无多余约束的平面杆件体系的几何组成规律

一、填空题1、在梁、刚架、拱、桁架四种常见结构中，主要受弯的是梁和刚架，主要承受轴力的是拱和桁架。

2、选取结构计算简图时，一般要进行杆件简化、支座简化、节点简化和荷载简化。

3、分析平面杆件体系的几何组成常用的规律是两刚片法则、三刚片法则和二元体法则。

4、一个简单铰相当于2个约束，一个链杆相当于1个约束，一个固定支座相当于3个约束。

5、平面内一根链杆自由运动时的自由度等于3，一个结点自由运动时的自由度等于2。

6、静定多跨梁包括基本部分和附属部分，内力计算从附属部分开始。

7、刚结点的特点是，各杆件在连接处既无相对移动也无相对转动，可传递力和力矩。

8、铰结点的特点是，各杆件在连接处可做相对转动，但不能做相对移动，不传递力矩，但传递力。

9、在具有2个自由度的体系上加上一个二元体时，所得新体系的自由度为2。

10、体系的计算自由度W≤0是保证体系为几何不变的必要条件。

11、静定结构支座移动产生位移，不产生内力和应力。

12、结构对称要求满足几何对称、约束对称、荷载对称。

13、对称结构在正对称荷载作用下，其弯矩图和轴力图是正对称的，剪力图反对称；变形与位移对称。

14、对称结构在反对称荷载作用下，其弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图对称；变形与位移反对称。

15、对称荷载指作用在对称结构对称轴两侧，大小相等，方向和作用点对称的荷载。

16、组合结构的受力特点是有受弯的构件，也有只受拉压的杆件。

17、等效结点荷载指的是等效结点荷载与原荷载引起的杆端位移是一致的。

18、三铰拱结构的受力特点是在竖向荷载作用下能产生水平方向约束力。

19、三铰拱结构的水平反力与荷载及三个铰的位置有关。

20、桁架结构的受力特点是以拉压为主。

21、刚度系数k ij的物理意义是当第j个附加约束产生单位位移时引起的第i个附加约束的反力大小。

22、去掉一个连接n个杆件的铰结点，等于拆掉2(n-1)个约束。

23、去掉一个连接n个杆件的刚结点，等于拆掉3(n-1)个约束。

§2-2 构造分析方法与例题-1 1. 教学要求熟练掌握几何构造分析的各种方法。

2. 本节目录•1. 基本分析方法(1)•2. 基本分析方法(2)•3. 约束等效代换•4. 考虑体系与地基关系的方法•5. 复杂体系(1)•6. 复杂体系(2)•7. 复杂体系(3)•8. 思考与讨论3. 参考章节1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp. 22-28。

2. §2-3 几何不变体系的组成规律2.2.1 基本分析方法一. 先找第一个不变单元，逐步组装1. 先从地基开始逐步组装例1图2-17a，图2-17b图2-17a图2-17b 2. 先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装例2图2-18a，图2-18b图2-18a图2-18b∆ADF和∆BEG通过较C和不过该铰的链杆DE相连组成几何不变且无多余约束的体系∆BCF和∆DAE通过连杆CD,AB,EF 相连，三杆不共点，组成几何不变且无多余约束体系。

二. 去除二元体（拆）例3图2-19a，图2-19b、2-19c图2-19a图2-19b 例3：图2-19c分析：对象：杆1、2和杆3、4和杆5、6和杆7、8和杆9、10和杆11、12和杆13、14；联系：二元体；去掉二元体，剩下大地――几何不变无多余约束2.2.2 约束等效代换1. 曲(折)链杆等效为直链杆2. 联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰例4分析:1.折链杆AC 与DB 用直杆2、3代替；2.刚片ECD 通过支杆1与地基相连。

结论：若杆1、2、3交于一点，则整个体系几何瞬变有多余约束；若杆1、2、3不交于一点，则整个体系几何不变无多余约束。

图2-20a例5分析:1.刚片Ⅰ、Ⅰ、地基Ⅰ由铰A 与瞬铰B、C 相连。

2.A、B、C 不共线。

结论：整个体系几何不变无多余约束。

图2-20b分析：图2-20c中（a）等效图2-20c中(b)对象：大地与刚片（1）和（2）；联系：大地与刚片（1）：虚铰B；大地与刚片（2）：虚铰C；刚片（1）与刚片（2）：虚铰A；三铰不共线――几何不变无多余约束2.2.3 考虑体系与地基关系的方法1. 体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再与地基一起分析。

平面杆件体系的几何组成分析平面杆件体系是一种复杂的结构，它由许多杆件组成，而每一种杆件的几何组成都是关键因素，如果要正确地分析平面杆件体系的结构及其性能，就必须对其几何组成进行分析。

