2013-2014高等数学(理工类下)期末试卷A卷

2013-2014学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知a是实数，i是虚数单位，是纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣2．（5分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的3．（5分）若i为虚数单位，复数z=2﹣i，则+=（）A．2+i B．2+i C．2+i D．2+3i 4．（5分）某人上班途中要经过三个有红绿灯的路口，设遇到红灯的事件相互独立，且概率的值为（）A．B．3C．5D．6．（5分）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（）A．B．C．D．7．（5分）设（x﹣）6的展开式中x3的系数为a，二项式系数为b，则的值为（）A．B．C．16 D．48．（5分）甲，乙，丙，丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关试验，并用回归分析方两变量有更强的线性相关性的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．（5分）某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1个消防队，则不同的分配方案种数位（）A．12 B．36 C．72 D．10810．（5分）用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．11．（5分）函数f（x）=（x2﹣2x）e x（e为自然数的底数）的图象大致是（）12．（5分）已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）A．2n B．3n C．n2D．n n二.填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若（x+m）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，且a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8﹣a9=39，则实数m的值为_________．14．（5分）曲线y=x2﹣1与直线x+y=1围成的图形的面积为_________．15．（5分）甲、乙两名选手进行围棋比赛，甲选手获胜的概率为，乙选手获胜的概率为，有如下两种方案，方案一：三局两胜；方案二：五局三胜．对于乙选手，获胜概率最大的是方案_________．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a（a∈R），若存在x0，使f（x）在x=x0处取得极值，且f（x0）=0，则a的值为_________．三.解答题（共5小题，共70分）17．（12分）甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（Ⅱ）试判断能否有99.5%的把握认为“考试成绩与班级有关”？参考公式：K2=；n=a+b+c+d18．（12分）某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．（Ⅰ）从每班抽取的学生中各随机抽取一人，求至少有一人及格的概率（Ⅱ）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．19．（12分）设数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n2﹣2na n+2，n∈N*．（Ⅰ）求出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式（不需证明）；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，试求使得2n＞S n成立的最小正整数n，并给出证明．20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，其中e是自然对数的底数，f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间[﹣1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．四.选考题（请考生在22-24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-1几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆C1的参数方程为（φw为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标系方程；（Ⅱ）圆C1，C2是否相交？请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M．（Ⅰ）求集合M；（Ⅱ）若a，b∈M，求证：ab+1＞a+b．石家庄市2013～2014学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科答案）6分（Ⅱ）222()80(4241636)9.6()()()()40402060n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯ 由2(7.879)0.005P K ≥≈，所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”. …………………12分18. 解：(Ⅰ)由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，设事件“从每班10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”为事件A ．则653()101010P A ⨯==⨯，所以7()1()10P A P A =-=．…………4分(Ⅱ)由题意可知X 的所有可能取值为0，1,2,3．…………5分2521062(0)1015C P X C ⨯===⨯；25221010465519(1)101045C P X C C ⨯⨯⨯==+=⨯⨯； 25221010645516(2)101045C P X C C ⨯⨯⨯==+=⨯⨯；2521044(3)1045C P X C ⨯===⨯．…………9分 所以X 的分布列为X 0123P 21519451645445因此219164()012315454545E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19. 解 (Ⅰ)a 2＝5，a 3＝7，a 4＝9，猜想a n ＝2n ＋1. …………4分(Ⅱ)S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，…………6分使得2n n S >成立的最小正整数n ＝6. …………7分下证：n ≥6(n ∈N *)时都有2n >n 2＋2n .①n ＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；…………8分②假设n ＝k (k ≥6，k ∈N *)时，2k >k 2＋2k 成立，那么2k ＋1＝2·2k >2(k 2＋2k )＝k 2＋2k ＋k 2＋2k >k 2＋2k ＋3＋2k ＝(k ＋1)2＋2(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n ≥6(n ∈N *)都有2n >n 2＋2n 成立． …………12分20．解 (Ⅰ)根据题意知，(1)()(0)a x f x x x-'=>，…………2分 当0a <时，()f x 的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]． …………4分(Ⅱ)∵(2)12af '=-=，∴2a =-， ∴()2ln 23f x x x ＝－＋－.∴32()(2)2g x x m x x =++-，∴2()3(24)2g x x m x '=++-.…………6分∵()g x 在区间(),2t 上总不是单调函数，且(0)2g '=-， ∴()0(2)0g t g '<⎧⎨'>⎩…………8分由题意知：对于任意的[]0,1t ∈，()0g t '<恒成立，∴(0)(1)0(2)g g g '<⎧⎪'<⎨⎪'>⎩∴92m -<<21．解：(Ⅰ)由已知得1()(1)e (0)x f x f f x -=-+， 令1x ＝，得(1)(1)(0)1f f f ''=-+，即()01f ＝.…………2分又()(1)0ef f '＝，所以(1)e f '=. 从而21()e 2xf x x x =-+.…………4分(Ⅱ)由()()f x g x ＝得e xa x ＝－.令()e xh x x ＝－，则()e 1xh x '＝－.…………6分由()0h x '＝得0x ＝.所以当(1,0)x ∈－时，()0h x '<； 当()0,2x ∈时，()0h x '>. ∴()h x 在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增．…………8分 又()01h ＝，1(1)1eh -=+，()22e 2h ＝－ 且()(1)2h h <－．…………10分∴两个图像恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是1(1,1]e+.…………12分 22．解析：（Ⅰ）证明：由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD.故△ABE ∽△ADC. …………5分（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB·AC＝AD·AE.又S ＝12AB·ACsin ∠BAC ，且S ＝12AD·AE，故AB·ACsin ∠BAC ＝AD·AE.则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°. …………10分23．坐标系与参数方程（I ）由2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩可得224x y +=，由4sin()3πρθ=+得24(sin cos cos sin )33ππρρθθ=+，即222x y y +=+，整理得22((1)4x y +-=5分（II ）圆1C 表示圆心在原点，半径为2的圆，圆2C 2的圆，又圆2C 的圆心在圆1C 上，由几何性质可知，两圆相交．…………10分 24．不等式选讲 解 （Ⅰ）由|21|1x <－得1211x <<－－，解得01x <<. 所以{}|01M x x <<＝．…………5分（Ⅱ）由(Ⅰ)和a b M ∈，可知01a <<,01b <<. 所以(1)()(1)(1)0ab a b a b >＋－＋＝－－. 故1ab a b >＋＋.…………10分。

