高等数学课件微分方程D12_8常系数齐次线性微分方程

2 r x ( r pr q ) e 0 2 r p r q 0
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
2 1. 当 p 4 q0时, ②有两个相异实根 r 1, r2 ,则微分
r r 2x 1x 方程有两个线性无关的特解: y y e , e , 2 1
因此方程的通解为
x x ( t) . 速度为 v 0, 求物体的运动规律
解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足 自由振动方程 , 因此定解问题为
dx 2 2 n k x 0 2 dt dt dx x t 0 x , 0 t 0 v0 dt
2019/3/18 高等数学课件
d2x
o x
x 3 x 因此原方程的通解为 y C e C e 1 2
例2. 求解初值问题
ds ds 2 s 0 2 dt dt ds 2 st 4 , 0 dt t 0
t
2
2 解: 特征方程 r 有重根 r r 1 , 2 r 1 0 1 2
因此原方程的通解为 s ( C C t ) e 1 2 利用初始条件得
y ( C C x ) e 1 2
2019/3/18 高等数学课件
r x 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 3. 当 p 4 q0时, 特征方程有一对共轭复根 r i, r i 1 2 这时原方程有两个复数解:

( i )x x y e e(cos x i sin x ) 2
r1 x
( u (x) 待定)
代入方程得:
e
[
2 q u 0 ( u r u ) ( u 2 r u r u ) p 1 1 1 2 u ( 2 r p ) u ( r p r q ) u 0 1 1 1

注意 r 1 是特征方程的重根 u 0 r 1x 因此原方程的通解为 取 u = x , 则得 y x e , 2
2019/3/18
r x r x 1 2 y C e C e 1 2
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 2. 当 p 4 q0时, 特征方程有两个相等实根 r 1 r 2

p 2
r 1x e . , 则微分方程有一个特解 y 1
r 1x e u(x ) y u ( x ) 设另一特解 y 2 1

因此原方程的通解为
2019/3/18
x y e ( C cos x C sin x ) 1 2
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束


小结:
y p y q y 0( p , q 为常数 )
2 特征方程: r p r q 0 , 特征根 :r ,r 1 2
1 2 k 1 k
k 1 r x ( C C x C x ) e 1 2 k
( D D x D x ) sin x ]
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(以上 C ) i, D i 均为任意常数
2019/3/18
例1. 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 1 , r 3 , 解: 特征方程 r 2 r 3 0 ,特征根: r 1 2
x ( i ) x e (cos x i sin x ) y e 1
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
1 x y ( y y ) e cosx 1 2 1 2 1 x e sinx y ( y y ) 2 2 2 i 1

x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2x 2 方程: k x 0 2 dt 2 2 ik 特征方程: r k 0 , 特征根: r 1 ,2
方程通解: x C cos k t C sin k t 1 2 v0 A x x , C2 利用初始条件得: C 1 0 0 k v0 故所求特解: k v 0 x x cos k t sin k t 0 k 2 v k x 2 0 0 A sin( k t ) A x , tan 0 2


推广:
特征方程:
n n 1 r a r a r a 0 1 n 1 n
( n ) ( n 1 ) y a y a y a y 0 ( a 均为 ) 1 n 1 n k
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 r i ,则其通解中必含 对应项 x k 1 e [ ( C C x C x cos x 12 k )
特征根
通
解
r 1 r 2 实根
p r r 1 2 2
x y e ( C cos x C sin x ) r i 1 2 1 , 2
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
2019/3/18 高等数学课件
机动 目录 上页 下页 回 结束
r x r x 1 2 y C e C e 1 2 r x 1 y ( C C x ) e 1 2
第八节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第十二章
求特征方程(代数方程)之根
2019/3/18
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二阶常系数齐次线性微分方程: y p y q y 0( p , q 为常数 ) ①
r x 和它的导数只差常数因子, 因为 r 为常数时 ,函数 e 所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得
2019/3/18
C , C 2 2 1 4 t 于是所求初值问题的解为 s ( 4 2 t ) e
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建
立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 xx 0, 初始