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第1章⑵随机时间序列模型

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时间序列随机模型

时间序列随机模型
2
p
则模型可写为 ( B) xt at
1.2 滑动平均（MA）模型 若序列值 xt
是现在和过去的误差或白噪声的线性组合，即
xt a t i a t i
i 1
q
此模型称为滑动平均模型，相应的序列称为 q－阶滑动平均序列，简记为MA(q)模型。
i (i 1,2,, q) 为滑动平均参数。
若序列是平稳的，则有 Ext Ex
2
2 a t (1 12 ) Ext 2 at 2 , Ext 2 (1 12 )
2 t 1
，有：
2 a t 由Ext 2非负，有 0，从而有 1 ＜ 1 2 (1 1 )
自回归模型平稳性条件
设AR(p)模型(B)x t =a t ,( B) 1-1B-2B2 --pBp
«地学建模»
之 “随机时间序列分析模型”
§4 随机时间序列分析模型
1. 2. 3. 4. 5. 6. 随机时间序列模型的基本类型 随机时间序列分析模型的识别 时间序列模型常用定阶准则 随机时间序列分析模型的参数估计 季节自回归滑动平均（ARIMA）模型 时间序列建模分析
1 基本类型
1.1 自回归（AR）模型 1.2 滑动平均（MA）模型 1.3 自回归滑动平均（ARMA）模型
若使 ( B) 0 的根全在单位圆外，则称 xt 满足p阶平稳自回归模型，即AR(p) 。
其系数向量 =(1,2 p )
T
所构成的集合，称为AR(p)模型的平稳域。
滑动平均模型的可逆性条件
对MA（ 1）模型xt at－1at -1 有：at xt +1at -1和at -1 xt -1 +1at -2 将at -1值代入at，有：

时间序列分析第一章 时间序列 ppt课件

时间序列分析第一章 时间序列 ppt课件
当 0 时，称为零均值白噪声； 当 0,2 1称为标准白噪声。
31
例2.3 Poisson过程和Poisson白噪声
如果连续时的随机过程满足 （1） N(0) 0 ，且对任何的t>s≧0和非负整数k，
P ( N ( t ) N ( s ) k ) (( t s ) ) k e x p [ ( t s ) ] ,其 中 是 正 数 k !
n X1,X2,
观测样本：随机序列各随机变量的观测样本。 个有序观
测值 x1,x2,x3 xn
一次实现或一条轨道：时间序列的一组实际观测。 时间序列分析的任务：数学建模，解释、控制或预报。
5
二.时间序列的分解
X t T t S t R t,t 1 ,2 ,
趋势项{T t } ，季节项{ S t } ，随机项{ R t } 注：1.单周期季节项：S(ts)S(t), t 只需要 S1,S2, SS
由季节项和随机项组成, 季节项估计 可由该数据的每个季节平均而得.
{
S
t
}
3. 随机项估计即为
方法一：分段趋势法
1 趋势项（年平均）
8
减去趋势项后,所得数据{Xt Tˆt}
9
2、季节项 {Sˆt }
10
3.随机项的估计 R ˆt x t T ˆt S ˆt,t 1 ,2 , ,2.4
11
方法二：回归直线法
（2）{N(t)}有独立增量性：对任何n>1和 0 t0 t1 tn 随机变量 N ( tj) N ( tj 1 ) ,j 1 ,2 ,3 , n
相互独立，则称{N(t)}是一个强度为λ的Poisson过程。 数学期望和方差分别为
E [N ( t) ]t,v a r (N ( t) )t

《时间序列模型 》课件

《时间序列模型 》课件
《时间序列模型》ppt 课件
目录
Contents
• 时间序列模型概述 • 时间序列模型的基础 • 时间序列模型的建立 • 时间序列模型的预测 • 时间序列模型的应用 • 时间序列模型的未来发展
01 时间序列模型概述
时间序列的定义
01 时间序列是指按照时间顺序排列的一系列观测值 。
02 时间序列数据可以是数值型、分类型或混合型。 03 时间序列数据可以用于描述和预测时间变化的现
详细描述
通过分析历史经济数据的时间序列特性，时间序列模型能够预 测未来经济走势，为政策制定者和企业决策者提供重要参考。
举例说明
例如，利用ARIMA模型分析国内生产总值（GDP）的时间 序列数据，可以预测未来一段时间的GDP增长趋势。
股票预测
01
总结词
时间序列模型在股票市场中具有实际应用价值。
02 03
SARIMA、VAR等。
识别模型阶数
02
确定模型的参数，如自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
考虑季节性和趋势性
03
如果时间序列数据存在季节性和趋势性，需要在模型中加以考
虑。
参数估计
01
使用最小二乘法或最大似然法等统计方法估计模型 的参数。
02
考虑使用软件包或编程语言进行计算，如Python的 statsmodels库或R语言的forecast包。
象。
时间序列的特点
时序性
时间序列数据是按照时间顺序排列的，具有 时间上的连续性。
趋势性
时间序列数据通常具有一定的趋势，如递增 、递减或周期性变化。
季节性
一些时间序列数据呈现季节性变化，如年度 、季度或月度的变化规律。
不确定性
时间序列数据受到多种因素的影响，具有不 确定性，难以精确预测。

