人口增长模型

毕业设计——第一章绪论1.研究背景2.国内外研究现状3.人口概念介绍人口增长模型及其应用孙建锋第二章人口增长模型的概述1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）2.Logistic 模型（人口阻滞增长模型）3.年龄移算法模型4.L eslie 人口增长模型5.灰色 GM（1，1）预测模型6.人口发展方程7.各模型的优缺点对比第三章基本人口预测1.出生人数的预测2.死亡人数的预测3.分年龄分性别人口数预测4.人口总数预测第四章人口实例预测1.数据准备2.模型应用与求解3.结果分析4.结论及相关建议第一章绪论1.1研究背景人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。

以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。

人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。

发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。

众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。

中国在世纪之交的2000 年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。

为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、协调发展的保证。

人口增长模型例题1.某地区初始人口为1000人，年增长率为2%，求10年后的人口数量。

2.一个城市的人口初始为5000，按照每年1.5%的速度增长，5年后人口是多少？3.若某村庄人口起始为800，人口增长率为3%，8年后人口达到多少？4.有一个小镇，最初人口是2000，年增长率为2.5%，计算12年后的人口。

5.某国人口初始为10000，年增长比例为1.8%，求15年后人口数量。

6.一片区域初始人口600，每年人口增长4%，3年后人口为多少？7.一个岛屿的初始人口为1200，人口以每年2.2%的速度增长，10年后人口是多少？8.某社区人口开始为900，年增长率为3.5%，7年后人口达到多少？9.若某部落人口起始为550，人口增长率为2.8%，9年后人口为多少？10.有一个聚居地，最初人口是1500，年增长率为2.3%，计算11年后的人口。

11.某地区人口初始为3000，年增长比例为1.9%，求20年后人口数量。

12.一个小县城初始人口800，每年人口增长3.2%，4年后人口为多少？13.一个地区的初始人口为1800，人口以每年2.6%的速度增长，13年后人口是多少？14.某城镇人口开始为1100，年增长率为3.8%，6年后人口达到多少？15.若某村落人口起始为700，人口增长率为2.1%，14年后人口为多少？16.有一个村落最初人口是1300，年增长率为2.7%，计算16年后的人口。

17.某省人口初始为50000，年增长比例为1.2%，求25年后人口数量。

18.一个区域初始人口1000，每年人口增长3.6%，5年后人口为多少？19.一个国家的初始人口为2500，人口以每年2.4%的速度增长，18年后人口是多少？20.某城市区人口开始为1600，年增长率为3.3%，9年后人口达到多少？21.若某县人口起始为1400，人口增长率为2.9%，17年后人口为多少？22.有一个城市最初人口是3500，年增长率为1.7%，计算22年后的人口。

中国人口增长预测模型摘要本文针对我国人口增长中出现的新特点，建立了两个符合实际情况的预测模型，对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

模型一：建立时间序列分析法中的ARMA 模型, 对中国人口总数进行预测。

根据处理后的数据的自相关函数和偏相关函数的拖尾性，估计出ARMA 的参数p和q，并对估计的参数进行检验和调节，最终确定参数，建立出ARMA(p ,q)模型。

用此模型预测出2020 年和2030 年的人口分别为138135.3 万人和143352.6 万人。

模型二：建立阻滞增长模型，把出生率和死亡率考虑进去，对人口进行预测，并用Matlab软件编程进行求解。

通过此模型预测出2020年和2030年的人口分别为142108.3万人和146768.4万人，并且人口在2036年左右达到峰值。

模型三：建立人口发展方程，模型一需要的原始数据少，操作简单，适合于中短期预测，但长期预测效果不佳；模型二和模型三综合考虑了各因素，对中短期和长期均有较好的预测效果，但所需数据量大，操作较为复杂。

关键字时间序列模型Eviews 人口发展模型微分方程1.问题重述近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考相关数据资料，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；并指出模型中的优点与不足之处。

2.问题的分析一个国家人口的变化和随时间的发展过程，是由很多因素决定的，社会制度、自然环境、生活水平、科学文化水平、战争、自然灾害和移民等等，都能严重地影响社会人口的发展过程。

要预测人口发展的总趋势，首先要预测的是人口总数。

在当代中国社会，环境稳定，如果没有大规模传染病和战争等的影响，每年的死亡率应该相对稳定，出生率也一直在国家政策的控制中，所以人口总数的预测可以看成一个平稳序列的预测，这样我们考虑用时间序列来进行预测。

表1 美国人口统计数据指数增长模型：rt e x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：模型一:指数增长模型。

Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x ey x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序：t=1790:10:1980;x(t)=[ ]; y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a =r= x0=所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = ， 输入：t=2010;x0 = ;x(t)=x0*exp*t)得到x(t)= 。

即在此模型下到2010年人口大约为 610⨯。

模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设)/1()(m x x r x r -=，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ，m x 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(xx x x rx dt dxm 建立函数文件function f=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/*exp(-a(2)*(t-1790))); 在命令文件中调用函数文件 % 定义向量（数组） x=1790:10:1990; y=[ 76 ... 92 204 ];plot(x,y,'*',x,y); % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on;a0=[,1]; % 初值% 最重要的函数，第1个参数是函数名（一个同名的m 文件定义），第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit('curvefit_fun2',a0,x,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:5:2020; yi=curvefit_fun2(a,xi); plot(xi,yi,'r'); % 预测2010年的数据 x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1) hold off 运行结果： a= y1 =其中a(1)、a(2)分别表示()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭中的m x 和r ，y1则是对美国美国2010年的人口的估计。

