ｎ＋１)２＝－１.若已知项比较复杂ꎬ无法直接得到表达式.解题时首先要对已知项进行不断的改写ꎬ一直到分离出各项都含有不变的部分和变化的部分ꎬ且变化的部分与序号有直接联系.即把复杂的项ꎬ通过改写进行转化ꎬ变为简单的容易解答的几个小部分.例７㊀观察数列５ꎬ１１ꎬ１９ꎬ２９ꎬ 则第ｎ项可以表示为.数列各项之间既不是等比关系ꎬ也不是等差关系.由观察直接得到表达式有困难ꎬ需要对各项进行拆分.由分析可知ꎬ改写时可考虑从各项中分离出一个等差或等比数列.由于初中探究规律型问题的表达式多为一次函数和二次函数ꎬ从而可考虑从各项中分离平方项ꎬ即１ꎬ４ꎬ９ꎬ１６.把原题改写为１＋４ꎬ４＋７ꎬ９＋１０ꎬ１６＋１３ꎬ再分析４ꎬ７ꎬ１０ꎬ１３ꎬ将二者组合起来ꎬ就得第ｎ项的表达式ｎ２＋３ｎ＋１.为了便于学生对题目中已知项进行整体观察比较和分析ꎬ可以要求学生记住一些常见的表达式.例如ꎬ第ｎ个偶数２ｎꎻ第ｎ个奇数２ｎ－１ꎻ前ｎ个正整数之和１＋２＋３＋ ＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)２ꎻ等差数列３ꎬ６ꎬ９ꎬ１２ꎬ 的第ｎ个数为３ｎꎻ等差数列４ꎬ７ꎬ１０ꎬ１３ꎬ９３的第ｎ个数为３ｎ＋１ꎻ等比数列６ꎬ１２ꎬ２４ꎬ 的第ｎ个数为３ˑ２ｎꎻ数列５ꎬ１１ꎬ２３ꎬ 的第ｎ个数为３ˑ２ｎ－１ꎻ平方项数列１ꎬ４ꎬ９ꎬ１６ꎬ 的第ｎ个数为ｎ２ꎻ数列０ꎬ３ꎬ８ꎬ１５ꎬ 的第ｎ个数为ｎ２－１.由于此类问题的表达式在初中以一次函数和二次函数居多.若不能对题中已知项进行顺利改写ꎬ可以对它们进行整体观察.当认为是一次函数关系时ꎬ先依据其中两项的值ꎬ用待定系数法求出表达式ꎬ再把所有剩余项的值分别代入表达式进行验证ꎬ看是否都适合于所求表达式.若有一项不适合ꎬ则说明判断错误.再求其二次函数表达式ꎬ若都不适合ꎬ只能回归到改写的方法上[２].２.２.２纯图形型问题的解题策略此类问题能提高学生读图能力ꎬ培养学生对图形细节变化的观察分析能力.解答时ꎬ应注重分析相邻图形之间的联系与区别ꎬ结合整体ꎬ找出内在变化或排列规律.此类问题多为循环型.２.２.３数列㊁代数式与图形结合型问题的解题策略解决这类问题时ꎬ可以先求出每一个图形所对应的值ꎬ将其转化为数列型问题ꎬ然后再按数列型问题进行探究.当求得的数列比较简单时ꎬ这种方法很有效.当数列比较复杂时ꎬ以上方法就不一定有效.此时ꎬ需要对图形进行观察㊁分析㊁思考ꎬ把图形拆分成几个小部分ꎬ再对每个小部分的变化规律进行探究.最后把各小部分的规律组合ꎬ形成整体的规律.例８㊀如图３所示ꎬ把大小相等的小方块按下图所示方法堆放ꎬ第ｎ个图形有块小方块.图３㊀相等小方块的堆放规律解法１㊀把图形自上而下一层一层地拆分ꎬ得到一组式子:①１ꎻ②１＋５ꎻ③１＋５＋９ꎻ 这是求等差数列各项之和.这对初中生而言ꎬ具有一定的难度.解法２㊀把每一层中心的一块都拿出来ꎬ然后自上而下一层一层地拆分ꎬ得到这样一组式子:①１＋０ꎻ②２＋４ꎻ③３＋４＋８ꎻ 以上每个式子中的０ꎬ４ꎬ４＋８ꎬ 仍是求等差数列之和ꎬ但这个等差数列各项依次是４的０倍ꎬ１倍ꎬ２倍ꎬ ꎬ相对解法１所得式子ꎬ更容易找到第ｎ个图形的表达式:ｎ＋４＋８＋ ＋４(ｎ－１)＝ｎ＋４[１＋２＋ (ｎ－１)]＝ｎ＋４ˑ(ｎ－１)(ｎ－１＋１)２＝２ｎ２－ｎ.２.２.４动手操作型问题的解题策略解决这类问题时ꎬ首先要认真阅读理解题中对操作要求的描述ꎬ切不可在一知半解的状态下就开始操作㊁想象ꎬ以免出现错误的操作ꎬ得出错误结果ꎬ白费力气.其次ꎬ操作过程一定要认真ꎬ不可麻痹大意ꎬ避免出现操作失误.在操作正确的情况下ꎬ要记录好每一步结果ꎬ以便对整体规律的探究.例如ꎬ解答例６时ꎬ在读题㊁读图时要弄清骰子相对面上点数分别是１点与６点ꎬ２点与５点ꎬ３点与４点.图①是初始状态.每一次变换如图②所示ꎬ分为两个步骤:第一步ꎬ向右翻滚９０ʎꎻ第二步ꎬ在桌面上按逆时针方向旋转９０ʎ.对于无法进行实物操作且凭空想象能力较弱的学生ꎬ可建议他们在草稿纸上画出连续的若干次变换ꎬ如图２所示.从第一次开始ꎬ记录下后续几次变换后朝上的点数依次是:５ꎬ６ꎬ３ꎬ５ꎬ６ꎬ .可得这是按５ꎬ６ꎬ３为一周期的循环型问题ꎬ则第２０次变换后朝上的点数是６点.３结束语探究规律型问题的取材十分广泛ꎬ形式也灵活多样.近年中考中还出现了与定义新运算㊁阅读理解等问题相结合的探究规律型问题.这类问题有助于发展学生的数学思维ꎬ提高学生解决问题的能力.解决这类问题时ꎬ要综合运用所学知识ꎬ多角度探究问题的求解方法.参考文献:[１]范小震.规律探索题的解答策略:从特殊出发[Ｊ].初中生世界ꎬ２０１８(Ｚ６):１００－１０２.[２]余亚琼ꎬ沈艳芳.注重学习策略发展学生思维:找规律 教学设计[Ｊ].云南教育(小学教师)ꎬ２０２１(Ｚ２):４４－４５.[责任编辑:李㊀璟]０４。
初中数学规律探究问题在我们的日常生活中，数学规律无处不在，它们以各种形式出现在我们的生活中，小到日常购物，大到金融市场的运作，都离不开这些看似简单却极其重要的规律。
在初中数学中，我们开始对这些规律进行深入的探究和学习，从而更好地理解和应用它们。
一、数列的规律数列是数学中的一个重要概念，它是按照一定顺序排列的一组数。
我们可以通过寻找数列中的规律，来探究其背后的数学原理。
例如，我们可以观察等差数列和等比数列，前者是每两个连续的数之间的差相等，后者则是每两个连续的数之间的比值相等。
这些规律在解决实际问题中有着广泛的应用，如规划收入和支出、计算利息等。
二、图形的规律图形的规律主要涉及到图形的形状、大小、位置等的变化规律。
例如，我们可以通过平移、旋转、对称等方式来探索图形的规律。
我们还会学习如何通过数理逻辑来推理和解决图形问题，例如在证明三角形全等问题时，就需要用到数学中的公理、定理和推论。
三、代数的规律代数的规律是初中数学中的一个重要部分，它涉及到变量、函数、方程等概念。
我们可以通过对代数式的研究，发现其中的规律和性质。
例如，通过观察多项式的次数和系数，我们可以找到其对称性和一些其他的重要性质。
我们还会学习如何通过代数方法来解决实际问题，例如在解决行程问题时，就需要用到方程的概念。
初中数学中规律探究问题是非常重要的。
它们不仅可以帮助我们更好地理解数学原理和应用，还可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
因此，我们应该积极参与到规律探究问题中来，不断地发现和学习新的数学规律。
在初中的学习阶段，数学是一门重要的学科，它不仅是我们理解世界，解决问题的重要工具，也是培养我们逻辑思维和抽象思维能力的重要途径。
而在初中数学的学习过程中，探究型问题更是对于我们的思维能力和学习效果有着极大的提升。
探究型问题，通常是一种开放式的问题，它不仅需要我们理解和应用数学的基本概念和公式，更需要我们具备一种探究的精神，去挖掘问题的深层含义，发现问题的规律，寻找解决问题的最佳策略。
初中数学找规律题（有答案）初中数学找规律题（有答案）“有⽐较才有鉴别”。
通过⽐较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题⽐，通常按照⽐定的顺序给出⽐系列量，要求我们根据这些已知的量找出⽐般规律。
