希尔伯特变换-单边带调制
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希尔伯特变换-单边带调制共20页文档
希尔伯特变换-单边带调制
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
Hale Waihona Puke 56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
Hale Waihona Puke 56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
实验二希尔伯特变换与单边带幅度调制
实验报告实验课程：数字信号处理实验开课时间：2020—2021 学年秋季学期实验名称：希尔伯特变换与单边带幅度调制实验时间：2020年11月4日周三学院：物理与电子信息学院年级：大三班级：182 学号：姓名：1.单边带幅度调制和Hilbert变换器抑制载波的正弦幅度调制和含有载波的正弦幅度调制的共同缺点是，已调信号的频带宽度是调制信号频带宽度的两倍，占用频带资源过宽。
在传输具有双边带的已调信号时,将占用更多的信道资源。
由于实调制信号 x(t)的频谱都对称地存在于正、负频率上，因此只需在发送端发送单边带调制信号，这就是信号的单边带(Single-SideBand,SSB)幅度调制。
在单边带幅度调制中,可以保留上边带，也可以保留下边带。
信号单边带调制可以提高信道的利用率。
信号单边带调制(SSB)有上边带(USB)和下边带(LSB)两种,一般利用希尔伯特变换来实现,利用希尔伯特变换实现单边带调制的原理框图如图3.2.1所示，图中 H(jω)为希尔伯特变换器。
图3.2.1 利用希尔伯特变换实现单边带调制原理框图其时城表达式分别为y USB(t)=12x(t)COS(ωC t)−12xℎ(t)sin(ωC t)(3.2.1)y LSB(t)=12x(t)COS(ωC t)+12xℎ(t)sin (ωC t)(3.2.2)式中:xℎ(t)为信号x(t)的希尔伯特变换。
希尔伯特变换器的时域特性ℎ(t)为ℎ(t)=1πt(3.2.3)希尔伯特变换器的频率特性 H(jω)为H(jω)=−jsgn(ω)={−jω>0jω<0(3.2.4)由于希尔伯物变换器的幅度应响应| H(jω)|=1，相位响应方φ(ω)=−π2sgn(ω),因此,希尔伯特变换器是一个全通系统，称为90°移相器。
希尔伯特变换器的输入x(t)与输出xℎ(t)在时城具有以下关系:xℎ(t)=x(t)∗ℎ(t)=x(t)∗1πt=1π∫x(τ)t−τ+∞−∞dτ(3.2.5)xℎ(t)=xℎ(t)∗[−ℎ(t)]=xℎ(t)∗(−1πt)=−1π∫xℎ(τ)t−τ+∞−∞dτ(3.2.6)希尔伯特变换器的输人 x(t)与输出xℎ(t)在频域具有以下关系:Xℎ(jω)=X(jω)H(jω)=X(jω)[−jsgn(ω)](3.2.7)X(jω)=Xℎ(jω)H(jω)=Xℎ(jω)[−jsgn(ω)](3.2.8)若调制信号的频谱为 X(jω) ,如图3.2.1(a)所示，则单边带已调信号的频谱为Y USB=X(j(ω−ωc))+X(j(ω+ωc)) |ω|≥ωc(3.2.9)Y LSB=X(j(ω−ωc))+X(j(ω+ωc)) |ω|≤ωc(3.2.10)则上边带信号的频谐如图3.2.2(b)所示，下边带信号的频谐如图3.2.2(c)所示。
信号的Hilbert变换原理
4）调制信号（s(t)+n(t)）进行频谱分析
figure(3) xt=st+n_1; subplot(2,1,1); plot(t,xt); title('调制信号x(t)=s(t)+n(t)（初始信号+噪声）'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on;
fc=4000;%载波频率
Lt=length(t);%时间序列长度 L=2*min(at); R=2*max(abs(at));
（2）产生高斯白噪声n（t）并进行频谱分析
