1.3 充要条件

1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式一、知识梳理：1、 四种命题（1）、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若P,则q 的形式；（2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用或 分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。

2、 充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p ，则q”为真命题，记，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

（2）如果既有，又有，记作，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。

3、 判断充分性与必要性的方法：p q ⇒p q ⇒q p ⇒p q ⇔（一）、定义法（1）、且q ，则p是q的充分不必要条件；（2）、，则p是q的必要不充分条件；（3）、，则p是q的既不充分也不必要条件；（4）、且，则p是q的充要条件；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B；（1）、若A，则p是q的充分条件若，则p是q的必要条件;（2）、若A，则p是q的充要条件；（3）、若A，且A，则p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件；（4）、若A，且，则p是q的既不充分也不必要条件；二、题型探究【探究一】：四种命题的关系与命题真假的判断例1:[2014·陕西卷] 原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B)A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。

（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；（2）若ab=0，则a=0或b=0。

解析：（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。

真命题；否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。

1.3 充要条件与反证法●知识梳理1.充分条件：如果p ⇒q ，则p 叫q 的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q 是p 的必要条件.2.必要条件：如果q ⇒p ，则p 叫q 的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q 是p 的充分条件.3.充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. ●点击双基1.ac 2＞bc 2是a ＞b 成立的 A.充分而不必要条件 B.充要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：a ＞b ac 2＞bc 2，如c =0. 答案：A2.已知a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：命题甲:a ·b =a ·c ⇒a ·（b －c ）=0⇒a =0或b =c . 命题乙:b =c ，因而乙⇒甲，但甲乙. 故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B3.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21，sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.∴“A ＞30°”是“sin A ＞21”的必要不充分条件.答案：B4.若条件p :a ＞4，q :5＜a ＜6，则p 是q 的______________.解析：a ＞45＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6. 答案：必要不充分条件5.若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a ＞0且b 2－4ac ＜0，则对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0，反之，则不一定成立.如a =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0.因此应选A.答案：A ●典例剖析【例1】 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是 A.x ＜0 B.x ≥0C.x ∈{－1，3，5}D.x ≤－21或x ≥3 剖析：∵2x 2－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或x ≥3，∴对于A 当x =－31时2x 2－5x －3≥0.同理其他也可用特殊值验证.答案：C【例2】 求证：关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一根为1的充分必要条件是a +b +c =0. 证明：（1）必要性，即“若x =1是方程ax 2+bx +c =0的根，则a +b +c =0”. ∵x =1是方程的根，将x =1代入方程，得a ·12+b ·1+c =0，即a +b +c =0. （2）充分性，即“若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的根”.把x =1代入方程的左边，得a ·12+b ·1+c =a +b +c .∵a +b +c =0，∴x =1是方程的根. 综合（1）（2）知命题成立. 深化拓展求ax 2+2x +1=0（a ≠0）至少有一负根的充要条件. 证明：必要性：（1）方程有一正根和一负根，等价于⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=0104421a x x a Δa ＜0. （2）方程有两负根，等价于⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-=0102044aa a Δ0＜a ≤1.综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或0＜a ≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤1时，方程有两负根.故a ＜0或0＜a ≤1是方程ax 2+2x +1=0至少有一负根的充分条件.答案：a ＜0或0＜a ≤1.【例3】 下列说法对不对?如果不对，分析错误的原因. （1）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的充分条件； （2）x 2＝x ＋2是x 2+x =x 2的必要条件.解：（1）x 2=x +2是x 2+x =x 2的充分条件是指x 2=x +2⇒x 2+x =x 2.