河北省辛集中学2020届高三4月数学(理)限时练13答案

河北省辛集中学2020届高三数学9月月考试题 理一．选择题（每小题5分，共80分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．2(12i)i-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．若函数()2231xx f x a -+=在()1,3上是增函数，则关于x 的不等式11x a ->的解集为（ ）A ．{}| 1 x x >B ．{}| 1 x x <C ．{}|0 x x >D ．{}|0 x x <4．在ABC ∆中，3,2,AB AC ==12BD BC =u u u r u u u r ，则AD BD ⋅=u u u r u u u r( )A ．52-B ．52C ．54-D ．545．设1a >，若曲线1y x=与直线1x =，x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2，则a = A ．2B ．eC ．2eD ．2e6．数列{a n }的通项公式是a n ＝，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．110D ．121 7．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题2000",0"x R x x ∃∈-≤的否定为2",0"x R x x ∃∈->B ．命题“在ABC ∆中，30A >o，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题 C ．若非零向量a v 、b v 满足||||||a b a b +=-v v v v ，则a v 与b v共线D ．设{a n }是公比为q 的等比数列，则”q>1”是{a n }为递增数列”的充分必要条件 8．定义在R 上的偶函数()cos x kf x ex -=-（其中e 为自然对数的底），记12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 5b f =， ()2c f k =+，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<9．在等差数列{}n a 中，1001010,0a a <>，且100101a a <，n S 为其前n 项和，则使0n S <的最大正整数n 为（ ） A ．202B ．201C ．200D ．19910．设函数(),0,013,1x xe xf x e x x x -⎧<⎪=≤≤⎨⎪->⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的取值范围是（ ） A ．91,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)1,2 C ．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦11．平行四边形ABCD 中2,1,AB AD ==1AB AD ⋅=-u u u r u u u r ，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅u u u r u u u r的最大值为( )A ．21-B ．31-C ．0D ．212．在数列{}n a 中，10a =，()()1522*,2n n a a n n N n --+=+∈≥，若数列{}n b 满足181()11n n n b n a +=+，则数列{}n b 的最大项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项13．已知函数1()4sin cos 2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为（ ） A ．2πB ．πC ．2π D ．4π 14．数列{}n a 是递减的等差数列，{}n a 的前项和是，且，有以下四个结论：①； ②若对任意,n N +∈都有成立，则的值等于7或8时；③存在正整数，使；④存在正整数，使.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④15．已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，对任意的x ∈R 满足()4f x x '>.当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos 20f αα+>的解集为( )A ．711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭16．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16(,)e eB ． 746[,)e eC ．741[,)e eD ．7416(0,][,)e e e U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 17．已知1sin()64x π+=，则 25sin()cos ()63x x ππ-+-的值是_____. 18．已知12()2log (3)x f x x =-+,，若2(2)(2)f a f a a -<-，则a 的取值范围______． 19. 丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为()f x '，()f x '在上的导函数为()f x ''，若在上()0f x ''<恒成立，则称函数f(x)在上为“凸函数”，已知4323()1,4432x t f x x x t =-+在（）上为“凸函数”，则实数的取值范围是 。

2020届河北省辛集中学高三第三次阶段考试高三数学（理科）试卷一．选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．若命题p 为：[)1,,sin cos x x x p ∀∈+∞+≤⌝为（ ） A ．[)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+> B ．[),1,sin cos x x x ∃∈-∞+>C ．[)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+> D ．(),1,sin cos x x x ∀∈-∞+≤2．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-3．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S , 1315310a a a ++=,则9S 的值为 A ．14B ．20C ．18D ．164．朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。

他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。

“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为，第八个音的频率为，则等于（ ）A.B.C.D.5．已知实数,x y 满足约束条件20220240x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若(12)z y ax a =-≤≤的最小值为M ，最大值为N ，则MN的取值范围是 A ．3[1,]2 B ．3[,1]2-- C ．3[,0]2-D ．31[,]22--6．在平面直角坐标系xOy 中，()()()()()()11221,0,1,0,4,0,0,4,,,,A B M N P x y Q x y -，若113,22AP BP OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫==-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则PQ 的最小值是（ ）A ．2B ．4-C ．2D ．2-7．函数()f x 与它的导函数()f x '的图象如图所示，则函数()()exf xg x =的单调递减区间为（ ）．A ．()0,4B ．(),1-∞， 4,43⎛⎫⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,1， ()4,+∞ 8．已知椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为A.(2B.(0,2C.2D. 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,CD CC A B 的中点，用过点,,E F G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )A. B. C. D.10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =±D ．y =11.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是A B ．132C ．6D ．12．已知实数,,,a b c d 满足1211c a c de b --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）A ．18B ．12C ．10D ．8 二、填空题13．已知1sin()3απ+=，则sin cos 2αα的值为__________． 14．