二、杆件的几何组成1.杆件的长度所有杆件的长度都受到几何限制，它们必须符合系统的几何特征。

对于构件来说，长度是其基本组成特征，它是决定构件在结构中执行何种功能的重要因素。

因此，在分析平面杆件体系的几何组成时，必须准确测量杆件的长度，并计算它们的变化范围等。

2.杆件的相对位置杆件的相对位置也是重要的几何特征，它决定了杆件之间的关系，也影响了杆件的功能表现。

一般来说，当分析杆件间的几何组成时，必须正确测量杆件间的间距及其尺寸比例，以确定杆件间的相对位置。

3.杆件的角度角度是杆件或构件之间的重要几何参数，它影响着构件间的连接及它们的力学性能。

因此，在研究平面杆件体系的几何组成时，也必须对不同杆件的角度进行测量，并进一步计算出各杆件之间的角度关系。

三、杆件的几何组成分析1.力学分析力学分析是研究杆件几何组成的重要方法，它可以从多个维度来研究构件的性能，并从力学角度来分析平面杆件体系的组成及其性能。

例如，可以通过力密度法对平面杆件体系的几何组成进行分析，以确定某一构件在结构中所承受的载荷情况，以及各构件之间的荷载传递情况。

2.静力学分析静力学是研究杆件几何组成的另一种重要方法。

它可以通过计算构件的力学参数，如构件的弹性模量、强度及抗剪模量等，从而确定平面构件体系的几何组成情况以及它们的力学特性。

3.拓扑分析拓扑分析是研究杆件几何组成的一种特殊方法，它旨在通过测量某一构件的几何组成参数，如构件的节点数、轴线关系、长度比例等，来确定平面杆件体系的几何组成，以及它们在结构中的作用及其性能。

四、总结平面杆件体系是一种复杂的结构，它由许多杆件组成，而杆件的几何组成则是研究平面杆件体系结构及性能的重要因素。

本文从三个方面介绍了杆件几何组成分析的方法：即力学分析、静力学分析和拓扑分析。

第四章平面杆件体系的几何组成分析4.1 几何组成分析的基本概念结构是由若干根杆件通过结点间的连接及与支座连接组成的。

结构是用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。

例如：4.1.1 几何不变体系和几何可变体系1. 几何不变体系(geometrically unchangeable system)：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状不能改变。

2. 几何可变体系(geometrically changeable system)：不考虑材料的变形，在微小荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系。

图4-1 几何可变体系和不变体系显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。

因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。

4.1.2 自由度和约束1.自由度(degree of freedom) ：自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目；即确定体系位置所需（平移和转动）独立坐标的数目。

（1）平面内一质点有2个自由度；x方向和y方向的运动（2）平面内一刚片有3个自由度；任意点的（x，y）坐标一个绕该点的转动角度。

（3）地基是自由度为零的刚片。

图4-2 点和刚体的平面自由度2. 约束：(restraint) ：限制物体自由度的外部条件。

或体系内部加入的减少自由度的装置。

当对刚体施加约束时，其自由度将减少。

能减少一个自由度的约束称为一个联系，能减少n个自由度的约束称为增加了n个联系。

（1）链杆（chainbar）：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和铰的位置如何。

一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。

一根链杆相当于一个约束。

链杆连接的两个刚片（减少一个）有五个自由度。

固定一地基上连杆，被连接的刚片（减少一个）还剩2个自由度。

（2）单铰：连结两个刚片的铰。

加单铰前构成体系的两个刚片共有六个自由度。

加单铰后体系有四个自由度。

一个刚片可以自由运动，但是，另一个刚片只能绕结点转动。

§2-2 几何不变体系的组成规律1. 教学要求熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。

2. 本节目录•1. 二元体法则•2. 两刚片法则•3. 三刚片法则3. 参考章节《结构力学教程(Ⅰ)》,pp. 22-28。

2.2.1 二元体法则结论1：一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。

我们把两根不共线的链杆联接一个新结点的装置称为二元体。

由前面的分析可知，不在同一直线上的两根链杆是一个点的必要约束，能使点的自由度为零。

所以体系中增加一个点的同时再增加两个交于该点的两根不共线的链杆，不会改变原体系的自由度。

由此得到结论：★在一个已知体系中增加或减去二元体，不改变原体系的几何性质。

这个结论称为二元体规则。

图2-7分析：约束对象：结点 C 与刚片I约束条件：不共线的两链杆；结论：几何不变且无多余约束。

图2-7图2-8分析：两链杆共线，A 点可垂直于AB做微小移动；结论：瞬变体系。

图2-92.2.2 两刚片法则将AB看成刚片则得到：结论2（1）. 两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。

