北师大版数学九年级下求二次函数的函数关系式练习题

一、选择题1.对于题目“一段抛物线L：y=−x(x−3)+c与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值”．甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则( )A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确2.下列二次函数的图象与x轴有两个交点的是( )A．y=(x−23)2+155B．y=(x+23)2+155C．y=−(x−23)2−155D．y=−(x+23)2+1553.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)顶点为P，则下列说法中错误的是( )A．不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6B．关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同C．△PAB为等腰直角三角形，则a=−15D．当t≤x≤t+2时，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为at2+bt+c，则t≥04.在二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的部分对应值如表所示：x⋯−1013⋯y⋯−3131⋯则下列说法：①图象开口向下；②图象的顶点坐标为(1,3)；③当x=4时，y的值为−3；④ −1是方程ax2+bx+c+3=0的一个根．其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=l，结合图象给出下列结论：① ac<0；② 4a−2b+c>0；③当x>2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间（包含端点），则下列结论：① 3a+b<0；② −1≤a≤−2；③对于任意实3数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个x的图象如图所示，则方程ax2+ 7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=23)x+c=0(a≠0)的两根之和( )(b−23A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x= 2．下列结论：① 4a+b=0；② 9a+c>3b；③ 8a+7b+2c>0；④若点A(−3,y1)，点B(−2,y2)，点C(8,y3)在该函数图象上，则y1<y3<y2；⑤若方程a(x+1)(x−5)=−3的两根为x1和x2，且x1<x2，则x1<−1<x2<5．其中正确的结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个9.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32)，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34(a≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是( )A．−1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．94<m≤7210.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P 到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y 与x之间的函数关系的是( )A．B．C．D．二、填空题11.已知A(−1,y1)，B(−2,y2)是抛物线y=−2x2上的两点，则y1y2（填>，<，=）．12.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(−1,0)和点(0,−3)，且顶点在第四象限，则a的取值范围是．x+b与函数y=x2+∣2x2−1∣的图象有且只有三个交点，则b的值为．13.直线y=1214.在平面直角坐标系xOy中，函数y1=x(x<m)的图象与函数y2=x2(x≥m)的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P(0,n)且与x轴平行的直线总与图形G有公共点．写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为．16.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为．17.如图，一段抛物线：y=−x2+2x(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180∘得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180∘得C3，交x轴于点A3；⋯如此进行下去，直至得C15，若P(28.5,m)在第15段抛物线C15上，则m的值为．三、解答题18.已知二次函数图象过点A(−2,0)，B(4,0)，C(0,4)．(1) 求二次函数的解析式；(2) 如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90∘？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．(3) 点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=5，求点K的坐标．319.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,−6)，与x轴的一个交点坐标是A(−2,0)，求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；20.已知抛物线y=2x2−4x+c与x轴有两个不同的交点．(1) 求c的取值范围；(2) 若抛物线y=2x2−4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n)，试比较m与n的大小，并说明理由．21.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长a的变化而变化．(1) 当矩形边长a为多少米时，矩形面积为200m2？(2) 求出S关于a的函数关系式，并写出自变量a的取值范围；(3) 当a是多少时，场地的面积S最大？22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2−4nx+4n−1(n≠0)，与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），与y轴交于点A．(1) 求抛物线顶点M的坐标；(2) 若点A的坐标为(0,3)，AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；(3) 在（2）的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，x+m与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．若直线y=1223.