2013-2014直线与方程复习

直线与方程复习大全一、 直线与方程：1. 直线的倾斜角 x 轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°).2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角α不是90°的直线，α的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k 表示. 即tan k α=. 当α＝0°时，k ＝0；当α∈(0°, 90°)时，k ＞0；当α∈(90°, 180°)时，k ＜0；当α＝90°时，k 不存在.②经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= （1）.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是――――――（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０°（2）．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A 045,1B 0135,1- C 090，不存在 D 0180，不存在 （3）. 如图1，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有（ ） A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 13、 直线的方程a. 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率为k ，且过点(x 1, y 1).注意：当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k ＝0，直线的方程是y ＝y 1；当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x ＝x 1；b. 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b （b ∈R ）c. 两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线经过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) d. 截矩式：1x y a b += 直线l 过点(,0)a 和点(0,)b , 即l 在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b（a ≠0且b ≠0）注意：直线l 在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点；直线l 在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点；e. 一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A , B 不全为0）注意： ①平行于x 轴的直线：y ＝b （b 为常数）, 直线的斜率为0；②平行于y 轴的直线：x ＝a （a 为常数）, 直线的斜率不存在；③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数1．把直线l 的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是 .2．直线l:132=-+-y x 在x 轴上的截距是 .3．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .4．线过原点且倾角的正弦值是54，则直线方程为 . 5．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.--213, C.--123, D.－2，－3 6.mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为 .7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 8 设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A 1=+b a B 1=-b a C 0=+b a D 0=-b a9已知A （1，2）、B （-1，4）、C （5，2），则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=010．已知直线1l 过点P (2,2)-，（1）若1l 的倾斜角是直线210l y ++=倾斜角的12，求直线1l 的方程； （2）若1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线1l 的方程；（3）若1l 与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线1l 的方程。

直线与方程一、倾斜角当直线与X轴相交时,取X轴为基准,叫做直线得倾斜角。

当直线与X轴平行或重合时,规定直线得倾斜角为,因此,直线得倾斜角得取值范围就是。

二、斜率(1)定义:一条直线得倾斜角得叫做这条直线得斜率;当直线得倾斜角时,该直线得斜率;当直线得倾斜角等于时,直线得斜率。

(2)过两点得直线得斜率公式:过两点得直线得斜率公式。

若,则直线得斜率,此时直线得倾斜角为。

练习:1、已知下列直线得倾斜角,求直线得斜率(1)(2)(3)(4)2、求经过下列两点直线得斜率,并判断其倾斜角就是锐角还就是钝角(1) (2)(3) (4)3,判断正误（1）直线得倾斜角为任意实数。

( )（2）任何直线都有斜率。

( )（3）过点得直线得倾斜角就是。

( )（4）若三点共线,则得值就是-2、( )三、注:必记得特殊三角函数值表四、直线得常用方程1、直线得点斜式: 适用条件就是:斜率存在得直线。

2、斜截式:3、截距式: ,为x轴与y轴上得截距。

4、两点式: ()5、直线得一般式方程:练习:1、写出下列直线得点斜式方程（1）经过点A(3,-1),斜率为（2）经过点倾斜角就是（3）经过点C(0,3),倾斜角就是（4）经过点D(-4,-2),倾斜角就是2、写出下列直线得斜截式方程（1）斜率就是在轴上得截距就是-2（2）斜率就是-2,在y轴上得截距就是43、填空题（1）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;（2）已知直线得点斜式方程就是则直线得斜率就是_________,经过定点________,倾斜角就是______________;4、判断(1)经过顶点得直线都可以用方程表示。

