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数学物理的方法傅里叶变换法

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数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换

数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
从物理上看 , 显然有 ∞
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >

傅里叶变换及其应用

傅里叶变换及其应用

傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。

通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。

本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。

一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。

设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。

傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。

通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。

二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。

1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。

2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。

3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。

4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。

5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。

数学与物理学中的傅里叶变换及其应用

数学与物理学中的傅里叶变换及其应用

数学与物理学中的傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种在数学和物理学中广泛应用的数学转换。

它是将一个时域信号（即随时间变化的函数）转换成一个频域信号（即随频率变化的函数）。

这种转换可以有很多应用，在数学和物理学中都非常重要。

最初，傅里叶变换是由法国数学家约瑟夫·傅里叶（Joseph Fourier）于19世纪发明的。

当时，他在研究热传导方程时发现，任何一个周期性函数都可以表示为一些正弦及余弦波的线性组合。

而这种线性组合就可以通过傅里叶变换得到。

傅里叶变换可以将连续时域信号（如音频信号、电信号等）表示成为连续频域信号。

例如，一段时间内的声音可以通过傅里叶变换变成不同频率的声音组合。

同时，傅里叶变换也可以将离散时域信号（如数字信号）表示为离散频域信号。

例如，在数字图像处理中，离散傅里叶变换可以将图像转换为一组频谱信息，从而方便进行图像的处理和分析。

傅里叶变换不仅可以用于信号分析，也可以广泛应用于物理学中的波动问题。

例如，光波、声波、电磁波等都可以通过傅里叶变换进行分析，并可以显示出不同波长和频率的成分。

在量子力学中，傅里叶变换也被广泛用于波函数的计算。

傅里叶变换在实际应用中是非常常见的。

例如，人们通过在电视上观看一部电影时，所看到的影像和声音都是通过傅里叶变换来得到的。

当人们在各种应用中收听音乐、观看电影、处理图像时，傅里叶变换都会被广泛应用。

此外，傅里叶变换在通信技术中也有着非常重要的应用。

通过傅里叶变换可以将信号分解成不同的频率成分，然后通过信号加密、压缩等方式对信号进行处理。

最后，需要指出的是，傅里叶变换并不是万能解决方案。

它只是一种将时域信号转换为频域信号的方法，而不是一种能够解决所有问题的黑盒子。

因此，在应用傅里叶变换时，需要对其能解决的范围进行了解，并针对不同的问题进行处理。

总的来说，傅里叶变换是一种非常重要的数学转换，在数学和物理学的研究和应用中占据着重要的位置。

傅里叶变换

傅里叶变换

(2-2)
其中
2 an T

T / .2
T / .2
fT ( t ) cos n 0 tdt ( n 0,1,2,)
2 bn T

T / .2
T / .2
fT ( t ) sinn 0 tdt ( n 1,2,3,)
2.1.1
傅里叶级数（续十五）
例2-3 设f(x)是周期为4的函数，它在[－ 2,＋2)上的表达式为
cos n 0 t e
in 0 t
e 2
in 0 t
sinn 0 t
e
in 0 t
e 2i
in 0 t
将上述两式代入式(2-2)，得
a0 ein0t e in0t ein0t e in0t fT ( t ) an bn 2 n 1 2 2i 2.1.1Fra bibliotek傅里叶级数
定义2-1 设f(x)是周期为2的函数，则 称三角级数 a0 f ( x ) (an cosnx bn sinnx ) 2 n 1 其中
1 π ak f ( x ) cos kxdx ( k 0,1,2,) π π 1 π bk f ( x ) sinkxdx ( k 1,2,3,) π π
π π 2
2.1.1
续解
傅里叶级数（续四）
1 π 1 π an f ( x ) cos nxdx x cos nxdx π π π 0 1 x 1 π sinnx 2 cosnx π n n 0 0 (当n为偶数时） 1 2 (cos nx 1) 2 2 (当n为奇数时） n π n π π π 1 1 bn f ( x ) sinnxdx x sinnxdx π π π 0 1 x 1 π cosnx 2 sinnx π n n 0 ( 1) n1 ( n 1,2,3, ) n

数学物理方法 第5章 傅里叶变换

数学物理方法 第5章 傅里叶变换

0 xl l x 0 x l
-l 0

F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1



0
E0 cost E 0 sin tdt 2


0
E0

E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2


0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)

0
A( ) cosxd

0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )

1
1


f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx

（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。

第五章傅里叶(Fourier)变换

第五章傅里叶(Fourier)变换
sincx可将以竖线标在频率图上以ft为基础构造一周期为8的周期函数f则在t8时以竖线标在频率图上再将如果再将周期增加一倍令t16可计算出以竖线标在频率图上再将一般地对于周期ttiti当周期t越来越大时各个频率的正弦波的频率间隔越来越小而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状因此如果将方波函数ft看作是周期无穷大的周期函数则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是ft的各个频率成份上的分布52傅立叶积分与傅立叶变换一实数形式的傅立叶积分对任何一个非周期函数fx都可以看成是由某个周期函数gx当t2l时转化而来的
l
利用上述正交性，可以求得级数展开的各系数：
kpx kpx f ( x) a0 (ak cos bk sin ) l l k 1