nt = wgn(1,length(t),0.1); %wgn(m,n,p)产生一个m行n列强度为p的高斯白噪声的矩阵 n_1=nt/max(abs(nt)); %噪声 figure(1); subplot(2,1,1); plot(t,n_1); title('高斯白噪声n(t)信号'); xlabel('t/s'); ylabel('幅度/v');grid on; n=0:M-1; %t=n/fs; %时间序列 y0=fft(n_1,M); mag0=(abs(y0)); f=n*fs/(1000*M); subplot(2,1,2); plot(f,mag0); title('高斯白噪声频谱分析'); xlabel('f/KHz'); ylabel('幅度/v'); axis([0 10 0 20]);grid on;
信号的Hilbert变换原 理
组长：范荣贵
副组长：杨智东 组员：韦鹏、高世杰
一、Hilbert变换简介
SSB单边带信号调制
SSB单边带信号调制由双边带过渡双边带信号虽然抑制了载波，提高了调制效率，但调制后的频带宽度仍是基带信号带宽的2倍，而且上、下边带是完全对称的，它们所携带的信息完全相同。
因此，从信息传输的角度来看，只用一个边带传输就可以了。
我们把这种只传输一个边带的调制方式称为单边带抑制载波调制，简称为单边带调制(SSB)。
原理部分采用单边带调制，除了节省载波功率，还可以节省一半传输频带，仅传输双边带信号的一个边带(上边带或下边带)。
因此产生单边带信号的最简单方法，就是先产生双边带。
然后让它通过一个边带滤波器，只传送双边带信号中的一个边带，这种产生单边带信号的方法称为滤波法。
由于理想的滤波器特性是不可能作到的，实际的边带滤波器从带通到带阻总是有一个过渡带，随着载波频率的增加，采用一级载波调制的滤波法将无法实现。
这时可采用多级调制滤波的办法产生单边带信号。
即采用多级频率搬移的方法实现：先在低频处产生单边带信号，然后通过变频将频谱搬移到更高的载频处。
产生SSB 信号的方法还有：相移形成法，混合形成法。
SSB移相法原理图SSB移相法的形成的SystemView仿真SSB移相法的形成上边带下边带数学表达式为简便起见，设调制信号为单频信号f(t)=Amcosωmt，载波为c(t)=cosωct，则调制后的双边带时域波形为：SDSB(t)＝Amcosωmtcost＝[Amcos(ωc+ωm)t+Amcos(ωc-ωm)t]/2 保留上边带，波形为：SUSB(t)＝[Amcos(ωc+ωm)t]/2＝Am(cosωctcosωmt-sinωctsinωmt)/2保留下边带，波形为：SLSB(t)＝[Amcos(ωc-ωm)t]/2＝Am(cosωctcosωmt+sinωctsinωmt)/2上两式中的第一项与调制信号和载波信号的乘积成正比，称为同相分量；而第二项的乘积则是调制信号与载波信号分别移相90°后相乘的结果，称为正交分量。
单边带信号的产生方法
单边带信号的产生方法
单边带信号是一种广泛应用于无线通信和调制解调过程中的信号处理技术。
它通过从信号频谱中去除一个频带，使得信号的频谱只保留了其中一个频带。
单边带信号的产生方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 振荡器法：这是最基本和常用的单边带信号产生方法之一。
它使用一个振荡器产生一个频率为f0的正弦信号，然后通过一个带通滤波器选择需要保留的频带。
如果需要产生上边带信号，只需将振荡器输出信号与信号频谱通过乘法混合，然后再通过带通滤波器选择需要的频带。
2. 平衡混频法：这种方法是通过两个正交的信号进行混频，然后通过低通滤波器去除不需要的频带。
具体来说，可以使用两个正交的信号，一个为基带信号，另一个为本振信号，通过乘法器将两个信号相乘，然后通过低通滤波器去除不需要的频带。
3. 希尔伯特变换法：希尔伯特变换是一种将信号从时域变换到频域的方法。
使用希尔伯特变换后，可以得到信号的解析信号，即信号的实部和虚部。
然后通过选择实部或虚部，即可得到需要的单边带信号。
4. 数字信号处理法：随着计算机技术的发展，数字信号处理成为了一种常用的单边带信号产生方法。
可以使用数字滤波器对信号进行滤波，选择需要的频带。
同时，还可以使用快速傅里叶变换等算法对信号进行频谱分析和处理。
总之，单边带信号的产生方法多种多样，选择合适的方法取决于应用的具体要求和实际情况。
不同的方法有着各自的特点和适用范围，在实际应用中需要根据需要进行选择。
信号的Hilbert变换原理-文档资料
二、希尔伯特变换定义及频率响应
希尔伯特变换定义如下：
其中h(t)=1/(πt) 并考虑此积分为柯西主值，其避免掉在τ=t以及 τ=±∞等处的奇点。
频率响应
其中F是傅立叶变换，i(有时写作j)是虚数单位， ω是角频率，以及
常被称作signum函数. 希尔伯特实际上是一个使相位滞后pi/2的全通移相 网络.
