提公因式法与公式法经典题

提公因式法提公因式法：确定公因式的一般方法：①各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. ③它们的乘积就是多项式的公因式例：用提公因式法分解因式（1）3a 2- 9ab 2 （2）-5x 2 + 25x 3 （3）4x 3y+2x 2y 2-6xy 3（4）-9m 2n-3mn 2+27m 3n 4 （5）2(x+y)2-4x(x+y) （6）2(a-1)+a(1-a)自我检测1、判断下列各题是否为因式分解：①m(a+b+c)= ma+mb+mc. ②a 2-b 2 = (a+b)(a-b) ③a 2-b 2 +1= (a+b)(a-b)+12、试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）（1） 3a+3b 的公因式是： （2）-24m 2x+16n 2x 公因式是：（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是： (4) 4ab-2a 2b 2的公因式是：3、.对下列多项式进行因式分解①－20a －25ab ②－32233b a b a - ③1+-m m aa④44252336279x a x a x a +- ⑤3a 2- 9ab4.、把下列各式分解因式①3 x 3 -3x 2 –9x ② 8a 2c+ 2b c ③ -4a 3b 3 +6 a 2 b-2ab ④ a(x-y)+by-bx5、把下列多项式分解因式① 2p 3q 2+p 2q 3 ② x n -x n y ③ a(x-y)-b(x-y)④ 4a 3b-2a 2b 2 ⑤323812a b ab c - ⑥ 323612ma ma ma -+-6、已知,x+y=2,xy=-3,求x 2y+xy 2的值.公式法（平方差公式）a 2-b 2=(a+b) (a-b)注意：①公式中的a 、b 可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式。

②分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。

因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。

常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。

一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。

下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。

解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。

在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。

2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。

这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。

在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。

3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。

在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。

综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。

二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。

下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。

解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。

在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。

在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。

3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。

根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。

解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。

2.将多项式x^3-8分解因式。

提公因式法与公式法的综合运用精选题32道一．选择题（共19小题）1．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）2．下列各因式分解正确的是（）A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．﹣x2+（﹣2）2＝（x﹣2）（x+2）C．x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）D．（x+1）2＝x2+2x+13．因式分解x﹣4x3的最后结果是（）A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）4．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．6B．18C．28D．505．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y）B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）6．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）A．x（x2﹣1）B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）7．下列多项式能用公式法分解因式的有（）（1）x2﹣2x﹣1；（2）x24−x+1；（3）﹣a2﹣b2；（4）﹣a2+b2；（5）x2﹣4xy+4y2；（6）m2﹣m+1．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个8．下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 9．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（）A．3b（a2﹣2a）B．b（3a2﹣6a+1）C．3（a2b﹣2ab）D．3b（a﹣1）210．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．2x+4＝2（x+2）D．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）11．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）2D．a（a+1）（a﹣1）12．下列分解因式正确的是（）A．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1B．a2b﹣2ab+b＝b（a﹣1）2 C．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1）D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 13．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x＝x（x2﹣1）B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2D．x2+2x﹣1＝（x﹣1）214．下列分解因式正确的是（）A．﹣a+a3＝﹣a（1+a2）B．2a﹣4b+2＝2（a﹣2b）C．a2﹣4＝（a﹣2）2D．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 15．下列各选项中因式分解正确的是（）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2 16．把多项式a5﹣16a因式分解为（）A．a（a4﹣16）B．a（a2﹣4）2C．a（a+2）（a2+4）（a﹣2）D．a（a2﹣4）（a2+4）17．分解因式3y4﹣3x4的结果是（）A．3（y2+x2）（y2﹣x2）B．3（y2+x2）（y﹣x）（y+x）C．3（y2+x2）（y﹣x）2D．3（y+x）2（y﹣x）218．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（）A．x2+1B．﹣x2+1C．x2+x D．x2+2x+1 19．下列各式从左到右因式分解正确的是（）A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y）B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．x2﹣4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）二．填空题（共5小题）20．分解因式：x3﹣4x＝．21．分解因式：x3﹣2x2+x＝．22．分解因式：2a2﹣4a+2＝．23．分解因式：a3﹣a＝．24．分解因式：x3﹣x＝．三．解答题（共8小题）25．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．26．分解因式：（注意使用正确的解答格式）（1）3ax3﹣30ax2+75ax（2）（4m2+9）2﹣144m2（3）﹣5a2b﹣10a2b3+15a4b（4）5a3b（a﹣b）3﹣15a4b3（b﹣a）2（5）3x2+2x+1 3（6）（8a2+b2）2﹣（a2+8b2）2（7）（x2+4x+8）2+3x（x2+4x+8）+2x2（8）a2+2a+1+4b2﹣4ab﹣4b27．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．28．分解因式：（1）4x2y﹣9y（2）（a2+4）2﹣16a229．因式分解：（1）m3﹣6m2+9m（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）30．因式分解：（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．31．分解因式：（1）5a2+10ab；（2）ax2﹣4axy+4ay2．32．因式分解：（1）m3（a﹣2）+m（2﹣a）（2）x4﹣16y4（3）81x4﹣18x2y2+y4（4）（x2﹣4x）2+8（x2﹣4x）+16。