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 是棱1BB 上一点，若异面直线1AC 与PD 所成角的余弦值为33，则BP =_______. ()()212,1 11,1x x f x x x⎧--+≤⎪=⎨+>⎪⎩15.已知函数，下列四个命题:①f(f(1))>f(3)； ②∃x 0∈(1,+∞),f'(x 0)=- 1/3； ③f(x)的极大值点为x=1； ④∀x 1,x 2∈(0,+∞),|f(x 1)-f(x 2)|≤1 其中正确的有_________（写出所有正确命题的序号）16．已知P 为椭圆22198x y +=上一个动点，直线l 过圆()2211x y -+=的圆心与圆相交于,A B 两点，则PA PB ⋅的取值范围为 .三、解答题17．已知在△ABC 中，23C π∠=． （1）若225c a ab =+，求sin sin BA； （2）求sin sin A B ⋅的最大值． 18．设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，已知11a =，3246234S S S ++=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若12212n n n n n a a b a a ++++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF//平面PCE ，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B --PB 与平面ABCD 所成的角．20．已知点M 是圆1F ：22(36x y ++=上的一动点，点2F ，点P 在线段1MF 上，且满足22()0PM PF MF +⋅=.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设曲线C 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴的交点分别为点A ，B ，斜率为13的动直线l 交曲线C 于D 、E 两点，其中点D 在第一象限，求四边形ADBE 面积的最大值.21．已知函数()()1xf x a x e =--，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间及极值；（2）设()()22ln m g x x t x t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当1a =时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，使方程()()12f x g x =成立，求实数m 的最小值．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ． （1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线π(0)2θαα=<<与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （与原点不重合），求||||ON OM 的最大值.河北辛集中学2017级高三上学期第三次阶段考试高三数学（理科）试卷答案一、单选题1-5．CCCAB 6-10．CDACD 11.CD 二、13．37-14．1 15.① ② ③ ④ 16.[]3,15 三、17．（1）由余弦定理及题设，得．由正弦定理，，得．（2）由（1）知．．因为，所以当，取得最大值．18．（1）记n n S c n =，∴1111Sc ==，又{}n c 为等差数列，公差记为d ， 2432c c c +=，∴32c =，得12d =，∴12n n c +=，得22n n nS +=2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，1n =时也满足.综上n a n =（2）由（1）得12221n n n b n n ++=+-++ ()()1111212n n n n ==-++++ ∴111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122n =-+，19．（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C，)B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得200y az y -=⎧⎪-=，令1x =，则y =z a =，所以取1,3,m ⎛= ⎝⎭，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =，由题意：2cos ,4mn ==，所以a =由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以PBD ∠为直线PB与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆中，tan PDPBD a BD∠===，从而60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒.20．（1）由题意，()()()2222PM PF MF PM PF PF PM +⋅=+⋅- 2220PF PM =-=，∴2PF PM =.∴1211PF PF PF PM FM +=+= 12642F F =>=， ∴点P 的轨迹是以点1F ，2F为焦点且长轴长为6的椭圆， 即26a =，2c =，∴3a =，c =2221b a c =-=.即点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=.（2）由（1）可得()3,0A ，()0,1B . 设直线l 的方程为13y x m =+，由点D 在第一象限，得11m -<<，()11,D x y ，()22,E x y ，由221399y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2226990x mx m ++-=， 则123x x m +=-，212992m x x -=，DE ==，点A 到直线DE的距离为131m d +==，点B 到直线DE的距离为231m d -==∴四边形ADBE 面积()1212ADE BDE S S S DE d d ∆∆=+=⨯+12==又11m -<<，∴当0m =时，S 取得最大值即四边形ADBE 面积的最大值为21．1）由()()1xf x a x e =--得：()()1xf x a x e '=--令()0f x '=，则()10xa x e --=，解得1x a =-当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '>当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<()f x 的单调递增区间为(),1x a ∈-∞-，单调递减区间为()1,x a ∈-+∞当1x a =-时，函数()f x 有极大值()111a f a e--=-，()f x 没有极小值（2）当1a =时，由（1）知，函数()f x 在10x a =-=处有最大值()0010f e =-= 又因为()()22ln 0m g x x t x t ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭∴方程()()12f x g x =有解，必然存在()20,x ∈+∞，使()20g x =x t ∴=，ln mx t=等价于方程ln x xm=有解，即ln m x x =在()0,∞+上有解 记()ln h x x x =，()0,x ∈+∞()ln 1h x x '∴=+，令()0h x '=，得1x e=当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增所以当1x e =时，()min 1h x e=-,所以实数m 的最小值为1e - 22．（1）消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=，故4cos sin ρθθ=+．由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =，设(),Q ρθ，则,4P ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由点P 是曲线1C 上的动点，可得2cos 4ρθ=，即8cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．（2）因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cos sin ρθθ=+，8cos ρθ=，所以4cos sin OM αα=+，||8cos ON α=，所以()||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当π8α=时，||||ON OM 1．。

