高中数学直线与方程复习课公开课PPT课件
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高一数学必修2第三章《直线与方程》精品PPT课件
求下列两点间的距离：
(1)A(6,0),B(-2,0). (2)C(0,-4),D(0,-1). (3)P(6,0),Q(0,-2). (4)M(2,1),N(5,-1).
答案：( 1 ) 8 (3)2 10
(2)3
(4) 13
点 （ 1 , 3 ） 到 直 线 3 x 4 y 4 0 的 距 离 为
在远古的狩猎时代，人们过着食不果腹，衣不裹体的生活，每一天都在为食物发愁，及时猎取食物就显得尤为重要。因为工具简易，加之那时人的大脑普遍不怎么发达，要捕获一些猎物非常不容易。
并且人多肉少，你不及时吃掉食物，别人就会掠夺那些食物。即使能捕获一些大型猎物，也因为不能很好的储存，食物常常会腐败变质。所以及时获取、即使享受，在几万年的演化中，逐渐成为人们一种本领，深深嵌入人们的意识。
C
求经过点（1，3）满足下列条件的直线方程
（1）与x轴垂直
x 1
（2）与y轴垂直
y3
4、两直线垂直和平行的判定:
平行 重合 相交 垂直
L1:y=k1x+b1 L2:Y=K2x+b2 （K1,k2均存在）
K1=K2且b1≠b2
K1=K2且b1=b2
K1≠K2
K1k2=-1
L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0
kA bC
B
B
求 出 对 应 的 k,b即 可
（注意B=0的特殊情况）
两条直线2x-4y+7=0与2x+y-5=0的位置关系是 垂直
已知直线ax+(1-a)y-3=0与(a-1)x+(2a+3)y-2=0互 相垂直,求a的值.
高一数学《直线与方程复习课》(课件)
例题精析
1、求直线方程
【例1】
求经过点A( 2, 1), 且到点B( 1, 1)的距离为 3的直线方程.
【例2】
(1) 已知两条平行直线 3 x 2 y 6 0与6 x 4 y 3 0, 求与它们等距离的平行 线的方程.
( 2) 过点P ( 3, 0)有一条直线l , 它夹在两条直线 l1 : 2 x y 2 0与l 2 : x y 3 0之间的线段恰被 点P平分，求直线 l的方程.
2、对称问题与最值问题
【例3】
已知直线l : 3 x y 3 0, 求： （1）点P (4, 5)关于l的对称点 ; （2）直线x y 2 0关于直线l对称的直线方程 .
【例4】
已知点M ( 3, 5), 在直线l : x 2 y 2 0和y轴 上各找一点P和Q , 使MPQ 的周长最小 .
知识结构
从几何直观到代数表示 （建立直线的方程） 点 坐标 倾斜角 斜率 直线 二元一次方程
点斜式 两点式
一般式
从代数表示到几何直观 (通过方程研究几何性质 和度量)
两条直线的 位置关系
平行和垂 直的判定
两点间的距离
距 离
点到直线的距离
两条平行线间 的距离
平行 相交 （无交点） （一个交点）
3、数形结合的应用
【例5】
已知函数f ( x ) x2 2x 2 x2 4x 8,
求f ( x )的最小值, 并求取得最小值时 x的值.
【例6】
已知x , y满足x 4 y 3 0, 1 x 3, 求 y2 的取值范围 . x 1
备用题
求经过点P ( 2, 3)且被两条平行直线 3x 4 y 7 0和3 x 4 y 3 0截得的线段长为 5的 直线方程.
直线的方程-高中数学总复习课件
0），且与以 A （2，1）， B （0， 3 ）为端点的线段有公共点，则直
线 l 的斜率的取值范围为 （－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞） .
目录
高中总复习·数学
解析：设直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为α，β，直线 PA
的斜率是 kPA ＝1，直线 PB 的斜率是 kPB ＝－ 3 ，当直
线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角
图形，结合正切函数的单调性求解；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，
反之亦可.
