机械优化设计 多项式插值和分段插值1

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一、插值思想简介
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一、插值思想简介
引例1、函数查表问题
求标准正态分布函数值F(2.3456789) 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 2.3456789接近2.35 故F(2.3456789)约等于0.99061
在对精度要求较高时，这种处理方法受到质疑 问题：利用一个表格给出的函数值，计算未给出的函数值
设函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值已知， 为 y0,y1,…,yn 。 要求一个分段( 共 n段)线性函数q(x)，使其满足：
q(xi)=yi , i=0,1,…,n.
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二、一维插值方法
这n+1个点 x0,x1,…,xn
称为节点
y
o x0

xj-1 xj xj+1 xn
n=3时
axis([-6,6,-1.5 2]); n=9时
高阶振荡
n=15时
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二、一维插值方法
2、分段多项式插值 由于高次插值多项式的振荡缺陷，促使人们转而寻求简单的低 次多项式插值。分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干 个小区间，然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值。 2.1分段线性插值
Li
(x)

(x x0 )( x x1)(x (xi x0 )( xi x1)(xi
xi1)( x xi1)(x xn ) xi1)( xi xi1)( xi xn
)
易知n次多项
式Li
(
x)满足Li
(
x
j
)

1，i 0，i

j，i， j
表1. 机翼断面下轮廓线上的部分数据 x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
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一、插值思想简介
对每段曲线上的未知函数值，用相应的函数值来代替，并 考虑衔接的光滑性 表1. 机翼断面下轮廓线上的部分数据 x 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
1、拉格朗日多项式插值 从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数。
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：
Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.
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二、一维插值方法
解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
构造拉格朗日插值基函数：
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二、一维插值方法
3、三次样条插值
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲
线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光
滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。三次埃尔 米特插值具有一阶的光滑性。
是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑 性的方法？
三次样条插值就是一个很好的例子。 样条：spline 来源于可变形的样条工具，那是一种在过去造船和工 程制图时用来画出光滑形状的工具。此种工具画出的 曲线具有处处连续的曲率，即连续的二阶导数。
j

0，1，...n
n
故令Pn (x)
Li
(
x
)

y
即
i
是
我
们
寻
求
的
插
值
函
数
i0
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二、一维插值方法
用matlab编写拉格朗日插值函数：[lagr1.m]
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二、一维插值方法
对引例3利用拉格朗日插值法求解： x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]; x=0:0.05:15; y=lagr1(x0,y0,x); plot(x,y,x0,y0,'r*') axis([0,15,-17,3]) 得到结果：
为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是 所谓的边界条件。这里需要两个边界条件，正好左右两个端点 各一个。
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二、一维插值方法
m边界 条件 给定两个边界点的一阶导数值m0,mn
即S (x0)=m0, S (xn)=mn 。
M边界条件 给定两个边界点的二阶导数值M0,Mn 即
q(x)
x xi xi1 xi
yi1
x xi1 xi xi1
yi
取区间[xi-1,xi]=[2.34,2.35] ，被插值函数f(x)=F(x) 。则
yi-1=F(xi-1)=F(2.34)=0.99036; yi=F(xi)=F(2.35)=0.99061.
利用如上分段线性插值公式得到：
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一、插值思想简介
引例2、绘制地图
测绘部门 测量的一组
数据
描点
地
节点两两
图
连接
的
边
界
对每段曲线上的未知函 数值，用直线段上相应 的函数值来代替
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一、插值思想简介
引例3、机床加工
待加工零件的外形根据工艺要求由 一组数据(x, y)给出（在平面情况下 ），用数控铣床加工时每一刀只能 沿x方向和y方向走非常小的一步， 这就需要从已知数据得到加工所要 求的步长很小的（x, y）坐标。表1 给出的x, y数据位于机翼断面的下轮 廓线上，假设需要得到x坐标每改变 0.1时的y坐标，试完成加工所需的 数据，画出曲线。
S(x0)=M0, S(xn)=Mn。
最常用的是自然边界条件：M0=Mn=0 周期性边界条件 对周期函数，在自然满足S(x0)=S(xn)时，令两个边界的一阶
导数和二阶导数分别相等，即
S (x0)= S (xn)，S(x0)=S(xn)
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工程计算
第4课 结束
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二、一维插值方法
例、用拉格朗日插值函数逼近函数y
n=3;

1
1 x2
x0=linspace(-5,5,n);
y0=1./(1+x0.^2);
x=-7:0.4:7;
y_L=lagr1(x0,y0,x);%拉格朗日插值函数
y_R=1./(1+x.^2); %真实函数函数
plot(x,y_R,'r*',x,y_L);
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二、一维插值方法
三次样条函数 记为S(x), 它是定义在区间[a, b] 上的函数， 满
足以下两个条件：
1). S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是一个三次多项式函数 ； 2). 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节
点处的二阶导数连续。
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二、一维插值方法
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一、插值思想简介
例如: 在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据
(xi,yi) ,i=0,1,…，揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以
用一个近似的函数关系式：y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法 因观测数据与要求的不同而异。
拟合 插值
信息技术中的图象重建、建筑工程的外观设计、化学工 程 实验数据与模型分析、地理信息数据的处理、社会经济 现象的统计分析等都要用到插值的方法。
分段线性插值具有良好的收敛性，即
lim q(x) f (x)
n
f(x)为被插值函数
用分段线性插值计算时，n越大，分段越多，插值误差越小。
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二、一维插值方法
比如对引例1的计算：
解 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 。 采用分段线性插值计算F(2.3456789) 。
工程计算
第4课 多项式插值和分段插值
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一、插值思想简介 二、一维插值 三、利用matlab进行插值计算 四、建模实例
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一、插值思想简介
插值：最初来源于天体计算的需要，比如，人们得到
了若干观测值，即某个星球在若干已知时刻的位置，需 要计算星球在另一些时刻的位置。所谓插值，就是在若 干已知的函数值之间插入计算一些未知的函数值。
设函数f(x)在n+1个节,…,yn 。 要求一个分段( 共 n段)线性函数q(x)，使其满足：
q(xi)=yi , i=0,1,…,n.
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二、一维插值方法
2、分段多项式插值 由于高次插值多项式的振荡缺陷，促使人们转而寻求简单的低 次多项式插值。分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干 个小区间，然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值。 2.1分段线性插值
F(2.3456789)=q(2.3456789)=0.9905。
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二、一维插值方法
2.2、分段三次埃尔米特插值(自学） 除了要求在插值节点的函数值给定外，还要求在节点处的导数 值为给定值 。
设函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn，导数
值为 y0 , y1,, yn
Si ( x) ai0 ai1x ai2 x 2 ai3 x3
方程：1) 每个节点处满足插值，得到n+1个方程 2) 每一个内部节点（n-1）个的插值、一阶、二阶导数连
续，得出其左右导数相等，因此，每个节点产生3个方程，共计
3(n-1) 个方程 。
合计 4n-2个
现在得到了4n-2个方程，还差两个。
问题：给定函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一个三次样条函数S (x)，使其满足：S (xi)=yi,i=0,1,…,n.