2020年河北省石家庄市辛集中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是直角三角形参考答案：C2. 已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是A. B. C.D.参考答案：C3. 同时具有性质①最小正周期是；②图像关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（）A． B．C． D．参考答案：C4. 执行右边的程序框图,输出的S值为A B C D参考答案：A5. 已知函数的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若，且，则A． B． C．D．参考答案：D6. 投掷两枚骰子，则点数之和是6的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用乘法原理计算出所有情况数，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，再看点数之和为6的情况数，最后计算出所得的点数之和为6的占所有情况数的多少即可．解答：解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是6，列举出有（1，5）（2，4）（3，3）（4，2），（5，1）共有5种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选：A．点评：本题根据古典概型及其概率计算公式，考查用列表法的方法解决概率问题；得到点数之和为6的情况数是解决本题的关键，属于基础题．7. 已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；（2）讨论函数f（x）在上的单调性．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求得ω，可得其解析式，利用正弦函数的图象的对称求得函数y=f（x）图象的对称轴方程．（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在上的单调性．【解答】解：（1）∵，且T=π，∴ω=2．于是，令，得，即函数f（x）的对称轴方程为．（2）令，得函数f（x）的单调增区间为．注意到，令k=0，得函数f（x）在上的单调增区间为；同理，求得其单调减区间为．8. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略9. 有四个关于三角函数的命题：或；；；.其中真命题是（）A． B． C．D．参考答案：D考点：命题真假10. 若直线l与平面垂直,则下列结论正确的是（）A．直线l与平面内所有直线都相交 B．在平面内存在直线m与l平行C．在平面内存在直线m与l不垂直 D．若直线m与平面平行,则直线l⊥m 参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合A=, 函数，若, 且,则的取值范围是_________．参考答案：12. 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为．参考答案：【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=故答案为：．13. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为．参考答案：﹣【考点】函数的值．【分析】由奇函数的性质得当x＞0时，f（x）=﹣，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出f （log49）的值．【解答】解：∵f（x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）=2x，∴当x ＞0时，f （x ）=﹣，∴f（log 49）=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意奇函数的性质和对数函数的性质、换底公式的合理运用．14. 已知x ，y 满足约束条件，且z=2x+4y 的最小值为6，则常数k=．参考答案：﹣3【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由z 的值等于6求得k 的值．【解答】解：由约束条件作可行域如图，图中以k=0为例，可行域为△ABC 及其内部区域，当k ＜0，边界AC 下移，当k ＞0时，边界AC 上移，均为△ABC 及其内部区域． 由z=2x+4y ，得直线方程，由图可知，当直线过可行域内的点A 时，z 最小．联立，得A （3，﹣k ﹣3）．∴z min =2×3+4（﹣k ﹣3）=﹣4k ﹣6=6，解得k=﹣3． 故答案为：﹣3．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．15. 如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量在A 点处与圆O相切，点P 是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则·的取值范围是 .参考答案：16. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为参考答案：17. 下列命题中： ①集合A={），B={}，若B A ，则-3a 3② 函数与直线x=l 的交点个数为0或l③ 函数y=f （2-x ）与函数y=f （x-2）的图象关于直线x=2对称④ ，+∞）时，函数的值域为R⑤ 与函数关于点（1，-1）对称的函数为（2 -x ）上述说法正确的题号为参考答案：②③⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。

河北省辛集中学2020届高三上学期模拟考试（一）数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1A x N x =∈≤，{}12B x x =-≤≤，则A B =（ ）A. {}0,1B. {}-1,0,1C. []-l,lD. {}12. 2(1)i += A. 2iB. 2i -C. 2D. -23. 已知命题:p 方程210x ax +-=有两个实数根；命题:q 函数()4sin sin f x x x=+，()0,x π∈的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ⌝∧；④p q ⌝⌝∨．则其中真命题的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 44. 对任意x ，下列不等式恒成立的是（ ）A. 20x >B.0>C. 1102x⎛⎫+> ⎪⎝⎭D. lg 0x >5. 设向量(,1)a x =，(1,3)b =-，且a b ⊥，则向量3a b -与b 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 6. 运行如图所示的程序框图，输出的n 等于（ ）A. 27B. 28C. 29D. 307. 已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下图 所示，()cos(g x A x ω=+0)x 的图象的对称轴方程可以．．是（）A. 724x π=-B. 48x π=C. 2x π=D. 12x π=8. 如图，在矩形ABCD 中，//EF AD ，//GH BC ，2BC =，1AF BG ==，FG =，现分别沿EF 、GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 6πC.163π D.83π 9. 已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是( )A. [)1,2,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.将二项式6(x 展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A.27B.37C.835D.72411. 关于下列命题，正确的个数是（ ）（1）若点()2,1在圆2222150x y kx y k ++++-=外，则2k >或4k <-；（2）已知圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=，直线y kx =，则直线与圆恒相切；（3）已知点P 是直线240x y ++=上一动点，PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=两条切线，A 、B 是切点，则四边形PACB 的最小面积是2；（4）设直线系:cos sin 22cos M x y θθθ+=+，M中的直线所能围成的正三角形面积都等于A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有1'()()x f x f x e=-（e 是自然对数的底数），(0)0f =，若不等式()0f x k ->的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A. 221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3232,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3232,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 3232,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13. 已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()1f a =，则实数a =_________.14. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()11f =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()421n n a S n N +-=∈，()()35f a f a +=_________.15. 抛物线()2:20C y px p =>的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作C 的两条切线，切点分别为P 、Q ，则PMQ ∠=__________.16. 已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.三、解答题：共70分。