因式分解-提公因式法(含答案)1.因式分解是指将一个多项式拆分成两个或多个较简单的多项式的过程。

其中，选项A、C、D属于因式分解，选项B不属于因式分解。

2.只有选项B不属于因式分解，其余选项都属于因式分解。

3.（1）属于整式乘法，（2）属于因式分解，（3）属于因式分解，（4）属于因式分解。

4.公因式是7ab。

5.公因式是x2y。

6.正确的选项是A。

7.分解后为（x-2）（a2-a）。

8.错误的选项是C。

9.（1）3ac（2b-c），（2）a3（b-c）+a3，（3）-2（2a-5）（a-2），（4）(m-x)(m-y)。

10.XXX×11×29.11.结果是A，即2.12.（1）0.0396，（2）2044.71，（3）3x2y(x+y+z)。

14.如果3x^2 - mxy^2 = 3x(x - 4y^2)，求m的值。

15.写出下列各项的公因式：1) 6x^2 + 18x + 6;2) -35a(a+b)与42(a+b).16.已知n为正整数，试判断n^2+n是奇数还是偶数，并说明理由。

17.试说明817-279-913能被45整除。

知能点分类训练】1.-b^2 + a^2 = _________。

9x^2 - 16y^2 = ___________.2.下列多项式(1) x^2 + y^2.(2) -2a^2 - 4b^2.(3) (-m)(-n)。

(4) -144x^2 + 169y^2.(5) (3a)^2 - 4(2b)^2中，能用平方差公式分解的有：A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个3.一个多项式，分解因式后结果是(x^3 + 2)(2-x^3)，那么这个多项式是：A。

x^6 - 4B。

4 - x^6C。

x^9 - 4D。

4 - x^94.下列因式分解中错误的是：A。

a^2 - 1 = (a+1)(a-1)B。

1 - 4x^2 = (1+2x)(1-2x)C。

81x^2 - 64y^2 = (9x+8y)(9x-8y)D。

因式分解-提公因式和公式法专项练习（一）知识点1：因式分解1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2.掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．【典例1】下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3D．a2+1＝（a+1）（a﹣1）【变式1-1】下列各式从左到右不属于因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【变式1-2】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）知识点2：公因式的公因式是．【典例2-2】4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是．【变式2-1】多项式．4ab2+8a2b的公因式是．【变式2-2】多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是．【变式2-3】多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是．知识点3：提公因式提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．【典例3】分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【变式3-1】因式分解（1）x2﹣4x；（2）8y3﹣2x2y．【变式2-2】因式分解：（1）8abc﹣2bc2；（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．【变式3-3】分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．知识点4：公式法＝．【变式4-1】因式分解：a2﹣169＝．【变式4-2】因式分解：4a2﹣b2＝．【变式4-3】把多项式a2﹣9b2分解因式结果是．【典例5】分解因式：a2+8a+16＝．【变式5-1】因式分解x2﹣6ax+9a2＝．【变式5-2】分解因式：a2﹣6a+9＝．知识点5：提公因式与公式法综合1.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2.公式法：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）【典例6】分解因式（1）x2y﹣y；（2）ax2﹣6ax+9a．【变式6-1】因式分解：（1）x3y﹣xy3；（2）8a2﹣16ab+8b2．【变式6-2】因式分解：（1）2x3y﹣2xy3（2）﹣a3+2a2﹣a．【变式6-3】分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）2mx2+4mxy+2my2．【变式6-4】因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【达标测评】一．选择题（共8小题）1．（2023秋•泉港区期末）多项式12a3b﹣8ab2c的公因式是（）A．4a2B．4abc C．2a2D．4ab 2．（2023秋•莱西市期末）多项式3m2+6mn的公因式是（）A．3B．m C．3m D．3n 3．（2023秋•纳溪区期末）因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（）A．（x﹣10）（x+8）B．（x+8）（x+1）C．（x﹣2）（x+4）D．（x+2）（x﹣4）4．（2023秋•泰山区期末）分解因式：64﹣x2正确的是（）A．（8﹣x）2B．（8﹣x）（8+x）C．（x﹣8）（x+8）D．（32+x）（32﹣x）5．（2023秋•沙坪坝区校级期末）因式分解：mx2﹣4m＝（）A．m（x2﹣4）B．m（x+2）（x﹣2）C．mx（x﹣4）D．m（x+4）（x﹣4）6．（2023秋•哈密市期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1D．x2﹣x＝x（x﹣1）7．（2024•裕华区校级开学）若a+b＝3，a﹣b＝，则a2﹣b2的值为（）A．1B．C．D．98．（2023秋•南沙区期末）已知多项式x2+ax+16可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（）A．4B．8C．﹣8D．±8二．填空题（共5小题）9．（2023秋•临潼区期末）式子x（y﹣1）与﹣18（y﹣1）的公因式是．10．（2024•榆阳区校级一模）因式分解：2x2y+10xy＝．11．（2024•西山区校级模拟）分解因式：m3+6m2+9m＝．12．（2023秋•哈密市期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为．13．（2024•临潼区一模）因式分解：3a2﹣12＝．三．解答题（共3小题）14．（2023秋•海口期末）把下列多项式分解因式：（1）4a3﹣16ab2；（2）3（x﹣1）2+12x．15．（2023秋•洪山区期末）因式分解．（1）x3﹣2x2y+xy2（2）m2（a﹣b）+n2（b﹣a）16．（2023秋•寻乌县期末）因式分解：（1）﹣x3﹣2x2﹣x；（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）．。

初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。

综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。

在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。

对于十字相乘法，我们分为四种类型。

给大家做详细的讲解。

针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。

因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

知识点068 提公因式法与公式法的综合运用(解答题)1．分解因式：m2（x﹣y）+4n2（y﹣x）=（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n）；分解因式：a2+4ab+4b2=（a+2b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

专题：常规题型。

分析：把（x﹣y）看作一个整体并提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：m2（x﹣y）+4n2（y﹣x），=m2（x﹣y）﹣4n2（x﹣y），=（x﹣y）（m2﹣4n2），=（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n）；a2+4ab+4b2=（a+2b）2．故答案为：（x﹣y）（m+2n）（m﹣2n），（a+2b）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．2．分解因式：a5﹣a=a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