三、Hilbert变换用途
（1）希尔伯特变换在探地雷达数据处理应用
希尔伯特（Hilbert）变换在本质上是一种全通滤波器， Hilbert变换巧妙地应用解析表达式中的实部与虚部的正弦 和余弦关系，定义出任意时刻的瞬时频率、瞬时相位及瞬 时幅度， 使得对于短信号和复杂信号的瞬时参数的提取成 为可能，从而能更有效地、真实地获取信号中所含的信息， 有利于分析地下介质的分布情况。
（5）调制信号通过滤波器后a点的信号分析
wp=2*2200/fs; %通带边界频率
ws=2*2800/fs; %阻带边界频率
Rp=1; %通带最大衰减度
Ap,ws,Rp,As);
%通带临界，阻带临界，通带内衰减小于，阻带内衰减小于
[B,A]=butter(V,wc); %阶数，截止频率
另外可以看出，加上噪声后的信号，在通过低通滤波器后，可以 大大减少噪声的干扰。通过Matlab的仿真可以得到，实际通信系统中 的信号传递，大体上是符合自己在书本上学到的理论分析，但还是存 在着一定的误差。所以我们不能光读死书，一定要灵活多变，用辩证 的思维去理解和掌握它们。
为了这次课程设计，自己自学了 matlab及通信系统及信号处理的 相关知识。实际中出现了许多问题，通过这次学习，我们不仅了解了 滤波器等相关知识，还提高了自己的编程和写报告的能力，收获颇多
ssb信号调制matlab
ssb信号调制matlab在MATLAB中实现SSB（单边带）信号调制，你可以按照以下步骤进行操作：1. 生成调制信号：首先，你需要生成你想要调制的基带信号。
这可以是一个音频信号或任何其他模拟信号。
2. 将信号进行希尔伯特变换：使用MATLAB中的hilbert函数将基带信号进行希尔伯特变换，以获取其解析信号。
3. 将信号进行上变频（或下变频）：对解析信号进行频率变换，以使其位于你想要的上（或下）边带。
这可以通过将解析信号与一个复杂的正弦波（或余弦波）相乘来实现。
4. 提取单边带信号：由于SSB信号只包含一个边带，因此你需要从频率变换后的信号中提取所需的单边带信号。
这可以通过将频谱截断来实现，只保留你所需的边带。
下面是一个MATLAB示例代码，演示如何实现SSB信号调制：% 步骤1：生成调制信号（这里以简单的正弦波作为示例）fs = 1000; % 采样率t = 0:1/fs:1; % 时间向量fm = 5; % 调制信号频率modulating_signal = sin(2*pi*fm*t); % 生成调制信号% 步骤2：进行希尔伯特变换analytic_signal = hilbert(modulating_signal);% 步骤3：上变频（假设我们希望上边带处于高频区域）fc = 200; % 上边带频率carrier_signal = exp(1j*2*pi*fc*t); % 复杂正弦波作为载波信号% 步骤4：提取上边带信号upper_sideband_signal = analytic_signal .* carrier_signal;% 绘制调制信号和SSB信号figure;subplot(3,1,1);plot(t, modulating_signal);title('Modulating Signal');xlabel('Time (s)');ylabel('Amplitude');subplot(3,1,2);plot(t, real(upper_sideband_signal));title('Upper Sideband Signal');xlabel('Time (s)');ylabel('Amplitude');subplot(3,1,3);plot(t, imag(upper_sideband_signal));title('Imaginary part of Upper Sideband Signal');xlabel('Time (s)');ylabel('Amplitude');上面的代码演示了上边带的生成，如果你想生成下边带，只需对载波信号的相位进行调整即可。