( )(2)经过顶点得直线都可以用方程表示。

( )(3)不经过原点得直线都可以用表示。

( )(4)经过任意两个不同得点得直线都可以用方程表示。

( )直线得一般式方程为:,当B不等于0时直线得斜率为_________一般求完直线方程后化成一般式。

第三章 直线与方程(一)直线的倾斜角1.定义：在平面直角坐标系中，当直线与x 轴相交时，取x 轴非负半轴作为基准，把x 轴的正方向按逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角.当直线平行于 x 轴或与x 轴重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.2. 范围: 0°≤α<180° 倾斜角[0°,180°) 二面角[0°,180°]线面角[0°,90°] 异面直线成角(0°,90°](二)直线的斜率1.定义：倾斜角α不是90°的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k=tanα，当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.2.倾斜角α与斜率k 的范围之间的对应关系 (三)斜率公式经过两点P ₁(x ₁,y ₁),P ₂(x ₂,y ₂)的直线的斜率是： k =y 2−y1x 2−x 1注:(1)斜率公式适用范围x ₁≠ x ₂ (2)斜率公式变形. y₂−y₁=k (x₂−x₁)例1 (1)过 P(-1,-1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点,若 P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角.k =-1,α = 135°(2)若经过点A(1-t ，1+t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，求实数t 的取值范围.(-2,1)(3)若直线l 的倾斜角是连接(-3，5)，(0，9)两点的直线倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 −247.k =tanα=43k ′=tan2α=−247(4)直线l 的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则倾斜角的范围为 [π4,3π4].tanα=−1cosθ∈(−∞,+∞)(5)已知两点A(2,3)和B(-1,2),过点 P(1,-1)的直线l 与线段AB 有交点,则直线l 斜率k 的取值范围为 (−∞,−32]U [4,+∞).名称 方程 适用条件 参数几何意义 斜截式 y=kx+b α≠90° k:斜率b ：纵截距(可正，可负)点斜式y-y ₀=k(x-x ₀)α≠90°k:斜率 点(x ₀,y ₀)例2 (1)过P(-2，2)点引一条直线l，使其与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，求直线 l的方程.解析{b−a=12abab=8或−8∴{a=2+2√3b=−2+2√3 j{a=−2−2√3b=2−2√3(2)直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点,若 P恰为线段AB 的中点,求直线l的方程.3x-2y+12 = 0(3)若直线((2m²+m-3)x+(2-m)y=4m-1在 x轴上的截距为1，则实数 m是(D)A.1B.2C.−12 D.2 或−12(4)①在x轴，y轴上截距分别是-2，3的直线方程是3x-2y+6=0②求过点 P(2，3)，并且在两轴上截距相等的直线方程y=32x或.x+y-5 =0例3 (1)直线l的方程为.Ax+By+C=0(A、B不同时为零),根据下列各位置特征,写出A,B,C应满足的关系：①l与两坐标轴都相交A≠0;B≠0 ;②l过原点 C=0 ;③l只与x轴相交 B=0 ;④l是y轴所在直线 B=0,C=0 ;⑤l在x,y轴上的截距互为相反数①C=0. A≠0,B≠0②C≠0且A= B≠0 .(2)①直线kx+y+1=0(k∈ R)恒过定点 (0,-1) .②直线kx+k+3k²x+k²y=0(k∈R)恒过定点 (-1,3) .(3)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l₁:2x−y−2=0与l₂:x+y+3=0之间的线段恰被点 P平分，求直线l的方程。

直线与方程复习题答案一、选择题1. 直线方程 \( y = mx + b \) 中，\( m \) 表示直线的斜率，\( b \) 表示直线与y轴的交点。

A. 正确B. 错误答案：A2. 下列哪个方程表示的是过点 (1,2) 且斜率为3的直线？A. \( y = 3x + 1 \)B. \( y = 3x - 1 \)C. \( y = 3x + 2 \)D. \( y = 3x - 2 \)答案：C3. 直线 \( x + 2y - 6 = 0 \) 与 \( x - y + 5 = 0 \) 的交点坐标为：A. (1,3)B. (3,1)C. (-1,-3)D. (-3,-1)答案：A二、填空题1. 直线 \( ax + by + c = 0 \) 的斜截式方程是 \( y = \frac{-a}{b}x + \frac{c}{b} \)。

答案：\( \frac{-a}{b} \)，\( \frac{c}{b} \)2. 若直线 \( l \) 与直线 \( 3x - 4y + 5 = 0 \) 平行，则直线\( l \) 的斜率为 \( \frac{3}{4} \)。

答案：\( \frac{3}{4} \)三、解答题1. 求过点 (2,3) 且垂直于直线 \( 2x - 3y + 6 = 0 \) 的直线方程。

解：已知直线 \( 2x - 3y + 6 = 0 \) 的斜率为 \( \frac{2}{3} \)，垂直于它的直线斜率为 \( -\frac{3}{2} \)。

代入点斜式方程\( y - y_1 = m(x - x_1) \) 得：\( y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 2) \)化简得：\( 3x + 2y - 12 = 0 \)2. 已知直线 \( l \) 经过点 (1,0) 和 (0,1)，求直线 \( l \) 的方程。

解：直线 \( l \) 经过点 (1,0) 和 (0,1)，其斜率为\( \frac{1 - 0}{0 - 1} = -1 \)。

直线与方程总复习及练习知识点：1.倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。

001800<≤α2. 斜率：αtan =k1212x x y y k --= 斜率k 与倾斜角 α之间的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a 不存在不存在3.两直线平行与垂直的判定：①两直线平行的判定：（1）1 ∥2 ⇔ k 1=k 2 且21b b ≠或两条直线的斜率都不存在。

（2）1 ∥2 ⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠②两直线垂直的判定：（1）1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1或一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在。

（2）1 ⊥2 ⇔12120A A B B +=4.直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。