但这里“⇒”不成立，因为x =－1时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x 2=x +2⇒x =2+x ⇒x 2=x 2+x .这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）. （2）x 2=x +2是x 2+x =x 2的必要条件是指x 2+x =x 2⇒x 2=x +2.但这里“⇒”不成立，因为x =0时，“⇒”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x 2+x =x 2⇒2+x =x ⇒x +2=x 2.这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）. 评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x 2=x +2的真值集合是{－1，2}，x 2+x =x 2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2}{－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对.●闯关训练 夯实基础1.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r p ，∴q p . 答案：A2“cos2α=－23”是“α=k π+12π5，k ∈Z ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件解析：cos2α=－23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12π5. 答案：A3.在△ABC 中，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B （余弦函数单调性）. 答案：C4.命题A ：两曲线F （x ，y ）＝0和G （x ，y ）=0相交于点P （x 0，y 0），命题B ：曲线F （x ，y ）+λG （x ，y ）＝0（λ为常数）过点P （x 0，y 0），则A 是B 的__________条件.答案：充分不必要5.函数f （x ）=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞） C.α∈［1，2］ D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞）解析：∵f （x ）=x 2－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f （x ）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆（－∞，a ］或［1，2］⊆［a ，+∞），即a ≥2或a ≤1.答案：D6.已知数列{a n }的前n 项和S n =p n +q （p ≠0且p ≠1），求数列{a n }成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（p －1）·p n －1. 由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }（n ∈N *）是等比数列，则12a a =p ，即（p －1）·p =p （p +q ），∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.再证充分性：当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n －1，a n =（p －1）·p n －1，1n na a =p （n ≥2）， ∴{a n }是等比数列. 培养能力7.（2004年湖南，9）设集合U =｛（x ，y ）｜x ∈R ，y ∈R ｝，A =｛（x ，y ）|2x －y +m ＞0｝，B =｛（x ，y ）|x +y －n ≤0｝，那么点P （2，3）∈A ∩（U B ）的充要条件是A.m ＞－1，n ＜5B.m ＜－1，n ＜5C.m ＞－1，n ＞5D.m ＜－1，n ＞5解析：∵U B =｛（x ，y ）｜n ＜x +y ｝，将P （2，3）分别代入集合A 、B 取交集即可.∴选A.答案：A8.已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0，①x 2－4mx +4m 2－4m －5=0.②求使方程①②都有实根的充要条件.解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m ≥0，即m ≤1； 方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m ）2－4（4m 2－4m －5）≥0，即m ≥－45. ∴方程①②都有实数根的充要条件是－45≤m ≤1. 9.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0. 相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0， （a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0. ①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 探究创新10.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6π，则a 、b 、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a +b +c ≤0.而a +b +c =x 2－2y +2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6π=（x －1）2+（y －1）2+（z －1）2+π－3， ∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数， （x －1）2+（y －1）2+（z －1）2≥0，∴a +b +c ＞0.这与a +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0. ●思悟小结1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明. ●教师下载中心 教学点睛1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证. 拓展题例【例题】 指出下列命题中，p 是q 的什么条件. （1）p :0＜x ＜3，q :|x －1|＜2； （2）p :（x －2）（x －3）=0，q :x =2；（3）p :c =0，q :抛物线y =ax 2+bx +c 过原点. 解：（1）p :0＜x ＜3，q :－1＜x ＜3. p 是q 的充分但不必要条件.（2）p q ，q ⇒p .p 是q 的必要但不充分条件. （3）p 是q 的充要条件.评述：依集合的观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 是B 的充要条件.。