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3) 在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．(4) 若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．24.已知函数y=x2−2x−3．(1) 画出此函数的图象；（要求：列表、描点、连线）(2) 若方程x2−2x−3=k有实数解，则实数k的取值范围为．25.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A，B，与y轴的负半轴交于点C，点D为OC的中点，DA的延长线交抛物线于另一点E，连接OE．已知点A(1,0)，且S△AOD=2S△AOE．(1) 求点D和点E的坐标（用含字母c的代数式表示）．(2) 若tan∠OED=12，求该二次函数的函数表达式．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】把y=x+2代入y=−x(x−3)+c，得x+2=−x(x−3)+c，即x2−2x+2−c=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(2−c)=−4+4c=0，解得c=1，∴甲的结果正确．2. 【答案】D【解析】A．顶点为(23,155)，在第一象限，且开口向上，所以与x轴无交点；B．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向上，所以与x轴无交点；C．顶点为(23,−155)，在第四象限，且开口向下，所以与x轴无交点；D．顶点为(−23,155)，在第二象限，且开口向下，所以与x轴有两个交点．本题选择与x轴有两个交点的二次函数的图象．3. 【答案】D【解析】由函数图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象位于A(−4,−4)，B(6,−4)两点之间部分在y=−4的上方，即不等式ax2+bx+c>−4的解为−4<x<6，故A正确；由题意知，当x=−4或6时，a(x+4)(x−6)−4=−4，又因二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）的图象经过A(−4,−4)，B(6,−4)，有当x=−4或6时，y=ax2+bx+c=−4，所以a(x+4)(x−6)−4=ax2+bx+c，则关于x的方程a(x+4)(x−6)−4=0的解与ax2+bx+c=0的解相同，故B正确；=1，由题意得，P点的横坐标为：−4+62则P点纵坐标为：a+b+c=a−2a+c=−a+c，若△PAB为等腰直角三角形，则点P到AB的距离等于AB的一半，(6+4)，得c=1+a，有−a+c+4=12则抛物线的解析式为：y=ax2+bx+x=ax2−2ax+a+1，，故C正确；把A(−4,−4)代入，得−4=16a+8a+a+1，解得a=−15由图象可知，当0≤t<1时，二次函数的最大值顶点的纵坐标>at2+bt+c，故D错误．4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】抛物线开口向上，因此a>0，与y轴交于负半轴，因此c<0，故ac<0，所以①正确；抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(−2,0)，于是有4a−2b+c=0，所以②不正确；x>1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④．6. 【答案】D【解析】利用抛物线的开口方向可得a<0，再由抛物线的对称轴可得b=2a，由此可对①进行判断；利用2≤c≤3结合已知条件可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1的交点个数可对④进行判断．∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，故①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，∴a−b+c=0，∴c=−3a，∵2≤c≤3，∴2≤−3a≤3，，故②正确；∴−1≤a≤−23∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴x=1时，二次函数有最大值为n，∴对于任意实数m，总有a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴抛物线y=ax2+bx+c直线y=n−1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，故④正确，故选D．7. 【答案】A8. 【答案】A=2，【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−4a，即4a+b=0，∴①正确；∵x=−3时，y<0，∴9a−3b+c<0，即9a+c<3b，∴②错误；∵抛物线经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，而b=−4a，∴a+4a+c=0，则c=−5a，∴8a+7b+2c=8a−28a−10a=−30a，而a<0，∴8a+7b+2c>0，∴③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下且对称轴为x=2，A，B，C三点的橫坐标到对称轴的距离由远及近的是：(8,y3)，(3,y1)，(−2,y2)，∴y3<y1<y2，∴④错误；∵如图所示：抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(5,0)，∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x−5)，∴方程a(x+1)(x−5)=−3的两根x1和x2为抛物线y=a(x+1)(x−5)与直线y=−3的交点的横坐标，∴x1<−1<5<x2；∴⑤错误．综上所述，其中正确的结论有3个．9. 【答案】C【解析】令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，Δ=32−4ac=0，即4ac=9，又方程的根为−32a =32，解得 a =−1，c =−94，故函数 y =ax 2+4x +c −34=−x 2+4x −3， 如图，该函数图象顶点为 (2,1)，与 y 轴交点为 (0,−3)，由对称性，该函数图象也经过点 (4,−3)，∵ 函数图象在对称轴 x =2 左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，且当 0≤x ≤m 时，函数 y =−x 2+4x −3 的最小值为 −3，最大值为 1，∴2≤m ≤4．10. 【答案】B【解析】在 Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，AB =6，BC =10，∴AC =√BC 2−AB 2=8．当 0≤x ≤6 时，AP =6−x ，AQ =x ，∴y =PQ 2=AP 2+AQ 2=2x 2−12x +36；当 6≤x ≤8 时，AP =x −6，AQ =x ，∴y =PQ 2=(AQ −AP )2=36；当 8≤x ≤14 时，CP =14−x ，CQ =x −8，∴y =PQ 2=CP 2+CQ 2=2x 2−44x +260．二、填空题11. 