提醒
π
π
根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0， ）与（ ，π）
2
2
两种情况讨论.
目录
高中总复习·数学
1. 直线 x sin α＋ y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是（
）
A. [0，π）
解析： 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－ sin α.因为 sin α∈[－
+ 2 = 0，
＝ − 2，
0，令ቊ
解得 ቊ
1 − = 0，
= 1.
∴无论 k 取何值，直线总经过定点（－2，1）.
目录
高中总复习·数学
（2）若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；
D. k 1＜ k 3＜ k 2
解析：
因为直线 l 2， l 3的倾斜角为锐角，且直线 l 2的倾斜角大
于直线 l 3的倾斜角，所以0＜ k 3＜ k 2.直线 l 1的倾斜角为钝角，斜率 k
1＜0，所以 k 1＜ k 3＜ k 2.
目录
高中总复习·数学
直线的方程
【例2】 （1）（多选）（2024·临沂模拟）过点（－3，1）且在两
2024年高考数学一轮复习(新高考版《直线的方程》课件ppt
(2)直线 2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是
A.π6，π3
√B.π4，π3
C.π4，π2
D.π4，23π
直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α. 由于 α∈π6，π3，所以12≤cos α≤ 23， 因此 k＝2cos α∈[1， 3]. 设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]. 由于θ∈[0，π)， 所以 θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点 _(_1_，__－__4_)_，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是_[_3_，__＋__∞__)_.
直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0， 令xx－＋1y＋＝30＝，0， 解得xy＝＝1－，4， ∴直线l过定点(1，－4)， ∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3， 又直线l不经过第三象限， ∴－ a－a3＋≥10，<0， 解得 a≥3.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)若直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段
有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是
A.[－ 3，1]
C.－
33，1
√B.(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
D.－∞，－
33∪[1，＋∞)
如图，当直线 l 过点 B 时，设直线 l 的斜率为 k1，则 k1＝ 03－－10＝－ 3；当直线 l 过点 A 时， 设直线 l 的斜率为 k2，则 k2＝12－－01＝1，所以 要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的 斜率的取值范围是(－∞，－ 3]∪[1，＋∞).
人教A版高中数学必修二课 件：第三章 直线与方程 阶段复习课(共36张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 3:57:43 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 3:57:43 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
《直线与方程》复习课件(17张ppt)
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0
2025届高中数学一轮复习课件：第九章 第1讲直线方程(共59张ppt)
第18页
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)(2024·湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，
若 fπ4－x＝fπ4＋x，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为(
)
π π 2π 3π A.4 B.3 C. 3 D. 4
高考一轮总复习•数学
第6页
2．直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 α 的 正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k
表示，即 k＝ tan α ，倾斜角是 90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝yx22－－yx11. 3．直线的方向向量 若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上两点，则 l 一个方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)； 若 l 的斜率为 k，则一个方向向量的坐标为 (1，k) .
切线问题可利用导数的几何意义：设切点 P(x0，ln x0)，则 k＝f′(x0)．
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x.设切点为 P(x0，ln x0)，则
切线的斜率 k＝f′(x0)＝x10＝lnx0x0，
∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝x10＝1e. 方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线 f(x)＝ln x 及其经过原点的切线，如图
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高中数学必修二--直线的方程PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
B两点旳坐标，表达出△ABO旳面积，然后利用
有关旳数学知识求最值.
解 措施一 设直线旳方程为
x y 1(a 2,b 1), ab
由已知可得2 1 1.
1分
ab
(1) 2 2 1 2 1 1,ab 8.
3分
ab a b
SΔ AOB
1 ab 2
4.
