3.1 平稳时间序列模型的基本概念

平稳时间序列的判断条件平稳时间序列是指在时间维度上具有平稳性的序列，即其统计特性不随时间的推移而发生变化。

平稳时间序列的判断条件包括以下几个方面：1. 均值平稳：时间序列的均值不随时间的推移而发生变化。

2. 方差平稳：时间序列的方差不随时间的推移而发生变化。

3. 自相关函数平稳：时间序列的自相关函数只与时间间隔有关，而与时间的起点无关。

4. 偏自相关函数平稳：时间序列的偏自相关函数只与时间间隔有关，而与时间的起点无关。

如果一个时间序列满足以上四个条件，则可以认为它是平稳时间序列。

在实际应用中，可以通过计算时间序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数来判断其是否平稳。

如果一个时间序列不满足平稳条件，可以考虑以下几种处理方法：1. 差分法：对时间序列进行差分处理，即计算相邻两个时间点之间的差值。

通过多次差分，可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。

例如，对于一个非平稳的时间序列 $X_t$，可以计算其一阶差分 $D(X_t) = X_t - X_{t-1}$，如果一阶差分仍然不平稳，可以继续计算二阶差分、三阶差分等，直到得到一个平稳的时间序列。

2. 季节性调整：如果时间序列存在季节性波动，可以使用季节性调整方法将季节性因素去除，从而使时间序列变得平稳。

季节性调整方法包括季节性指数平滑法、季节性差分法等。

3. 单位根检验：可以使用单位根检验来判断时间序列是否存在单位根。

如果时间序列存在单位根，则说明它是非平稳的；如果不存在单位根，则说明它是平稳的。

常用的单位根检验方法包括ADF 检验、PP 检验等。

4. 模型拟合：如果时间序列不满足平稳条件，可以尝试使用非平稳时间序列模型进行拟合，如自回归求和移动平均（ARIMA）模型、广义自回归条件异方差（GARCH）模型等。

这些模型可以捕捉时间序列的非平稳特征，从而更好地描述时间序列的变化规律。

需要根据具体情况选择合适的处理方法，以便更好地分析和预测时间序列。

趋势平稳的的时间序列趋势平稳的时间序列是指在一段时间内，其数据呈现出相对稳定的发展趋势，即没有明显的上升或下降趋势。

在统计学中，趋势平稳的时间序列对于分析和预测具有重要意义。

趋势平稳的时间序列的特征主要有以下几个方面：1. 均值稳定性：趋势平稳的时间序列的均值在不同的时间段内保持相对稳定。

也就是说，数据的整体平均水平没有明显的增长或降低趋势。

2. 方差稳定性：趋势平稳的时间序列的方差在不同时间段内保持相对稳定。

也就是说，数据的波动性没有明显的增加或减少趋势。

3. 自相关性：趋势平稳的时间序列的不同时刻的观测值之间存在一定的自相关性。

也就是说，当前时刻的观测值与前一时刻（或者前几个时刻）的观测值相关联。

这种自相关性是由于时间序列中的某种内在规律性或者周期性导致的。

4. 缺乏季节性或周期性：趋势平稳的时间序列在一段时间内不具备明显的季节性或周期性变化。

也就是说，数据的变化主要是由整体趋势所引起的，而非季节性或周期性因素所导致。

趋势平稳的时间序列分析和预测相对比较简单，因为在其基础上可以应用一些经典的时间序列分析方法。

以下是几种常见的分析和预测方法：1. 移动平均法：移动平均法是一种通过计算相邻时间段内的数据均值来平滑时间序列的方法。

在趋势平稳的时间序列中，由于数据的整体趋势相对稳定，因此移动平均法可以有效降低数据的随机波动，提取出数据的主要趋势，从而更好地分析和预测。

2. 指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均计算当前时刻的观测值的方法，其中对不同时刻的观测值赋予不同的权重。