一、选择题：本大题共小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于 A.1 B.0 C.2- D.3-2．下列给出的定义在R 上的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A ．2xy = B.2y x x =- C.x x x f sin )(3-= D.xx e e x f --=)(3. 已知21,e e 是不共线向量，212e e +=，21e e -=λ，当∥时，实数λ等于A .1-B .0C . 21-D . 2-4. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形， 其正视 图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.5．已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为 ( ) A ．10B ．15C ．20D ．256．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像7．若实数a,b 满足0,0,a b ≥≥且0ab =,则称a 与b 互补,记(,),a b a b ϕ=-,那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要的条件8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢 局次的不同视为不同情形)共有（ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．） （一）必做题（9-13题） 9.复数ii++121的虚部为___________________. 10.计算=-++10lg 333log 120tan 33ln 0e.正视图11．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示. 设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =___ ___.12．设6sin (a xdx,a x xπ=⎰则二项式的展开式中含有2x 的项于 . 13．设实数x ，y 满足约束条件2220,20,220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪-≥⎨⎪+--≤⎩，则目标函数z x y =+的最大值 为 .（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)如图所示的极坐标系中,以)6,4(πM 为圆心,半径1=r 的圆M 的极坐标方程是 .15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2=PA ．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1=PB ， 则圆O 的半径=R ．答卷：M一、选择题二、填空题三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2013-2014学年下学期期末高一数学（理）试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1.已知3(,)2a ππ∈，且4tan 3α=，则sin α= （ ） A ．53- B ．53C ．54-D ．542.已知0＜α＜π，且12cos 13α=-，则sin 2α= （ ） A ．169120 B ．169120- C ．169120±D ．16960± 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知6510,20a S ==，则9a =（ ）A ．8B ．12C ．16D ．244.若1a =，2b =()()22a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角余弦是（ ）A ．23B ．32C ．21-D ．23-5.函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．32πC ．πD ．2π6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22-=n n a S -4，则4a = （ ） A ．64B ．32C ．16D ．8 7.已知{}n a 为等差数列，若2588a a a π++=，则37cos()a a +的值为（ ）A ．12- B．C ．12 D． 8.数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，若9n S = ,则 n 的值为 （ ）A ．98B ．99C ．96D ．979. sin 54sin18︒︒= （ ）A ．21B ．31C ．41D ．8110.已知向量()2,3a =，(1,4)a b +=，则a 在b 方向上的投影等于（ ）A ．1313-B ．1313C ．22- D．11.ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ,若sin sin A c B b =，()()3b c a b c a bc +++-=，则ABC ∆的形状为 （ ）21世纪教育网A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形12.下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2,4(ππθ∈，则)(cos )(sin θθf f >； ②若锐角α、β满足,sin cos βα> 则2πβα<+;③在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >； ④要得到函数)42cos(π-=x y 的图象,只需将2sin x y =的图象向左平移4π个单位.其中真命题的个数有 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若tan22α=，则sin α=____________14. 数列{a n }中，若a 1=1，123n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =________。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业（估计不考或考的可能性比较小的题目已删除）一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'ln xy y y =的通解 。