当且仅当
211 ab2
,即a=4,b=2时，S△AOB取最
3
若a≠0，则设l旳方程为 x y 1, aa
∵l过点（3，2），∴ 3 2 1, aa
∴a=5，∴l旳方程为x+y-5=0,
综上可知，直线l旳方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
措施二 由题意知，所求直线旳斜率k存在且k≠0,
设直线方程为y-2=k(x-3),
令y=0，得x=3- 2 ,令x=0,得y=2-3k,
(3)若x1=x2=0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程 为 x=0 ; (4)若x1≠x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程 为 y=0 .
4.线段旳中点坐标公式
若点P1、P2旳坐标分别为（x1，y1），
（x2，y2），且线段P1P2旳中点M旳坐标为
（x,y），
则
x
x1
2
x2
y
y1 2
∴其斜率k=- A ＜0,在y轴上旳截距b=-C ＞0,
B
B
∴直线过第一、二、四象限.
5.一条直线经过点A（-2，2），而且与两坐标轴 围成旳三角形旳面积为1，则此直线旳方程为 .
解析 设所求直线旳方程为 x y 1, ab
∵A（-2，2）在直线上，∴ 2 2 1
①
ab
又因直线与坐标轴围成旳三角形面积为1，
有关旳数学知识求最值.
解 措施一 设直线旳方程为
x y 1(a 2,b 1), ab
由已知可得2 1 1.
1分
ab
(1) 2 2 1 2 1 1,ab 8.
3分
ab a b
SΔ AOB
1 ab 2
4.
当且仅当
211 ab2
,即a=4,b=2时，S△AOB取最
3
若a≠0，则设l旳方程为 x y 1, aa
∵l过点（3，2），∴ 3 2 1, aa
∴a=5，∴l旳方程为x+y-5=0,
综上可知，直线l旳方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
措施二 由题意知，所求直线旳斜率k存在且k≠0,
设直线方程为y-2=k(x-3),
令y=0，得x=3- 2 ,令x=0,得y=2-3k,
(3)若x1=x2=0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程 为 x=0 ; (4)若x1≠x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程 为 y=0 .
4.线段旳中点坐标公式
若点P1、P2旳坐标分别为（x1，y1），
（x2，y2），且线段P1P2旳中点M旳坐标为
（x,y），
则
x
x1
2
x2
y
y1 2
∴其斜率k=- A ＜0,在y轴上旳截距b=-C ＞0,
B
B
∴直线过第一、二、四象限.
5.一条直线经过点A（-2，2），而且与两坐标轴 围成旳三角形旳面积为1，则此直线旳方程为 .
解析 设所求直线旳方程为 x y 1, ab
∵A（-2，2）在直线上，∴ 2 2 1
①
ab
又因直线与坐标轴围成旳三角形面积为1，
高三数学总复习优秀ppt课件(第12讲)直线的方程(46页)
2.熟悉：直线的倾斜角和斜率的范围；
3.关注：特殊情况：倾斜角为90o； 4.误区：易忽视斜率不存在的情况．
经典例题2
例2 已知直线 l 过点P(－1, 2),且与以A(3, 0 ),B( －2,－3) 为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
思路分析
例2 已知直线 l 过点P(－1, 2),且与以A(3, 0 ),B( －2,－3)
x y 1 a b Ax + By + C = 0
（A，B不同时为零）
不垂直于坐标轴的直线
不垂直于坐标轴且 不过原点的直线 任何直线
经典例题3
例3 根据所给条件求直线方程: （1）直线过点两个点（1，2），（2，2）；
（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截
距之和为12;
（3）直线过点（－5，10），且原点到直线的距离
第12讲
直线的方程
主要内容
一、廓清疑点 直线的倾斜角和斜率． 二、聚焦重点 直线方程的几种形式．
三、破解难点
直线与直线的位置关系．
廓清疑点：直线的倾斜角和斜率
问题研究
1．直线的倾斜角和常见的角有什么区别？ 2．直线的倾斜角和斜率之间有什么联系？
基础知识
1．倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直 线，如果把x轴绕着交点按逆时针旋转到和直线重
x y 1 a b
Ax + By + C = 0
x1 x2且y1 y2
a 0且b 0
A 2 +B 2 0
基础知识
方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 适用范围
y－y1=k（x－x1） 不垂直于 x 轴的直线 y = kx + b 不垂直于 x 轴的直线
第三章直线与方程复习课课件人教新课标
(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式． 求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的 形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的 对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可 转化成点到直线的距离求解．
[例4] 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－
∵坐标原点到l1，l2的距离相等， ∴4|a－a 1|＝|1－a a|，a＝2或a＝23.