毕业设计——人口增长模型及其应用孙建锋第一章绪论1.研究背景2.国内外研究现状3.人口概念介绍第二章人口增长模型的概述1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）2.Logistic模型（人口阻滞增长模型）3.年龄移算法模型4.Leslie人口增长模型5.灰色GM（1，1）预测模型6.人口发展方程7.各模型的优缺点对比第三章基本人口预测1.出生人数的预测2.死亡人数的预测3.分年龄分性别人口数预测4.人口总数预测第四章人口实例预测1.数据准备2.模型应用与求解3.结果分析4.结论及相关建议第一章绪论1.1研究背景人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。

以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。

人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。

发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。

众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。

中国在世纪之交的2000年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。

为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、协调发展的保证。

一、 人口增长模型： 1. 问题下表列出了中国1982—1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），…人口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相从图中我们可以看到人口数在1982—1998年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型 模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）1.假设：人口增长率r 是常数.2.建立模型：记时刻t=0时人口数为0X ,时刻t 的人口为X （t ）,由于量大，X （t ）可以视为连续、可微函数，t 到t+t ∆时间段人口的增量为：)()()(t rX tt X t t X =∆-∆+于是X （t ）满足微分方程：)1()0(0⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==X X rX dt dx3.模型求解：解得微分方程（1）得： X （t ）=0X )(0t t r e- （2）表明：t ∞−→−时，t X )0.(>∞−→−r . 4.模型的参数估计要用模型2对人口进行预报，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1通过Matlab 拟合： 程序：x=[1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 19971998]';X=[ones(17,1),x]Y=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); %回归分析b,bint,stats%输出这些值rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,'k+',x,z,'r')，%预测及作图运行结果：b =1.0e+006 *-2.84470.0015bint =1.0e+006 *-2.9381 -2.75130.0014 0.0015stats =1.0e+005 *0.0000 0.0455 0 1.9800图1各数据点及回归方程的图形 即回归模型为：y=-2844700+1500x从上图可用看出拟和得效果比较好。

《数学模型》实验报告实验名称：如何预报人口的增长成绩：____________实验日期：2009年4月22日实验报告日期：2009年4月26日人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到”地球在变小"，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义•本节介绍几个经典的人口模型•3.3.1模型I:人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus,1766--1834）1）模型假设时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r.以P（t）表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数P（t）足够大，可以视做连续函数处理，且P（t）关于t连续可微.2）模型建立及求解据模型假设，在t到时间内人口数的增长量为5两端除以，得到5即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比令，就可以写出下面的微分方程：5如果设时刻的人口数为，则满足初值问题：（1）下面进行求解，重新整理模型方程（1）的第一个表达式，可得5两端积分，并结合初值条件得显然，当时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus模型）.如下图3-2所示.3）模型检验19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战.注意到，而我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬,不合常理，应该予以修正•图3-24）模型讨论为了做进一步的讨论，阐明此模型组建过程中所做的假设和限制是非常必要的我们把人口数仅仅看成是时间的函数，忽略了个体间的差异（如年龄，性别，大小等）对人口增长的影响.假定是连续可微的•这对于人口数量足够大，而生育和死亡现象的发生在整个时间段内是随机的,可认为是近似成立的•人口增长率是常数，意味着人处于一种不随时间改变的定常的环境当中模型所描述的人群应该是在一定的空间范围内封闭的，即在所研究的时间范围内不存在有迁移（迁入或迁出）现象的发生.不难看出，这些假设是苛刻的，不现实的，所以模型只符合人口的过去结果而不能用于预测未来人口.3.3.2模型II:阻滞增长模型（Logistic）一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在一一或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远.在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源（包括自然资源，环境条件等因素）.随着人口的增长，资源量对人口开始起阻滞作用，因而人口增长率会逐渐下降.许多国家的实际情况都是如此.定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的.1）模型假设地球上的资源有限，不妨设为1;而一个人的正常生存需要占用资源（这里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为）;在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源成正比；比例系数表示人口的固有增长率；设人口数P（t）足够大，可以视做连续变量处理，且P（t）关于t连续可微.2）模型建立及求解由模型假设，可将人口数的净增长率视为人口数P（t）的函数，由于资源对人口增长的限制，应是P（t）的减函数，特别是当P（t）达到极限承载人口数时，应有净增长率，当人口数P（t）超过时，应当发生负增长.基于如上想法，可令用代替指数增长模型中的导出如下微分方程模型：⑵这是一个Bernoulli方程的初值问题，其解为在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic 模型）.其图形如图3-3所示.图3-33）模型检验从图3-3可以看出，人口总数具有如下规律:当人口数的初始值时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口初值如何，当，它们皆趋于极限值.4）模型讨论阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测,而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线. 但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程一一这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种.还有比指数增长模型，阻滞增长模型更好的人口预测方法吗[FS:PAGE]事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑•、实验目的预报人口的增长变化规律，作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。

人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。

关键词：人口Logistic模型迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。

这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。

记t时刻的人口总数为x(t)。

初始时刻t=0时的人口为x0。

人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。

那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。

于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。

在r>0时，人口将按指数规律增长。

但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。

然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。

历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。

原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。

基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。

这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。

最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。

由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。

xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。

因此就有，这个模型就是Logistic 模型。

为表达方便，Logistic方程常被改写成：由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。