新编文档-同济大学《高等数学》61节定积分的元素法-精品文档

格式：ppt
大小：874.01 KB
文档页数：10

下载文档原格式

定积分的元素法

b
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上，部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点：量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间，则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法

大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件

弧长 s 2(t ) 2(t )dt.
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场

6-1定积分的元素法59653

பைடு நூலகம்
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
terima Kasih
得力马卡系
3）以所求量 U 的元素 f(x)d为 x被积表达式，在
区间 [a,b]上作定积分，得 U a bf(x)d， x
即为所求量 U 的积分表达式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．
元素法的一般步骤：
1 ）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [ a ,b ] ；
2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx 的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx；

高等数学上6.1定积分的元素法

或微元分析法) 这种分析方法成为元素法 (或微元分析法或微元分析法元素的几何形状常取为: 元素的几何形状常取为条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等
首页上页返回下页结束
b
积分的四个步骤如下：积分的四个步骤如下：（1）分割上任取一小区间[x 在[a, b]上任取一小区间 , x+dx] 上任取一小区间积元
∆
用 ∆A表示任一小区间[ x , x + ∆x ]上的窄曲面边梯形的面积
（2）近似代替
∆A ≈ f ( x )dx = dA
（）
dA
y
素
y = f (x)
A = ∫a f ( x)dx
b
o a x x + dx x b
返回下页结束
首页
上页
元素法应用方向：元素法应用方向：应用方向
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；水压力；引力等．功；水压力；引力等．
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 利用元素法解决定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用
首页
上页
返回
下页
结束
第一节
第六章六
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二、如何应用定积分解决问题 ?
首页
上页
返回
下页
结束
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 , b]上的某分布 f (x) 有关的是与区间[a 上的某分布一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小常代变近似和取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小表示为

定积分元素法课件

元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计算方法来得到近似解，而物理方法则是通过实验测量数据来得到近似解。
在求解积分问题时，物理方法通常是通过实验测量数据来得到近似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近似方法（矩形法、梯形法或辛普森法），以保证近似值的精度和计算效率。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率。

06定积分应用(同济教材)39页20180926

2 b Vx 2 y dx 2 0 a 4 2 ab 3
a 2 2

a
0
(a x )dx
2 2
x y 例: 计算由椭圆 2 2 1 围成的图形 a b
2
2
绕 y 轴旋转一周所成的旋转体（称为旋
转椭球体）的体积。
2 a Vy 2 x dy 2 0 b 4 2 a b 3
dV y dx f ( x)dx
2 2
y=f(x)
x dx
a
x
b 2 b 2
b
Vx y dx f ( x)dx
a a
求由曲线 x=(y) ，（假设曲线 (y) 与 y 轴不相交）与直线 y=c，y=d (c<d) 及 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
U dU (x ) 注意：这样表示的前提条件是：否则可能造成失误，这里，称 dU 为量U的元素。
3、对元素关系式 dU f ( x )dx 在 [a,b] 上作定积分，即得所求量 U 的积分表达式 b
U ∫ f ( x ) dx . a
上述这种解决问题的方法称为元素法，也称微元法。
y
y=f(x)
dA
o
a
b a
x x+dx b
x
A f ( x)dx
y
a
x x+dx b
o
y=f(x)
x
dA
A f ( x)dx
a
b
求由曲线 x=(y)， x=(y) ((y)≤(y))及直线 y=c，y=d (c<d) 围成的平面图形的 dA 面积 A。 y