单边带调制中希尔伯特滤波器的Weaver法实现
单边带调制中希尔伯特滤波器的Weaver法实现摘要：希尔伯特变换是一种非常有用的数学方法，用来描述一个以实数值载波做调制信号的复数包络，使该调制信号的时域表示简单明了。
希尔伯特滤波器则用来实现调制信号的希尔伯特变换。
用Weaver法可以很好解决希尔伯特滤波器的实现难题。
以单边带调制为例，介绍了Weaver法实现希尔伯特滤波器的基本方法。
关键词：Weaver法；希尔伯特滤波器；SSB调制1希尔伯特滤波器传递函数的推导希尔伯特变换的定义：实信号x(t)的希尔伯特变换为[AKx^](t)=[SX(]1[]π[SX)] ∫+∞[SX(]x(τ)[]tτ[SX)]dτ，希尔伯特变换为x(t)=[SX(]1[]π[SX)] ∫+∞[SX(][AKx^](τ)[]tτ[SX)]d τ。
由定义可知x(t)的希尔伯特变换为x(t)与[SX(]1[]πt[SX)]的卷积。
因此，可以把希尔伯特变换看做是信号通过一个冲击响应为[SX(]1[]πt[SX)]的线性时不变系统的输出。
而这个系统冲激响应的傅氏变换及传输函数可由下式得到：[SX(]1[]πt[SX)][DD(]F[][DD)]j sgn(w)=H(w)，式中sgn(w)sgn(w)=[JB({]1,w≥01,w<0从上述推论中即可看出希尔伯特滤波器实质上是一个理想的90°移相器。
2用希尔伯特滤波器实现SSB信号信号m(t)的单边带调制信号为S\{SSB\}(t)=1/2m(t)cos Wtc1/2[AKm^](t)sin Wtc表示下边带。
其相移法一般调制模型如图1所示。
从图1可以得出：该网络必须对调制信号m（t）的所有频率分量均精确相移π/2Hh(w)的实现。
在实现过程中，我们面临的技术难点就是如何使调制信号的所有频率分量均精确相移π/2Weaver法来解决这一难点。
图1相移法调制模型3用Weaver法解决希尔伯特滤波器的实现难题Weaver法又称混合法，是移相法和滤波法的组合,在技术实现上既有相移法利用正交调制的优点，不需要具有陡峭特性的滤波器，又避免要求网络对调制信号的所有频率分量均精确移相π/2Weaver 法的实现过程如图2所示。
基于matlab的ssb的调制与解调设计依据
基于matlab的ssb的调制与解调设计依据一、概述在通信领域中，调制与解调是一种重要的信号处理技术。
单边带调制（SSB）是一种常见的调制方式，它在频谱利用率和功率效率方面具有优势，因此被广泛应用于通信系统中。
为了实现SSB的调制与解调，需要设计相应的算法和实现方案。
而Matlab作为一种强大的工程软件，也被广泛用于数字信号处理领域。
本文将围绕基于Matlab的SSB调制与解调的设计依据展开阐述。
二、SSB调制的原理1. SSB调制的概念单边带调制（SSB），是将调制信号的频谱移到正频率轴或负频率轴上的其中一侧而不产生另一频谱的一种调制方式。
SSB调制有上下两种形式，分别称为上边带和下边带。
在实际应用中，常采用抑制载波的方式实现SSB调制。
2. SSB调制的数学表示对于一般的调制信号m(t)，经过SSB调制后得到的调制信号s(t)可表示为：s(t) = m(t)cos(2πfct) - jH[m(t)]sin(2πfct)其中，H[m(t)]为m(t)的希尔伯特变换。
三、SSB调制的设计依据1. 基带信号及滤波SSB调制的第一步是对基带信号进行处理，通常需要进行低通滤波以限制频谱范围。
Matlab提供了丰富的信号处理工具箱，可以方便地实现基带信号的生成和滤波处理。
2. 载波抑制和频谱转移在SSB调制中，需要实现对载波的抑制，从而得到单边带信号。
频谱转移可以通过Matlab中的频谱分析和变换函数来实现。
3. SSB调制系统的搭建基于Matlab，可以通过编写代码来搭建SSB调制系统，包括信号处理、频谱分析、滤波和调制等步骤。