因此ab＝＝－2，2，
或a＝23， b＝2.
专题四 点、直线间的距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)之间的距离为d＝ |CA1－2＋CB2|2.
(3)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为Ax ＋By＋C1＝0；与其垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
[例3] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y ＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相 等． [分析] 对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解； 对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相 等求解．
[解析] (1)l2即2x－y－12＝0， ∴l1与l2的距离d＝ |a2－2＋－－121|2＝7105， ∴|a＋512|＝7105，∴|a＋12|＝72， ∵a>0，∴a＝3.
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6x 5y 0
例8 求与直线3x+4y+12=0平行，且与 坐标轴围成的三角形的面积是24的直线 的方程
y 3 x 6 3x 4y 24 0 4
练习：1.将一张坐标纸对折一次，使得 点A(0,2)与点B(4,0)重合，点P(7,3)与
点Q(m,n)重合，则m+2n=__1__3__
例1 经过点A(m,3), B(m, 2m 5)的直线的 倾斜角为1350，求m
例32 已知l1过A(2,0)和B(1,3a)，l2过P(0, 1) 和Q(a, 2a)，且l1 l2，求a
练例习3 ：若直线l 沿x轴负方向平移3个单位， 再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到了 原来的位置，求直线l 的斜率
例4 已知直线l1: x +(1+m)y+m－2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 ，当m为何值时l1与l2 分别有下列关系？(1) l1⊥l2 (2) l1∥l2
例5 求与直线3x+4y+12=0平行，且与 坐标轴围成的三角形的面积是24的直线 的方程
例6.试在直线 x-y+4=0上求一点P,使它 到点M(-2,4),N(4,6)的距离相等.
二、两直线的平行与垂直：
直 线l1 : y k1x b1 直 线l2 : y k2x b2
l1 ∥ l2
k1 k2 ,b1 b2
l1 ⊥ l2 l1 与 l2相交 l1 与 l2重合
k1 • k2 1 k1 k2 k1 k2 ,b1 b2
二、两直线的平行与垂直：
直线l1 :A1x+B1y+C1=0 直线l2 :A2x+B2y+C2=0
斜截式 y kx b
直线在y轴上的截距和 斜率；斜率存在
截距式
x y 1 ab
直线在两轴上的截距； 两截距存在且都不为零
两点式
y y1 = x x1 直线上的两点坐标； y2 y1 x2 x1 直线的斜率存在且不为零
一般式
Ax By C 0 ( A、B不全为0)
只要能确定常数A、B、C;
它的倾斜角
1400
练习：若直线l 沿x轴负方向平移3个单位， 再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到了 原来的位置，求直线l 的斜率 1
3
例3 已知l1过A(2,0)和B(1,3a)，l2过P(0, 1)
和Q(a, 2a)，且l1 l2，求a a=1或0
练习：设a,b,c分别是△ABC中∠A，∠B，
A2 B2 C2 0
l1 ∥ l2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
l1 ⊥ l2
A1 A2 B1 B2 0
l1 与 l2 相交
A1 A2
B1 B2
l1 与 l2 重合
A1 A2
B1 B2
C1 C2
三、直线与方程：
形式
方程
已知条件及适用范围
点斜式
y y0 k( x x0 )
斜率和直线上一点； 斜率存在
∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c＝0
与bx-sinB·y+si
D．无法确定
例4 直线l : y 2x 4绕着它与x轴的交点
逆时针旋转
2
后得到l1，求l1
的方程
x2y2 0
例5 已知直线l1: x +(1+m)y+m－2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 ，当m为何值时l1与l2 分别有下列关系？(1) l1⊥l2 (2) l1∥l2
2、已知过点P（2，-4）且在坐标轴上的 截距之和为5的直线方程。
任意情况
四、两条直线的交点：
1。已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0,
l2 : A2 x B2 y C2 0
相交,交点的坐标 就是这两条直线的 方程组成的方程组的解.
