22
11k k a b
k +<-
<,或0)(2=k f 且
22
122
k a
b k k <-
<+.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a
b x 2-
=处及区间的两端点处取得，具体如
下：
(1)当a>0时，若[]q p a
b x ,2∈-
=，则{}m in m ax m ax
()(),()(),()2b f x f f x f p f q a
=-
=；
[]q p a
b x ,2∉-
=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min
()(),
()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a
b x ,2∈-
=，则{}
m i n
()
m i n (
),()f x f
p f q =，若[]q p a
b x ,2∉-
=，则
{}m a x
()
m a x (
),()f x f p f q =
，{}min )min (),()f x f p f q =.
10.一元二次方程的实根分布
依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则
（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨->⎪⎩；
（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2
()0()0402
f m f n p q p m n >⎧⎪
>⎪⎪⎨-≥⎪
⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或
()0
()0
f n af m =⎧⎨
>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402
p q p m ⎧-≥⎪
⎨-<⎪⎩ .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是m in (,)0()f x t x L ≥∉.
(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是
(,)0()man f x t x L ≤∉.
(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0
00
a b c ≥⎧⎪
≥⎨⎪>⎩
或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.
12.
13.
14.四种命题的相互关系
15.充要条件
（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则
)()(a x f a x f +-=+.
20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2
b a x +=
;两个函数
)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b a x +=
对称.
21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2
(a
对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)
(x f y =为周期为a 2的周期函数.
22．多项式函数1
10()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-
(2)()f a x f x ⇔-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线2
a b x +=
对称()()f a mx f b mx ⇔+=-
()()f a b mx f mx ⇔+-=.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m
+=
对称.
(3)函数)(x f y =和)(1
x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系
a b f
b a f =⇔=-)()(1
.
27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11
b x f
k y -=
-,并不是)([1
b kx f
y +=-,而函数
)([1
b kx f
y +=-是])([1b x f k
y -=
的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数()x
f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
