6.1 定积分的元素法

…
…
0
a = t0
t1 t2
ti−1 ti tn−1 tn = b
v(τ 1 ) v(τ 2 )
v(τ i )
0 a = t0 τ 1 t1τ 2 t2
ti−1 τ i ti tn−1 tn = b
（2）取点 在每个小区间 [ t i−1 , t i ] 上任取一时刻 τ i
该时刻的速度记为 v(τ i ) （3）求和 当区间 [ t i−1 , t i ] 很小时，可近似地将物体
i
)
∆
ti
=
b
v(t )dt .
a
n
∑ ∫ 曲边梯形的面积
S
=
lim
λ →0
i=1
f (ξ i ) ∆ x
i
=
b
f ( x)dx.
a
n
∑ 变速直线运动的路程： s
=
lim
λ→0
v(τ
i=1
i)∆
t
i
b
= ∫a v(t)dt.
共同特征：
（1）它们都与一个函数和自变量的一个变化区间相关联。
（2）计算这些量的方法与步骤完全相同，并且最终它们 都归结为具有相同结构的一种特定和式的极限.
就是说，如果把区间 [a, b] 分成许多部分区间，则U相
相应地分成许多部分量，而U等于所以部分量之和；
（3）每个部分量的近似值可表示为两个量的乘积。
就可以考虑用定积分来表达这个量 U 。
问题二: 如何应用定积分解决问题 ?
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
弧长；
（２）功；水压力；引力等．
∆ si ≈ v(τ i) ∆t i ,
n
∑ s ≈ sn = v(τ1)∆t1 + v(τ 2 )∆t2 +v(τ n )∆tn = v(τ i ) ∆ t i
i=1
（4）取极限: 令 ∆t = max { ∆ti } 则有
i
n
∑ ∫ s = lim sn ∆ t→0
=
lim
∆t →0
v(τ
i=1
0 a = x0 ξ 1 x1 x2
xi−1 ξ i xi xn−1 xn = b x
（4）取极限: 当区间划分得越细，即每个小区间
越窄时，
Sn
越接近曲边梯形的面积 S
记为
令 ∆ x = max { ∆ x1 , ∆ x2 ,∆ xn } = max { ∆ xi }
i
所以
n
∑ ∫ S = lim Sn= lim
第六章 定积分的应用
一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、定积分在物理学上的应用
一、定积分的元素法
回顾
1. 曲边梯形求面积的问题
y
y = f (x)
oa
bx
A
=
b
∫a
f
(
x)dx
y
y = f (x)
∆ S1 ∆ S2 …… ∆ Si … ∆ Sn
0 a = x0 x1 x2
xi−1 xi xn−1 xn = b x
f (ξ i ) ∆ x i
=
b
f ( x)dx.
∆ x→0
∆ x → 0 i=1
a
2. 变速直线运动的路程
作匀速直线运动的物体（常速度记为 v ），在 时间段 [ a , b ] 上运动的距离为：s = v ( b － a )
问题2：当速度 v 随时间 t 而变化时：v = v (t) ， 如何求出物体在时间段 [ a , b ] 上运动的距离？
（1）分割： a = t0 < t1 < t2 < < tn−1 < tn = b
将时间区间 [ a , b ] 分为 n 个小时间区间：
[ t 0 , t1 ] , [ t1 , t 2 ] , , [ t n−1 , t n ]
区间长度： ∆ t1 = t1 − t0 , ∆ t2 = t2 − t1 , ∆ tn = tn − tn−1
则 ∆ Si ≈ f (ξ i) ∆ x i , 而所有小矩形的面积之和
n
∑ Sn = f (ξ1)∆ x1 + f (ξ2 )∆ x2 + f (ξn )∆ xn = f (ξ i ) ∆ x i
i=1
y
f (ξ 1)
f (ξ i )
y = f (x)
∆ S1 ∆ S2 …… ∆ Si … ∆ Sn
n速度 ×时间
∑ s
= lim λ →0
v(τ i )∆ t i
i =1
= lim ∑ v(t)dt
b
= ∫a v(t)dt.
共同点： 1. 在微小的局部：近似等于两个量相乘
2. 具有可加性
问题一: 什么问题可以用定积分解决 ?
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量 x的变化区间[a, b]有关的量； （2）U 对于区间 [a, b] 具有可加性，
即
dU = f ( x)dx；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，
b
在区间 [a, b] 上作定积分，得 U = ∫a f ( x)dx ，
即为所求量 U 的积分表达式.
这个方法通常叫做定积分的元素法．
元素的求法: 以直代曲
在微小的局部 以不变代变
应用方向： （１）平面图形的面积；体积；平面曲线的
面 积 元 素
dA
y = f (x)
于是 S ≈ ∑ f ( x)dx,
o a x x + dxb x
b
∫ S = lim ∑ f ( x)dx = f ( x)dx. a
n
∑ 变速直线运动的路程： s
=
lim
λ→0
i=1
v(τ
i)∆
t
i
简化：
ds 路程元素
0a
t t + dt
b
若用 ∆s 表示任一小时间段 [t, t + dt]是通过的路程， 则
(1)
分割：
a
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
<
x1
<
x2
<
<
xn−1
<
xn
=
b
将 [ a , b ] 分成 n 个小区间： （不一定是等分）
[ x 0 , x1 ] , [ x1 , x 2 ] , , [ x n−1 , x n ]
长度： ∆ x1 = x1 − x0 , ∆ x2 = x2 − x1 , ∆ xn = xn − xn−1
在该区间上的运动看作匀速运动
因此物体在 [ t i−1 , t i ] 上运动的近似距离为
∆ si ≈ v(τ i) ∆t i ,
n
∑ s ≈ sn = v(τ1)∆t1 + v(τ 2 )∆t2 +v(τ n )∆tn = v(τ i ) ∆ t i
i=1
因此物体在 [ t i−1 , t i ] 上运动的近似距离为
(3) 在微小的局部: 两个常量的乘积 以直代曲 以不变代变
问题：过程比较冗长，符号比较复杂。 简化：
n
∑ 曲边梯形的面积
S
=
lim
λ →0
i=1
f (ξ i ) ∆ x
i
简化：
若用 ∆S 表示任一小区间 [ x, x + dx]
上的窄曲边梯形的面积，则
y
S = ∑ ∆S, 并取 ∆S ≈ f ( x)dx
2）设想把区间 [a, b] 分成 n 个小区间， 取其中任一小区间并记为 [ x, x + dx]，
求出相应于这小区间的部分量 ∆U 的近似值. 如果 ∆U 能近似地表示为 [a, b]上的一个连续函数 在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，
就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作 的 dU，
s = ∑ ∆s, 并取 ∆s ≈ v(t )dt
于是 s ≈ ∑ v(t)dt
s = lim ∑ v(t)dt
b
= ∫a v(t)dt.
曲边梯形的面积：
长 ×宽
n
∑ S
=
lim
λ →0
i=1
f (ξ i ) ∆ x
i
= lim ∑ f ( x)dx
b
∫= f ( x)dx. a
变速直线运动的路程：
y
y = f (x)
∆ S1 ∆ S2 …… ∆ Si … ∆ Sn
0 a = x0 x1 x2
xi−1 xi xn−1 xn = b x
（2）取点 在每个小区间 [ x i−1 , x i ]上任取一点 ξ i .
（3）求和 以 ∆ xi = xi − xi−1 为底宽，f (ξ i )为高作一小矩形，