2:两条直线位置关系的判断方法 (1)若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就 是交点坐标; (2)若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两 直线平行;
(3)若方程组有无数多解,则两条直线重合.
3.经过两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0
交点的直线系方程为:
A1 x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0
(不包括直线l2)
五、距离公式：
1.两点P1(x1,y1),P2(x2 ,y2 )间的距离公式
例7.已知实数x,y满足关系式2x-y+3=0,
求 (x 1)2 y2 的最小值.
例1 经过点A(m,3), B(m, 2m 5)的直线的
倾斜角为1350，求m
1
2
练习：已知A(a, 2), B(5,1),C(4, 2a)，若
A, B,C三点共线，求a的值 2或 7 2
练习：已知直线l : y tan 400 gx b，求
直线与方程复习课(一)
一、倾斜角与斜率：
1. 倾斜角的定义及范围： [00 ,1800 ) 2. 斜率的两种计算方式：
直线l 过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )(x1 x2 ),且
y2 y1
倾斜角为，则kl _t_a_n___ ____x2___x_1 __
当x1 x2时,倾斜角为__9_0__0_，则kl 不__存___在_ 当y1 y2时,倾斜角为___0_0__，则kl _=__0___
| P1P2 | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.点 P(x0,y0)到直线 l : Ax By C 0的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
3.两条平行直线间的距离公式:
l1 : Ax By C1 0
l2 : Ax By C2 0
d | C1 C2 | A2 B2
(1) m 2 3
(2) m 1
例6 求过A(1,2)且在两坐标轴上的截距 相等的直线的方程
x y 3 0或2x-y=0
变式：求过A(1,2)且在两坐标轴上的截 距的绝对值相等的直线的方程
x y 3 0或2x-y=0或x-y+1=0
例7 一条直线l 被两条直线
l1: 4x+y+4=0和l2：3x-y-6=0截得的线段 的中点恰好是坐标原点, 求直线l 的方程。
例8 求与直线3x+4y+12=0平行，且与 坐标轴围成的三角形的面积是24的直线 的方程
y 3 x 6 3x 4y 24 0 4
练习：1.将一张坐标纸对折一次，使得 点A(0,2)与点B(4,0)重合，点P(7,3)与
点Q(m,n)重合，则m+2n=__1__3__
例1 经过点A(m,3), B(m, 2m 5)的直线的 倾斜角为1350，求m
例32 已知l1过A(2,0)和B(1,3a)，l2过P(0, 1) 和Q(a, 2a)，且l1 l2，求a
练例习3 ：若直线l 沿x轴负方向平移3个单位， 再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到了 原来的位置，求直线l 的斜率
例4 已知直线l1: x +(1+m)y+m－2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 ，当m为何值时l1与l2 分别有下列关系？(1) l1⊥l2 (2) l1∥l2
例5 求与直线3x+4y+12=0平行，且与 坐标轴围成的三角形的面积是24的直线 的方程
例6.试在直线 x-y+4=0上求一点P,使它 到点M(-2,4),N(4,6)的距离相等.
