高等数学61元素法

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定积分的元素法平面图形的面积PPT课件

右脑思维的核心是形象思维，在大脑中多出现形象的东西，在各项思维活动中，多借助形象，就训练了右脑。
1
第六章定积分的应用
第一节定积分的元素法第二节平面图形的面积第三节体积第四节平面曲线的弧长第五节功水压力和引力第六节平均值
2
第一节定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c

2
(
y
)

1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解解方程组
y2 x

y

x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与之间的关系可以用式 r r 表示，称 r r 为曲线的极坐标方程。

高等数学电子教案(下).doc

《高等数学》
授课教案
2008 ～2009 学年第二学期
教师姓名：李石涛
授课对象：1.化学工程与工艺0801－0803，应用化学0801，0802
2.高分子材料工程0801，0802；环境工程0801，0802 授课学时： 128/64
选用教材《高等数学》史俊贤主编
大连理工大学出版社2006/2
基础部数学教研室
沈阳工业大学教案
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第 6 周授课日期 09.3.27
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第 9 周授课日期 09.4.17
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第 11 周授课日期 09.5.1
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第 13 周授课日期 09.5.13
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第 14 周授课日期 09.5.22
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第 18 周授课日期 09.6.17。

§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)

则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
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例4. 计算阿基米德螺线到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y

ox
R x

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微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx

o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为：微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
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与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d

o
2x
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二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用

6.1 元素分析法

第一节定积分的元素法元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “分割近似求和取极限” 分割, 近似求和, 取极限” 分割表示为
U = ∫a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 ) 元素法微元分析法
b
第二节目录
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定积分定义
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二、如何应用定积分解决问题 ?
第一步根据具体问题，选取一个变量例如x作为积分变量，并确定它的变化区间[a, b]. 第二步任意选取[a,b]内的一个小区间[x, x+dx], 并求出U在这个小区间上的近似值dU. 第三步如果 dU = f (x) dx ，那么

定积分的元素法教学文案

题目定积分的元素法本讲计1 对应教材章（课）节§5.3划学时教学目的熟练掌握定积分的元素法教学重点定积分的元素法教学难点定积分的元素法序号本讲主要环节（内容）时间（分）教学方法教学手段一、定积分的元素法45 讲授为主板书教学内容（教学时数：2 ）一、再论曲边梯形面积计算设f x ()在区间[,]a b 上连续，且f x ()0，求以曲线y f x ()为曲边，底为[,]a b 的曲边梯形的面积A 。

1、化整为零用任意一组分点011n n a x x x x b 将区间分成n 个小区间[,]x x i i 1，其长度为1i i ix x x , ),,2,1(n i记},,,max{21n x x x 相应地，曲边梯形被划分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积记为),,2,1(n i A i 。

于是A A ii n12、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值A f x x x i n ii i i i i ()[,](,,,)1123、积零为整，给出“整”的近似值A f x i ii n ()1小结：元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）4、取极限，使近似值向精确值转化A f x f x dx i ii na b lim ()()01上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：(一)、若将[,]a b 分成部分区间[,](,,,)x x i n i i 112，则A 相应地分成部分量A in i (,,,)12，而A A i i n 1这表明：所求量A 对于区间[,]a b 具有可加性。

(二)、用f x i i ()近似A i ，误差应是x i 的高阶无穷小。

只有这样，和式f x i i i n()1的极限方才是精确值A 。

备注：教学内容（教学时数：）确定))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A 是关键。

上述做法可进一步简化为略去下标i ，用A 表示任一小区间[,]x x dx 上窄曲边梯形的面积，这样A A 一般地称()f x dx 为面积元素记作()dAf x dx 窄曲边梯形A 叫典型面积元素。