揭⽐的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在⽐起加以⽐较，就⽐较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本⽐就此类题的解题⽐法进⽐探索：⽐、基本⽐法——看增幅（⽐）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前⽐个数进⽐⽐较，如增幅相等，则第n个数可以表⽐为：a1+(n-1)b，其中a为数列的第⽐位数，b 为增幅，(n-1)b为第⽐位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第⽐位数起，每位数都⽐前⽐位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：4+(n-1) 6＝6n－2（⽐）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有⽐种通⽐求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通⽐解法，当然此题也可⽐其它技巧，或⽐分析观察的⽐法求出，⽐法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同⽐增加，即增幅为等⽐数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题⽐概没有通⽐解法，只⽐分析观察的⽐法，但是，此类题包括第⽐类的题，如⽐分析观察法，也有⽐些技巧。
⽐、基本技巧（⽐）标出序列号：找规律的题⽐，通常按照⽐定的顺序给出⽐系列量，要求我们根据这些已知的量找出⽐般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在⽐起加以⽐较，就⽐较容易发现其中的奥秘。
中考数学找规律题型扩展及解析“有比较才有鉴别”。
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第 n 个数可以表示为： a1+(n-1)b，其中 a 为数列的第一位数， b 为增幅， (n-1)b 为第一位数到第 n 位的总增幅。
然后再简化代数式 a+(n-1)b。
例：4、10、 16、22、28，求第 n 位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是 6，所以，第 n 位数是： 4+(n-1) 6＝6n－ 2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、 5、 7、 9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。
基本思路是： 1、求出数列的第n-1 位到第 n 位的增幅；2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅；3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第n 位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17 增幅为 1、2、 4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
初一数学专题——规律探索一、教学内容：专题——规律探索在学习和生活中，我们经常会碰到一些连续重复出现某种现象的有规律的问题．我们如何寻找这些规律，解决这些问题呢？本讲就此问题中常见的几种类型，举例说明如何解决规律性问题．二、考点分析：近年来有关规律探索性题目在初中数学的考试题中频繁出现，所占分值不高，但难度偏大．主要类型有：图形规律、数的运算规律、代数式的规律等问题．【典型例题】题型一关于图形排列的规律性问题例1.观察下列图形，根据变化规律推测第100个与第_______个图形位置相同．例2.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有__________个★．例3. 如图所示，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角__________个．（1）在一条直线上取n个不同的点可以组成多少条线段，如图所示．题型二有理数的规律性问题例4. 有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为__________．（2）已知a n＝（－1）n＋1，当n＝1时，a1＝0；当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝0；…．则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为__________．例5. 观察下图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是__________．例6. 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，…（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4，f（）＝5，…利用以上规律计算：f（）－f（2008）＝__________．一. 选择题1. 用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．图1～图4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．（）那么，下列组合图形中，表示P&Q的是（）2. 观察下列图形，并按照此规律从左向右第2007个图形是（）3. 观察下面给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（）A. 3n－2B. 3n－1C. 4n＋1 D. 4n－34. 有30张分别标示1～30号的纸牌．先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉，然后从剩下的纸牌中，拿掉号码数为2的倍数的纸牌．若将最后剩下的纸牌，依号码数由小到大排列，则第5张纸牌的号码为（）A. 7B. 11C.13 D. 17*5. 观察表1，寻找规律．表2是从表1中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为（）表11 2 3 4 ……2 4 6 8 ……3 6 9 12 ……4 8 12 16 ………………………………表216 a20 bc30A. 20，25，24B. 25，20，24C. 18，25，24D. 20，30，25**6. 23，33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，63也能按此规律进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中最大的是（）A. 41B. 39C. 31D.29二. 填空题1. 根据下列图形的排列规律，第2008个图形是福娃__________（填写福娃名称即可）．2. 观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）．●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2008个图形是__________（填名称）．3. 如图，观察下列图案，它们都是由边长为1cm的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第16个图案中的小正方形有__________个．4. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）**5. 如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为__________．。
课题： 规律探究一、学习目标：1： 掌握应用方程解决规律的方法，提高分析问题、解决问题的能力。
2通过探索数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型。
3鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯．二：重点：把实际问题转化为数学问题，会进行推理判断． 2．难点：找出数数之间的规律． 三、探索新知：（学生独立完成，小组合作讨论）1．图1是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．2 : 观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。
试按此规律写出的第100个数是＿＿＿。
”分析：解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。
我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。
序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。
因此，第n 项是( )，第100项是( )。
如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。
解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。
四、尝试应用（学生独立完成,集体订正）1．（2009年广西梧州）图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ． （用n 的代数式表示s ）2．（2009年铁岭市）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．……n =1n =2n =3图1(1)(2)(3)……3．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。
A 、12+n B 、12-n C 、n 2 D 、2+n五、综合运用1．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．2．（）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．3：2、5、10、17……，求第n 位数（ ）。
归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或B．C．D．A．……………按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为；第n行（n≥3）从左到右的第3个数为．（用含n的代数式表示）10．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则6+=a b()__________________________________.考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是．2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为____________（用含n的代数式表示）．4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形．7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32 B．29 C．28 D．26 10．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为() A．21 B．24 C．27 D．3011. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．考点三:几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。
比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。
边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n C n的面积为．3．（牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC 为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．4．（六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为．5. 如图，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P n(x n，y n)均在反比例函数1yx=（x>0）的图象上，若△P 1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P n A n1A n都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A1A2，A2A3，…，A n1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点1111111为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推…，若A1C1＝2，过点A，D2，D3，…D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．8. 如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若mn＝4725，则正△ABC的边长是________．9. 设△ABC的面积为1，如图1将边BC，AC分别2等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图2将边BC，AC分别3等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S2；……，依此类推，则S n可表示为__________（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．考点四：坐标系和表格中的规律1．（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____________（用n表示）。
2．（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2016的坐标是_____________。
．3.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2 016个点的坐标为____________．4．（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是___________。
5．（恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是____________。