【答案】 >【解析】 ∵A (−1,y 1)，B (−2,y 2) 是抛物线 y =−2x 2 上的两点，∴y 1=−2×(−1)2=−2，y 2=−2×(−2)2=−8，∴y 1>y 2．故答案为：>．12. 【答案】 0<a <3【解析】 ∵ 抛物线 y =ax 2+bx +c (a >0) 过点 (−1,0) 和点 (0,−3)，∴{a −b +c =0,c =−3,∴a −b =3，b =a −3，∵ 顶点在第四象限，∴{−b 2a >0,4ac−b 24a<0, 即 −a−32a >0, ⋯⋯① 4a⋅(−3)−(a−3)24a<0, ⋯⋯② 解不等式①得，a <3，不等式②整理得，(a +3)2>0，∴a ≠−3，∴a 的取值范围是 0<a <3．故答案为：0<a <3．13. 【答案】12+√24 或 171614. 【答案】答案不唯一，如：1(0≤m ≤1)15. 【答案】 x 1=4，x 2=−2【解析】根据图象可知，二次函数 y =−x 2+2x +m 的部分图象经过点 (4,0)，∴ 该点适合方程 y =−x 2+2x +m ，代入，得 −42+2×4+m =0解得 m =8. ⋯⋯①把 ① 代入一元二次方程 −x 2+2x +m =0，得 −x 2+2x +8=0. ⋯⋯②解 ② 得 x 1=4，x 2=−2．16. 【答案】 x 1=−1，x 2=3【解析】由题意可得：抛物线对称轴是直线 x =1，且图象与 x 轴的一个交点为 (−1,0)，则图象与 x 轴的另一个交点为 (3,0)，故一元二次方程 ax 2+bx +c =0 的两根为：x 1=−1，x 2=3．17. 【答案】 0.75【解析】令 y =0，则 −x (x −2)=0，解得 x 1=0，x 2=2，∴A 1(2,0)，由图可知，抛物线 C 14 在 x 轴下方，相当于抛物线 C 1 向右平移 4×7=28 个单位得到 C 14，再将 C 14 绕点 A 14 旋转 180∘ 得 C 15，∴ 抛物线 C 15 解析式为 y =−(x −28)(x −30)，∵P (28.5,m ) 在第 15 段抛物线 C 15 上，∴m =−(28.5−28)(28.5−30)=0.75．三、解答题18. 【答案】(1) 二次函数的图象过点 A (−2,0)，B (4,0)，设二次函数解析式为 y =a (x +2)(x −4)，又二次函数的图象过点 C (0,4)，∴−8a =4 即 a =−12．故二次函数解析式为 y =−12x 2+x +4．(2) 线段上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘． 理由如下：设 BC 中点为 Q ，由题意，易知 Q 的坐标为 (2,2)，BC =4√2．若 ∠BMC =90∘，则 MQ =12BC =2√2．∵A (−2,0)，C (0,4)，∴AC 的中点 P 为 (−1,2)．设 PB 所在的直线为 y =kx +b ，则 {−k +b =2,4k +b =0. 得 k =−25，b =85， PB 所在的直线为 y =−25x +85．M 在线段 PB 上，设 M 的坐标为 (a,−25a +85)，其中 −1≤a ≤4．如图 1，分别过 M ，Q 作 y 轴与 x 轴的垂线 l 1，l 2，设 l 1，l 2 相交于点 T ，∴QT =∣∣−25a +85−2∣∣=∣∣25a +25∣∣，MT =∣a −2∣， ∵MQ 2=QT 2+MT 2，∴(25a +25)2+(a −2)2=8， 整理得 29a 2−92a −96=0，解得 a =−2429 或 a =4，当 a =4 时，B ，M 重合，不合题意（舍去），∴a =−2429，则 M 的坐标为 (−2429,5629)．故线段 PB 上存在 M (−2429,5629)，使得 ∠BMC =90∘．(3) 如图 2，过点 D 作 DE ⊥BC 于点 E ，设直线 DK 与 BC 交于点 N ，∵D (1,0)，B (4,0)，∠EBD =45∘，∴DB =3，DE =3√22，E (52,32)． ∵C (0,4)，∴ 直线 BC:y =−x +4．在 Rt △DNE 中，NE =DE tanθ=3√2253=9√210．① 若 DK 与射线 EC 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(52−m)=9√210，∴m =85， ∴N (85,125)， ∴ 直线 DK:y =4x −4，∴{y =4x −4,y =−12x 2+x +4.解得 {x =2,y =4 或 {x =−8,y =−36.② 若 DK 与射线 EB 交于点 N (m,4−m )，∴NE =√2(m −52)=9√210， ∴m =175，∴N (175,35)，∴ 直线 DK:y =14x −14．{y =14x −14,y =−12x 2+x +4,解得 {x =3+√1454,y =−1+√14516 或 {x =3−√1454,y =−1−√14516.综上所述，抛物线上符合条件的点 K 坐标为：(2,4) 或 (−8,−36) 或 (3+√1454,−1+√14516) 或(3−√1454,−1−√14516)．19. 【答案】 ∵ 二次函数 y =x 2+bx +c 的图象与 y 轴交于点 C (0,−6)，与 x 轴的一个交点坐标是 A (−2,0)，∴ {c =−6,(−2)2−2b +c =0,解得，{b =−1,c =−6.∴ 该函数的解析式为 y =x 2−x −6，∵ y =x 2−x −6=(x −12)2−254， ∴ 顶点 D 的坐标为 (12,−254)．20. 【答案】(1) b 2−4ac =(−4)2−8c =16−8c ．由题意，得 b −4ac >0，∴16−8c >0，解得 c <2．∴c 的取值范围是 c <2．(2) m <n ．理由如下：∵ 抛物线的对称轴为直线 x =1，又 ∵a =2>0，∴ 当 x ≥1 时，y 随 x 的增大而增大．∵2<3，∴m <n ．21. 【答案】(1) 由题意得 a (30−a )=200．解得 a 1=10，a 2=20．∴ 边长 a 为 10 米或 20 米．(2) S =a (30−a )=−a 2+30a ．0 <a <30．(3) S =−a 2+30a =−(a −15)2+225．∴ 当 a =15 米时，S 最大，最大值为 225 平方米．22. 【答案】(1) M (2,−1)．(2) B (4,3)．(3) ∵ 抛物线 y =nx 2−4nx +4n −1(m ≠0) 与 y 轴交于点 A (0,3)，∴4n −1=3．∴n =1．∴ 抛物线的表达式为 y =x 2−4x +3，由 12x +m =x 2+4x +3，由 Δ=0，得：m =−116， ∵ 抛物线 y =x 2−4x +3 与 x 轴的交点 C 的坐标为 (1,0)，∴ 点 C 关于 y 轴的对称点 C 1 的坐标为 (−1,0)．把 (−1,0) 代入 y =12x +m ，得：m =12；把 (−4,3) 代入 y =12x +m ，得：m =5． ∴ 所求 m 的取值范围是 m =−116 或 12<m ≤5．23. 【答案】(1) 方法一：将 A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3) 代入抛物线 y =ax 2+bx +c 中，得：{a −b +c =0,9a +3b +c =0,c =3,解得：{a =−1,b =2,c =3, ∴ 抛物线的解析式：y =−x 2+2x +3．(2) 方法一：连接 BC ，直线 BC 与直线 l 的交点为 P ；∵ 点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA =PB ，∴BC =PC +PB =PC +PA ．