专题：因式分解。

分析：先提取公因式a，再根据平方差公式进行三次分解．解答：解：a5﹣a=a（a4﹣1）=a（a2+1）（a2﹣1）=a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a2+1）（a+1）（a﹣1）．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行多次分解，注意分解要彻底．3．（2011•湖州）因式分解：a3﹣9a．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：首先提公因式a，然后即可利用平方差公式进行分解．解答：解：原式=a（a2﹣9）（3分）=a（a+3）（a﹣3）．（3分）点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．4．（2010•清远）分解因式：2x3y﹣2xy3．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提取公因式2xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x3y﹣2xy3，=2xy（x2﹣y2），=2xy（x+y）（x﹣y）．点评：此题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．5．（2010•河源）分解因式：a3﹣ab2．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

．因式分解是把一个化为地形式．．、、－地公因式是；、－、地公因式是．．因式分解－＝．二、选择题．下列各式变形中，是因式分解地是（ ）．－＋－＝（－）－ Ｂ．)11(22222xx x x +=+ ．（＋）（－）＝－ ．－＝（＋）（＋）（－）．如果多项式＋＋可因式分解为（＋）（－），则、地值为（ ）．＝，＝ ．＝－，＝．＝，＝－ ．＝－，＝－．（－）＋（－）等于（ ）．－ ．－ ． ．－三、计算题．－ ．＋．＋－ ．（－）＋（－）．（－）－（－） ．（＋）＋（＋）．（－）－（－） ．（－）＋（－）．－－ ．（－）＋（－）＋四、解答题．应用简便方法计算：（）×＋×－×思考：说明－×＋×能被整除．平方差公式法一、填空题．在括号内写出适当地式子：（）＝（ ）；（）=n y 294（ ）；（）＝（ ）． ．因式分解：（）－＝（ ）（ ）； （）－＝（ ）（ ）；文档收集自网络，仅用于个人学习（）－＝（ ）（ ）;（）－＝（ ）（ ）．文档收集自网络，仅用于个人学习二、选择题．下列各式中，不能用平方差公式分解因式地是（ ） ．－ ．4491x - ．－－ ．9)(412-+q p ．－（－）有一个因式是＋－，则另一个因式为（ ）．－－ ．＋＋ ．＋－ ．－＋三、把下列各式因式分解．－ ．－ ．（＋）－ ．－文档收集自网络，仅用于个人学习．－ ．（－）－（＋）四、解答题．利用公式简算：（）×－×．．已知＋＝，－＝－，（）求－地值；（）求和地值． ．因式分解下列各式： 《谨慎》 （）m m +-3161＝； （）－＝； （）11-+-m m a a ＝； （）（－）－＋＝． （）（＋）－（－）三、把下列各式因式分解．－ ．（－）＋（－）．－ ．（＋）－．（－）＋－ ．（－）－（－）四、解答题 ．已知,4425,7522==y x 求（＋）－（－）地值． ．分别根据所给条件求出自然数和地值： （）、满足＋＝；（）、满足－＝．。

完整版)提公因式法因式分解练习题因式分解——提公因式法以下是因式分解和不是因式分解的变形：1) 6a^3-3a^2b = 3a^2(2a-b) 是因式分解。

2) -x^2+x^3 = -x^2(1-x) 是因式分解。

3) (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 是因式分解。

4) (x-2)(x-3) = x^2-5x+6 是因式分解。

5) m^2 = m×m 不是因式分解。

6) m^2+m = m^3 不是因式分解。

二、用提公因式法因式分解1) 8ab^2-16a^3b^3 = 8ab^2(1-2a^2b^2)。

2) -m^2n+mn^2 = -mn(m-n)。

3) -15xy-5x^2 = -5x(x+3y)。

4) a^2b^2-1/4ab^3 = 1/4ab^2(a-4b)。

5) a^3b^3+a^2b^2-ab = ab(a^2b^2+a-b)。

6) -8a^3y+12a^2y^2-16ay^3 = -4ay(2a-y)(2a+3y)。

7) -3a^3m-6a^2m+12am = -3am(a^2+2a-4)。

8) -x^3y^2+2x^2y+xy = xy(-x^2+2x+1)。

用提公因式法因式分解(二)1) (a+b)-(a+b)^2 = -(a+b)(2a+b)。

2) x(x-y)+y(y-x) = 0.3) 6(m+n)^2-2(m+n) = 2(m+n)(3m+3n-1)。

4) 3(y-x)^2+2(x-y) = (y-x)(3y-3x+2)。

5) -3x(y-x)-(x-y) = -2(x-y)(x+3)。

6) m(m-n)^2-n(n-m)^2 = (m-n)^2(m+n)。

7) 6p(p+q)-4q(q+p) = 2p(3p-2q)。

8) 12a^2b(x-y)-4ab(y-x) = 4ab(3a-1)(y-x)。

9) (a+b)(x+y)-(a+b)(x-y) = 2(a+b)y。

因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。

2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形1、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 、103)2)(5(2-+=-+x x x xC 、22)4(168-=+-x x xD 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、2)1(3222++=++x x xB 、22))((y x y x y x -=-+C 、222)(y x y xy x -=+-D 、)(222y x y x -=-3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）A 、1)1(21222+-=+-a a a aB 、22))((y x y x y x -=+-C 、22)13(169-=+-x x xD 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A 、15123-=-+x y xB 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22x x x x +=+D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、ab a b a a -=-2)(B 、1)2(122+-=+-a a a aC 、)1(2-=-x x x xD 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A 、23)2)(1(2+-=--x x x xB 、)2)(1(232--=+-x x x xC 、4)4(442+-=++x x x xD 、))((22y x y x y x -+=+ 模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ）A 、mn 5B 、225n mC 、n m 25D 、25mn2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（ ）A 、3+a C 、3-aB 、1+a D 、1-a4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n m y x yx 31128--的公因式是（ ） A 、n m y x B 、1-n m y x C 、n m y x 4 D 、14-n m yx 5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（ ）A 、25mxB 、35mx -C 、mxD 、mx 5-6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ）A 、)(5b a m -与a b -B 、2)(b a +与b a --C 、y mx +与y x +D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。