在趋势平稳的时间序列中，指数平滑法可以根据当前时刻的观测值和先前时刻的预测值来计算最新的预测值，从而更好地捕捉到数据的趋势性。

3. 自回归移动平均模型(ARIMA)：ARIMA模型是一种常用的时间序列模型，可以将时间序列分解为自回归(AR)部分、差分(I)部分和滑动平均(MA)部分。

在趋势平稳的时间序列中，ARIMA模型可以通过拟合数据的自回归部分和滑动平均部分来进行预测，从而更好地反映数据的整体趋势。

时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。

在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。

1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。

具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。

此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。

2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。

常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。

ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。

3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。

趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。

4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。

常见的处理方法有差分法、对数变换等。

差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。

5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。

- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。

- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。

时间序列中的时间序列平稳性检验时间序列平稳性是时间序列分析中的重要概念，对时间序列模型和预测有着重要的影响。

时间序列平稳性指的是时间序列中各时点的特征均匀分布、稳定不变，不随时间而发生显著变化的性质。

本文将介绍时间序列平稳性检验的相关理论与方法。

一、时间序列平稳性检验的基本理论在进行时间序列分析前，需要先确定该时间序列是否具有平稳性。

时间序列平稳性则是指时间序列中各时点的特征均匀分布、稳定不变，不随时间而发生显著变化，比如说均值、方差、自相关系数等都不应该与时间有关。

若时间序列不具有平稳性，则其分析结果会受到时间变量的影响，预测结果也不够准确。

对于时间序列平稳性的检验，主要考虑3个方面，即序列的均值、序列的方差、序列的自相关。

时间序列平稳性检验的基本理论是根据大数定理和中心极限定理进行的。

在此基础上，常用的做法是，检验序列均值是否随时间变化而变化、检验方差是否随时间变化而变化、检验自相关系数是否与时间有关。

二、时间序列平稳性检验的方法1.图示法：通过绘制时间序列图、自相关图、偏自相关图可以直观地了解时间序列的平稳性。

时间序列图是反映序列随时间变化时的整体变化趋势的图形；自相关图表达的是序列在不同时滞下的线性相关程度，若相关系数呈现规律性或趋势性，则序列不平稳；偏自相关图是用来判断序列是否具有趋势或季节性，若序列的偏自相关系数在超过置信度时突破界限，则序列不具有平稳性。

2.计量经济学检验法：常用的计量经济学检验法有DF检验、ADF检验、KPSS检验等，其中ADF检验最为常用。

ADF检验分为一般ADF检验、增广ADF检验、阶数选择ADF检验等，在跨期比较和模型选择方面有效，而且误判率较低。

3.波动函数法：通过测量时间序列各部分的波动函数，从而判断序列是否平稳。

包括周期波动函数法、空间波动函数法等。

周期波动函数法是通过加权平均数对序列进行周期性处理，得到波动函数，然后计算波动函数的标准偏差，以此来判断序列平稳性；空间波动函数法则是通过空间均方差来判断时间序列的平稳性。