设直线 BC 的解析式为 y =kx +b (k ≠0)，将 B (3,0)，C (0,3) 代入上式，得：{3k +b =0,b =3, 解得：{k =−1,b =3,∴ 直线 BC 的函数关系式 y =−x +3．当 x =1 时，y =2，即 P 的坐标 (1,2)．(3) 符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．(4) 作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H ，作 HG ⊥AO ，垂足为 G ，∴∠AHG +∠GHO =90∘，∠AHG +∠GAH =90∘，∴∠GHO =∠GAH ，∴△GHO ∽△GAH ，∴HG 2=GO ⋅GA ，∵A (−1,0)，C (0,3)，∴l AC ：y =3x +3，H (−910,310)， ∵H 为 OOʹ 的中点，∴Oʹ(−95,35)，∵D (1,4)，∴l OʹD ：y =1714x +3914，l AC ：y =3x +3， ∴x =−325，y =6625，∴Q (−325,6625)．【解析】(1) 方法二：∵A (−1,0)，B (3,0)，C (0,3)，∴y =−(x +1)(x −3)，即 y =−x 2+2x +3．(2) 方法二：连接 BC ．∵l 为对称轴，∴PB =PA ，∴C ，B ，P 三点共线时，△PAC 周长最小，把 x =1 代入 l BC ：y =−x +3，得 P (1,2)．(3) 方法一：抛物线的对称轴为：x =−b 2a =1，设 M (1,m )，已知 A (−1,0)，C (0,3)，则：MA 2=m 2+4，MC 2=(3−m )2+1=m 2−6m +10，AC 2=10．①若 MA =MC ，则 MA 2=MC 2，得：m 2+4=m 2−6m +10，得：m =1；②若 MA =AC ，则 MA 2=AC 2，得：m 2+4=10，得：m =±√6；③若 MC =AC ，则 MC 2=AC 2，得：m 2−6m +10=10，得：m 1=0，m 2=6，当 m =6 时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M(1,√6)，(1,−√6)，(1,1)，(1,0)．方法二：设 M (1,t )，A (−1,0)，C (0,3)．∵△MAC 为等腰三角形，∴MA =MC ，MA =AC ，MC =AC ，(1+1)2+(t −0)2=(1−0)2+(t −3)2，∴t =1；(1+1)2+(t −0)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t =±√6；(1−0)2+(t −3)2=(−1−0)2+(0−3)2，∴t 1=6，t 2=0，经检验，t =6 时，M ，A ，C 三点共线，故舍去．综上可知，符合条件的点有 4 个，M 1(1,√6)，M 2(1,−√6)，M 3(1,1)，M 4(1,0)．24. 【答案】(1) 表格及图象如下：x ⋯−10123⋯y ⋯0−3−4−30⋯(2) k ≥−4【解析】(2) 方程 x 2−2x −3=k 有实数解，则 Δ≥0，即：(−2)2−4(−3−k )≥0，解得：k ≥−4．25. 【答案】(1) 如图 1，过 E 作 EH ⊥x 轴于 H ，当 x =0 时，y =c ，∴C (0,c )，∵ 点 D 为 OC 中点，∴D (0,c 2)，∵S △AOD =2S △AOE ，∴EH OD =12，∵OD ∥EH ，∴AE AO =EH OD =12，∴AH =12，EH =−c 4，∴E (32,−c 4)．(2) 如图2，作AM⊥AE，MN⊥OA，垂足分别为M，N，∵tan∠OED=12，∴AMAE =12，证明△AMN∽△EAH，∴MN=12AH=14，AN=12EH=−c8，∴ON=1+c8，∵tan∠EOH=MNON =EHOH，∴c2+8c+12=0，解得c=−2或−6．故解得函数表达式为y=−23x2+83x−2或y=−2x2+8x−6．。

2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数的表达式》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（）A．y＝（x﹣2）2+4B．y＝（x+4）2+4C．y＝（x﹣4）2+8D．y＝（x﹣2）2﹣4 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．3．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（）A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x4．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y＝x2﹣2x+4B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x+1D．y＝x2﹣2x+1 5．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（）A．y＝x²﹣4x+3B．y＝x²+4x+3C．y＝x²+4x﹣1D．y＝x²﹣4x﹣1 6．如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2xC．y＝﹣x2﹣2x+1D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x7．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（）A．若h＝2，则a＜0B．若h＝4，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝8，则a＞08．已知某抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝﹣5（x﹣1）2+2021B．y＝5（x﹣1）2+2021C．y＝﹣5（x+1）2+2021D．y＝5（x+1）2+2021二．填空题（共8小题，满分32分）9．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：x…012345…y…50﹣3﹣4﹣30…该二次函数的解析式是．10．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是．11．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），则其函数解析式为．12．已知某二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），则此二次函数的关系式是，若在此抛物线上存在一点P，使△ABP面积为8，则点P的坐标是．13．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（﹣1，﹣2），则抛物线的表达式为．14．二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的解析式为．15．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式是．16．已知：二次函数y＝ax2+bx+c中的x、y满足下表：x﹣2﹣11347y﹣5040m﹣36（1）m的值为；（2）此函数的解析式为；（3）若0＜x＜4时，则y的取值范围为．