因式分解（一）——提公因式法教学目标：因式分解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法.教学重点和难点：1. 因式分解；2. 公因式；3. 提公因式法分解因式.教学过程：一、提出问题，感知新知1．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式(1)x2+x =_________ (2)x2−1 =_________ (3)am+bm+cm =_ _学生思考，得出结果．2．分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理(1)x2+x = x(x+1)；(2)x2−1 = (x+1)(x−1)；(3)am+bm+cm = m(a+b+c)分析特点：等号的左边：都是多项式等号的右边：几个整式的乘积形式.3．得到新知总结概念：像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形.注意：因式分解不是运算，只是恒等变形.形式：多项式 = 整式1×整式2×…×整式n4．分析例题：(1)x2+x =_________ (2)am+bm+cm =_ _(1)中各项都有一个公共的因式x，(2)中各项都有一个公共因式m.因此，我们把每一项都含有的因式叫做公因式.5．认识公因式例：多项式 14m3n2+7m2n−28m3n3的公因式是？7m2n教师分析，学生解答二、学生动手，总结方法1．我们已经学习了公因式，下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解.把8a3b2−12ab3c分解因式.2．学生动手.3．分析过程：①先确定公因式：4ab2；②然后用每一项去除以公因式；③结果：4ab2(2a2b−3bc).4．总结方法：以上①②③的分解过程的方法叫做提公因式法.5．加强练习例：因式分解：① 2a(b+c)−3(b+c) ②3x3−6xy+x ③−4a3+16a2−18a ④6(x−2)+x(2−x)解：① 2a(b+c)−3(b+c) = (b+c)(2a−3)②3x3−6xy+x = x(3x2−6y+1)③−4a3+ 16a2−18a = −2a(2a2−8a+9)④6(x−2)+x(2−x) = (x−2)(6−x)三、小结：1．因式分解的概念；2．公因式；3．提公因式法.因式分解（二）——公式法教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准．教学重点和难点：1．平方差公式；2．完全平方公式；3．灵活运用3种方法．教学过程：一、提出问题，得到新知观察下列多项式：x2−25和9x2−y2它们有什么共同特征？学生思考，教师总结：(1)它们有两项，且都是两个数的平方差；(2)会联想到平方差公式．公式逆向：a2−b2 = (a+b)(a−b)如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．二、运用公式例1：填空①4a2 = ( )2②b2 = ( )2③ 0.16a4 =( )2④1.21a2b2 = ( )2⑤2x4 = ( )2⑥5x4y2 = ( )2解答：① 4a2 = ( 2a)2；②b2 = (b)2；③ 0.16a4 = ( 0.4a2)2；④ 1.21a2b2 = (1.1ab)2；⑤2x4 = (x2)2；⑥5x4y2 = (x2y)2.例2：下列多项式能否用平方差公式进行因式分解①−1.21a2+0.01b2②4a2+625b2③16x5−49y4④−4x2−36y2解答：①−1.21a2+0.01b2能用②4a2+625b2不能用③16x5−49y4不能用④−4x2−36y2不能用问题：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测运用完全平方公式分解因式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？分析：整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．即：a2±2ab+b2 = (a±b)2公式特点：多项式是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数．例：分解因式：①16x2+24x+9 ②−x2+4xy−4y2解答：①16x2+24x+9 = (4x)2+2•3•(4x)+32 = (4x+3)2②−x2+4xy−4y2 = −[x2−2•x•2y+(2y)2] = −(x−2y)2随堂练习：三、小结：1．平方差公式；2．完全平方公式．典型例题1．如果a(a−b)2−(b−a) = (a−b)·M，那么M等于( )A．a(a−b) B．−a(a−b) C．a2−ab−1 D．a2−ab+1答案：D说明：因为a(a−b)2−(b−a) = a(a−b)2+(a−b) = (a−b)[a(a−b)+1] = (a−b)(a2−ab+1)，所以M = a2−ab+1，答案为D．2．下列各项的两个多项式中没有公因式的一组是( )A．6xy+8yx2与−4x−3 B．(a+b)2与−a−bC．a−b与−a2+ab D．ax+y与x+y答案：D说明：选项A，6xy+8yx2= 2xy(3+4x)，与−4x−3有公因式4x+3；选项B，(a+b)2与−a−b 有公因式a+b；选项C，−a2+ab = −a(a−b)，与a−b有公因式a−b；选项D，ax+y与x+y没有公因式，所以答案为D．3．下列式子中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．−m4−n2 B．−16x2+y 2 C．−x4 D．(p+q)2−9答案：A说明：选项A不能用平方差公式分解因式；选项B，−16x2+y2= (y+4x)(y−4x)，可以用平方差公式分解因式；选项C，−x4 = (+x2)(−x2)，可以用平方差公式分解因式；选项D，(p+q)2−9 = [(p+q)+3][(p+q)−3]，也可以用平方差公式分解因式；所以正确答案为A．4．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是( )A．x2−xy+y2 B．x2+2xy−y2 C．x2+xy+y2 D．−x2+2xy−y2答案：D说明：观察四个选项中多项式的形式，不难得出A、B、C三个选项中的多项式不能用公式法进行因式分解，选项D，−x2+2xy−y2 = −(x2−2xy+y2) = −(x−y)2，可以用完全平方公式进行因式分解，所以答案为D．习题精选选择题：1．若多项式3x2+mx−4分解因式为(3x+4)(x−1)，则m的值为( )A．7 B．1 C．−2D．3答案：B说明：因为因式分解并不改变多项式的值，所以(3x+4)(x−1) = 3x2+mx−4，而(3x+4)(x−1) = 3x2+4x−3x−4 = 3x2+x−4，因此，m = 1，答案为B．2．下列各式的分解因式中，正确的是( )A．3a2x−6bx+3x = 3x(a2−2b) B．xy2+x2y =xy(y+x) C．−a2+ab−ac = −a(a+b−c) D．