图2-9图2-10 瞬变体系一个铰相当于不共线的两根连杆：（2）. 两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束图2-11特殊情况：三链杆共点三链杆平行等长三链杆平行不等长图2-12 瞬变体系图2-13 常变体系图2-14 瞬变体系2.2.3 三刚片法则把AC在看成刚片则得到：结论3：三刚片用不共线的三铰两两相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。

图2-15图2-16 三铰共线瞬变体系上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律：若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束。

第三节杆件体系的几何组成规则为了避免平面杆件体系成为几何常变或瞬变体系，各杆件之间的连接必须符合一定的组成规则。

这里只讨论平面杆件体系最基本的组成规律，复杂杆件体系的几何构造问题在这里不作讨论。

一、二元体规则在杆件体系几何组成分析中，把两根不共线的链杆连接一个结点的装置称为二元体，如图2-9(a)中结点A和链杆1、2组成的就是一个二元体。

这里要注意，二元体装置中连接结点的链杆不仅仅指直杆，也可以是折杆（2-9(b)）、曲杆（图2-9(c)），甚至可以是一个几何不变部分（图2-9(d)）。

另外，图2-9(e)所示的装置也可称为二元体。

下面讨论在某一体系上增加一个二元体，如图2-10(a)所示，其几何组成情况如下：刚片I原有3个自由度，由于增加了一个结点A，相当于体系中增加了2个自由度；而同时又新增了两根不共线的链杆，相当于增加了2个约束。

因此，在一个体系上增加一个二元体并不改变原体系的自由度，即：若原体系是几何不变的，增加一个二元体后仍是几何不变的；若原体系是几何可变的，增加一个二元体后仍是几何可变的。

同理，在一个体系上拆除一个二元体，也不改变原体系的几何组成特性。

由上可知，在一个体系中增加或拆除一个二元体，不会改变原有体系的几何组成性质，这即为二元体规则。

图2-9 二元体的形式利用二元体规则可以直接对某些杆件体系进行几何组成分析，特别在铰结体系中尤其适用。

如图2-10(b)所示杆件体系，杆件间均通过铰相连。

进行几何组成分析时，可以选基础作为基本刚片，先通过二元体规则将结点3固定在基本刚片上，形成几何不变部分123；再以几何不变部分123为基本刚片，通过二元体规则将结点4固定在此基本刚片上，形成几何不变部分1234；如此依次增加二元体，就能依次固定结点5、结点6、结点7、结点8，最后形成整个杆件体系。

由于基础是没有多余约束的几何不变部分，依次增加二元体形成的整个杆件体系也必是几何不变体系，而且没有多余约束。

国开电大工程力学(本)。

形考任务1-4答案1.三铰两两相连，三铰不在一直线上，是三刚片组成几何不变体系的规则。

2.在无多余约束的几何不变体系上增加二元体后构成无多余约束的几何不变体系。

3.图示体系为无多余约束的几何不变体系。

4.下图所示平面杆件体系是瞬变杆件体系。

5.图示桁架有6根零杆。

6.图1所示结构的弯矩图形状应为A。

7.图示结构中C截面弯矩等于B。

8.图示刚架杆端弯矩MBA等于30kN·m（左侧受拉）。

9.下图所示伸出XXX的正确形状为C。

10.图示刚架截面C右的弯矩等于0.11.多跨静定梁的基本部分是BC部分。

12.悬臂梁两种状态的弯矩图如图所示，图乘结果是A。

3．如图所示，悬臂梁AB的长度为l，截面积为A，XXX模量为E，受到P点集中力作用。

求P点处的最大应力和最大应变。

（10分）选择一项：A。

最大应力为P/A，最大应变为Pl/EAB。

最大应力为2P/A，最大应变为2Pl/EAC。

最大应力为P/2A，最大应变为Pl/2EAD。

最大应力为P/A，最大应变为Pl/2EA正确答案是：A题目294．如图所示，悬臂梁AB的长度为l，截面积为A，XXX模量为E，受到P点集中力作用。

求梁在P点处的挠度。

（10分）选择一项：A。

δ = Pl^3/3AEIB。

δ = Pl^2/2AEIC。

δ = Pl/2AEID。

δ = Pl^2/3AEI正确答案是：B题目305．如图所示，悬臂梁AB的长度为l，截面积为A，XXX模量为E，受到P点集中力作用。

求梁在P点处的剪力和弯矩。

（10分）选择一项：A。

剪力为P，弯矩为Pl/2B。

剪力为P/2，弯矩为Pl/4C。

剪力为P，弯矩为Pl/4D。

剪力为2P，弯矩为Pl/2正确答案是：A正确答案是：A1.超静定次数通常不等于多余约束的个数。

(改写)选择一项：对XXX2.力法计算的基本体系应该是不可变的。

(改写)选择一项：对XXX3.同一结构选用不同的力法基本体系，所得到的力法方程代表的位移条件不相同。