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．（1）求抛物线解析式；（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；（2）抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数解析式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标．20．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），抛物线又经过点（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在图中画出这条抛物线；（3）根据图象回答，当y＞3时，自变量x的取值范围．21．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若函数y＝ax2+2ax+c在m≤x≤m+2时有最大值为4，求m的值；（3）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标．22．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为直线x＝2．（1）求此抛物线的表达式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限．①当△OAB的面积为10时，求B的坐标；②点P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：y＝x2﹣4x+8＝x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+4，故选：A．2．解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，∴a＝，∵顶点为（﹣2，1），∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1．故选：C．3．解：设这个二次函数的解析式是y＝ax（x﹣3）（a≠0），把（1，﹣4）代入得﹣4＝﹣2a，解得a＝2；所以该函数的解析式为：y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x．故选：C．4．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，即y＝x2﹣2x+4．故选：A．5．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），把（0，3）代入得：4a﹣1＝3，解得，a＝1．所以，这条抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．故选：A．6．解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，∴a＝±1，∵抛物线开口向下，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x，故选：A．7．解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，整理得：a（6﹣2h）＝1，若h＝2，则a＝，故A错误；若h＝4，则a＝﹣，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝8，则a＝﹣，故D错误；故选：C．8．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝﹣5，∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2021．故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），将（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．10．解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，∵顶点为（﹣6，0），∴h＝﹣6，k＝0，又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，∴a＝﹣，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，11．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），∴二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，故答案为：y＝x2﹣4x+3．12．解：将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c中，可得，解得，∴y＝x2+2x﹣3，设P（m，m2+2m﹣3），∵AB＝4，∴S△ABP＝×AB×y P＝×4×|m2+2m﹣3|＝8，∴|m2+2m﹣3|＝4，∴m2+2m﹣3＝4或m2+2m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1±2或m＝﹣1，∴P（﹣1+2，4）或P（﹣1﹣2，4）或P（﹣1，﹣4），故答案为：y＝x2+2x﹣3；（﹣1+2，4）或（﹣1﹣2，4）或（﹣1，﹣4）．13．解：根据题意设抛物线解析式为y＝ax2，将x＝﹣1，y＝﹣2代入得：﹣2＝a，则抛物线解析式为y＝﹣2x2．故答案为：y＝﹣2x2．14．解：∵二次函数的图象顶点坐标为（﹣1，2），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x+1）2+2（a≠0），∵二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是8，∴交点坐标为（0，8）或（0，﹣8），把（0，8）代入y＝a（x+1）2+2，得8＝a+2，解得a＝6，则这个二次函数的解析式y＝6（x+1）2+2；把（0，﹣8）代入y＝a（x+1）2+2，得﹣8＝a+2，解得a＝﹣10，则这个二次函数的解析式y＝﹣10（x+1）2+2；故答案为：y＝6（x+1）2+2或y＝﹣10（x+1）2+2．15．解：∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），∴设此抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣3，∵与y轴的交点的坐标为（0，1），∴1＝a﹣3，解得a＝4，∴此抛物线为y＝4（x﹣1）2﹣3＝4x2﹣8x+1，故答案为：y＝4x2﹣8x+1．16．解：（1）由图中表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，且（4，m）与（﹣2，﹣5）关于直线x＝1对称，∴m＝﹣5；故答案为：﹣5；（2）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（1，4）代入得：4＝a×2×（﹣2），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，y取最大值4，∵1﹣0＜4﹣1，∴x＝4时，y取最小值﹣（4﹣1）2+4＝﹣5，∴0＜x＜4时，y的取值范围为是﹣5＜y≤4；故答案为：﹣5＜y≤4．