四、SSB解调的原理1. SSB解调的概念SSB解调过程是对接收到的单边带信号进行处理，从而得到原始的基带信号。
解调过程中需要进行频谱转移和滤波，以还原原始信号。
2. SSB解调的数学表示对于接收到的SSB信号s(t)，经过解调后得到的解调信号m(t)可表示为：m(t) = s(t)cos(2πfct) - jH[s(t)]sin(2πfct)其中，H[s(t)]为s(t)的希尔伯特变换。
3.2 模拟线性调制系统 希尔伯特变换与相移法形成单边带信号
=
(t )
−
1
sinct
t
hLSB (t)
=
1
sinct
t
将上述二表达式带入卷积表达式，经推导可得上下边带
的SSsBU分SB别(t)为=：12
f
(t)cosct −
1 2
fˆ (t)sinct
sLSB (t)
=
1 2
f
(t )cos ct
+
1 2
fˆ (t)sinct
7
上下边带之和为：
sDSB(t) = sLSB (t) + sUSB (t) = f (t)cosct
32模拟线性调制系统希尔伯特变换与相移法形成单边带信号产生单边带信号频域滤波法技术难点
第三章 模拟调制系统
3.2 模拟线性调制系统
希尔伯特变换与相移法形成单边带信号
1
❖ 产生单边带信号
频域-----滤波法 ❖技术难点：滤波器的实现问题
时域-----相移法
2
1、相移法形成SSB信号（针对单频余弦波）
=
Am inmt sinct
下边带信号为：sLSB (t) =
Am 2
cosmt cosct
+
Am 2
sinmt sinct
3
相移法形成单边带信号原理如下图所示。
SSB信号第一项为同相分量，第二项为正交分量。 若调制信号为非周期信号，则通过希尔伯特变换实现 SSB信号的产生。
4
2. 希尔伯特变换
➢ 时域关系为：
由于
1 − jsgn
t
其传递函数为：
HH () = − jsgn
其幅频相频特性见右图。
➢ 故其频域表达式为 Fˆ ( ) = F( )HH() = − jsgnF( )
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t <0
其傅里叶变换
1 1 H( jω) = H( jω) ∗ π δ (ω) + 2π jω
又
H(jω) = H( jω) ejϕ (ω ) = R( jω) + jX(jω)
则 1 1 R(jω) + jX( jω) = [R(jω) + jX(jω)]∗ π δ (ω) + 2 π jω 1 1 j 1 = π R( jω) + X( jω) ∗ ω + 2π π X( jω) − R( jω) ∗ ω 2 π
f (t ) b F(ω)
ˆ f (t ) b ˆ F(ω)
h(t )
jsgn(ω) b
输出信号
ˆ (t ) ∗ h(t ) = f (t ) ∗ − 1 ˆ f (t ) = f π t
X
第 7 页
ˆ (t ) = F( jω) = F( jω) ⋅ [− jsgn( )] = − jF( jω) ˆ ω Ff jF( jω)
§4.12 希尔伯特(Hilbert)变换 希尔伯特(
•希尔伯特变换的引入 希尔伯特变换的引入 •可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 •单边带调制中的应用
计通学院通信工程系 2010.9
第
一．由傅里叶变换到希尔伯特变换
已知符号函数的傅里叶变换
2 页
1 2 ⋅ ↔sgn(−ω) 根据对称性得到 2π jt 则 sgn(ω)为奇函数 1 1 ↔ jsgn(−ω) ↔−jsgn( ) ω πt πt
Y(ω) 是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。 是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。
X
第 18 页