9xyz−6x2y2= 3xyz(3−2xy)答案：B说明：选项A，3a2x−6bx+3x = 3x(a2−2b+1)≠3x(a2−2b)，A错；选项B正确；选项C，−a2+ab−ac = −a(a−b+c)≠−a(a+b−c)，C错；选项D，9xyz−6x2y2 = 3xy(3z−2xy)≠3xyz(3−2xy)，D错；答案为B．3．若9x2−kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为( )A．6 B．±6 C．12 D．±12答案：D说明：由已知可设9x2−kxy+4y2 = (mx+ny)2 = m2x2+2mnxy+n2y2，所以m2 = 9，n2 = 4，2mn = k，由m2 = 9，n2 = 4可得m2n2 = 36，即(mn)2 = 36，则有mn =±6，所以k = 2mn =±12，答案为D．4．分解因式的结果为(x−2)(x+3)的多项式是( )A．x2+5x−6 B．x2−5x−6 C．x2+x−6D．x2−x−6答案：C说明：因为(x−2)(x+3) = x2−2x+3x−6 = x2+x−6，所以分解因式的结果为(x−2)(x+3)应该是x2+x−6，答案为C．5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A．(x+1)(x−1) = x2−1 B．x2−1+x = (x+1)(x−1)+xC．x2−1 = (x+1)(x−1) D．2x·3x = 6x2答案：C说明：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，则因式分解的结果首先应该是积的形式，因此，A、B都不正确；而选项D左边是两个单项式的乘积，它的变形过程只是简单的单项式乘以单项式的过程，不是因式分解，正确的答案应该是C．6．多项式5a3b3+ 15a2b−20a3b3的公因式是( )A．5a3b B．5a2b2 C．5a2b D．5a3b2答案：C说明：这个多项式中有三项，这三项的系数分别是5，15，−20，系数所含的公因式为5；第一项有因式a3，第二项中含因式a2，第三项中含因式a3，公因式则是a2，同样道理这三项还有公因式b，即这个多项式的公因式应该是5a2b，答案为C．7．下列分解变形中正确的是( )A．2(a+b)2−(2a+b) = 2(a+b)(a+b−1) B．xy(x−y)−x(y−x) =x(x−y)(y+1)C．5(y−x)2+3(x−y) = (y−x)(5x−5y+3) D．2a(a−b)2−(a−b) =(a−b)(a−b−1)答案：B说明：选项A，2a+b中没有a+b这个因式，因此，A中的变形是错误的；选项B，xy(x−y)−x(y−x) = (x−y)(xy+x) = x(x−y)(y+1)，B正确；选项C，5(y−x)2+3(x−y) =(y−x)[5(y−x)+3] = (y−x)(5y−5x+3)，C错误；选项D，2a(a−b)2−(a−b) = (a−b)[2a(a−b)−1] = (a−b)(2a2−2ab−1)，D错误；答案为B．8．下列式子中，能用平方差公式分解因式的是( )A．a2+4 B．−x2−y2 C．a3−1 D．−4+m2答案：D说明：根据平方差公式的形式，不难得到能用平方差公式分解因式的应该是−4+m2 = (m+2)(m−2)，答案为D．9．下列各题中，因式分解正确的是( )①(x−3)2−y2 = x2−6x+9−y2；②a2−9b2 = (a+9b)(a−9b)；③4x6−1 = (2x3+1)(2x3−1)；④(3x+2y)2−4y2 = 3x(3x+4y)A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③答案：C说明：①中的变形不是因式分解；②a2−9b2 = (a+3b)(a−3b)≠(a+9b)(a−9b)，②中因式分解错误；③4x6−1 = (2x3+1)(2x3−1)，③中因式分解正确；④(3x+2y)2−4y2 =(3x+2y+2y)(3x+2y−2y) = 3x(3x+4y)，④中因式分解正确，所以答案为C．解答题：1．把下列各式分解因式：①9(x+y)2−4(x−y)2；②−8a4b3+2a2b；③4(a+b)−(a+b)2−4；④(a−2)(a−3)+ 5a−42．答案：①(5x+y)(x+5y)；②2a2b(1+2ab)(1−2ab)；③−(a+b−2)2；④(a+6)(a−6)说明：①9(x+y)2−4(x−y)2 = [3(x+y)+2(x−y)][3(x+y)−2(x−y)] =(3x+3y+2x−2y)(3x+3y−2x+2y) = (5x+y)(x+5y)②−8a4b3+2a2b = 2a2b(−4a2b2+1) = 2a2b(1+2ab)(1−2ab)③4(a+b)−(a+b)2−4 = −[(a+b)2−4(a+b)+4] = −[(a+b)−2]2 = −(a+b−2)2④(a−2)(a−3)+5a−42 = a2−3a−2a+6+5a−42 = a2−36 = (a+6)(a−6)2．已知a、b、c为三角形的三条边，且满足：a2+b2+c2−ab−bc−ac = 0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．答案：a = b = c，等边三角形说明：因为2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) = 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac= (a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2) = (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2再由已知a2+b2+c2−ab−bc−ac = 0，知2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) = (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2 = 0因为(a−b)2≥0，(a−c)2≥0 ，(b−c)2≥0，所以(a−b)2 = 0，(a−c)2 = 0，(b−c)2 = 0即a = b = c，所以该三角形为等边三角形．3．已知矩形面积是(x+2)(x+3)+x2−4(x>0)，其中一边长是2x+1，求矩形的另一边长．答案：x+2说明：因为(x+2)(x+3)+x2−4 = (x+2)(x+3)+(x+2)(x−2) = (x+2)(x+3+x−2) =(x+2)(2x+1)，即该矩形的面积是(x+2)(2x+1)，而它的一边长为2x+1，所以它的另一边长为x+2．4．已知x3+x2+x+1 = 0，求1+x+x2+x3+…+x2003的值．答案：0说明：1+x+x2+x3+…+x2003 = (1+x+x2+x3)+(x4+x5+x6+x7)+…+(x4n+x4n+1+x4n+2+x4n+3)+…+(x2000+x2001+x2002+x2003) = (1+x+x2+x3)+x4(1+x+x2+x3)+...+x4n(1+x+x2+x3)+...+x2000(1+x+x2+x3) = (1+x+x2+x3)(1+x4+...+x4n+ (x2000)∵1+x+x2+x3 = 0，∴1+x+x2+x3+…+x2003 = (1+x+x2+x3)(1+x4+…+x4n+…+x2000) = 0。

