高等数学导数公式大全.ppt-文档资料

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( 1 ) y=l n c o s ( e x) , 求 d y. ( 2 ) y=e s i n1 x, 求 y . d x
解 所给函数y可 lnu 分 ,u解 cov为 ,svex.
因 d y1,d u siv,n d vex,故 du udx dx
(arccox)t (ex) ex
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基本求导法则与导数公式
1、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C )0
(2 ) (x) x 1
(3 ) (sx ) i n co xs (4 ) (cx )o s sixn
(5) (tanx)=sec2x
解 y s1 i 2 n x x 2可看 y su i作 ,u n 1 2 由 x x 2 复合而成.
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因为
dy cosu, du d d u x2(1 (1x 2)x 2)(2 2x)2(2 1 2 xx 2 o (2 1 s 2 x x 2 ) 2 2 (2 1 2 x x 2 ) 2 2c1 o 2 x x s 2.
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv d x
f( u )( v ) (x )
v
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
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例4. 求下列导数:
解: (1) (x)(e lnx)
x (x34cox ssi1n )
1(x34co x ssi1)nx(3x2 4sixn) 2x

h0
h0
h
h
u v
同理可证
(u v) u v
（2）
(uv) lim u( x h)v( x h) u( x)v( x)
h0
h
u( x h) u( x)

v
(
x

h
)

v
(
x
)


lim
v( x h) u( x)
(csc x) csc x cot x
(arcsin x)
(arccos x)
1
1 x2
(arctan x) 1 2
1 x
1
1 x2
(arccot x) 1 2
1 x
例 2.2.13
求函数 y arcsin sin x 的导数
解
y


例 2.2.14
cos x
12
cos x
sec 2 x
同理可得
(cot x) csc2 x.
例 2.2.6 求 y sec x 的导数.
解

1
(sec x) cos x






(cos2 x)
cos x
sin2x
cos x
sec x tan x
同理可得
(csc x) csc xcot x.
2.2.2
复合函数的求导法则
定理2.4 (链式法则) 若函数 u g ( x)在点x处可导，而 y f (u)
在点 u g ( x) 处可导，则复合函数 y f [ g ( x)] 在点 x处可导，且

答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。

2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
c
7
sin 1 cos , 求 d
2
d
4
d sin cos 1 sin 1 sin cos
d
2
2
d 2 2
d 4 8
4
y x3 3 x cos x
y
3x2
1
2
x3
sin
x
4 log2
4
x
sin
7
3
x ln 2
c
10
三角函数求导公式
sin x cos x cos x sin x
tan x sec2 x cot x csc2 x
sec x sec x tan x csc x csc x cot x
c
11
例5设f
(பைடு நூலகம்
x)
2( x
ln
1), x,
x1 x1
求f ( x)及f (1), f (2)
x ) 1 2x
c
1
3.对数函数的导数
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
4.正、余弦函数的导数
(sin x) cos x
(cos x) sin x
c
2
3.2 求导法则 一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数 u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商 (分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
I
内也可导
x
,
且有
f ( x) 1
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
c
13
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )

( f [( x)] ) f [( x)]( x)
.精品课件.
21
例 y f (e x ) f (sin x) , f (u)可导 , 求 dy . dx
解
.精品课件.
22
练习 设 f ( x) 在x 0处有连续导数, f (0) 3,求 lim d f (sin2 x). x0 dx
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
.精品课件.
7
例3 求 y sec x 的导数 . 解
即 (sec x) sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
.精品课件.
8
例4
设
f (x)
sin x e x 1
x0 ,
基本导数公式
1) (C) 0 ,
2) ( x ) x1 ,
3) (a x ) a x lna , 5) (sin x) cos x , 7) (ln x) 1 .
x
4) (e x ) e x , 6) (cos x) sin x ,
.精品课件.
1
第二节 求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的导数 三、复合函数的导数
又F ( x) 在 x 0处可导，证明F f ( x)在x 0 处
也可导 .
.精品课件.
33
练习题答案
一、1、8(2x 5)3； 2、sin 2 x ；
3、 2x ； 1 x4
4、 tan x ； 5、10 x tan 2x ln10(tan 2 x 2 x sec2 2 x)；
.精品课件.
16
推广 此法则可推广到多个中间变量的情形.