注：由于缺少公式编辑器，有些需要用公式才能更好注明地概念就没有整理出来.．平稳：广泛地说，如果一个随机过程地均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期之间地协方差仅依赖于该两时期间地距离或滞后，而不依赖于计算这个协方差地实际时间，就称它为平稳地（弱平稳随机过程）文档收集自网络，仅用于个人学习如果一个时间序列地联合概率分布不随时间而变，即对于任何和，,…，地联合概率分布与, …，地联合分布相同，则称该时间序列是严格平稳地，但一般上述联合概率分布很难确定.通常我们所指地平稳性就是指弱平稳性.文档收集自网络，仅用于个人学习．单位根：单位根是表示非平稳性地一种形式，可以用来检验平稳性.如果我们做回归＝ρ （其中是遵从零均值，恒定方差和非自相关等经典假设地白噪音随机误差项），并确定发现ρ＝，则说明随机变量有一个单位根.文档收集自网络，仅用于个人学习．随机游走时间序列：一个有单位根地时间序列叫随机步游时间序列，它是非平稳地.．检验：在ρ＝（非平稳）地虚拟假设下，把惯常计算地统计量称为τ 统计量，迪基和富勒以蒙特卡罗模拟为基础，算出了τ 统计量地临界值表.τ检验就是检验.在一个正式地（判别）水准上，平稳性可通过时间序列是否含有单位根来检查，这时就可以利用或检验.文档收集自网络，仅用于个人学习．检验：是将检验单位根地方法推广到一般地单位根地过程，当误差项存在自相关时，一般要应用检验，即扩充迪基－富勒检验.文档收集自网络，仅用于个人学习．求积时间序列：如果一个时间序列经过一个差分就变成平稳地，我们就说该原始（随机步游）序列是一阶求积（或一阶求和）序列，同理，经过阶差分变为平稳地，就说该原始时间序列是阶求积序列.文档收集自网络，仅用于个人学习．相关图：在一个非正式地（判别）水准上，弱平稳性可通过时间序列地相关图即各种滞后地自相关图形来检验.对于平稳时间序列来说，相关图会很快变平，而对非平稳时间序列来说，它则消失得很缓慢.对于一个纯随机序列，所有滞及以上得自相关均为零. 文档收集自网络，仅用于个人学习.趋势平稳（）和差分平稳（）：一个时间β序列可以是趋势平稳（）地或差分平稳（）地，一个时间序列有一定地倾向，而一个时间序列有着可变或随机地倾向.文档收集自网络，仅用于个人学习.谬误回归：一个时间序列变量对另一个或多个时间序列变量做回归，常常会引出无疑已地或谬误地结果，这种现象被称为谬误回归.文档收集自网络，仅用于个人学习.协积：是指尽管两个或多个时间序列个别而论是非平稳地，但它们地线性组合则可以是平稳地..误差纠正机制（）：由恩格尔和葛兰杰普及，是协调经济变量短期行为及其长期行为地一种手段..恩格尔—葛兰杰检验（）或扩充恩格尔—葛兰杰检验（）：做或检验时，地估算是以估计地协积参数β为依据地，所以使用或临界值并不完全合适，恩格尔和葛兰杰曾经另行算出这些临界值，因此在这个意义上地或检验，叫做恩格尔—葛兰杰检验（）或扩充恩格尔—葛兰杰检验（）.文档收集自网络，仅用于个人学习.协积回归德宾—沃森（）检验：在中，使用自协积回归地德宾—沃森值，根据一万次模拟，每次模拟由个观测值构成，得到检验虚拟假设地、、地临界值、、，若计算地值小于，则在水平上拒绝协积假设，若高于，则是协积地.文档收集自网络，仅用于个人学习过程：一般，我们有（δ）α( –δ) α( –δ)…α( –δ)μ ,文档收集自网络，仅用于个人学习这时是一个阶自回归或（）方程.过程：假设把地模型描述为μβ ββ …β则称是一个阶移动平均或（）方程.: 兼有和地特性时，是,（字回归与移动平均过程）如θα β β就是一个（，）过程.（θ代表一个常数项）文档收集自网络，仅用于个人学习分析法：是一种同时考虑多个时间序列地计量方法..乏理论：只利用较少地先验信息，被称为乏理论地..向量自回归模型：“ 向量”是指我们在同两个（或多个）变量地一个向量打交道，“自回归”是指方程地右端出现有应变量地滞后值.文档收集自网络，仅用于个人学习.脉冲值：在术语中，随机误差项诸称为脉冲值或新生值..求积：一些时间序列是非平稳地，即它们是经过求积地..自回归求积移动平均时间序列：如果我们必须将一个时间序列差分次，把它变为平稳地，然后用（）作为它地模型，那么，我们就说那个原始地时间序列是（），即一个自回归求积移动平均时间序列（指自回归项数，指移动平均项数）文档收集自网络，仅用于个人学习.脉冲响应函数（, ）: 描绘系数中地应变量如何响应于误差项地冲击.文档收集自网络，仅用于个人学习.博克斯—詹金斯（）方法：是一种只凭测量而无理论，“让数据自己说话”地计量方法.其基本策略如下: () 首先检验时间序列地平稳性若不平稳，差分一次或多次，以获得平稳性.计算平稳时间序列地自相关函数和偏自相关函数，以判明序列是纯自回归地或纯移动平均地，或者是两者地混合体.根据表地粗略指引，决定有待拟合地过程中地和值，此时地() 模型是尝试性地. 文档收集自网络，仅用于个人学习估计此尝试模型.分析该尝试模型地残差，看残差是不是白噪音，如果是，也许是对所依据随机过程地一个良好迫近，否则，从头做起.文档收集自网络，仅用于个人学习最后选定地模型便可用于预测.。