1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p ，则q ”形式的命题为真时，记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．p 是q 的充要条件又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ )(3)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( × ) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ )(5)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )1．(2015·重庆)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B .但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．3．(教材改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”C ．“若x >y ，则x 2>y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．4．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )，与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.5．(教材改编)下列命题：①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab ≠0是a ≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．答案 ②④题型一 充分条件、必要条件的判定例1 (1)(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0答案 (1)B (2)B解析 (1)根据指数函数的单调性得出a ，b 的大小关系，然后进行判断．∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件． (2)∵y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.思维升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.(2)当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A. 题型二 充分必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈(綈P )是x ∈(綈S )的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)方法一 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根．当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a， 当只有一个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0⇒a <0； 当有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，－2a<0，⇒0<a ≤1.1a >0综上所述，a ≤1. 方法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.(2)命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝{x |x >1或x <12}， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12， ∴0≤a ≤12. 题型三 命题的四种形式例3 (1)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数“的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 答案 (1)C (2)B解析 (1)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．(2)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2， ∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q “形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)(2016·承德月考)已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)A解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”． (2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.1．等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析 (1)由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2.当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4， ∴q ：0≤a ≤4.∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．∴{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，∴a ≥1.答案 (1)A (2)A温馨提醒 (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．[方法与技巧]1．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．2．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．[失误与防范]1．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．2．当一个命题有大前提而要写出命题的其他两种形式时，必须保留大前提．3．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2015·天津)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜3⇒/ 1＜x ＜2，故选A.3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．4．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.5．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD 为菱形”⇒“AC ⊥BD ”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC ⊥BD ”⇒“四边形ABCD 为菱形”，所以“四边形ABCD 为菱形”不是“AC ⊥BD ”的必要条件．综上，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．6．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要的条件B ．必要不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件答案 C解析 由维恩图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由维恩图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．7．(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故答案选A.9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案 充分不必要解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q ⇒p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 12．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，所以a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)13．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2<b2，即－a|a|<－b|b|，从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2<b2，故a>b；若a≥0，b<0，则a>b.综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．14．(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n －4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a na n)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，－1故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝a n＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.15．(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A 中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立答案 A解析命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②成立，由维恩图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]≥2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card((A ∪C )∩B )＋card(A ∩B ∩C )]＝[2card(B )－2(card(A ∪C )∩B )]＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0，∴d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.17．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”充分不必要条件．18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．。

第三节充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/ B)两者的不同．『试一试』1．(2013·南通一模)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的____________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)．『解析』因为命题q的题设与结论恰好是命题p的题设与结论的否定，故两者之间互否．『答案』否命题2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：___________.『解析』原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，『结论』∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．『答案』“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．『练一练』1．(2014·苏锡常镇调研)“x>3”是“x>5”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．『解析』“x>3”不一定能推出“x>5”，但“x>5”一定能推出“x>3”，故“x>3”是“x>5”的必要不充分条件．『答案』必要不充分2．(2013·苏锡常镇一调)已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则綈p是q 的________条件．『解析』因为綈p：直线a，b不相交，即两条直线平行或异面，所以綈p是q的必要不充分条件．『答案』必要不充分考点一 命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是_________________________________． 『解析』命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 『答案』“若tan α≠1，则α≠π4” 2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．『解析』对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 『答案』②④『备课札记』 『类题通法』在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.考点二 充分必要条件的判定『典例』 (1)(2014·泰州期末)设a ∈R ，s ：数列{(n －a )2}是递增数列，t ：a ≤1，则s 是t 的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．(2)(2013·北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件．『解析』 (1)由s ：数列{(n －a )2}是递增数列，知(n －a )2<『(n ＋1)－a 』2，则2a <2n ＋1得a <32， 所以s 是t 的必要不充分条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』(1)必要不充分 (2)充分不必要『备课札记』 『类题通法』充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q ”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B ”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.『解析』(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件.考点三 充分必要条件的应用『典例』 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解析』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 『备课札记』保持本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.『解析』由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴『－2,10』『1－m,1＋m 』．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是『9，＋∞)．『类题通法』利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ；(3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .『针对训练』(2014·无锡期末)已知p ：|x －a |<4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意知p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，因为“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧3≤a ＋4，2≥a －4，解得－1≤a ≤6. 『答案』『－1,6』『课堂练通考点』1．(2014·苏州期末)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)． 『解析』命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x 2>0，则x >0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．『答案』假2．(2013·盐城二模)直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行的充要条件是m ＝________.『解析』由题意，m ≠0，所以－2m ＝3，所以m ＝－23. 『答案』－233．已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的____________条件．『解析』依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．『答案』充分不必要4．设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的____________条件． 『解析』如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/ A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．『答案』充分不必要5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －16.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)。