河北辛集中学2017级高三上学期第三次阶段考试高三数学（理科）试卷一．选择题1.若命题p 为：[)1,,sin cos x x x p ∀∈+∞+⌝为（ ） A. [)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+>B. [),1,sin cos x x x ∃∈-∞+>C. [)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>D. (),1,sin cos x x x ∀∈-∞+≤【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.【详解】根据p ⌝的构成方法得，p ⌝为[)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>故选C. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2.若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( )A. 34±B.43C. 34-D. 43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题. 3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S , 1315310a a a ++=,则9S 的值为 A. 14 B. 20C. 18D. 16【答案】C 【解析】 【分析】将条件1315310a a a ++=用首项、公差来表示，得到5a ，再由等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质求S 9．【详解】1315111332d 14a a a a a a d Q ++=++++=51a +20d=10， ∴1a +4d=2，即5a =2， 则9S =1992a a +⨯=5918a ⨯=. 故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，应用了等差数列的性质，是基础题． 4.朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为2f ，第八个音的频率为8f ，则82f f 等于（ ）【答案】A 【解析】 【分析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n }，设公比为q ，推导出q=1122，由此能求出82f f 的值．【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n }，设公比为q ， 则13a =121a q ，且13a =2a 1，∴q=1122，∴82f f =82a a =q 6=61122⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故选A ．【点睛】本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.已知实数,x y 满足约束条件20220240x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若(12)z y ax a =-≤≤的最小值为M ，最大值为N ，则MN的取值范围是 A. 3[1,]2B. 3[,1]2-- C 3[,0]2-D. 31[,]22--【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域，利用z 的几何意义求得最大及最小值即可求解 【详解】画出可行域如图阴影所示：化z y ax =-为斜截式,y ax z =+,当直线过C 时z 最大，联立20220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C（2433-，）；当直线过B 时z 最小，此时B （2，0），故N=423 ,2,1?22233133M aa M a aaNa--+=-==≤≤++，则MN的取值范围是3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选B【点睛】本题考查线性规划，利用z的几何意义准确计算是关键，是基础题6.在平面直角坐标系xOy中，()()()()()()11221,0,1,0,4,0,0,4,,,,A B M N P x y Q x y-，若113,22AP BP OQ t OM t ON⎛⎫⎛⎫==-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u rg，则PQu u u r的最小值是（）A. 322B. 422-C. 222D. 22-【答案】C【解析】【分析】根据·3AP BP=u u u v u u u v，判断出P在以原点为圆心，半径为2的圆上，根据1122OQ t OM t ON⎛⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v得到,,Q M N三点共线，利用圆心到直线MN的距离减去半径2，求得PQu u u v的最小值.【详解】由于·3AP BP=u u u v u u u v，即()()221122111,1,13x y x y x y+⋅-=+-=，即22114x y+=，所以P在以原点为圆心，半径为2的圆上.1122OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v得到,,Q M N三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，PQu u u v的最小值等于圆心到直线MN的距离减去半径2，直线MN的方程为144x y+=，圆心到直线的距离为4222=，故PQu u u v的最小值是222-，故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三点共线的向量表示，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7.已知函数()f x与'()f x的图象如图所示，则函数()()xf xg xe=（其中e为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A. (0,4)B. (,1)-∞，4,43⎛⎫⎪⎝⎭C.40,3⎛⎫⎪⎝⎭D. (0,1)，(4,)+∞【答案】D【解析】分析：结合函数的图象求出()()0f x f x '-<成立的x 的取值范围，即可得到结论． 详解：结合函数的图象可知：(0,1)x ∈和(4,)x ∈+∞时，()()0f x f x '-<， 又由()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e-''=， 令()0g x '<，解得(0,1)(4,)x ∈⋃+∞，所以函数()g x 的递减区间为(0,1),(4,)+∞，故选D ．点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到()()0f x f x '-<，进而得到()0g x '<的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．8.已知椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为 A. 2(,1)2B. 2(0,2C. 3D. 3) 【答案】A 【解析】由题意00M a N a -（，），（，）． 设00H x y （，） ，则222202 ()b y a x a．=- 2222202000222220000()1,02MH NHb a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⎛⎫∴=⋅===-∈- ⎪+---⎝⎭可得：222212 1(0)(1)2c a e e a -=-∈-∴∈，， 故选A ．9.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,CD CC A B 的中点，用过点,,E F G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】取1AA 的中点H ，连GH ，则GH 为过点E ，F ，G 的平面与正方体的面11A B BA 的交线． 延长GH ，交BA 的延长线与点P ，连E P ，交AD 于N ，则NE 为过点E ，F ，G 的平面与正方体的面ABCD 的交线．同理，延长EF ，交11D C 的延长线于Q ，连GQ ，交11B C 于点M ，则FM 为过点E ，F ，G 的平面与正方体的面11BCC B 的交线．所以过点E ，F ，G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN ．故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C 所示．选C ．10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2y x =±B. 3y x =±C. y x =±D.2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，可得2a 2OA F B BM a ===，，222F M a =，12F B b =，结合双曲线定义可得2b a =从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，∵1F M 与圆222x y a +=相切，1245F MF ∠=︒∴2a 2OA F B BM a ===，，222F M a =，12F B b = 又点M 在双曲线上，∴1222222a F M F M a b a -=+-= 整理，得2b a =，∴2ba=∴双曲线的渐近线方程为2y x = 故选A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.11.