第1章⑵随机时间序列模型

第1章⑵随机时间序列模型

ϕ2
=
−
1 z1 z2
ϕ1
=
z1 + z2 z1 z2
由AR(2)的平稳性，|ϕ2|=1/|z1||z2|<1 ，则至少有一个根 的模大于1，不妨设|z1|>1，有
ϕ1 + ϕ2
=
z1 + z2 z1 z2
−
1 z1 z2
= 1 − (1 −
1 )(1 − z1
1 )<1 z2
(1 − 1 )(1 − 1 ) > 0
如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的， 就说该AR(p)模型是平稳的，
否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。
12
考虑p阶自回归模型AR(p) Xt=ϕ1Xt-1+ ϕ2Xt-2 + … + ϕpXt-p +εt (*)
• 引入滞后算子（lag operator ）L：
LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, …, LpXt=Xt-p (*)式变换为
于是方差为
γ0
=
(1
−
ϕ
2
)σ
2 ε
(1 + ϕ2 )(1 − ϕ1 − ϕ2 )(1 + ϕ1
− ϕ2 )
16
由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 ϕ1+ϕ2<1, ϕ2-ϕ1<1, |ϕ2|<1
这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点 分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。
第二节 随机时间序列分析模型
一、时间序列模型的基本概念及其适用性 二、随机时间序列模型的平稳性条件 三、随机时间序列模型的识别 四、随机时间序列模型的估计 五、随机时间序列模型的检验

时间序列模型的特征讲义(PPT70张)

时间序列模型的特征讲义(PPT70张)

2. 平稳性与自相关函数
考察序列的样本自相关函数图：
ρk
平稳序列
k ρk
非平稳序列
k
铜现货价格（月度数据）：
8 7 6 5 4 3 2 1 x 10
4
price
0
20
40 time
60
80
铜现货价格的样本自相关函数图（月度数据）：
Sample Autocorrelation Function (ACF) 1 0.8
2. 白噪声和随机游走
一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同 方差的独立同分布序列： Yt = t ， t ~ N(0,2)

该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。 另一个简单的随机时间列序被称为随机游走 (random walk)，该序列由如下随机过程生成： Yt = Yt-1 + t 这里，t 是一个白噪声。
0.4
0.2
0
-0.2
0
10
20 Lag
30
40
一阶差分后铜现货价格的样本自相关函数图 （周数据）：
Sample Autocorrelation Function (ACF)
0.8
Sample Autocorrelation
cu weekly spot price
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
10

(2) 平稳过程的性质
任一随机时间按序列Y1,Y2,…,YT 都可以被认为 是由一组联合分布随机变量生成，即Y1,Y2,…,YT ( YY ,2 , , Y ) 代表一个联合概率分布函数 p 的某一 1 T 特定结果。那么，一个未来的观测Yt+1可以认为 ( Y Y , Y , , Y ) 是由条件概率分布函数 p 生成， T 1 1 2 T ( Y , Y , , Y ) 即p 是给定过去观测值Y1,Y2,…,YT T 1Y 1 2 T 下的Yt+1的概率分布。定义平稳过程为其联合分 布和条件分布均不随时间而变化的过程。即如 果Yt是平稳，则对任意的t，k和m，都有：

随机时间序列分析模型

随机时间序列分析模型

随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型是用于描述时间序列数据的统计模型，旨在揭示数据的规律和变化趋势。

本文将介绍一种常用的随机时间序列分析模型——自回归移动平均模型（Autoregressive Moving Average model，简称ARMA模型）。

ARMA模型的一般形式为：$$ X_t = \sum_{i=1}^{p}\phi_iX_{t-i} + \sum_{i=0}^{q}\theta_i\varepsilon_{t-i} +\varepsilon_t$$ 其中，$X_t$为时间序列在时刻$t$的取值，$\phi_i$和$\theta_i$分别是AR和MA部分的系数，$p$和$q$分别表示AR和MA部分的阶数，$\varepsilon_t$是白噪声误差。