1 l a0 f ( ) d l 2l 1 l kp ak f ( ) cos d (k 1,2, ) l l l 1 l kp bk f ( ) sin d (k 1,2,) l l l
f ( x) a0 (ak cos
k 1
kpx kpx bk sin ) (5.1.3) l l
三角函数族是两两正交的
kpx (k 0), l cos l d x 0 l kpx l sin l d x 0 l kpx npx (k n), l cos l cos l d x 0 l kpx npx (k n), l sin l sin l d x 0 l kpx npx l sin l cos l d x 0
c0 ck e
k 1

i
kp x l
ck e

i
kp x l

数学物理方法2019傅里叶变换


Em, Em,
0t t
Em
o
t
将其展开为傅立叶级数.
Em
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点x n(n 0,±1,±2, )处不连续.
收敛于 Em Em Em(Em) 0,
2
2
当x n时, 收敛于f ( x). 和函数图象为
ak
1
u(t)cos ktdt
1
0
(
Em
的拉氏逆变换．
5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的 周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关 系的正弦信号的加权和”—— 傅里叶的第一个主要论点
数学物理方法2019傅里叶变换
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 f ( t )
，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
b
F() f (t)K(t,)dt a
变为另一函数类 B中的函数 F ( ) , 这里 K (t, ) 是一个确
定的二元函数，通常称为该积分变换的核．F ( ) 称为 f ( t )
的傅里叶逆变换．
（2）特别当核函数 K(t,p)ept（注意已将积分参变量
改写为变量 p ），当 a0,b，则
F(p) f(t)eptdt 0
称函数 F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称
F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉氏变换．同时我们称 f ( t ) 为 F ( p )
记
a0 2

数学物理方法第五章傅里叶变换


l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。

数学物理方法5傅里叶变换

图像压缩。
图像增强
通过改变图像的频率成分，傅里叶 变换可以帮助增强图像的某些特征， 如边缘和纹理。
图像去噪
傅里叶变换可以帮助识别和去除图 像中的噪声，从而提高图像的质量。
量子力学
波函数分析
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的函数。傅里叶变换 可以用来分析波函数的性质和行为。
量子纠缠
傅里叶变换在量子纠缠的研究中也有应用，可以帮助我们更好地理 解这种神秘的现象。
时间-频率分析
傅里叶变换将时间域的信号转换 为频率域的信号，通过分析信号 在不同频率下的强度和相位，可 以揭示信号的频率结构和变化规
律。
周期信号分析
对于周期信号，傅里叶变换可以 将其表示为一系列正弦波和余弦 波的叠加，从而方便地分析其频
率成分和振幅。
非周期信号分析
对于非周期信号，傅里叶变换将 其表示为无穷多个不同频率的正 弦波和余弦波的叠加，可以揭示
振动系统分析
在振动系统的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的振动信号转换为角频率域的信号， 从而方便地计算系统的固有频率、阻尼比等参数。
热传导分析
在热传导现象的分析中，傅里叶变换可以用于将时间域的温度分布转换为角频率域的温度 分布，从而方便地分析热传导的频率特性和变化规律。
05结果 具有共轭对称性，即F(-ω)=F*(ω)。
傅里叶变换的应用
01
02
03
信号处理
傅里叶变换在信号处理中 应用广泛，如频谱分析、 滤波、调制解调等。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析，如 图像增强、去噪、特征提 取等。
数值分析
傅里叶变换在数值分析中 用于求解偏微分方程、积 分方程等数学问题。

物理实验技术使用中的衰减分析方法

物理实验技术使用中的衰减分析方法在物理实验中，衰减是一种常见的现象，涉及到信号传输、电磁波传播等多个领域。

为了准确分析衰减现象，科学家们研究出了多种衰减分析方法。

本文将介绍几种常见的物理实验技术使用中的衰减分析方法，并探讨其优缺点。

1. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种将时域信号转换为频域信号的方法，通过分析信号的频谱，我们可以得到信号中不同频率成分的强度信息，从而揭示衰减的原因。