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）当x＝2时，y＝x2﹣6x+5＝4﹣12+5＝﹣3≠3，∴该二次函数的图象不经过点（2，3）．18．解：（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，解得，∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝﹣＝﹣1，∴由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1），又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2，∴﹣4＜m＜2．19．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，即﹣8a＝4，解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4，联立，解得或，故点P的坐标为（6，﹣8）．20．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将点（1，0）代入，得a﹣1＝0．解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，（2）∵y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），其关于对称轴的对称点为（4，3），令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），画出函数图象如下：（3）由函数图象知，当y＞3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞4．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；（2）∵y＝﹣x2﹣x+4，∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝﹣1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值4，∴当y＝4时，有﹣x2﹣x+4＝4，∴x＝0或x＝﹣2，①在x＝﹣1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣2时，y有最大值4，②在对称轴x＝﹣1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝0时，y有最大值4；综上所述：m＝﹣4或m＝0；（3）过点M作MG∥y轴交直线AB于点G，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设M（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，﹣m+2），∴MG＝﹣m2+2，∴S△ABM＝×4×（﹣m2+2）＝﹣m2+4，∴当m＝0时，△ABM的面积最大，此时M（0，4）．22．解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，﹣5）代入，得5a＝﹣5，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+4x，故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x；（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限，∴设B（2，m）（m＜0），设直线OA的解析式为y＝kx，解得：k＝﹣1，∴直线OA的解析式为y＝﹣x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，﹣2），∴BH＝﹣2﹣m，∵S△OAB＝10，∴×（﹣2﹣m）×5＝10，解得：m＝﹣6，∴点B的坐标为（2，﹣6）；②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，﹣5），B（2，﹣6）代入得：，，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣，如图2，当P A﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：或，∴P（﹣，﹣）．∵AB＝＝，∴P A﹣PB的最大值为．。

北师大版九年级下专题训练(三) 求二次函数表达式的常见类型含答案►类型一已知三点求表达式1．已知：如图3－ZT－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的表达式．图3－ZT－12．如图3－ZT－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．图3－ZT－2►类型二已知顶点或对称轴求表达式3．如图3－ZT－3，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．图3－ZT－34．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．5．已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的表达式．6．如图3－ZT－4，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．图3－ZT－4► 类型三 已知抛物线与x 轴的交点求表达式7．抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y 轴交于点(0，－3)，则此抛物线的表达式为( )A ．y ＝x 2＋2x ＋3B ．y ＝x 2－2x －3C ．y ＝x 2－2x ＋3D ．y ＝x 2＋2x －38．如图3－ZT －5，已知抛物线过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(3，0)，且3AB ＝4OC ，则抛物线的表达式为______________．图3－ZT －59．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与x 轴有两个交点，两交点间的距离为6，求抛物线的表达式．► 类型四 根据图形平移求表达式10．一个二次函数图象的形状与抛物线y ＝－2x 2相同，顶点坐标为(2，1)，则这个二次函数的表达式为______________________________．11．将抛物线y ＝12x 2平移，使顶点的坐标为(t ，t 2)，并且经过点(1，1)，求平移后抛物线对应的函数表达式．12．把抛物线y ＝x 2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图3－ZT －6所示的抛物线．(1)求此抛物线的表达式；(2)在抛物线上存在一点M ，使△ABM 的面积为20，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －613．如图3－ZT －7，经过点A(0，－6)的抛物线y ＝1x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于B(－2，0)，C 两点．(1)求此抛物线的表达式和顶点D 的坐标；(2)将(1)中求得的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线y 1，若新抛物线y 1的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．