AR部分表示当前时刻的取值与前几个时刻的取值之间的关系，MA部分表示当前时刻的取值与前几个时刻的白噪声误差之间的关系。

这两部分分别用来描述时间序列的自相关和移动平均性质，通过确定合适的阶数和系数，可以很好地拟合并预测时间序列的未来趋势。

ARMA模型的建立一般包括以下几个步骤：1. 确定AR和MA部分的阶数$p$和$q$：通过观察自相关图和偏自相关图，可以确定AR和MA部分的阶数。

2. 估计模型的参数$\phi_i$和$\theta_i$：可以使用最小二乘法或极大似然估计法来估计模型的参数。

3. 检验模型的适应性：可以通过残差的自相关和偏自相关图来检验模型的适应性，如果图中没有明显的结构性相关，则说明模型适应良好。

4. 对模型进行预测：可以利用已有的数据对模型进行参数估计，然后使用模型对未来的数据进行预测。

ARMA模型具有一定的局限性，例如对于非平稳序列，需要进行差分等预处理操作；对于长期依赖的序列，ARMA模型的拟合效果可能较差。

在实际应用中，可能需要根据具体情况选择其他更适合的模型。

随机时间序列分析模型在经济学、金融学、气象学等领域都有广泛的应用。

时间序列经济学模型

表现在:两个本来没有任何因果关系的变量， 却有很高的相关性（有较高的R2)。例如：如果 有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非 平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但 进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中，实际的时间序列数 据往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消 费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。 这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析， 一般不会得到有意义的结果。
⒉经典回归模型与数据的平稳性
经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是 平稳的。
数据非平稳，大样本下的统计推断基础—— “一致性”要求——被破怀。
经典回归分析的假设之一：解释变量X是非 随机变量
放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项 不相关∶Cov(X,)=0
(a)
(b)
图 9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
注意:
确定样本自相关函数rk某一数值是否足够 接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自 相关函数k的真值是否为0的假设。
Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过 程生成，则对所有的k>0，样本自相关系数近似 地服从以0为均值，1/n 为方差的正态分布，其 中n为样本数。
xi2
xi2 / n
因此： P lim ˆ P lim
n
P lim
xiui / n 0
xi2 / n
Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势）， 则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”， 基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回 归”问题
时间序列计量经济学模型
时间序列的平稳性及其检验 随机时间序列分析模型 协整分析与误差修正模型

《随机时间序列分析》课件

《随机时间序列分析》 PPT课件
随机时间序列分析是一种重要的数据分析方法，广泛应用于经济学、金融学 和天气预测等领域。本课件将介绍随机时间序列的定义、模型和分析方法， 并通过实例进行详细解析。
背景介绍
1 定义和应用
介绍时间序列分析的概念和广泛应用领域。
2 随机时间序列的特点
探讨随机时间序列的特征和性质。
选取一段股票市场数据，展示如 何对其进行时间序列分析。
使用不同的方法分析该数据 结果与比较
比较并应用不同的随机时间序列 模型，如自回归模型和移动平均 模型。
总结不同方法的分析结果，比较 其预测性能和适用场景。
总结与展望
总结随机时间序列分析的重要性和应用，展望未来的研究方向，鼓励学习者 深入研究该领域。
随机时间序列分析方法
1
模型的识别与估计
2
讲解模型识别和参数估计的方法和技巧。
3
预测方法
4
介绍常用的随机时间序列预测方法，如 ARIMA模型和神经网络模型。
数据的预处理
介绍预处理步骤，包括平稳性检验和去 趋势操作。
模型的诊断与校验
解释模型诊断和校验的步骤和指标。
实例分析
选择一个随机时间序列数 据进行分析
常见的随机时间序列模型
白噪声模型
解释白噪声模型的特点和应用。
移动平均模型
介绍移动平均模型的原理和使用场景。
自回归模型
探讨自回归模型的基本思想和参数估计方法。
自回归滑动平均模型
1
模型的定义
详细说明自回归滑动平均模型的形式和特征。平均模型参数的估计方法。
3
模型的预测
说明如何利用自回归滑动平均模型进行数据预测。