八上数学每日一练：提公因式法与公式法的综合运用练习题及答案_2020年填空题版答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年八上数学：数与式_因式分解_提公因式法与公式法的综合运用练习题1.(2020乌海.八上期末) 分解因式：9m -4m=________。

考点：提公因式法与公式法的综合运用;2.(2020龙岩.八上期末) 因式分解：________；考点： 提公因式法与公式法的综合运用;3.(2020淮滨.八上期末) 分解因式：3x -6x+3=________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;4.(2020南召.八上期末) 因式分解：ax -4ax+4a=________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;5.(2020息.八上期末) 分解因式 -2a +8ab-8b =________.考点： 提公因式法与公式法的综合运用;6.(2020安陆.八上期末) 因式分解：a +2a +a=________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;7.(2020盘锦.八上期末) 因式分解：2x ﹣8=________；（x +1）﹣4x =________；x ﹣x ﹣12=________．考点：提公因式法与公式法的综合运用;8.(2019椒江.八上期末) 因式分解：________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;9.(2019大连.八上期末) 分解因式：________.考点： 提公因式法与公式法的综合运用;10.(2019道里.八上期末) 把多项式4m ﹣16n 分解因式的结果是________．考点： 提公因式法与公式法的综合运用;2020年八上数学：数与式_因式分解_提公因式法与公式法的综合运用练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：32223222222224.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：。