傅里叶变换法在衰减分析中广泛应用，可以用在光学衰减、声学衰减等实验中。

优点：可以精确分析信号的频谱，对于频率衰减具有很高的分辨率和精度。

缺点：需要进行复杂的数学计算，对实验人员的数学基础要求较高。

同时，该方法对于非线性衰减的分析较为困难。

2. 直接测量法直接测量法是一种通过实验测量信号强度随距离的变化，来获取衰减特性的方法。

在实际实验中，可以采用光功率计、声级计等设备，直接测量不同位置的信号强度，然后通过对比计算衰减的程度。

优点：操作简便，无需进行复杂的计算和分析，适用于现场快速判断。

缺点：受测量仪器精度和环境因素的影响较大，结果容易受到误差的影响。

同时，该方法只能提供信号强度的整体变化情况，无法得知不同频率成分的强度信息。

3. 数值模拟法数值模拟法是一种基于计算机模型的方法，通过建立信号传输过程的数学模型，并使用数值计算方法模拟信号的传播和衰减规律。

该方法可以模拟多种衰减方式，如光纤衰减、电磁波传播中的自由空间衰减等。

优点：可以灵活地调整建模参数，模拟多种不同条件下的衰减情况，有一定的预测性。

缺点：建模参数的准确性对结果影响较大，需要进行一定的实验验证以提高模型的可信度。

同时，模拟计算需要消耗大量的计算资源，对计算机性能要求较高。

4. 统计分析法统计分析法是一种通过对大量实验数据进行分析和比较，揭示衰减规律的方法。

通过收集不同实验条件下的信号强度数据，可以进行统计分析，得到衰减的统计特性和规律。

优点：通过大量样本数据的分析，可以较好地反映衰减现象的普遍规律，提高分析结果的准确性。

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代入初始条件可得：A(k ) (k )
1 1 1 (k ) 2 2a ik 1 1 1 B(k ) (k ) (k ) 2 2a ik
1 1 1 ikat 故 U (t , k ) (k )e (k )e ikat 2 2a ik 1 1 1 ikat ( k )e (k )e ikat 2 2a ik
解： 作傅里叶变换，定解问题变为：
U k 2 a 2U 0 U |t 0 (k )
此常微分方程的初始问题的解为 U (t, k ) (k )e 进行傅里叶逆变换可得：
k 2a 2t
u ( x, t ) F [U (t , k )] (k )e
1

ut a 2u xx f ( x, t )( x ) u |t 0 0
解： 作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：
U k 2 a 2U F (t ; k ) U |t 0 0
5
用
e
k 2 a 2t
同乘方程各项，可得：
d k 2 a 2t k 2 a 2t U (t , k )e F (t ; k )e dt
分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。 例1 求解无限长弦的自由振动
utt a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x), ut |t ( x) 解： 应用傅里叶变换，即用 e ikx / 2 同乘方程和定解条件
中的各项，并对空间变量x积分，t看做参数，则
6
并利用积分公式可得最后的结果为：
( x ) t 1 4 a 2 ( t ) dd u( x, t ) f ( , ) e 0 2a (t )
2
例4 限定源扩散 在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可 以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已 有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入 硅片，这里求解的是半无界空间x>0中的定解问题:
e
dk ]d
e dk ( / a)e
k
2 / 4 2
令 a t , i( x ) 利用上述公式可得 2 ( x ) 1 4 a 2t u ( x, t ) ( ) e d 2a t
例3 求解无限长细杆的有源热传导问题
本章主要介绍傅里叶变换法、拉普拉斯变换在求解偏微分 方程中的应用。
1
第一节 傅里叶变换法
用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是 离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数，对于 无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是
连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积
对u作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：
3
1 1 x at u( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 达朗贝尔公式 x at 2 2a
例2 求解无限长细杆的热传导问题
ut a 2u xx 0( x ) u |t 0 ( x)
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 u | ( x 0) ( x 0) 0 t 0
0是单位面积硅片
表层原有杂质总量.
7
解: 没有杂质穿过硅片表面,即: ux |x0 0 第二类齐次边界条件
这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题
ut a 2u xx 0 u x | x 0 0 0 ( x 0) ( x 0) u |t 0 0 ( x 0) ( x 0)
2 u a u xx 0 则 t u |t 0 2 0 ( x)(- x )
对t积分一次，并考虑零初始值可得：


U (t; k ) e
k 2 a 2t t
F ( ; k )e
0
tห้องสมุดไป่ตู้
k 2 a 2
d e dd

0


f ( , )e
ik
e
k 2 a 2t k 2 a 2
进行傅里叶逆变换
1 u ( x, t ) 2 u ( x, t )
t
t f ( , )e k 2 a 2 (t ) e ik dd eikxdk 0

交换积分次序可得：
0

1 k 2 a 2 (t ) ik ( x ) f ( , ) e e dk dd 2
2
定解问题变换成： U k 2 a 2U 0 U |t 0 ( x),U |t 0 ( x)
其中 ( x)， ( x) 分别是 ( x), ( x) 的傅里叶变换，这样原来 的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：
U (t, k ) A(k )eikat B(k )eikat
k 2 a 2t ikx
e dk e dk
4
1 2
[




( )e
ik
d ]e
k 2 a 2t ikx
交换积分次序
积分公式： e

1 u ( x, t ) 2
2 k 2



( )[ e


k 2 a 2t ik ( x )
第十三章 积分变换法
拉普拉斯变换求解常微分方程，变换后，常微分方程变成了 代数方程，求解后再进行逆变化就得到了常微分方程的解。 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程
得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，
再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换
还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往 往不能。