2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 。

3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。

4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂ 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰等于 （ ）A ．1-B ．1C ．12 D．142．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是（）A ．()i k ±-B ．()2j k ±- C ．)2j k ±+ D ．)2i j k ±-+3．设ln z xy =（），则11x y dz=== （ ）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有 （ ）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散 5．设10(1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞=∑ B ．1(1)nn n u ∞=-∑ C．1n ∞=D ．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctanDyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。

2013-2014年度高一下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：（每小题4分 满分48分）1．若()1,1=→a ，()()x c b ,3,5,2==→→，满足308=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→c b a ，则=x （ ）A .3B .4C .5D .6 2．一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为（ ）A .3B .23 C .33 D .43 3．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别 为c b a ,,，若3,6==b a ，且角 45=A ，则角=C （ ）A . 75B . 75或 15C . 60D . 60或 1204．在坐标平面内不等式组⎩⎨⎧+≤-≥112x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A .2B .38C .322 D .1 5．→→b a ,是非零向量且满足,2→→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a ,2→→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b 则→a 与→b 的夹角是（ ） A .6πB .3πC .32π D .65π 6．设函数()x x x f 22+=，则数列()()*∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛N n n f ,1的前10项的和为（ ） A .2411B .2217C .264175 D .2651777．已知向量()()3,1,cos ,sin -==→→b a θθ，则→→-b a 2的最大、最小值分别为 （ ）A .0,24B .2,4C .0,16D .0,48．已知O 为坐标原点，B A ,两点的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-0103013x y x y x ，则AOB ∠tan的最大值为 （ ）A .21 B .43C .74 D .49 9．圆0204222=-+-+y x y x 截直线0125=+-C y x 所得弦长为8，则C 的值为（ ） A .10B .10或68-C .5或34-D .68-10．设O 是ABC ∆的内切圆的圆心，5=AB ，4=BC ，3=CA ，则下列结论正确的是（ ）A . <⋅→→OB OA <⋅→→OC OB →→⋅OC OA B . >⋅→→OB OA >⋅→→OC OB →→⋅OC OAC . =⋅→→OB OA =⋅→→OC OB →→⋅OC OAD . <⋅→→OB OA =⋅→→OC OB →→⋅OC OA11．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，平面ABCD ，⊥NB 平面ABCD ，=MD G 为MC 的中点，则下列结论中不正确的是 A .AN MC ⊥ B .GB ∥平面AMNC .面⊥CMN 面AMND .面DCM ∥面ABN12.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，2=OK ，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60，则球O 的表面积等于（ ）A .π12B .π16C .π9D .π24二、填空题:（每小题4分 满分16分）13．已知直线07125=-+y x 和01210=++my x 互相平行，则它们之间的距离等于 ．14．在ABC ∆中，14,10,6===c b a ，则ABC ∆的面积为 ．15．已知→a ,3=5=→b ，且向量→a 在向量→b 方向上的投影是512，则→→⋅b a = ．16．已知数列{}n a 中，,3619,6521==a a 且数列{}nb 是公差为1-的等差数列，其中.3log 12⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n a a b 数列{}n c 是公比为31的等比数列，其中21n n n a a c -=+，则数列{}n a 的通项公式为=n a三、解答题:（本题满分66分,解答题写出必要的解题步骤和文字说明.） 17.已知等差数列{}n a 中，.3,131-==a a 数列{}n a 的前n 项和n S ． （1）求数列{}n a 的通项公式（4分） （2）若35-=k S ，求k 的值．（4分） 18.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中31=AA ,2==DC AD ,1=AB ,DC AD ⊥,AB ∥CD ．（1）设E 为DC 的中点，求证：E D 1∥平面BD A 1（2）求二面角11C BD A --的余弦值．（5分） 19.已知圆C ：1622=+y x ，点P ()7,3．（1）求以点P ()7,3为切点的圆C 的切线所在的直线方程；（6分）（2）求经过点P ()7,3且被圆C :1622=+y x 截得的弦长为72的直线方程（6分）20．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.（1）若,cos 26sin A A =⎪⎭⎫⎝⎛+π求A 的值；（6分） （2）若,3,31cos c b A ==求C sin 的值．（6分） 21．等比数列{}n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某个数，且321,,a a a 中（1） 求数列{}n a 的通项公式；（6分）（2） 若数列{}n b 满足：,23log 9n n n a a b +=求{}n b 的前n 项的和．（6分） 22.已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x相交于N .（１）当l 与m 垂直时，求直线l 的方程；（3分） （２）当22=PQ 时，求直线l 的方程；（4分） （３）探索AN AM ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明是什么关系？．（5分）第22题。