6-1 定积分的元素法

(3) 求和. 得A的近似值
n
A f ( i )xi
y
i 1
n
(4) 求极限. A lim 0
f ( i ) xi
i 1
y = f (x)
b
f ( x)dx a
0 1 2 i
x0 a x1 xi1 xi
xn返1nb回xxn
把上述步骤略去下标，改写为：
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间，任取其中一个小
区间[x, x+dx]（区间微元），用A表示[x, x+dx]上
的小曲边梯形的面积，于是 A A
(2) 近似. 计算A的近似值 A f ( x) dx
并记 dA f ( x)dx 称为面面积积元微元素y
y f Leabharlann x返回b 回顾曲边梯形面积A转化为定积分
f ( x)dx 的计算过程：
a
n
(1) 分割. 把区间[a, b]分成n个小区间, 有 A Ai
i 1
总量A 对于[a, b]具有区间可加性, 即A可以分割成
n个部分量Ai 的和.
(2) 近似. 计算Ai的近似值 Ai f ( i )xi ( xi1 i xi )
(2) 求全量
应用方向：
元素积分得 U
b
f ( x)dx
a
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．
返回
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为l的非均匀细直棒质量的积分表达式
任一点的线密度是长度的函数。解:建立坐标如图,
o x x+dx
lx
则任意点x的密度为 ( x)

6.1 定积分的元素法

(1)所求量是与一个变量的变化区间[, ]有关的量;
(2)所求量对于区间[, ]具有可加性, 就是说, 如果把区间[, ]
分成许多部分区间, 则相应地分成许多部分量, 而等于所有
部分量之和.
(3)部分量Δ 的近似值可表示为( )Δ , 就可以考虑用定积分
来表达这个量.
第六章
目录
CONTENTS
第一节定积分的元素法
第二节定积分在几何学上的应用
第三节定积分在物理学上的应用
第一节定积分的元素法
一、问题的提出
二、元素法的条件和三步曲
第六章定积分的应用
一、问题的提出
回顾曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
= ()(() ≥ 0),
[, + Δ]
这种分析方法成为元素法(或微元分析法)
第一节定积分的元素法
第一节定积分的元素法
第六章定积分的应用
2. 元素法的三部曲
步骤1. 依据所求问题, 选取适当的积分变量例如, 并确定其范围
∈ [, ]
步骤2. 任取, + d ∈ [, ], 考虑区间[, + d]上所求量的表达式
定积分的计算.
例如: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长;
功;水压力;引力和平均值等.
因此对这种方法要进行研究和简化.
研究和简化的结果就产生了应用定积分解决问题的元素法.
第一节定积分的元素法
第一节定积分的元素法
第六章定积分的应用
第六章定积分的应用
二、元素法的条件和三步曲
1. 应用定积分解决问题的条件
直线 = , =
(1)分割
及轴所围成.
(2)以常代变

第六节、定积分的元素法

sn si
i 1
n
Oa
y
.x . x . .x . . . x.
1 i 1 i
n 1
b
x
f ( x)
si f ( i )xi
作和
sn f ( i )xi
i 1
n
A
Oa
f ( i )
B
si
x i 1 x i i
b
x
则
s sn f ( i )xi
f ( x)
B
A
Oa
x
s
x dx
b
x
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法)
二、什么问题可以用定积分解决
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 表示为
第六节、定积分的元素法
一、元素法
二、什么问题可以用定积分解决
三、如何应用定积分解决问题
四、作业
一、元素法
y
计算曲边梯形面积的具体步骤： (1)分割用任意一组分点 b, a x0 < x1 < x2 < xn1< xn
A
si
f ( x) B
s s1 s2
(2)近似求和
定积分定义
三、如何应用定积分解决问题
第一步利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式近似值
d U f ( x ) dx
第二步利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的精确值积分表达式
U a f ( x ) dx

高等数学教案章节题目第六章、定积分的应用§6-1定积分的元素法

高等数学教案§6-1 定积分的元素法一、再论曲边梯形面积计算设f x ()在区间],[b a 上连续，且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边，底为],[b a 的曲边梯形的面积A 。

1．化整为零用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110将区间分成n 个小区间[,]x x i i -1，其长度为),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为ni A i ,,2,1, =∆。

于是 ∑=∆=ni iA A 12．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈ni iixf A 1)(ξ4．取极限，使近似值向精确值转化⎰∑=∆==→bani iidx x f x f A )()(lim1ξλ上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则A 相应地分成部分量),,2,1(n i A i =∆，而∑=∆=ni i A A 1这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。

(2)用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。

只有这样，和式∑=∆ni iixf 1)(ξ的极限方才是精确值A 。

故关键是确定))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。

二、元素法1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (2) U 对于区间],[b a 具有可加性；(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。