图3－ZT －7详解详析1．解：把(－1，0)，(0，－3)，(4，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－3，16a ＋4b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.所以此抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.2．解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2. (3)阴影部分的面积为2. 3．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋3[解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴b2＝1，解得b ＝2. ∵抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3， 故抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 4．解：∵二次函数图象的顶点为A (1，－4)，∴设该二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－4.将(3，0)代入表达式，得a ＝1， 故该二次函数的表达式为y ＝(x －1)2－4，即y ＝x 2－2x －3.5．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A (1，0)， ∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)． 设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)(x －3)． 把(0，3)代入表达式，得3＝3a ， ∴a ＝1，∴该抛物线的表达式为y ＝(x －1)(x －3)， 即y ＝x 2－4x ＋3.6．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2＋4. ∵抛物线过点B (0，3)，∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1，∴此抛物线的表达式为y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P . 设直线AE 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3，∴直线AE 的表达式为y ＝7x －3. 当y ＝0时，x ＝37，∴当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．7．[解析] B 由抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)．又因为抛物线与y 轴交于点(0，－3)，把x ＝0，y ＝－3代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得－3＝a (0＋1)(0－3)，即－3a ＝－3，解得a ＝1，故此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.故选B.8．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋39．解：由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－2，0)和(4，0)，所以设其表达式为y ＝a (x ＋2)(x －4)．将(1，9)代入表达式，得9＝a (1＋2)(1－4)， 解得a ＝－1.所以抛物线的表达式为y ＝－(x ＋2)(x －4)， 即y ＝－x 2＋2x ＋8.10．[答案] y ＝－2x 2＋8x －7或y ＝2x 2－8x ＋911．解：根据题意，得平移后的抛物线的表达式为y ＝12(x －t )2＋t 2. ∵平移后的抛物线经过点(1，1)， ∴1＝12(1－t )2＋t 2，解得t ＝1或t ＝－13，∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －1)2＋1或y ＝12(x ＋13)2＋19， 即y ＝1x 2－x ＋3或y ＝1x 2＋1x ＋1.12．解：(1)此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x 2＋2x －3.(2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (1，0)，B (－3，0)，∴AB ＝4.设点M 的坐标为(m ，n )． ∵△ABM 的面积为20， ∴12AB ·|n |＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m 2＋2m －3＝10， 解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14， ∴M (－1＋14，10)或M (－1－14，10)； 当n ＝－10时，m 2＋2m －3＝－10，此方程无解． 故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．13．解：(1)∵点A 的坐标为(0，－6)， ∴y ＝12x 2＋bx －6.∵该抛物线过点B (－2，0)，∴12×(－2)2－2b －6＝0，解得b ＝－2， ∴此抛物线的表达式为y ＝12x 2－2x －6. ∵y ＝12x 2－2x －6＝12(x －2)2－8， ∴抛物线的顶点D 的坐标为(2，－8)．(2)平移后所得新抛物线的表达式为y 1＝12(x －2＋1)2－8＋m ， 即y 1＝12(x －1)2－8＋m ， ∴顶点P 的坐标为(1，m －8)．对于y ＝12x 2－2x －6，令y ＝0，得12x 2－2x －6＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2， ∴C (6，0)，∴直线AC 的表达式为y ＝x －6， 当x ＝1时，y ＝－5. ∵点P 在△ABC 内，∴⎩⎨⎧m －8＜0，m －8＞－5，解得3<m <8.。