注意：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

☞ 知识网络☞ 课堂学习题型1:直线的倾斜角与斜率考点1：直线的倾斜角例1、过点),2(a M -和)4,(a N 的直线的斜率等于1， 则a 的值为( )A 、1B 、4C 、1或3D 、1或4 变式1：已知点)3,1(A 、)33,1(-B ，则直线AB 的倾斜角是（ ）A 、︒60B 、︒30C 、︒120D 、︒150变式2:已知两点()2,3A ，()1,4-B ，求过点()1,0-C 的直线l 与线段AB 有公共点求直线l 的斜率k 的取值范围考点2：直线的斜率及应用斜率公式1212x x y y k --=与两点顺序无关,即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同；斜率变化分两段，2π是分界线，遇到斜率要特别谨慎 例1：已知R ∈θ,则直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是（ )A 、[]︒30,0B 、[)︒︒180,150C 、[][)︒︒︒180,15030,0D 、[]︒︒150,30例2、三点共线——若三点()2,2A 、()0,a B 、()b C ,0，()0≠ab 共线，则ba 11+的值等于变式2：若()3,2-A 、()2,3-B 、⎪⎭⎫⎝⎛m C ,21三点在同一直线上，则m 的值为（ ）A 、2-B 、2C 、21-D 、21 考点3：两条直线的平行和垂直对于斜率都存在且不重合的两条直线21l l 、,2121//k k l l =⇔,12121-=⋅⇔⊥k k l l .若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少要特别注意例、已知点()2,2M ,()2,5-N ，点P 在x 轴上,分别求满足下列条件的P 点坐标。

(1）OPN MOP ∠=∠（O 是坐标原点）；(2） MPN ∠是直角题型2：直线方程名称 方程的形式 已知条件局限性点斜式 ()00x x k y y -=-()11y x 、为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 b kx y +=k 为斜率，b 是直线在y 轴上截距两点式 121121x x x x y y y y --=--(21x x ≠且21y y ≠) ()11y x 、，()22y x 、是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+by a x b a 、是直线在轴上的非零截距一般式0=++C By Ax B A 、不同时为C B A 、、为系数；无限制,可表示任何位置的直线考点1：直线方程的求法例1、下列四个命题中的真命题是（ ）A 、经过定点()00y x P 、的直线都可以用方程()00x x k y y -=-表示B 、经过任意两个不同的点()111y x P 、和()222y x P 、的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C 、不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示D 、经过定点()b A ,0的直线都可以用方程b kx y +=表示 例2、若()()0134422=+⋅+-+⋅-y m m x m 表示直线，则（ ）A 、2±≠m 且1≠m ，3≠mB 、2±≠mC 、1≠m 且3≠mD 、m 可取任意实数 变式1：直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ,则（ ）A 、2,3==b aB 、2,3-==b aC 、2,3=-=b aD 、2,3-=-=b a变式2：过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ；在两轴上的截距相等的直线方程变式3：过点)1,2(-P ，在x 轴和y 轴上的截距分别为b a 、，且满足b a 3=的直线方程是 考点2：用一般式方程判定直线的位置关系两条直线位置关系的判定,已知直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ，则(1） 0//122121=-⇔B A B A l l 且01221≠-C A C A （或01221≠-C B C B ）或212121C C B B A A ≠=（222C B A 、、均0≠)(2) 0212121=+⇔⊥B B A A l l（3） 1l 与2l 重合01221=-⇔B A B A 且01221=-C A C A (或01221=-C B C B )或212121C C B B A A ==(222C B A 、、均0≠）（4) 1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A 或记2121B B A A ≠(22B A 、均0≠）例1、已知直线01=++ny mx 平行于直线0534=++y x ，且在y 轴上的截距为31，则n m 、的值分别为（ ）A 、4和3B 、4-和3C 、4-和3-D 、4和3- 变式1：直线02:1=++y kx l 和032:2=--y x l , 若21//l l ，则1l 在两坐标轴上的截距的和（ ）A 、1-B 、2-C 、2D 、6 例2、已知直线02=+-a y ax 与直线()012=++-a ay x a 互相垂直，则a 等于（ )A 、1B 、0C 、1或0D 、1或1-变式2：两条直线0=-+n y mx 和01=++my x 互相平行的条件是( ）A 、1=mB 、1±mC 、⎩⎨⎧-≠=11n m D 、⎩⎨⎧-≠-=11n m 或⎩⎨⎧≠=11n m变式3：两条直线03=++m y x 和03=+-n y x 的位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交但不垂直D 、与n m 、的取值有关 变式4：原点在直线l 上的射影是()1,2-P ，则直线l 的方程为( )A 、02=+y xB 、042=-+y xC 、052=+-y xD 、032=++y x 例3、三条直线01=+-y x 、042=-+y x 、02=+-y ax 共有两个交点,则a 的值为( ）A 、1B 、2C 、1或2-D 、1-或2 变式5：直线()0523=+++-k y k x 与直线()0232=+-+y k kx 相交，则实数k 的值为（ ）A 、1≠k 或9≠kB 、1≠k 或9-≠kC 、1≠k 且9≠kD 、1≠k 且9-≠k 变式6:直线x y 3=绕原点逆时针旋转︒90,再向右平移1个单位，所得到的直线为 ( )A 、1133y x =-+ B 、113y x =-+ C 、33y x =- D 、113y x =+ 考点3：直线方程的应用1、直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线( )A 、 1133y x =-+B 、 113y x =-+ C 、 33y x =- D 、 113y x =+2、直线方程b kx y +=中，当[]4,3-∈x 时，[]13,8-∈y ，此直线方程▲直线l 过点()12，M 且分别与y 、x 轴正半轴交于B A ,两点，O 为坐标原点，（1)当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程;(2)当MB MA ⋅取得最小时，求直线l 的方程；（3)当OB OA +最小时，求直线l 的方程。