6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，A n．将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，M n都在直线l：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，A n．则顶点M2 016的坐标为（________，________）．课后练习考点一：猜想数式规律1．(2015·湖北黄冈中学自主招生)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31…7，11，15，19，23，27，31，35，39…第1个相同的数是7，第10个相同的数是()A．115 B．127 C．139 D．151 2．(2015·浙江宁波)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝b n，b2n＋2＝b n＋b n ，若b0＝1，则b2 015的值是＋1()A．1 B．6 C．9 D．19 3．(2015·山东德州)一组数1，1，2，x，5，y，…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为()A．8 B．9 C．13 D．15 4．(2013·山东日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是()A ．M ＝mnB ．M ＝n (m ＋1)C ．M ＝mn ＋1D ．M ＝m (n ＋1)5．(2014·贵州毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n 个数是________．6. 人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21…这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有________种不同方法．7．(2014·江苏扬州，18，3分)设a 1，a 2，…，a 2 014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2 014＋1)2＝4 001，则a 1，a 2，…，a 2 014中为0的个数是________．8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4＝2＋2； 12＝5＋7；6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7；8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11；10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11；…通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．9. 观察下列等式：第一个等式：1223111221222a ==-⨯⨯⨯⨯； 第二个等式：23234112322232a ==-⨯⨯⨯⨯； 第三个等式：34345113423242a ==-⨯⨯⨯⨯； 第四个等式：45456114524252a ==-⨯⨯⨯⨯． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a =_______________=_________________________；（2）式子12320a a a a ++++=…___________________．10. 下面是一个按某种规律排列的数阵：1 第1行2 第2行3 第3行4 第4行 … … … … … … … …根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n>3）行从左向右数第n-2个数是______________．考点二：猜想图形规律1．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．2. 观察下列图形规律：当n=时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ()A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 3784. 如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n ＝()A．29 B．30 C．31 D．325. 图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，那么图（2）中的小正方形有___________块；按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是___________块．6．（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为()A．51 B．70 C．76 D．817．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()图1图2A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016 8．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是()A．22 B．24 C．26 D．289. 观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“★”有()A ．57个B ．60个C ．63个D ．85个10. 观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是( )A ．38B ．46C ．61D ．6411. 如图，△ABC 的三个顶点和它内部的点P 1，把△ABC 分成3个互不重叠的小三角形；△ABC 的三个顶点和它内部的点P 1、P 2，把△ABC 分成5个互不重叠的小三角形；△ABC 的三个顶点和它内部的点 P 1、P 2、P 3，把△ABC 分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC 的三个顶点和它内部的点 P 1、P 2、P 3、…、P n ，把△ABC 分成 个互不重叠的小三角形．12. 观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有 个“•”． 13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n 个图案中有 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）14．“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n 个图形中小梅花的个数是 ． 考点三:几何图形计算变化规律1. 如图，在△A 1B 1C 1中，已知A 1B 1=7，B 1C 1=4，A 1C 1=5，依次连接△A 1B 1C 1三边中点，得△A 2B 2C 2，再依次连接△A 2B 2C 2的三边中点得△A 3B 3C 3，…，则△A 5B 5C 5的周长为___________．2. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝4，如图所示把边长分别为x 1，x 2，x 3，…，x n 的n 个正方形依次放入△ABC 中，则第n 个正方形的边长x n ＝________(用含n 的式子表示，n ≥1)．3. 如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1；再以正△AB 1C 1边B 1C 1上的高AB 2为边作正△AB 2C 2，△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2；…，以此类推，则S n =________________．（用含n 的式子表示）4. 如图，在矩形ABCD 中，已知AB =4，BC =3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是_____________。