文科高等数学重要知识点汇总

第一章函数与极限一、内容提要1．函数是微积分研究的对象，定义域、对应法则构成其两要素。

2．极限分成数列极限与函数极限，是微积分学的基础，以后的内容绝大多数与此紧密相关。

3．无穷小与无穷大是两个特殊的变量，为了更精细的研究它们之间的关系，必须讨论它们之间比较时产生的阶的关系。

4．求极限的方法有多种，本章主要有利用极限运算法则及两个极限存在法则方法，并利用后者得到两个重要极限。

5．利用极限来描述连续这种直观现象是用极限对函数研究的第一次应用，并得到了初等函数的连续性。

作为连续函数，当其在闭区间上时具有特殊的性质。

二、重要结论1．lim an =a的定义为：∀ε>0,∃N>0,∀n>N,满足an−a<ε。

n→∞2．lim f (x)=A的定义为：∀ε>0,∃δ>0,∀x∈U(x,δ),满足f(x)−A<ε。

x→x0lim+f(x)=A的定义为：∀ε>0,∃δ>0,∀x∈(x,x+δ),满足f(x)−A<ε。

x→xlim−f(x)=A的定义为：∀ε>0,∃δ>0,∀x∈(x−δ,x),满足f(x)−A<ε。

x→xlim f(x)=A的定义为：∀ε>0,∃X>0,∀x满足x>X时,成立f(x)−A<ε。

x→∞lim f(x)=A的定义为：∀ε>0,∃X>0,∀x满足x>X时,成立f(x)−A<ε。

x→+∞lim f(x)=A的定义为：∀ε>0,∃X>0,∀x满足x<−X时,成立f(x)−A<ε。

x→−∞3．数列极限或函数极限若存在则必唯一。

4．收敛数列必为有界数列，函数极限存在有局部有界性。

5．函数极限若存在，则有局部保号性。

6．lim f (x)=A，当n→∞时，xn与上极限中的x有相同的变化趋势，则lim f(xn)=A。

n→∞7．lim f(x)=A⇔f(x)=A+o(1)。

定积分及其应用

1.建立坐标系，选定积分变量并确定积分区间； 2.找打相应的元素; 3.以此元素作积分表达式，在积分区间上求定积分.
下面我们将应用这一方法来讨论一些问题.
、平面图形的面积
根据围成平面图形的曲线的不同情况，我们分为以下两种情形
(1)由一条曲线和直线x=a,x=b(a<b)及x轴围成的平面图形
O
(8,4)
-2
y
y+dy
4
A1
A2
(2,-2)
y2=2x
y=x-4
x
y
图6-11
O
x
a
b
xy=f(x)ຫໍສະໝຸດ 图 6-13( b) y x+dx
x
1
x
O
图6-14
x
图6-15
(a)
y
y+dy
2
1
y
O
(b)
O
a
A(x)
b
x
图 6-16
O B x a P Q
01
02
A
a
x
R
03
图6-17
y
当在区间[a,b]上的值有正有负时,则由曲线和直线x=a,x=b(a<b)及 x轴围成的曲边梯形的面积A是在x轴上方和下方的曲边梯形面积之差.
O
x
b
a
y=f ( x)
y=g( x)
图
图 6-9
x
y
O
x
x+dx
y
O
图6-10
y
a
b
x+dx
x
-a
本章的基本要求理解定积分的概念，了解定积分的性质，知道函数连续是可积的充分条件，函数有界是可积的必要条件；理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿―莱布尼茨公式；熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；掌握用定积分表达一些几何量（如面积和体积）的方法；了解反常积分及其收敛、发散的概念等. 重点定积分的概念和性质，牛顿―莱布尼茨公式，定积分换元法和分部积分法，利用定积分计算平面图形的面积.

定积分的元素法

课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 ) 一、()()=n y f x 型的微分方程解法: 积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, …… 例1 求微分方程y '''=e 2x cos x 的通解.。

例2 求微分方程x x y cos sin -=''满足初始条件1)0(,2)0(='=y y 的特解。

二、),(y x f y '=''型的微分方程解法: 设y '=p 则方程化为 p '=f (x , p ). 设p '=f (x , p )的通解为p =(x ,C 1), 则 ),(1C x dx dy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ. 例3 求微分方程 (1x 2)y ''=2xy 满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3的特解. 例4设由一质量分布均匀，柔软的细绳，其两端固定，求它在自身重力作用下的曲线方程．三、),(y y f y '=''型的微分方程解法: 设y '=p ,有dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p =. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =(y , C 1), 则原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ. 例5 求微分yy ''y '2=0的通解。

四、习题讲解329P Ex2（5）（6），4五、课堂小结、布置作业课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )。

定积分的元素法解析

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面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3）求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
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高等数学第六章定积分的应用

3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx
，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．
第二节平面图形的面积
一、直角坐标系情形
y y f (x)
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线 y
2
x
3 2
上相应于
x
从a
到b
的一段
3
弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
2
3
3
1 xdx [(1 b)2 (1 a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n) . 0
a
提示若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx ，
面积元素
dA
y f (x)
于是A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(

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第六章
定积分的应用
利用元素法解决:
定积分在几何上的应用
定积分在物理上的应用
第六章第一节
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ?
二、如何应用定积分解决问题 ?
表示为∑=→Δ=n i i i x f U 1
0)(lim ξλ一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b ]上的某分布 f (x ) 有关的2) U 对区间 [a , b ] 具有可加性 ,即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
∫b a x x f d )(∑=→Δ=n
i i i x f 1
0)(lim ξλ定积分定义一个整体量 ;
二、如何应用定积分解决问题 ?
第一步利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式
x
x f U d )(d =第二步利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式
=U x x f b a d )(∫这种分析方法成为元素法 (或微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等
近似值精确值。