2013组卷1 •在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式) ，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法•例如，如果要因式分解X2+2X - 3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：2 2 2X +2X - 3=X+2>^X1 + 1 - 1 - 3 ---------------- ①2 2=(X+1 ) - 2 ----------------- ②=* ■ •解决下列问题：(1)填空：在上述材料中，运用了_ _ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；(2)显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解X2+2X - 3;2(3)请用上述方法因式分解X - 4X- 5 •2•请看下面的问题：把X4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和( X2) 2+ (22) 2的形2 2 4 4 2 2 2式，要使用公式就必须添一项4X ,随即将此项4x减去，即可得X +4=X +4X +4 - 4X = (X +2)2 2 2 2 2 2 9-4X = ( X +2) -( 2X)= ( X +2 X+2 ) ( X - 2 X+2 )人们为了纪念苏菲？热门给出这一解法，就把它叫做热门定理”请你依照苏菲？热门的做法，将下列各式因式分解.4 4 2 2(1)X +4y ; (2) X - 2ax- b - 2ab.3. 下面是某同学对多项式(X2- 4X+2) (X2- 4X+6) +4进行因式分解的过程.解：设X2- 4x=y原式=(y+2) (y+6) +4 (第一步)2=y +8y+16 (第二步)2=(y+4)(第三步)=(X2- 4X+4) 2(第四步)回答下列问题：(1)___________________________________________________________ 该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______________________________________________________________ .A、提取公因式B.平方差公式C两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)__________________________________________________ 该同学因式分解的结果是否彻底.(填彻底”或不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________________________ .2 2(3)请你模仿以上方法尝试对多项式( X - 2X ) (X - 2X+2) +1进行因式分解.4. 找出能使二次三项式x2+ax - 6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a，并且将其进行因式分解.5. 利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.26•已知关于x的多项式3x+x+m因式分解以后有一个因式为(3x - 2),试求m的值并将多项式因式分解.7.已知多项式(a2+ka+25)- b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值并写出因式分解的过程.&先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：2解：2x+8x+102=2 ( x +4x+5)(提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式)z 2 2 2 x=2 (x +4x+2 - 2 +5)=2[ (x+2) +1](将二次多项式配方)=2 ( x+2) +2 (去掉中括号)因为当x取任意实数时，代数式2 (x+2) 2的值一定是非负数，那么 2 (x+2) 2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0,并且，当x= - 2时，原式有最小值2.请仿照上例，说明代数式- 2x2- 8x - 10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么. 9. 老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1;丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.10. 在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为 2 (x- 1)(x - 9),而乙同学看错了常数项，而将其分解为 2 (x - 2) (x - 4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.2 211. 观察李强同学把多项式(x +6x+10) (x +6x+8) +1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=(y+10) (y+8) +12=y +18y+81=(y+9) 22 2=(x +6x+9)(1 )回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： .2 2(2)仿照上题解法，分解因式：(x +4x+1) (x +4x- 3) +4.12. (1)写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母m和n,系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解) .(2)阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x (x+1) +x (x+1) = (1+x) [1+x+x (x+1)]①2=(1+x) (1+x)②=(1+x)③①上述分解因式的方法是_____________________ ，由②到③ 这一步的根据是 _______________________ ;2 2006②若分解1+X+X ( X+1) +X (X+1) +--+X ( X+1) ，结果是—_ ；③分解因式：1+X+X ( X+1)+X ( X+1 ) 2+"+X ( X+1 ) n (n 为正整数).13•阅读下面的材料并完成填空：._ 2 2因为(x+a) (x+b) =X + (a+b) x+ab,所以，对于二次项系数为1的二次三项式X +px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a, b两数满足a - b=a+b=p，则有2X +px+q= (x+a) (x+b) •2如分解因式X +5X+6•解：因为2>3=6, 2+3=5,所以X +5X+6= (X+2 ) ( X+3)•2再如分解因式X - 5X - 6.解：因为—6> = - 6,- 6+1=- 5,所以X - 5X - 6= ( X - 6) (X+1).同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.2 2 2 2因式分解：(1) X +7X+12 ; (2) X - 7X+12 ; ( 3) X +4X - 12; (4) X - X- 12.1 •请看下面的问题：把X4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲？热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和( X2) 2+ (22) 2的形2 2 4 4 2 2 2 式，要使用公式就必须添一项4X ,随即将此项4x减去，即可得X +4=X +4X +4 - 4X = (X +2)2 2 2 2 2 2 2-4X = ( X +2) -( 2X) = ( X +2X+2) ( X - 2 X+2)人们为了纪念苏菲？热门给出这一解法，就把它叫做热门定理”请你依照苏菲？热门的做法，将下列各式因式分解.4 4 2 2(1)X +4y ; (2) X - 2ax- b - 2ab.考点：因式分解-运用公式法.专题: 阅读型.分析: 这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.3解答: 4丿4 4*22/2 丿22解：(1) X +4y =X +4X y +4y - 4X y ,2 2 2 2 2=(X +2y ) - 4X y ,、/ 2 2 、z 2 2=(X +2y +2xy) ( X +2y - 2xy);/ 、 2 2(2) X - 2ax - b - 2ab,2 2 2 2=X - 2ax+a - a - b - 2ab,2 2 =(X - a) -( a+b),=(X - a+a+b) ( X - a - a - b),=(x+b) (X - 2a - b)•点本题考查了添项法因式分解，难度比较大. 评：2 22. 下面是某同学对多项式(x - 4x+2) (x - 4x+6) +4进行因式分解的过程. 解：设 x 1 2 3- 4x=y原式=(y+2) (y+6) +4 (第一步)=y 2+8y+16 (第二步)2=(y+4)(第三步) =(x - 4x+4)(第四步)回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C .A 、提取公因式B .平方差公式C 两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2) 该同学因式分解的结果是否彻底 不彻底 .(填 彻底”或 不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果(x - 2) 4 .(3) 请你模仿以上方法尝试对多项式( x 2- 2x ) (x 2- 2x+2) +1进行因式分解.考点：提公因式法与公式法的综合运用. 专题：阅读型.设 x 2- 2x=y . 2 -2x ) (x - 2x+2) +1, =y (y+2) +1,2=y +2y+1,2=(y+1),29=(x - 2x+1 ), =(x - 1) 4.点评：本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力, 即可，难度中等.3.找出能使二次三项式 x 2+ax - 6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a ，并且将其进行因式分解.考点：因式分解-十字相乘法等.分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a 是-6的两个因数的和，则-6可分成3X2(-2) , - 3 >2,6X(- 1), - 6X1，共4种，所以将x +ax - 6分解因式后有4种情况. 解答：解：x 2+x - 6= (x+3) (x - 2);2x - x - 6= ( x - 3) ( x+2); 2 x +5x - 6= ( x+6) (x - 1);2 x - 5x - 6= (x - 6) (x+1).分析：(1)完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差;22 x - 4x+4还可以分解，所以是不彻底.3 按照例题的分解方法进行分解即可.