新北师大版《二次函数》专项练习题第一节 二次函数所描述的关系时间45分钟1．下列函数中，哪些是二次函数？(1）y=3(x-1)²+1 （2）y=x ＋x 1 （3）s=3-2t （4）y=xx -21 (5)y=(x+3)²-x² (6) v=10πr² 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).3．若y=（m ＋1）x 562--m m 是二次函数，则m=（ ）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对4．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A ．y =81x 2B ．y =12-xC ．y =21xD ．y =a 2x5．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0B ．a <0，b ≠0，c ≠0C ．a >0，b ≠0，c ≠0D ．a ≠06．自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对7．下列结论正确的是A ．y =ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？9．如果函数y=x 232+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______10．如图5，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.11．用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？12．如果函数y=(k －3) x 232+-k k +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______13．已知抛物线y=ax²经过点A （－2，－8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （－1，－4）是否在此抛物线上.（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.14．函数y=ax²（a ≠0）与函数y=k x －2的图象相交于点A （－1，－1）。

初中数学试卷
二次函数解析式求法专项测试
满分：100分 时间：40分钟 命题人：唐增文 班级： 姓名 得分： 求下列函数解析式：（8分×7=56分，11分×4=44分）
（1）若抛物线y=c bx x 7
362++-
过点A （1，23），E （0，3）求抛物线的解析式。

（2）过点（0，–5），（1，–8），（–1，0）；
（3）过点（5，0，），（1，–8），（–1，0）；
（4）顶点为（–2，–4），过点（5，2）；
（5）过点（2，4），且当x=1时，y 有最值6。

（6）对称轴为x=1，过点（3，0），（0，3）；
（7）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式
（8）已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图所示。

求抛物线的解析式。

（9）若二次函数y=ax2+ bx+c的图象与y=-x2-3的图象形状相同，开口方向也相同,图象又经过（-1，0）、（0，6），求这个二次函数的解析式。

（10）已知二次函数y
1 = ax2+bx+c和一次函数y
2
=mx+n的图象交于两点
A（-2，－5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式。

（11）一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后, 水面的宽度是多少?。

北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A.（0，7）B.（﹣1，7）C.（﹣2，7）D.（﹣3，7）2、若将函数y=a（x+3）（x-5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位，则它与直线y=b的交点坐标是( )A.（－3，0）和（5，0）B.（－2，b）和（6，b）C.（－2，0）和（6，0）D.（－3，b）和（5，b）3、将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A. B. C. D.4、若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣2m+2017的值为（）A.2019B.2018C.2016D.20155、下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（）A.y=x 2+2xB.y=x 2﹣2xC.y=x 2﹣2D.y=x 2﹣4x6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A.2B.4C.8D.167、记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A.y＝﹣（x﹣60）2+1825B.y＝﹣2（x﹣60）2+1850C.y＝﹣（x ﹣65）2+1900D.y＝﹣2（x﹣65）2+20008、如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（）A.3 mB. mC.4 mD.9 m9、函数y＝2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1， y1），B（x2， y2），且|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则（）A.y1＜y2B.y1＝y2C.y1＞y2D.y1、y2的大小不确定10、在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（）A.0B.1C.2D.311、已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤ ．正确的是（）A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤12、由二次函数，可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线C.当x<3时，y随x的增大而增大D.其最小值为113、抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（）A.直线x＝－1B.直线x＝1C.直线x＝2D.直线x＝－214、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根15、函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________ .17、一个函数有下列性质：①它的图象不经过第四象限；②图象经过点（1，2）；③当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增大.满足上述三条性质的二次函数解析式可以是________（只要求写出一个）.18、如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是________．19、已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=________时，函数取得最大值为________.20、已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为________．21、如果抛物线y=（2+k）x2﹣k的开口向下，那么k的取值范围是________ ．22、抛物线y=x2﹣3x﹣15 与x 轴的一个交点是（m，0），则2m2﹣6m 的值为________．23、已知二次函数y=ax2（a≠0的常数），则y与x2成________ 比例．24、设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为________．25、若一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．27、某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天160元时，房间会全部住满。