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =u u u v u u u v（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是B. 6C.132D. 【答案】B 【解析】【详解】设直线AB 的方程为x ty m =+，点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 与x 轴交点为()0M m ，∴联立2{x ty m y x=+=，可得2y ty m =+，根据韦达定理得12y y m ⋅=-． ∵·6OAOB =u u u r u u u r∴12126x x y y +=，即()2121260y y y y ⋅+⋅-= ∵,A B 位于x 轴的两侧 ∴123y y ⋅=- ∴3m =设点A 在x 轴的上方，则10y >∵1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()12121111111113319434()26224222S S y y y y y y y y +=⨯⨯-+⨯⨯=++=+≥ 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号 ∴124S S +最小值是6故选B点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．12.已知实数a b c d ,,,满足1211ca c de b --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）A. 18B. 12C. 10D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由已知得点(,)a b 在直线2y x =-上，点(,)c d 在曲线2xy x e =-上，()()22a cb d -+-的几何意义就是直线2y x =-到曲线2xy x e =-上点的距离最小值的平方，由此能求出()()22a cb d -+-的最小值.【详解】Q 实数a b c d ,,,满足1211ca c deb --==-，2,2c d c e b a ∴=-=-，∴点(,)a b 在直线2y x =-上，点(,)c d 在曲线2x y x e =-上，()()22a cb d -+-的几何意义就是直线2y x =-到曲线2xy x e =-上点的距离最小值的平方，考查曲线2xy x e =-平行于直线2y x =-的切线，12x y e '=-Q ，令121x y e '=-=-，解得0x =，切点为(0,2)-，该切点到直线2y x =-的距离d ==离，故()()22a cb d -+-的最小值为28d =. 故选：D【点睛】本题主要考查了代数式最小值的求法，曲线的切线，导数的几何意义，点到直线的距离，两点间距离公式，属于难题. 二、填空题 13.已知1sin()3απ+=，则sin cos 2αα的值为__________． 【答案】37- 【解析】 【分析】 由()1sin 3απ+=得1sin 3α=-，然后根据倍角公式将cos2α用sin α表示后可得所求结果．【详解】∵()sin sin απα+=-， ∴1sin 3α=-， ∴221sin sin 3cos212sin 1123αααα-==-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭37=-．故答案为37-． 【点睛】本题考查利用三角变换求值，解题时注意变换公式的灵活运用，属于基础题． 14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 是棱1BB 上一点，若异面直线1AC 与PD 所成角的余弦值为1133，则BP =_______.【答案】1【解析】 【分析】由空间向量的方法，根据异面直线1AC 与PD 所成角的余弦值为1133，即可求出B P 的长.【详解】以D 为坐标原点，以DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴,1DD 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，设B P a=，则()()()()()1D 0,0,0,A 4,0,0B 4,4,00,4,44,4,C P a ，，，，，所以()()14,4,4,4,4DP a AC ==-u u u r u u u u r，，设异面直线1AC 与PD 所成的角为θ， 则112111cos 333243DP AC cosDP AC DP AC a θ====+⨯u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u n u r ，，解得1a =，即B 1P =. 故答案为1【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.15.已知函数()()212,1{?11,1x x f x x x--+≤=+>下列四个命题：①f(f(1))>f(3)； ②∃x 0∈(1,+∞),f'(x 0)=-1/3； ③f(x)的极大值点为x=1； ④∀x 1,x 2∈(0,+∞),|f(x 1)-f(x 2)|≤1 其中正确的有_________（写出所有正确命题的序号） 【答案】① ② ③ ④ 【解析】函数()f x 的图形如图所示，对于① ，()()()()()3412,12,323f ff f f ====，①正确；对于② ，1x > 时，()211',3f x x x =-=-⇒= ②正确；对于③，根据图形可判断③ 正确；对于④ ，()0,x ∈+∞ 时，()()()()121212,,0,,1f x x x f x f x <≤∴∀∈+∞-≤ ，故④正确，故答案为① ② ③ ④.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及函数的极值，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．16.已知P 为椭圆22198x y +=上一个动点，直线l 过圆()2211x y -+=的圆心与圆相交于,A B 两点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围为_________.【答案】[]3,15 【解析】 【分析】设(3cos ,)P θθ，由圆()2211x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =，由于2,PA PB PC PB PA AB +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r利用数量积的运算性质和余弦函数的单调性，二次函数的最值，即可求出范围.【详解】设(3cos ,)P θθ,圆()2211x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =Q 2,PA PB PC PB PA AB +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,22222224,2PA PB PA PB PC PA PB PA PB AB ∴++⋅=+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2244PA PB PC AB ∴⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r 222211(3cos 1))444PA PB PC AB θθ∴⋅=-=-+-⨯u u u r u u u r u u u r u u u r2cos 6cos 8θθ=-+ 2(cos 3)1θ=--当cos 1θ=时取得最小值3，当cos 1θ=-时取得最大值15，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围为[]3,15， 故答案为：[]3,15【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，数量积的运算性质，椭圆的参数方程，圆的对称性，余弦函数的性质，属于难题. 三、解答题17.已知在△ABC 中，23C π∠=． （1）若225c a ab =+，求sin sin BA； （2）求sin sin A B ⋅的最大值． 【答案】(1)2 (2)14【解析】 【分析】（1）由余弦定理即题设可得2b a =，进而利用正弦定理可求得sin 2sin BA=； （2）由（1）知3A B π∠+∠=，利用三角函数恒等变换的应用，化简可得sin sin A B -=11sin(2)264A π+-，利用正弦函数的图象与性质，即可求解最大值. 【详解】（1）由余弦定理及题设，得．由正弦定理，，得．（2）由（1）知．．因为，所以当，取得最大值．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换的应用和三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了转化思想和推理与运算能力，属于基础题.18.