时间序列模型概述时间序列模型是一种用于对时间序列数据进行建模和预测的统计模型。

时间序列数据是指按照时间顺序记录的一系列观测值，比如股票价格、气温、销售量等。

时间序列模型的目标是通过分析过去的观测值来预测未来的观测值。

这种模型通常基于以下两个假设：1. 时间序列的未来值是过去值的函数；2. 时间序列的未来值受到随机误差的影响。

常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。

ARMA模型是将时间序列的过去值和滞后误差作为解释变量，使用线性回归方法来预测未来值。

它是基于两个基本组件：自回归（AR）和移动平均（MA）。

AR部分建模了时间序列的过去值与当前值之间的关系，MA部分建模了观测误差的相关性。

ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。

差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，从而使得模型更可靠。

SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，用于处理季节性时间序列。

它在ARIMA模型的基础上引入了季节差分，以及季节AR和MA项，以更好地拟合和预测季节性变化。

指数平滑模型是一类基于加权平均的模型，根据时间序列数据的特点赋予不同权重，进行预测。

常见的指数平滑模型包括简单指数平滑（SES）、双指数平滑和三指数平滑。

时间序列模型需要通过对历史数据的拟合来估计模型参数，并通过模型参数进行未来观测值的预测。

评估时间序列模型通常使用误差度量指标，比如均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）。

时间序列模型在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、金融学、气象学、销售预测等。

它可以帮助我们理解时间序列数据的动态特征，提供未来预测和决策支持。

然而，在实际应用中，时间序列模型也面临一些挑战，比如数据缺失、异常值和非线性关系等。

因此，选择适合的时间序列模型需要综合考虑数据的特性和模型的假设。

第八讲 平稳时间序列与单位根过程一、随机时间序列模型概述在严格意义上，随机过程{}t X 的平稳性是指这个过程的联合和条件概率分布随着时间t 的改变而保持不变。

在实践中，我们更关注弱意义上的平稳或者所谓的协方差平稳：2();();(,)t t t t j j E X Var X Cov X X μδδ+===显然20δδ=。

在本讲义中，平稳皆指协方差平稳。

当上述条件中的任意一个被违背时，则称{}t X 是非平稳的。

（一）平稳随机过程的例子 1、白噪声过程{}t ε：20()0;();(,)0,t t t t j j E Var Cov εεδεε+≠===2、AR(1)过程：011,11t t t y a a y a ε<-=++，{}t ε是白噪声过程为了验证上述过程满足平稳性条件，我们首先通过迭代得到：1111010t t i it ii i t t y a a a y a ε---===++∑∑。

接下来注意到，111)0(t i i t t E y a a a y -==+∑，进一步假设数据生成过程发生了很久，即t 趋于无穷大，则01)1(t a E y aμ-==；其次也有110()()t it i i t Var y Var a ε--==∑，当t 趋于无穷大时，21221()11()i t Var a a Var y εδ-=-=；最后，当t 趋于无穷大时，有：1211111111222 (1241)11121......(...)[()()][()()]s s t t s t s t t s t s t s t t s s s s s a a a a a E y y E a a a a μμδδεεεεεεε+-----------++--+++++++++++=== 关于AR(p)过程的平稳性，见附录。

3、MA(P)过程：11...pt t t p t y a a εεε--=+++，{}t ε是白噪声过程显然，任意有限阶MA 过程都是平稳的。

t P p t tt t t x B x x B x Bx x ===---221第3章 平稳时间序列分析一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。

3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x 以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2 延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。

记B 为延迟算子，有 延迟算子的性质：1.10=B2.若c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B4.n t t n x x B -=5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B in i i nni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。

这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。