2013-2014学年下学期期末考试高一数学（理）试卷（含答案） 考试时间：120分钟一、选择题（每题5分，共60分）1错误！未指定书签。

．若 cos 0α>，且tan 0α<，则α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ， 则++a b c等于A ．0B ．3C．．错误！未指定书签。

3．某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人,则样本容量为 A ．7 B ．15 C ．25 D ．35错误！未指定书签。

4．从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:根据上表可得回归直线方程,据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为A ．70.09B ．70.12C ．70.55D ．71.055错误！未指定书签。

．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的 和是（ ） （ ） A ．56分 B ．57分C ．58分D ．59分6．△ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1,若0OA AB OC ++=,且||||OA AB =,则CA CB ⋅等于A ．32 BC ．3 D．7 ．如右图是一个算法的程序框图,当输入x 的值为3时,输出y 的结果恰好为13,则“?”处的关系式是A ．3y x = B ．3xy -= C ．3xy = D ．13y x=8．如图,三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，,从中任取三 个数,则任意两个数0.08x不同行也不同列的概率是 （ ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a aA ．37B ．47C ．114D ．13149 ．已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称,当43π≥x 时,x x f cos )(=,如果关于x 的方程a x f =)(有解,记所有解的和为S, 则S 不可能为A ．π45B ．π23C ．π49D ．π310．设向量a ,b 满足:||3=a ,||4=b ,0⋅=a b .以a ,b ,-a b 的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) 21世纪教育网 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．已知n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，用秦九韶算法求当0x x =时)(0x f 的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（ ）A ．,n n B ．2,n nC ．(1),2n n n + D ．1,1n n ++21世纪教育网12．设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是 （ ） A ．[]4,2-- B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,4二、填空题（每题5分，共20分） 13．已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是__________________14．在区间[]9,0上随机取一实数x ,则该实数x 满足不等式21log 2x ≤≤的概率为__________________ .15．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据开始 输入t输出y 结束YN样本的频率分布直方图,计算x 的值为__________,样本21世纪教育网 数据落在[)6,14内的频数为____________.16．若定义在区间D 上的函数f （x ）对于D 上任意n 个值x1、x2、…、xn 总满足:1n ［f （x1）+f （x2）+…+f （xn ）］≤f （12n x x x n ++⋅⋅⋅+），则f （x ）称为D 上的凸函数．现已知f （x ）=cosx 在（0，2π）上凸函数，则锐角△ABC 中cosA+cosB+cosC 的最大 值为__________________．21世纪教育网 三、解答题17．某市公用电话(市话)的收费标准为:3分钟之内 (包括3分钟)收取0.30元;超过3分钟部分按每分钟0.10元另外收费(为简便起见,假设此时通话时间为整数)｡ (1)设通话时间为t 分钟,通话费为y 元,试求y 关于 t 的函数关系式;(2)将下边的程序框图补充完整｡21世纪教育网18．有编号为12,A A ,,10A 的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:]其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品｡(Ⅰ)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率: (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取2个｡(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2个零件直径相等的概率｡ 已知tan 2θ=.求:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛π-θ4tan 的值; (Ⅱ)θ-θθ+θ22cos 2cos sin sin 的值. 20．已知函数()()22,f x x bx a a b R =-+∈21世纪教育网(1)若{}{}0,1,2,3,0,1,2,3a b ∈∈,求方程()0f x =有实数根的概率;(2)若a 从区间[]0,3内任取一个数,b 从区间[]0,2内任取一个数,求方程()0f x =有实数根的概率｡21．在△ABC 中,角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且B CB A sin sin 2tan tan 1=+(Ⅰ)求角A;(Ⅱ)若m (0,1)=-,n ()2cos ,2cos 2CB =,试求|m +n|的最小值. 22．一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为 “保三角形函数”．（I ）判断()1f x =，()2f x x=，()23f x x =中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由； （II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明:()g x 不是“保三角形函数”；（III ）若函数()sin F x x=，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求:A的最大值．（可以利用公式sin sin2sin cos22x y x y x y+-+=）高一年级数学（理科）参考答案 一、选择题（每题5分，共40分）错误！未找到引用源。