设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，已知11a =，3246234S S S ++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若12212n n n n n a a b a a ++++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) n a n = (2) 1122n -+ 【解析】试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到{}n a 的通项公式； （2）1112n b n n =-++，利用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和n T . 试题解析： （1）记n n S c n =，∴1111Sc ==，又{}n c 为等差数列，公差记为d ， 2432c c c +=，∴32c =，得12d =，∴12n n c +=，得22n n nS +=2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，1n =时也满足.综上n a n =（2）由（1）得12221n n n b n n ++=+-++ ()()1111212n n n n ==-++++ ∴111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L1122n =-+， 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为()11n a n n =+，求前n 项和： ()11111n a n n n n ==-++；（2）已知数列的通项公式为()()12121n a n n =-+，求前n 项和：()()1111212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭；（3）已知数列的通项公式为1n a n n =++，求前n 项和:.11n a n n n n ==+-++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF P 平面PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角D FC B --2PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒ 【解析】 【分析】（Ⅰ）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到//AF EQ ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF 平面PEC .（Ⅱ）以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为m v ，和平面DFC 的法向量n v，利用向量的夹角公式，求得3a =PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-u u u v，)3,1,0CB =-u u u v ，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =v，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得2030y az x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则3y =3z a =，所以取233,m ⎛= ⎝⎭v ，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =v， 由题意：22cos ,41213m n a==++v v，所以3a =由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆中，tan 3PDPBD a BD∠===，从而60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20.已知点M 是圆1F ：22(36x y ++=上的一动点，点2F ，点P 在线段1MF 上，且满足22()0PM PF MF +⋅=u u u u r u u u u r u u u u r.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设曲线C 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴的交点分别为点A ，B ，斜率为13的动直线l 交曲线C 于D 、E 两点，其中点D 在第一象限，求四边形ADBE 面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=；（2）【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的运算，可得2PF PM =，化简得12126PF PF F F +=>=利用椭圆的定义，即可求得动点的轨迹方程． （2）设直线l 的方程为13y x m =+，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，求得 1212,x x x x +和DE，在利用点到直线的距离公式，求得点A 到直线DE 的距离1d 和点B到直线DE 的距离为2d ，得出四边形ADBE 面积，即可求解．【详解】（1）由题意，()()()2222PM PF MF PM PF PF PM +⋅=+⋅-u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v2220PF PM =-=u u u u v u u u u v ，∴2PF PM =.∴1211PF PF PF PM FM +=+= 126F F =>=， ∴点P 的轨迹是以点1F ，2F 为焦点且长轴长为6的椭圆，即26a =，2c =，∴3a =，c =2221b a c =-=.即点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=.（2）由（1）可得()3,0A ，()0,1B .设直线l 的方程为13y x m =+，由点D 在第一象限，得11m -<<，()11,D x y ，()22,E x y ， 由221399y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2226990x mx m ++-=， 则123x x m +=-，212992m x x -=，DE ==，点A 到直线DE的距离为131m d +==，点B 到直线DE的距离为231m d -==∴四边形ADBE 面积()1212ADE BDE S S S DE d d ∆∆=+=⨯+12==， 又11m -<<，∴当0m=时，S 取得最大值即四边形ADBE 面积的最大值为【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数()()1xf x a x e =--，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间及极值； （2）设()()22ln m g x x t x t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当1a =时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，使方程()()12f x g x =成立，求实数m 的最小值．【答案】（1）单调递增区间为(,1)x a ∈-∞-，单调递减区间为(1,)x a ∈-+∞.函数()f x 有极大值且为1(1)1a f a e --=-，()f x 没有极小值.（2）1e-【解析】 【分析】（1）通过求导，得到导函数零点为1x a =-，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为()1f a -，无极小值；（2）由()f x 最大值为0且()0g x ≥可将问题转化为ln x xm=有解；通过假设()ln h x x x =，求出()h x 的最小值，即为m 的最小值. 【详解】（1）由()()1xf x a x e =--得：()()1xf x a x e '=--令()0f x '=，则()10xa x e --=，解得1x a =-当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '> 当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<()f x 的单调递增区间为(),1x a ∈-∞-，单调递减区间为()1,x a ∈-+∞当1x a =-时，函数()f x 有极大值()111a f a e--=-，()f x 没有极小值（2）当1a =时，由（1）知，函数()f x 在10x a =-=处有最大值()0010f e =-= 又因为()()22ln 0m g x x t x t ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭∴方程()()12f x g x =有解，必然存在()20,x ∈+∞，使()20g x =x t ∴=，ln mx t =等价于方程ln x xm=有解，即ln m x x =在()0,∞+上有解记()ln h x x x =，()0,x ∈+∞()ln 1h x x '∴=+，令()0h x '=，得1x e=当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增所以当1x e =时，()min 1h x e=- 所以实数m 的最小值为1e - 【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ．（1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线π(0)2θαα=<<与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （与原点不重合），求||||ON OM 的最大值. 