解答：解：(1)运用了 C,两数和的完全平方公式;(2) 2x - 4x+4还可以分解，分解不彻底; (3) (x 2按照提供的方法和样式解答点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数- 6的不同分解是本题的难点.4 •利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.考点：因式分解的应用.分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论.解答: 解：设两个连续偶数为2n, 2n+2,则有2 2(2n+2) -( 2n),=(2n+2+2n) (2n+2 - 2n),=(4n+2) >2,=4 (2n+1),因为n为整数，所以4 (2n+1)中的2n+1是正奇数，所以4 (2n+1 )是4的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除.点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，式对列出的式子进行整理，此题较简单.再用平方差公5•已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x - 2),试求m的值并将多项式因式分解.考点：1因式分解的意义.分析：由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x - 2，所以当x- •时多项式的值r 3为0,由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x +x+m进行因式分解，即可求出答案.解答：丿9解: ••• x的多项式3x +x+m分解因式后有一个因式是3x - 2, 当x-时寸多项式的值为0,3即3> . ；• -0,••• 2+m-0,/• m=- 2;2 2• 3x +x+m-3x+x - 2- (x+1) (3x - 2);故答案为：m=- 2, (x+1) (3x - 2).点评：:本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解.6. 已知多项式(a2+ka+25)- b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值并写出因式分解的过程.考点：因式分解-运用公式法.专题：开放型.分析：根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可.解答：丿1解 : k= ±10,假设k=10,2 2 2 2则有(a+10a+25)- b= (a+5) - b = (a+5+b) (a+5 - b).点评：J此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键.27•先阅读，后解题：要说明代数式2x+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：2解：2x+8x+102=2( x +4X+5)(提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式)2 2 2=2 (x +4x+2 - 2 +5)=2[ (x+2) +1](将二次多项式配方) =2 ( x+2) 2+2 (去掉中括号)2 2因为当x取任意实数时，代数式2 (x+2)的值一定是非负数，那么 2 (x+2) +2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0,并且，当x= - 2时，原式有最小值2•请仿照上例，说明代数式-2x2- 8x - 10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么.考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方.分析：按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案.解答：丿|解:- 2x - 8x- 102=-2 (x +4x+5)2 2 2=-2 (x +4x+2 - 2 +5)=-2[ ( x+2) 2+1]2=-2 (x+2) - 2因为当x取任意实数时，代数式2 ( x+2) 2的值一定是非负数，那么- 2 (x+2) 2-2 的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=- 2时，原式有最大值-2.点评：J | ] 此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用. 注意解此题的关键是将原代数式准确配方.&老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1;丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.考点：提公因式法与公式法的综合运用.专题：开放型.分析：能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍.解答：解：由题意知，可以理解为：甲：这是一个关于x三次三项式；3乙：三次项系数为1，即三次项为X；丙：这个多项式的各项有公因式X；丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法.故多项式可以为x(X- 1) 5 6=X ( X2- 2x+1) =X7- 2X2+X.点评：本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个多项式.答案不唯一.9•在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为 2 (x- 1) (x - 9),而乙同学看错了常数项，而将其分解为 2 (x - 2) (x - 4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.考点：因式分解的应用.分析：此题可以先将两个分解过的式子还原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可.2 2解答：解：2 ( x- 1) ( x- 9) =2x - 20X+18, 2 (x - 2) ( x- 4) =2x - 12x+16 ; 由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：2x2- 12X+18;2 2再对其进行因式分解：2x - 12x+18=2 (x - 3).点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待.10. 观察李强同学把多项式(x +6x+10) (x +6x+8) +1分解因式的过程：2解：设x +6x=y，则原式=(y+10) (y+8) +12=y +18y+81=(y+9) 22 2=(x +6x+9)(1 )回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：(x+3) 8.(2)仿照上题解法，分解因式： (x +4x+1) (x +4x- 3) +4.考点：因式分解-十字相乘法等.专题：换元法.分析：(1)根据x2+6x+9= (x+3) 2，进而分解因式得出答案即可;(2)仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可.2=y - 2y+12=(y - 1)2 2=(X +4X - 1).点评：此题主要考查了因式分解法的应用，键. 正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关解答：解：(1)这位同学的因式分解不彻底, 原式=(y+10) ( y+8) +16=y +18y+81=(y+9) 2,2 、2=(x +6x+9)=(x+3) 4.故答案为：(x+3)(2)设x2+4x=y, 原式=(y+1) (y - 3) +411. (1)写一个多项式，再把它分解因式(要求：多项式含有字母m和n,系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解) .(2)阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+X+X (X+1) +X (X+1) = (1+X) [1+X+X (X+1)]①2=(1+X) ( 1+X)②3=(1+X)③①上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③ 这一步的根据是同底数幕的乘法法则；2 / 、2006 /亠 e 口/ 、2007②若分解1+X+X ( X+1) +X (X+1) +••+X ( X+1) ，结果是(1+X) ；③分解因式：1+X+X ( X+1)+X ( X+1 ) 2+"+X ( X+1 ) n (n 为正整数).考点：1因式分解-提公因式法.分析：1(1)根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；(2)首先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案.解答：丿解: (1) mi - mri=m (vn - n2) =m (m- n) (m+n),(2)① 提公因式法，同底数幕的乘法法则；②根据①中可发现结论：(1 +X) 2007；n+1③(1+X).点评：J 1 1比题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式，公式法分解因式以及分解因式得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力.12. 阅读下面的材料并完成填空：因为(x+a) (x+b) =X2 + (a+b) x+ab,所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a, b两数满足a - b=a+b=p，则有2X +px+q= (x+a) (x+b).如分解因式X +5X+6.解：因为2>3=6, 2+3=5, 所以X +5X+6= (X+2 ) ( X+3).2再如分解因式X - 5X - 6.解：因为—6> = - 6,- 6+1=- 5,2所以X - 5X - 6= ( X - 6) (X+1).同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.O O O O因式分解：(1) X +7X+12 ; (2) X - 7X+12 ; ( 3) X +4X - 12; (4) X - X- 12.考点：因式分解-十字相乘法等.专题：阅读型.2分析：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x+px+q的因式解，就是把常数项q分解成_ 2两个数的积且使这两数的和等于P,则x +px+q=(x+a) (x+b).解答：解：(1) x2+7x+12= (x+3) (x+4);2(2)x - 7x+12= (x - 3) (x - 4);2(3)x +4x - 12= (x+6) (x - 2);2(4)x - x - 12= (x - 4) (x+3).点评：本题考查十字相乘法分解因式，是x2+ ( p+q) x+pq型式子的因式分解的应用，应识2记：x + ( p+q) x+pq= (x+p) (x+q).单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。