从理论上讲，这种实现单边带调制的方法回避 了制作滤波特性陡峭的边带滤波器之困难，然而，在 模拟系统中要实现上述全通相移网络也十分困难。两 种方法对滤对器的苛刻要求都只能在一定条件下近似 满足，不可能严格实现。但是在数字信号处理技术 中，要实现宽带
m(t )ejω0t
以上分析表明，信号 f ( t ) 经过系统函数为 − j sgn(ω) 的网络，即可产生其在时域相应的希尔伯特变换对。
X
第
三． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换
可实现系统是因果系统， 可实现系统是因果系统，其冲激响应
11 页
h(t ) = h(t )ε (t )
即: h(t ) = 0
X
第
例4-11-3
试分析下面系统可以产生单边带信号 y1(t )
乘法器
1
14 页
G(ω)
g(t )
cosω0t
移相
π
2
∑
y(t )
−ωm
ωm
ω
− sinω0t
H( jω)
是带限信号， 已知信号 g(t )是带限信号，其频谱函数为G( jω)
ˆ g(t )
乘法器
y2 (t )
ω 图中系统函数 H( jω) = −jsgn ( ) 载频 ω0 >>ωm
ˆ f (t ) b ˆ F(ω)
ˆ 系统的零状态响应 f (t ) ˆ (t ) = f (t ) ∗ h(t ) = f (t ) ∗ 1 f πt 利用卷积定理
ˆ (t ) = F( jω) = F( jω) ⋅ [− jsgn( )] = − jF( jω) ˆ ω Ff jF( jω)
[ ]
ω> 0 ω< 0
具有系统函数为 jsgn ( )的网络是一个使相位滞 − ω 的网络是一个使相位滞 π 弧度的宽带相移全通网络 宽带相移全通网络。 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
X
第 4 页
以上分析表明， 以上分析表明，信号 f ( t ) 经过系统函数为 − j sgn(ω) 的网络， 的网络，而这一网络的频域特性是一个全通相移网 络，它对信号的全部正频率分量产生滞后 90o 之相 它对信号的全部正频率分量产生滞后 移。对所有负频率分量产生超前 90o 之相移， 这种 对所有负频率分量产生超前 之相移， 网络可称为全通 相移网络或垂直滤波器。 90 相移网络或垂直滤波器。
90o 相移的希尔伯特滤波器却是比
较简单的事情。（示
y(t ) = y1 (t ) + y2 (t )
Y(ω) = Y1 (ω) + Y2 (ω)
X
第
频谱图
17 页
Y2 ( jω)
1 − G[ j (ω + ω0 )] 2
1 1 F[ y1(t )] = Y ( jω) = G( jω +ω0 ) + G( jω −ω0 ) 1 2 2
1 h(t ) = − πt
的网络是一个使相位超前 具有系统函数为 jsgn(ω) 的网络是一个使相位超前 π 弧度的宽带相移全通网络 宽带相移全通网络。 弧度的宽带相移全通网络。 2
X
第
若系统框图为
f (t ) F(ω) b
6 页
h(t )
b − jsgn(ω)
ˆ f (t ) b ˆ F(ω)
o
X
第
同理可得到: 同理可得到
5 页
1 − ↔ jsgn( ) ω πt 其网络的频响函数为 j 90o ω> 0 ω H( jω = F[h(t )] = jsgn( ) = ) −j 90o ω< 0
若系统冲激响应为
jF( jω) ω> 0 ω F( jω) ⋅ [ j sgn( )] = - jF( jω) ω< 0
ˆ y2 (t ) = g(t ) ⋅ (− sinω0t )
X
第
ˆ ˆ F[g(t )] = G( jω) = − jG( jω)sgn(ω)
其频谱函数
16 页
