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布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。
通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。
本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。
一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。
它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。
根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。
具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。
根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。
这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。
二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。
能带结构是指能量与波矢之间的关系。
根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。
2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。
色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。
布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。
3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。
赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。
布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。
三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。
1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。
JISHOU UNIVERSITY《固体物理》期末考核报告布洛赫定理及它的指导意义布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫（Felix Bloch ）而得名。
布洛赫波由一个平面波和一个周期函数u （r ）（布洛赫波包）相乘得到。
其中u （r ）与势场具有相同周期性。
布洛赫波的具体形式为：式中k 为波矢。
上式表达的波函数称为布洛赫函数。
当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem ），其中为晶格周期矢量。
可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。
平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。
对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n以区别。
这些能带的能量在k的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。
在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。
在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。
上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢k是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。
换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷。
从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符（Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。
更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。
布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov，1892年）等独立地提出。
固体物理中的能带理论摘要本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。
还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。
可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。
而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论包络函数近自由电子近似1 引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。
在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。
人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。
量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。
第14讲、Bloch定理和能带概念（教学时间2课时）本讲要点• Bloch定理：描写周期性势场中单电子的性质* Bloch波，Bloch电子* 周期性结构中的波都具有Bloch波的形式• 电子共有化运动* 平面波部分描写整个晶体的共有运动* 调幅部分描写原胞内的运动——限制在原胞内* K+k与k等价，K是倒格矢——限制在第一布里渊区• 能带概念* 能量与波矢之间的关系* 一些能带性质概念要点• Bloch波• Bloch电子• 能带主要内容1. Bloch定理所要解决的问题* 确定在周期性势场下单电子的运动性质* 由Bloch定理规定了它的波函数所必须具有的形式2. 平移算符的本征值* 非简并情况* 简并情况3. Bloch定理的推论* 推论一* 推论二4. Bloch定理带来的新概念——能带1、Bloch定理所要解决的问题• Bloch定理——固体物理学的基础* 1928年由年仅23岁的F. Bloch证明• Bloch思考的问题* 由自由电子气体知道，充满离子实的金属内部对电子运动来说，竟然好象是空的！难以想象！* 离子既然能够束缚住芯电子不得动弹，但为何惟独对价电子视而不见呢？谁动了我的离子实？• Sommerfeld也思考过类似的问题* 曾经因引入费米分布概念而成功解释了电子气的比热问题，还局限在这一思路上# 真是成也费米分布，败也费米分布• Bloch摘到了果子——周期性势场中电子运动周期性势场• Bloch定理的适用范围（三个近似）①、绝热近似；②、单电子近似；③、周期性势场近似（周期性为Bloch定理所必需，其他已在Schroedinger方程中，但如前两个中的任何一个不成立，周期性势场也不会成立）•晶体周期性结构周期势场下单电子波函数性质的猜想• 设问：既然周期性势场，我们自然要推测：* 周期性势场中的薛定谔方程的解是否也有同样的平移周期性？• 这看上去是很自然的，因为既然V(r+R)=V(r)，似乎应该有• 两个哈密顿相等，它们的解是否也应该相等？（错）• 除了一个相因子外，两者相同！• 因此并非一无是处！差那么一点！换个对象看相因子• 设问：对自由电子，是不是满足周期性势场？* 即，V(r+R)=V(r)是否成立？• 当然成立，V=0！对任何平移变换都不变！• 那么它的解即平面波经平移变换应为很有意思！仅仅相差一个e i k*Rl的相因子！• 就按这个思路，看F. Bloch如何演绎Bloch定理，Bloch定理只能得出这个结论Bloch定理• 单电子受这样的周期性势场约束* 单电子同时意味着：它所受的离子势场和其他电子的平均势场同时具有同样的周期性* 单电子波函数的形式受到一定的限制运动性质• Bloch定理* 周期性势场中运动的单电子，当平移一个格矢R l时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子e ik.R，即在每个格点上的波函数除了一个与格矢有关的相因子外都相同• Bloch定理就是：当对单电子波函数进行一个R的平移变换，除了相因子e ik.R，其他不变• 因此下面具体考察这个平移操作——平移算符2、平移算符的本征值非简并情况• 既然如此，除了一个相因子外，两者应该相同• 评论：* 该方程是平移算符的本征值方程* 本征值与格矢有关• 格矢满足• 平移算符也满足• 作用在波函数上，就有• 它们表示的是相因子，因此，可以写成• 这样就有• 即• 这说明，只有当相位因子α与格矢R满足线性关系时，平移算符的本征值才满足这样的关系• 因此，可将αl改写成对所有α相同的常矢量k和R l的乘积(如果一维，很容易理解，三维→矢量)• 注意：这里α必须是实数，所以k是实数！* 否则，模不等于1• 注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未与波矢相联系* 后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量• 于是简并情况• 如果是f n度简并的，即有f n个相互正交的本征函数属于同一本征值，可以写成它们的线性组合• 平移算符可通过上式用一个λ的矩阵表示• λ矩阵也构成一个群，可由f n个相互正交的本征函数的线性组合产生新的基函数。