【答案】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=.2C 的极坐标方程为8cos ρθ=（21【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程；（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．【详解】（1）消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=， 故4cos sin ρθθ=+． 由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =，设(),Q ρθ，则,4P ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点P 是曲线1C 上的动点，可得2cos 4ρθ=，即8cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．（2）因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cos sin ρθθ=+，8cos ρθ=， 所以4cos sin OM αα=+，||8cos ON α=，所以()||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当π8α=时，||||ON OM 1． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．。

河北省辛集中学2020届高三数学第三次阶段考试试题 文第I 卷选择题部分一、单选题1．集合01{|}M x x ＝＜＜，1222xN x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂等于（ ）A ．)[11﹣，B ．)[01，C ．[11]﹣，D ．01（，）2．已知复数34z i =+，则5z的虚部是（ ） A ．45-B ．45C ．4-D ．43．已知x ∈R ，则“1x ≠”是“2430x x -+≠”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．3B ．33C ．6D ．36 5．若1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．23-C ．12-D ．13-6．已知向量,a b r r 满足||2,||1a b ==rr ，且|2|23a b +=r r，则a r 与b r的夹角为( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7．直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为23，则直线的斜率为( ) A ．3B ．3±C ．3 D ．3±8．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A ．224412125x y -=B ．224412125x y +=C ．224412521x y -=D ．224412521x y +=9．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，121AB BC AA ，===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ．63B ．25C ．155D ．10510．数列{}n a 各项均为正数，且满足()*1221111,12,n n a n n N a a -=-=≥∈，则1024a =（） A ．2 B ．116C ．232D ．13211．已知0x >，0y >，lg 4lg 2lg8xy+=，则1421x y++的最小值是（ ）. A ．3 B ．94C ．4615D ．912．将函数()3cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 为偶函数，则函数()y f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,3⎡⎤-⎢⎥⎣ 13．已知数列{}n a 满足11a =，()*11(1)n n n n a a a a n N n n ++-=∈+，则n na 的最小值是（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．214．若存在唯一的正整数0x ，使得不等式20xxax a e -->成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．24(0,)3eB ．241(,)3e eC ．1(0,)eD ．241[,)3e e第II 卷 非选择题部分二、填空题15．已知向量()()236a b m =-=r r ，，，，且a b r r ‖则实数m =______.16．己知两点(3,2)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围________17．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点P 是椭圆上在第一象限上的点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为A ,若2OA b =,则椭圆的离心率为_______.18．己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论：①()f x 的图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）. 三、解答题19．设()()()2sin sin cos f x x x x x π=-⋅-- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.20．已知等差数列{}n a 中，15422, 15a +a =a =，数列{}n b 满足24log 3,*n n b a n N =-∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若12(1)n n T nb n b b =+-+⋯+，求数列{}n T 的通项公式.21．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2AP AB ==，4AC =，D 是AC 的中点，E 是线段BC 上的一点，且5AE =.（1）求证：//DE 平面PAB ； （2）求点C 到平面PDE 的距离.22．已知圆C ：()()22344x y -+-=，直线l 过定点()1,0A ． （1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．23．已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a -≤＜，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围文数答案 1．D 2.A 3.B4．A 由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为()123332+⨯=，高为2，因此，这个四棱锥的体积为1332332⨯⨯=，5．C 解：∵1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2cos 222a a πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 22a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭212sin 4πα⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭111242=-+⨯=-,6．B 7.D8．D 由圆的方程可知，圆心()1,0C -，半径等于5， 设点M 的坐标为(),x y ，AQ Q 的垂直平分线交CQ 于M ，MA MQ ∴=，又 5MQ MC +=，5MC MA AC ∴+=>，依据椭圆的定义可得，点M 的轨迹是以,A C 为焦点，且2125,1,a c b ==∴=，故椭圆方程为221252144x y +=9．D 如图所示，在平面1111D C B A 内过点1C 作11B D 的垂线，垂足为E ，连接BE .1111111111C E B D C E BB C E B D BB B ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面11BDD B ，1C BE ∴∠的正弦值即为所求.221215BC =+=Q ，1222C E ==，111210sin 55C E C BE BC ∴∠===.10．D因为()*2211112,n n n n N a a --=≥∈，121=1a 所以数列21{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列，所以21=0,n n n n a a a n ⇒>所以10241321024a = 11．B 0x Q >，0y >，428x y lg lg lg +=，所以428x y =g ，即23x y +=， 所以(21)4x y ++=，则1411414(21)549()(21)(5)2142142144y x x y x y x y x y +++=+++=++=+++…， 当且仅当4(21)21y x x y +=+且214x y ++=即16x =，83y =时取等号，则1421x y ++的最小值是94． 