市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测数学（理科）第 I 卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．=2014iA ．1-B ．1C ．i -D ．i2． 命题“2>∀x ,022>-x x ”的否定是 A ．2≤∃x ,022≤-x x B ．2≤∀x ,022>-x x C ．2>∀x ,022≤-x x D ．2>∃x ,022≤-x x3．抛物线24x y =的焦点坐标为A ．)1,0(B ．)0,1(C ． )161,0(D ． )0,161( 4．等差数列}{n a 的前n 项和为n S (n ＝1,2,3，…)，若当首项1a 和公差d 变化时，1185a a a ++是一个定值，则以下选项中为定值的是A ．17SB ．16SC ．15SD ．14S5．设随机变量X 服从正态分布)8,6(N ,若)52()2(-<=+>a X P a X P 则=aA ．6B ．5C ．4D ．36．以下哪个函数的图像只需平移变换即可得到()sin cos f x x x =+的函数图像A ．1()f x x =．2()sin f x x =C ．3()cos )f x x x =+D ．4()(sin cos )222x x x f x =+7． 已知若干个正方体小木块堆放在一起形成的组合体的三视图如下图，则所需小木块 最少有多少个 A ．7 个 B ．8 个 C ．9 个 D ．10个8．已知实数1[∈x ，]10，执行如下图的流程图，则输出的x 不小于63的概率为 A. 31 B. 94 C. 52 D. 1039．已知实数y x ,满足⎩⎨⎧≤++≤++1|||22||12|y y x y x ，则y x Z -=2的最小值是A. 3B. 3-C. 5D.5-10．如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 A. 4B. 7C.332 D.311. 定义在R 上的函数()(2)()1,[0,1],()4x f x f x f x x f x +=+∈=满足且时，(1,2)x ∈ 时，(1)()f f x x=，令4)(2)(--=x x f x g ]2,6[-∈x 则 函 数)(x g 的零点个数为 A ．9 B.8 C.7 D.612．在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ,3==BD AD ,2=CD ,则四面体ABCD 的外接球半径为 A ．23B.3C.23D.3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分, 共20分。

2013-2014年度高一下学期期末考试数学试题（理科） 一、选择题：（每小题4分 满分48分）1．若()1,1=→a ，()()x c b ,3,5,2==→→，满足308=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→c b a ，则=x （ ）A .3B .4C .5D .62．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A .3B .23C .33D .433．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别 为c b a ,,，若3,6==b a ，且角ο45=A ，则角=C （ ）A .ο75B .ο75或ο15C .ο60D .ο60或ο1204．在坐标平面内不等式组⎩⎨⎧+≤-≥112x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A .2B .38C .322 D .15．→→b a ,是非零向量且满足,2→→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b a ,2→→→⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b 则→a 与→b 的夹角是（ ）A .6πB .3πC .32πD .65π6．设函数()x x x f 22+=，则数列()()*∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛N n n f ,1的前10项的和为（ ）A .2411B .2217C .264175D .2651777．已知向量()()3,1,cos ,sin -==→→b a θθ，则→→-ba 2的最大、最小值分别为 （ ） A .0,24B .2,4C .0,16D .0,48．已知O 为坐标原点，B A ,两点的坐标均满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤+-0103013x y x y x ，则AOB ∠tan的最大值为 （ ）A .21B .43C .74D .499．圆0204222=-+-+y x y x 截直线0125=+-C y x 所得弦长为8，则C 的值为（ ）A .10B .10或68-C .5或34-D .68-10．设O 是ABC ∆的内切圆的圆心，5=AB ，4=BC ，3=CA ，则下列结论正确的是（ ）A . <⋅→→OB OA <⋅→→OC OB →→⋅OC OA B . >⋅→→OB OA >⋅→→OC OB →→⋅OC OAC . =⋅→→OB OA =⋅→→OC OB →→⋅OC OAD . <⋅→→OB OA =⋅→→OC OB →→⋅OC OA11．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，平面ABCD ，⊥NB 平面ABCD ，==BN MD G 为MC 的中点，则下列结论中不正确的是 （ A .AN MC ⊥ B .GB ∥平面AMNC .面⊥CMN 面AMND .面DCM ∥面ABN12.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，23=OK ，且圆O与圆K 所在的平面所成的一个二面角为ο60，则球O 的表面积等于（ ）A .π12B .π16C .π9D .π24二、填空题:（每小题4分 满分16分）13．已知直线07125=-+y x 和01210=++my x 互相平行，则它们之间的距离等于 ．14．在ABC ∆中，14,10,6===c b a ，则ABC ∆的面积为 ．15．已知→a,3=5=→b ，且向量→a 在向量→b 方向上的投影是512，则→→⋅b a = ．16．已知数列{}n a 中，,3619,6521==a a 且数列{}nb 是公差为1-的等差数列，其中.3log 12⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n a a b 数列{}n c 是公比为31的等比数列，其中21n n n a a c -=+，则数列{}n a 的通项公式为=n a三、解答题:（本题满分66分,解答题写出必要的解题步骤和文字说明.） 17.已知等差数列{}n a 中，.3,131-==a a 数列{}n a 的前n 项和n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式（4分）（2）若35-=k S ，求k 的值．（4分） 18.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中31=AA ,2==DC AD ,1=AB ,DC AD ⊥, AB ∥CD ．（1）设E 为DC 的中点，求证：E D 1∥平面BD A 1；（5分） （2）求二面角11C BD A --的余弦值．（5分）19.已知圆C ：1622=+y x ，点P ()7,3． （1）求以点P ()7,3为切点的圆C 的切线所在的直线方程；（6分）（2）求经过点P ()7,3且被圆C :1622=+y x截得的弦长为72的直线方程（6分）20．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.（1）若,cos 26sin A A =⎪⎭⎫ ⎝⎛+π求A 的值；（6分）（2）若,3,31cos c b A ==求C sin 的值．（6分）21．等比数列{}n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某个数，且321,,a a a 中的求数列{}n a 的通项公式；（6分） 若数列{}n b 满足：,23log 9n n n a a b +=求{}n b 的前n 项的和．（6分）22.已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x相交于N .（１）当l 与m 垂直时，求直线l 的方程；（3分） （２）当22=PQ 时，求直线l 的方程；（4分） （３）探索⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明是什么关系？．（5分）第22题。