随机型时间序列


2.5
2007
1.5
2
2008
1
1.5
2009
2
1
2010
1.5
2
2011
2.5
1.5
2.5
11
1.5
( yt y)(yt1 y)
t1
1
12
2
( yt y)2
t 1
2.5
10
2
( yt y)(yt2 y)
t1
2
12
1.5
( yt y)2
t 1
1
11
2
表中列出了2006年1 1
二、纯随机性检验 纯随机序列的定义 纯随机性的性质 纯随机性检验
4
一、平稳性检验
平稳时间序列的定义
严平稳
严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为 只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移 而发生变化时，该序列才能被认为平稳。
宽平稳
宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳 性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定， 所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证 序列的主要性质近似稳定。
许多经济现象的变化并不是时间的确定函数,而是具有 随机性的，因此也就需要建立随机时间序列模型来预测。
随机时间序列
随机时间序列是指一串随机变量 Yt ,t T,T 1,2,3
所构成的序列。对每一个固定的时刻t，yt 是一个随机变量， 而对于一次特定的试验结果， y是t 一个确定的样本函数，
称为随机时间序列的一个实现。如果 是Yt 随t变化的一族 随机变量，t取 ,上的一切值，则称 Y为t 随机过程。
2008 450.0 514.7 540.7 488.4 588.2 568.1 384.4 516.9 513.6 510.9 390.3 489.0