ˆ y2 (t ) = g(t ) ⋅ (− sinω0t ) 1 ˆ F[ y2 (t )] = Y2 ( jω) = G( jω) ∗ jπ[δ(ω− ω0 ) − δ(ω+ ω0 )] 2 π j = [− jG[ j(ω− ω0 )]sgn(ω− ω0 ) + jG[ j(ω+ ω0 )]sgn(ω+ ω0 )] 2 即 1 1 Y2 ( ) = G[ j( −ω )]sgn( −ω ) − G[ j( +ω )]sgn( +ω ) ω ω 0 ω 0 ω 0 ω 0 2 2
[ ]
ω> 0 ω< 0
利用卷积定理
ˆ ( jω) ⋅ jsgn( ) = F( jω) F ω F( jω)
ˆ f (t ) b ˆ F(ω)
ω> 0 ω< 0
f (t ) b F(ω)
h(t )
jsgn(ω) b
X
第
希尔伯特变换
ˆ (t ) = f (t ) ∗ h(t ) = f (t ) ∗ 1 f πt
的实部与虚部满足希尔 因果系统频响函数H( jω) 伯特变换约束关系。 伯特变换约束关系。
X
第
希尔伯特变换对
1 X( jλ ) R(jω) = ∫ dλ π −∞ ω − λ
∞
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1 R( jλ ) X( jω) = − ∫ dλ π −∞ω − λ
∞
系统可实现性的实质是具有因果性。由于因果性 系统可实现性的实质是具有因果性。 的限制， 的限制，系统函数的实部与虚部或模与辐角之间将具 有某种相互制约的特性， 有某种相互制约的特性，这种特性以希尔伯特 Hilbert)变换的形式表现出来 变换的形式表现出来。 （Hilbert)变换的形式表现出来。 进一步，对于任意因果函数， 进一步，对于任意因果函数，傅里叶变换的实部 与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系。 与虚部都满足希尔伯特变换的约束关系。 希尔伯特变换作为一种数学工具在通信系统中得 到了广泛的应用。 到了广泛的应用。
X
第
解：
由调制定理可知
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y1(t ) = g(t ) cosω0t
其频谱函数
为带通信号
ˆ g(t ) 是 g(t ) 的希尔伯特变换信号
其频谱 则
1 1 F[ y1(t )] = Y ( jω) = G[ j( +ω )] + G[ j( −ω )] ω 0 ω 0 1 2 2
ˆ ˆ F[g(t )] = G( jω) = − jG( jω)sgn(ω)
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1 ∞ f (τ ) ˆ H[ f (t )] = f (t ) = ∫ dτ −∞ t −τ π
ˆ (t ) ∗ − 1 f (t ) = f π t
π 滞后 2
π 超前 2
H
−1
[ ]
ˆ 1 ∞ f (τ ) ˆ f (t ) = f (t ) = − ∫ dτ π −∞ t −τ
− j H( jω) = − j sgn(ω) = j 则冲激响应
2 F[sgn(t )] = jω
若频响函数为
π − 2 π 2 1 −1 h(t ) = F [H( jω)] = πt
ω> 0 ω< 0
X
第
系统框图: 系统框图
f (t ) F(ω) b
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h(t )
b − jsgn(ω)
X
1 1 j 1 = π R( jω) + X( jω) ∗ ω + 2π π X( jω) − R( jω) ∗ ω 2 π 1 ∞ X( jλ) 1 d λ 所以 R( jω) + jX( jω) = R( jω) + ∫ −∞ ω − λ 2 π 2
X
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以上分析表明，信号 f ( t ) 经过系统函数为 − j sgn(ω) 的网络，即可产生其在时域相应的希尔伯特变换对。