12．D ()f x 图像向左平移6π个单位，得到函数()π323g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于函数()g x 为偶函数，故πππ,π33k k ϕϕ+==-，由于02πϕ-<<，故令0k =求得π3ϕ=-.所以()π323f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()33f x ⎡∈⎢⎣13．C 解：由()*11(1)n n n n a a a a n N n n ++-=∈+，得111(1)111n n n n a a a a n n n n ++-==-++，即111111n n a a n n +-=-+，11221111111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211111112111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---111n =-+12(2)n n =-≥(2)21n n a nn ∴=-…，当1n =时，上式成立，21n n a n ∴=- 22222121121(1)1111n n n n n n n nna ==∴=-----+= 要n na 取最小值，则21(1)1n--+要最大，∴当1n =时，n na 取最小值，最小值为1.14．D 由20x xax a e--=可得2(1)x x a e x =+，令2()(0)(1)xx h x x e x =>+, 则22222()(1)x x x h x e x --+'=+，令()0h x '=, 得152x -+=，15(0,1)2-+∈，(0)0,(1)0h h ''><，所以函数在(0,1)上有唯一极大值点，在[1,)+∞上是减函数，因为214(1),(2)3h h e e ==所以要使不等式存在唯一的正整数0x ，需2413a e e≤< 15．4-16．由题意，直线1y kx =-恒经过定点(0,1)P -， 由直线的斜率公式，可得2(1)5(1)1,63010PA PB k k ----====----，要使直线:1l y kx =-与线段AB 有公共点，61-≤≥k k 或 17．3由题意可知2||||PM PF =由椭圆定义可知12||||2PF PF a +=，固有11|||2|||PF PM MF a +==，连接OA ，知OA 是三角形12F F M 的中位线，11||2OA MF a ∴==，又2OA b =，得2b a =则()222244a ba c==-，即2234ca =，3c e a ∴== 18．②④3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩根据图像知：①()f x 的图象关于直线y 轴对称，错误②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，正确 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭，错误④()f x 的最大值为12，正确19．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（23解（1）()()23sin sin f x x x π=--()22sin cos 23sin x x x -=-()12sin cos x x -)31cos2sin 21sin 23x x x x =-+-=+312sin 2313x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ≤-≤+（k Z ∈），得1212k x k π5ππ-≤≤π+（k Z ∈）. 所以()f x 的单调递增区间是5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.（2）由（1）知()2sin 2313f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到2sin 313y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到2sin 1y x =+的图象， 即()2sin 1g x x =+.所以2sin 166g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭20．（1）12n n b -=（2）n T =122n n +--（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得111422315a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，41n a n ∴=-，又24log 34(1)n n b a n =-=-， 12n n b -∴=.（2）令数列{}n b 的前n 项和为n S .121(1)2n n n T nb n b b b -=+-+⋯++()()11212n b b b b b b =+++⋯+++⋯+=()()212(21)2121n n S S S ++⋯+=-+-++-L ()()212122222212n n n n n n +-=++⋯+-=-=---.21．（1）证明见解析；（2.（1）证明：因为AB AC ⊥，2AB =，4AC =，所以BC =.因为12AE BC ==，所以AE 是Rt ABC ∆的斜边BC 上的中线， 所以E 是BC 的中点.又因为D 是AC 的中点，所以DE AB ∥. 因为DE ⊄平面PAB ，⊂AB 平面PAB ， 所以DE P 平面PAB . （2）解法一：由（1）得，112DE AB ==. 14CDE ABC S S ∆∆=1142AB AC =⨯⋅1124142=⨯⨯⨯=.因为2AP =，所以11212333P CDE CDE V S PA -∆=⋅=⨯⨯=.因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥.又AB AC ⊥，AC PA A ⋂=，所以AB ⊥平面PAC . 因为PD ⊂平面PAC ，所以AB PD ⊥.由（1）知DE AB ∥，所以DE PD ⊥.在Rt PAD ∆中，2222PD PA AD =+=， 所以11221222PDE S PD DE ∆=⋅=⨯⨯=. 设点C 到平面PDE 的距离为h ， 则由P CDE C PDE V V --=，得1233PDE S h ∆⋅=，即12233h ⨯=. 解得2h =.即点C 到平面PDE 的距离为2.解法二：因为D 是AC 的中点，所以点A 到平面PDE 的距离等于点C 到平面PDE 的距离.因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥.又AB AC ⊥，AC PA A ⋂=，所以AB ⊥平面PAC .由（1）知DE AB ∥，所以DE ⊥平面PAC .又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .过A 作AH PD ⊥，垂足为H ，则AH ⊥平面PDE ，所以AH 的长即为点A 到平面PDE 的距离.在Rt PAD ∆中，由2PA AD ==得2AH =.所以点C 到平面PDE 的距离为2.22．（1）1x =或3430x y --=（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意.②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：23421k k k --=+，解之得 34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=. (2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为0kx y k --=，则圆心到直线l 1的距离 2241k d k -=+又∵△CPQ 的面积12S d =⨯==∴当d S 取得最大值2. ∴d=∴ k＝1 或k ＝7所求直线l 1方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .23．（1）∵依题意可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+，∴2()a x a f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>在()0,∞+恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.当0a >时，由()0f x'>得x ()0f x'<得0x <<综上可得当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()fx 在(上单调递减；在)+∞上单调递增. （2）因为20a -≤<，由（1）知，函数()f x 在[]1,2上单调递增，不妨设1212x x ≤≤≤，则121211()()f x f x m x x -≤-， 可化为2121()()m m f x f x x x +≤+， 设21()()ln 12m m h x f x x a x x x=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[]1,2上的减函数，即2()0a m h x x x x=--≤'在[]1,2上恒成立，等价于3m x ax ≥-在[]1,2上恒成立， 设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤＜，所以2()30＞'=-g x x a ，所以函数()g x 在[]1,2上是增函数， 所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立）所以12m ≥．。