中国矿业大学徐海学院2013-2014学年第2学期《 高等数学》（下）试卷（A ）卷（较高要求层次）考试时间： 120分钟 考试方式：闭卷系别 班级 姓名 学号题 目 一 二 三 四 总 分 得 分阅卷人一、 填空选择题：1-10题，每题3分，共30分，请将答案写在题中的横线上.1. 已知直线1132x y z a--=-=在平面3431x y az a +-=-内，则_________.a = （A ）1; （B ）2; （C ）12; （D ）1-. 2.极限22lim___________.x y xy x y→→=+3.设2(,)(1)arcsiny f x y x y x =+-，则(2,1)_____________.f x ∂=∂ 4.曲面2223()25x z y ++=在点(0,1,1)处的外侧单位法向量为___________. 5.设函数22ln()u x y z =++在点(1,0,1)A 沿从点(1,0,1)A 到(3,2,2)B -的方向导数为_______________.6.DI xyd σ=⎰⎰，其中D 是由2,2yx y x ==-围成的区域，则I =____________.（A ）402yy dy xydx +⎰⎰; （B ）14012xxx x dx xydy dx xydy --+⎰⎰⎰⎰;（C ）2221y ydy xydx +-⎰⎰; （D ）2221y ydx xydy +-⎰⎰.7.设L 是抛物线2y x =上自点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则_________.Lyds =⎰8.设∑是曲面22z x y =+的1z ≤部分曲面，则22()_________.x y dS ∑+=⎰⎰9.下列级数中是条件收敛的级数为 .（A ）1311(1)21n n n ∞-=-+∑； （B ）112(1)3nn n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； （C ）311(1)2n nn n ∞-=-∑； （D ）111(1)ln n n n ∞-=-∑. 10.当33x -<，将函数1x展开成3x -的幂级数形式为 . 二、解答题：11-15题，每小题8分，共40分,解答应写出文字说明和演算的步骤。