时间序列随机模型


自回归模型平稳性条件
对AR（1）模型：
设xt 1xt 1 at，两边平方再取数学期望，有：
Ext 2 E (1 xt 1 at )2＝12 Ext21 at 2 21Ext 1at Ext 1at 0 Ext 2 12 Ext21 at 2
滑动平均模型的可逆性条件
设MA(q)模型x t = ( B)a t , 若系数多项式： ( B) 1-1B- 2 B2 - - q Bq =0
的根全在单位圆外，则称 xt 满足q阶平稳滑动平均模型。 其系数向量
T =(1,2 p )
所构成的集合，称为MA(q)模型的可逆域。
1.3.2 ARMA模型的传递与逆转形式
传递形式指将序列 xt 的当前值表示为当前 白噪声 a t 与过去白噪声 at i (i 1,2,) 的线性组合 MA模型本身即为传递形式；
逆转形式是以序列 xt 的当前值和过去值 线性组合来表示当前误差 a t
AR模型即为逆转形式。
1.3.2 ARMA模型的传递与逆转形式
ARMA(p,q)模型的平稳与可逆条件
若 ( B) 0 和 ( B) 0 的根全在单位圆外， 即分别满足平稳性和可逆性条件，且
( B)
｛x t｝ 和 ( B) 无公共因子，则称
满足自回归滑动平均模型，即ARMA(p,q)。
其参数向量构成的集合，称为ARMA(p,q)的平均 域与可逆域。
借助后移算子，则AR（p）模型可化为
，
xt i B xt a t
i
2 p B p B xt at 此式即为 xt 1 xt 2 B xt
p
i 1
(1 1 B 2 B2 p B p) xt at 移项整理即为：
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Yt −1
+
α0 1 − α1
+1
1 − α1
It
− α2 1 − α1
I t−1
+1
1 − α1
μt
• 两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分 可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于 投资项It的行为。
• 如果It是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一
个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一 个(1,1)阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。
3
1、时间序列模型的基本概念
随机时间序列模型（time series modeling）是指仅用它的 过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为
Xt=F(Xt-1, Xt-2, …, μt) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： (1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ μt =εt），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：
13
例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。
对1阶自回归模型AR(1)
X t = ϕX t−1 + ε t
方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差
E(
X
2 t
)
=
ϕ
2
E(
X
) 2
t −1
+
E
(ε
2 t
)
+
2E(X
ε t −1
t
)
由于Xt仅与εt相关，因此，E(Xt-1εt)=0。如果该模型稳
定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：
第二节 随机时间序列分析模型
一、时间序列模型的基本概念及其适用性 二、随机时间序列模型的平稳性条件 三、随机时间序列模型的识别 四、随机时间序列模型的估计 五、随机时间序列模型的检验
1
• 经典计量经济学模型与时间序列模型 • 确定性时间序列模型与随机性时间序列
模型
2
一、时间序列模型的基本概念及其适用性
γ k = E( X t−k (ϕX t−1 + ε t )) = ϕγ k−1 = ϕ kγ 0
因此，AR(1)模型的自相关函数为
ρk = γ k γ 0 = ϕk
κ=1,2,…
(1-ϕ1L- ϕ2L2-…-ϕpLp)Xt=εt 记Φ(L)= (1-ϕ1L- ϕ2L2-…-ϕpLp),则称多项式方程
Φ(z)= (1-ϕ1z- ϕ2z2-…-ϕpzp)=0
为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。
可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外 （根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的。
+
θ
2 q
)σ
2 ε
γ 1 = cov(X t , X t−1 ) = (−θ1 + θ1θ 2 + θ 2θ3 +
+
θ
q
−1θ
q
)σ
2 ε
γ q−1
=
cov(X t ,
X t−q+1 )
=
(−θ q−1
+
θ1θ
q
)σ
2 ε
γq
= cov(X t , X t−q )
=
−θ
qσ
2 ε
当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。
ϕ2
=
−
1 z1 z2
ϕ1
=ห้องสมุดไป่ตู้
z1 + z2 z1 z2
由AR(2)的平稳性，|ϕ2|=1/|z1||z2|<1 ，则至少有一个根 的模大于1，不妨设|z1|>1，有
ϕ1 + ϕ2
=
z1 + z2 z1 z2
−
1 z1 z2
= 1 − (1 −
1 )(1 − z1
1 )<1 z2
(1 − 1 )(1 − 1 ) > 0
10
二、随机时间序列模型的平稳性条件
11
1、AR(p)模型的平稳性条件
自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模 型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA） 是它的特殊情况。
关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容： 主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。
随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间 序列的平稳性来判断。
这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
6
2、时间序列分析模型的适用性
• 经典回归模型的问题： • 迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，
是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的， 由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因 此也常称为结构式模型（structural model）。 • 然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因 素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来 解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量 化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。 • 有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方 程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困 难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关 系的回归模型及其预测技术就不适用了。
因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。
20
3、ARMA(p,q)模型的平稳性
由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：
Xt=ϕ1Xt-1+ ϕ2Xt-2 + … + ϕpXt-p + εt - θ1εt-1 - θ2εt-2 - … - θqεt-q
而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平 稳性取决于AR(p)部分的平稳性。
7
在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间 序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而 对时间序列未来行为进行推断。
例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长 趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行 为里占主导地位呢？
或者时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去 的这种行为来外推它的未来走向？
●随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变 化特征来预测未来的变化趋势。
使用时间序列分析模型的另一个原因在于： 如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结 构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的 形式。
8
例如，对于如下最简单的宏观经济模型：
Ct = α 0 + α1Y1 + α 2Ct−1 + μt Yt = Ct + It
方程两边同乘以Xt，再取期望得：
γ 0 = ϕ1γ 1 + ϕ 2γ 2 + E( X tε t )
15
又由于
E(
X
tε
t
)
=
ϕ1E(
X
ε t −1
t
)
+
ϕ2
E(X
ε t − 2
t
)
+
E(ε
2 t
)
=
σ
2 ε
于是
γ0
= ϕ1γ 1
+ ϕ2γ 2
+
σ
2 ε
同样地，由原式还可得到
γ 1 = ϕ1γ 0 + ϕ 2γ 1 γ 2 = ϕ1γ 1 + ϕ 2γ 0
例如，一个ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前 先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模 型的。
当然，一个ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯AR(p)平稳过 程；一个ARIMA(0,0,q)表示一个纯MA(q)平稳过程。
22
三、随机时间序列模型的识别
23
所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一 个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随 机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯 AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。
ϕ2
(0,1)
(-2, -1)
ϕ1
(2, -1)
图 9.2.1 AR(2)模型的平稳域
17
AR(2)模型
X t = ϕ1 X t−1 + ϕ 2 X t−2 + ε t
对应的特征方程1-ϕ1z-ϕ2z2=0 的两个根z1、z2满足： z1z2=-1/ϕ2 , z1+z2 =-ϕ1/ϕ2
解出ϕ1，ϕ2
|ϕ1|+|ϕ2|+…+|ϕp|<1
19
2、MA(q)模型的平稳性
对于移动平均模型MR(q)：
Xt=εt - θ1εt-1 - θ2εt-2 - … - θqεt-q 其中εt是一个白噪声，于是
E( X t ) = E(ε t ) −θ1E(ε t−1 ) − − θ q E(ε q ) = 0
γ 0 = var(X t ) = (1 + θ12 +
于是方差为
γ0
=
(1
−
ϕ
2
)σ
2 ε
(1 + ϕ2 )(1 − ϕ1 − ϕ2 )(1 + ϕ1
− ϕ2 )
16
由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 ϕ1+ϕ2<1, ϕ2-ϕ1<1, |ϕ2|<1
这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点 分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。
μt=εt - θ1εt-1 - θ2εt-2 - … - θqεt-q
该 式 给 出 了 一 个 纯 MA(q) 过 程 （ pure MA(p) process）。