二、两直线的平行与垂直：
直 线l1 : y k1x b1 直 线l2 : y k2x b2
l1 ∥ l2
k1 k2 ,b1 b2
l1 ⊥ l2 l1 与 l2相交 l1 与 l2重合
k1 • k2 1 k1 k2 k1 k2 ,b1 b2
二、两直线的平行与垂直：
直线l1 :A1x+B1y+C1=0 直线l2 :A2x+B2y+C2=0
斜截式 y kx b
直线在y轴上的截距和 斜率；斜率存在
截距式
x y 1 ab
直线在两轴上的截距； 两截距存在且都不为零
两点式
y y1 = x x1 直线上的两点坐标； y2 y1 x2 x1 直线的斜率存在且不为零
一般式
Ax By C 0 ( A、B不全为0)
只要能确定常数A、B、C;
它的倾斜角
1400
练习：若直线l 沿x轴负方向平移3个单位， 再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到了 原来的位置，求直线l 的斜率 1
3
例3 已知l1过A(2,0)和B(1,3a)，l2过P(0, 1)
和Q(a, 2a)，且l1 l2，求a a=1或0
练习：设a,b,c分别是△ABC中∠A，∠B，
A2 B2 C2 0
l1 ∥ l2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
l1 ⊥ l2
A1 A2 B1 B2 0
l1 与 l2 相交
A1 A2
B1 B2
l1 与 l2 重合
A1 A2
B1 B2
C1 C2
三、直线与方程：
形式
方程
已知条件及适用范围
点斜式
y y0 k( x x0 )
斜率和直线上一点； 斜率存在
∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c＝0
与bx-sinB·y+si
D．无法确定
例4 直线l : y 2x 4绕着它与x轴的交点
逆时针旋转
2
后得到l1，求l1
的方程
x2y2 0
例5 已知直线l1: x +(1+m)y+m－2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 ，当m为何值时l1与l2 分别有下列关系？(1) l1⊥l2 (2) l1∥l2
2、已知过点P（2，-4）且在坐标轴上的 截距之和为5的直线方程。
任意情况
四、两条直线的交点：
1。已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0,
l2 : A2 x B2 y C2 0
相交,交点的坐标 就是这两条直线的 方程组成的方程组的解.
2:两条直线位置关系的判断方法 (1)若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就 是交点坐标; (2)若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两 直线平行;
(3)若方程组有无数多解,则两条直线重合.
3.经过两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0
交点的直线系方程为:
A1 x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0
(不包括直线l2)
五、距离公式：
1.两点P1(x1,y1),P2(x2 ,y2 )间的距离公式
例7.已知实数x,y满足关系式2x-y+3=0,
求 (x 1)2 y2 的最小值.
例1 经过点A(m,3), B(m, 2m 5)的直线的
倾斜角为1350，求m
1
2
练习：已知A(a, 2), B(5,1),C(4, 2a)，若
A, B,C三点共线，求a的值 2或 7 2
练习：已知直线l : y tan 400 gx b，求
直线与方程复习课(一)
一、倾斜角与斜率：
1. 倾斜角的定义及范围： [00 ,1800 ) 2. 斜率的两种计算方式：
直线l 过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )(x1 x2 ),且
y2 y1
倾斜角为，则kl _t_a_n___ ____x2___x_1 __
当x1 x2时,倾斜角为__9_0__0_，则kl 不__存___在_ 当y1 y2时,倾斜角为___0_0__，则kl _=__0___
| P1P2 | ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.点 P(x0,y0)到直线 l : Ax By C 0的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
3.两条平行直线间的距离公式:
l1 : Ax By C1 0
l2 : Ax By C2 0
d | C1 C2 | A2 B2
(1) m 2 3
(2) m 1
例6 求过A(1,2)且在两坐标轴上的截距 相等的直线的方程
x y 3 0或2x-y=0
变式：求过A(1,2)且在两坐标轴上的截 距的绝对值相等的直线的方程
x y 3 0或2x-y=0或x-y+1=0
例7 一条直线l 被两条直线
l1: 4x+y+4=0和l2：3x-y-6=0截得的线段 的中点恰好是坐标原点, 求直线l 的方程。