2013-2014学年广东省东莞市高二（下）期末试卷（A卷）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选项支，仅有一个选项支正确）1．（5分）对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本点的中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2=1﹣来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D．用相关指数R2=1﹣来刻画回归效果，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好2．（5分）复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数z为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）=0.4，则P（ξ＜2）=（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.64．（5分）用反证法证明命题：“若a、b、c是三连续的整数，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c中至多有一个偶数B．假设a、b、c中至多有两个偶数C．假设a、b、c都是偶数D．假设a、b、c都不是偶数5．（5分）曲线y=ln（x+1）在x=0处的切线方程是（）A．y=x B．y=﹣x C．y﹣x D．y=2x 6．（5分）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，则E（3X+2）和D（3X+2）的值分别是（）A．4和2 B．4和4 C．2和4 D．2和27．（5分）（x+）11的展开式中，常数项是（）A．第3项B．第4项C．第7项D．第8项8．（5分）计算：|1﹣x2|dx=（）A．﹣B．C．2D．9．（5分）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（）A．60 B．120 C．240 D．360 10．（5分）设f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=x1∈（﹣1，0）时取得极大值，当x=x2∈（0，1）时取得极小值，则2b﹣a的取值范围为（）A．﹣3，1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，1）D．（﹣2，﹣1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）某班收集了50位同学的身高数据，每一个学生的性别与其身高是否高于或低于k2的观测值k=≈4.84，因为K2≥3.841，所以在犯错误的概率不超过_________的前提下认为性别与身高有关系．12．（5分）若（1﹣2x）2014=a0+a1x+…+a2014x2014，则++…+=_________．13．（5分）等比数列{a n}中，a1=1，a2=2，f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）（x﹣a3）（x﹣a4），f′（x）为函数f（x）的导函数，则f′（0）=_________．14．（5分）从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出m﹣1个白球，1个黑球，共有，即有等式：成立．试根据上述思想化简下列式子：=_________．（1≤k＜m≤n，k，m，m∈N）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z（1﹣2i）为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．16．（12分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．参考数据：=20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+（﹣5）×（﹣0.5）+（﹣10）×（﹣2.5）+（﹣18）×（﹣3.5）=324x=202+152+132+32+22+（﹣5）2+（﹣10）2+（﹣18）2=1256．17．（14分）抽奖游戏规则如下：一个口袋中装有完全一样的8个球，其中4个球上写有数字“5”，另外4个球上写有数字“10”．（1）每次摸出一个球，记下球上的数字后放回，求抽奖者四次摸球数字之和为30的概率；（2）若抽奖者每交2元钱（抽奖成本）获得一次抽奖机会，每次摸出4个球，若4个球数字之和为20或40则中一等奖，奖励价值20元的商品一件；若4个球数字之和为25或35则中二等奖，奖励价值2元的商品一件；若4个球数字之和为30则不中奖．试求抽奖者收益ξ（奖品价值﹣抽奖成本）的期望．18．（14分）已知f（x）=alnx，g（x）=f（x）+bx2+cx，且f′（2）=1，g（x）在x=和x=2处有极值．（1）求实数a，b，c的值；（2）若k＞0，判断g（x）在区间（k，2k）内的单调性．19．（14分）将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，3，10，17，…记为数列{a n}（n∈N+），第一数列1，4，9，16，25，…记为数列{b n}（n∈N+）（1）写出数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，用数学归纳法证明：3（T n+T n）=2n3+4n （n∈N+）；（3）当n≥3时，证明：＜+++…+＜．20．（14分）定义：若曲线y=f（x）与y=g（x）都和直线y=kx+b相切，且满足：f（x）≤kx+b≤g （x）或g（x）≤kx+b≤f（x）恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）与y=g（x）的“内公切线”．已知f（x）=﹣x2，g（x）=e x．（1）试探究曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；（2）g′（x）是函数g（x）的导设函数，P（x1，g（x1）），Q（x2，g（x2））是函数y=g（x）图象上任意两点，x1＜x2，且存在实数x3，使得g′（x3）=，证明：x1＜x3＜x2．2013—2014学年度第二学期教学质量检查高二理科数学（A 卷）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．0.05 12．1- 13．64 14． mk n C + 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分12分）解：（1）设(),z x yi x y R =+∈． ………1分由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-． ……2分 又()()()()12212421z i x i i x x i -=--=--+， (3)分由()12z i -为纯虚数，得()40210x x -=⎧⎪⎨+≠⎪⎩， …………5分∴4x =， ………6分 ∴i z 24-=． ……7分（2）∵i m m m mi z )2(8)124()(22-+++-=+， ………9分根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+,0)2(8,04122m m m …………10分解得22<<-m ， ………11分∴实数m 的取值范围是()2,2-． ………12分16．（本小题满分12分） 解：（1）由题意，258)18()10()5(23131520=-+-+-+++++=x ， ……1分898)5.3()5.2()5.0(5.05.15.35.35.6=-+-+-+++++=y ， (2)分所以41)25(8125689258324ˆ2281281=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==xn x yx n y x bi i i i i ， ………4分21254189ˆˆ=⨯-=-=x b y a， …………6分 故y关于x 的线性回归方程：11ˆ42yx =+． …………7分 （2）由题意，设该同学的物理成绩为w ，则物理偏差为：5.91-w ． ………8分而数学偏差为128-120=8， …………9分∴218415.91+⨯=-w ， ……10分 解得94=w ， ……11分所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分． ………12分17．（本小题满分14分）解：（1）由题意，每次摸球写有数字“5”的概率为21． …1分 四次摸球数字之和为30，只能是两次摸到写有数字“5”，另两次写有数字“10”. …………2分设X 为4次摸球中写有数字“5”的次数，则)21,4(~B X ， …3分 所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为：83)211()21()2(24224=-⨯⨯==-C X P ．……5分（2）由题意，抽奖者获得的收益ξ可取18元、0元、-2元. ……6分 从8个球中任取4个球的结果数为48C ，其中恰好有k 个球写有数字“5”的结果数为kk C C -⋅444，所以从8个球中任取4个球，其中恰好k 个球写有数字“5”的概率为：48444)(C C C k Y P k k -⋅==，4,3,2,1,0=k ， …………8分 所以351)4()0()18(48044044844444=⋅+⋅==+===--C C C C C C Y P Y P P ξ， (9)分3516)3()1()0(48344344814414=⋅+⋅==+===--C C C C C C Y P Y P P ξ， (10)分3518)2()2(4824424=⋅===-=-C C C Y P P ξ， ……11分 因此，随机变量ξ的分布列为…………12分35183518)2(3516035118)(-=⨯-+⨯+⨯=ξE . ………13分 所以，(1)抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为38；(2) 抽奖者收益的期望为18-35元.…14分18．（本小题满分14分）解：（1）由x a x f ln )(=，得x a x f =')(，∴12)2(=='af ，即2=a ，∴x x f ln 2)(=.…2分∴cx bx x x g ++=2ln 2)(， 从而xcx bx c bx x x g 2222)(2++=++='. ……3分∵)(x g 在21=x 和2=x 处有极值， ∴0221)21(2)21(2=++⨯='xc b g ，02222)2(2=++⨯='x c b g ， ……5分解得：1=b ，5-=c ， …………7分 经检验：1=b ，5-=c 满足题意. …………8分（2）由（1），x x x x g 5ln 2)(2-+=，()2252()0x x g x x x-+'=>.令()0g x '>，得102x <<或2x >；令()0g x '<，得122x <<. ∴()g x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()2+∞，上单调递增，在122⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减.……9分 若0,212>≤k k 且，即410≤<k 时，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递增； (10)分若22210<<<<k k ，即2141<<k 时，)(x g 在区间)21,(k 内的单调递增，在区间)2,21(k 内 的单调递减； …………11分若2221≤<≤k k ，即121≤≤k 时，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递减；…12分若k k 2221<<<，即21<<k 时，)(x g 在区间)2,(k 内的单调递减，在区间)2,2(k 内的单调 递增； ………13分若2≥k ，)(x g 在区间)2,(k k 内的单调递增. ………14分19．（本小题满分14分）解：（1）由121n n a a n +-=-，得：21132322n a a n n n =++++-=-+， …3分2n b n =. …………4分（2）① 当1n =时，111T S ==，∴()1136T S +=，又3246n n +=，∴1n =时等式成立；……5分② 假设n k =时等式成立，即()3324k k T S k k +=+，则1n k =+时，()()()()()()223111133324311212k k k k k k T S T S b a k k k k k ++++⎡⎤+=+++=+++++-++⎣⎦()()232466161k k k k =++++-+ ()()()2216161k k k k k =-++++ ()()22461k k k =+++()()22141k k ⎡⎤=+++⎣⎦()()32141k k =+++，∴1n k =+时等式也成立． …………8分根据①②，()()33+24n n T S n n n N +=+∈都成立． ……9分（3）当3n ≥时，20n b n =>，∴1231211111154n b b b b b b ++++>+=． ……11分 又22212311111111123n b b b b n ++++=++++()2111111223341n n <+++++⨯⨯-5111111423341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭5117424n =+-<． 综上可知：12351111744n b b b b <++++<成立． ………14分20．（本小题满分14分）可解：（1）假设曲线()y f x =与()y g x =存在“内公切线”，记内公切线与曲线()xg x e =的切点为()00x y ，，则切线l 方程为：()000xx y e ex x -=-． ………2分又由()000214x x y e e x x y x⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩可得：()00201104x x x e x x e ++-=． ………3分 由于切线l 也和曲线()214f x x =-相切， 所以()()000200110x x x x ex e e e x ∆=--=-+=．000010x x e e x >∴-+=． …………4分当00x >时，0001,10x x e e x >∴-+>； 当00x =时，0001,10x x e e x =∴-+=； 当00x <时，0001,10x x e e x <∴-+<．所以000,1x y ==，故公切线l 的方程为：1y x =+． (5)分下面证明1y x =+就是()f x 与()g x 内公切线，即证2114x x x e -≤+≤． ∵2221111110442x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2114x x -≤+成立． …………7分 设()1xh x e x =--，则()/1xh x e =-． 令()/0h x =，得0x =．当0x <时，()/0h x <，当0x >时，()/0h x >，∴()h x 在(),0-∞上为减函数，在()0+∞，上为增函数，所以()()00h x h ≥=，即1xx e +≤． ………9分∴2114x x x e -≤+≤，即1y x =+就是曲线()y f x =与()y g x =的内公切线． ……10分（2）∵()/x g x e =，∴21321x x x e e e x x -=-． 要证明：132x x x <<，只需证明：2131221x x x x x e e e e e x x -<=<-， 只需证明：()()12122121x x x xx x e e e x x e -<-<-， 只需证明：()12121x x x x x e e e -<-，及()21221x x xe e x x e -<-， 只需证明：()21211x x x x e--+<，及()12121x x x x e --+<． …………13分由（1）知：()1x x ex R +≤∈，所以()21211x x x x e --+<及()12121x x x x e --+<成立， ∴ 132x x x <<． …………14分。