人教A版高中数学必修二导练课时作业：1章 检测试题

课时作业1棱柱、棱锥、棱台的结构特征——基础巩固类——1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(B)A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台解析：结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点(C)A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点解析：四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．3．下列命题中正确的是(D)A．三棱柱的侧面为三角形B．棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形解析：三棱柱的侧面都是平行四边形，故A错；由棱台的定义可知B错；棱台的底面只需是两个相似的多边形即可，故C错；对于三棱锥，每一个面都可以作为底面，其余的为侧面，此时，侧面和底面都是三角形，故D正确．4．下列说法错误的是(D)A．多面体至少有四个面B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形解析：多面体至少应有四个顶点组成(否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形)，而四个顶点围成四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D错误，故选D．5．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是(D)A．是棱柱B．是棱锥C．是棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：由棱柱、棱锥的定义，可知A、B不正确，由棱台的定义可知所述几何体不一定是棱台，故D正确．6．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(A)解析：两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判定．7.如右图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是三棱锥(也可答四面体)．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成3个三棱锥．解析：如图所示，在三棱台ABC-A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A-A1BC，B1-A1BC1，C-A1BC1.9．下列说法正确的有①②④⑤.①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然对．因而正确的有①②④⑤.10．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥．(2)四个面都是等边三角形的三棱锥．(3)三棱柱．解：(1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．11．如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．解：将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.——能力提升类——12．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝3，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为(B)A．2 2 B．10C．5＋1 D．2＋2解析：如图，将正方形ABCD 沿AB 向下旋转到对角面ABC 1D 1内，记为正方形ABC 2D 2.在矩形C 1D 1D 2C 2中连接D 1C 2，与AB 的交点为E ，此时D 1E ＋CE 取得最小值，最小值为D 1C 2.因为BC 1＝12＋(3)2＝2，所以C 1C 2＝3，故D 1C 2＝D 1C 21＋C 1C 22＝12＋32＝10.13．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H 反面的字母是O .14．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，DD 1的中点为Q ，过A ，Q ，B 1三点的截面面积为98.解析：截面是如图所示的等腰梯形QEB 1A ，经过C 1D 1的中点E .因为EQ ＝22，AB 1＝2，AQ ＝B 1E ＝52，所以该梯形的高为324，所以截面面积为S ＝12×(2＋22)×324＝98.15.给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．解：如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的三棱柱的上底．课时作业2圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征——基础巩固类——1．圆柱的母线长为10，则其高等于(B)A．5 B．10C．20 D．不确定解析：圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(D)A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥3．下列说法正确的是(D)A．到定点的距离等于定长的点的集合是球B．球面上不同的三点可能在同一条直线上C．用一个平面截球，其截面是一个圆D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面解析：对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的．所以选D．4．下列判断正确的是(C)A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形解析：根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可．5．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( D ) A ．4 B ．3 2 C ．2 3 D ．2 6解析：圆台的母线长l 、高h 和上、下两底面圆的半径r ，R 满足关系式l 2＝h 2＋(R －r )2，求得h ＝26，即两底面之间的距离为2 6.6．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( C )A ．2B ．2πC ．2π或4πD ．π2或π4 7．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径为Q 2.(用Q 表示)解析：设圆柱的底面半径为r ，则母线长为2r .∴4r 2＝Q ，解得r ＝Q 2，∴此圆柱的底面半径为Q 2.8．用一个平面去截半径为25 cm 的球，截面面积是225π cm 2，则球心到截面的距离是20_cm.解析：如图，O 1为截面圆的圆心，AO ＝25 cm ，由已知得AO 1＝15 cm ，∴OO 1＝20 cm ，即球心O 到截面的距离为20 cm.9．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③半圆绕直径所在直线旋转后形成球．其中正确说法的序号是①. 解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必须过球心；③不正确，因为形成的是一个球面．10．说出下列7种几何体的名称．解：a 是圆柱，b 是圆锥，c 是球，d 、e 是棱柱，f 是圆台，g 是棱锥．11．圆台的上底周长是下底周长的13，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径．解：设圆台上、下底面半径分别为r ，R ，母线长为l ，高为h .由题意，得2πr ＝13·2πR ，即R ＝3r .①12(2r ＋2R )·h ＝392，即(R ＋r )h ＝392.② 又母线与底面的夹角为45°，则h ＝R －r ＝22l .③联立①②③，得R ＝21，r ＝7，h ＝14，l ＝14 2.——能力提升类——12．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为( C )A ．14 B ．1 2 C ．34 D ．2 3解析：如图，设该球的半径为R ，则O 1A 2＝OA 2－OO 21＝R 2－14R2＝34R 2.所以S ⊙O 1S ⊙O ＝34πR 2πR 2＝3 4.13．如图，从半径为6 cm 的圆形纸片上剪去一个圆心角为120°的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为( A )A ．2 5 cmB ．3 5 cmC ．8 cmD ．5 3 cm解析：设圆锥底面圆的半径为r cm ，根据题意得2πr ＝240π·6180，解得r ＝4，所以这个圆锥的高＝62－42＝25(cm)．故选A ．14．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是3.15．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm ，10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到A 点．求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．题图 答图解：(1)如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度．由OBOB＋AB＝510，得OB＝20 cm，所以OA＝40 cm，OM＝30 cm.设∠BOB′＝θ，由2×5×π＝π·OB·θ180°，解得θ＝90°.所以AM＝OA2＋OM2＝50(cm)．即绳子的最短长度为50 cm.(2)如图，过点O作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ 的长度为所求最短距离．因为OA·OM＝AM·OQ，所以OQ＝24 cm.故PQ＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.课时作业3简单组合体的结构特征——基础巩固类——1．如图所示的蒙古包可以看成是由____构成的几何体．(C)A．三棱锥、圆锥B．三棱锥、圆柱C．圆锥、圆柱D．圆锥、三棱柱2.如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(B)A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱3.如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是(A)A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点4．下列说法错误的是(C)A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成解析：本题可以利用逆向思维的方式来解．经过三棱锥的顶点，可以将三棱锥截成一个三棱锥和一个四棱锥，故A正确；用一个平行于圆台底面的平面去截圆台，可以将圆台截成两个圆台，故B正确；用一个平行于四棱台底面的平面去截四棱台，可以得到两个四棱台，故D正确．5.如图，三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝SC＝2，△ABC为正三角形，∠BSC＝40°，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为(C)A．2 B．3C．2 3 D．3 3解析：沿侧棱SB剪开，将侧面展开如图，则所求的最短路线长即为BB′，设BB′的中点为D，连接SD，BB′＝2BD＝2SB sin60°＝2 3.故选C．6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(D)A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中有1个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体被平面ABCD分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．7．观察下列四个几何体，其中是由两个棱柱拼接而成是(1)(4)．解析：(1)可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，(4)可看作由两个四棱柱组合而成．8．用一个平面去截正四面体，使它成为形状、大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数为6.9．正方体的棱长和其外接球的半径之比为2 3.解析：设正方体的棱长为a，其外接球的半径为R.易知(2R)2＝a2＋a2＋a2＝3a2，则R＝32a，故正方体的棱长和其外接球的半径之比为a32a＝2 3.10．请描述如下图所示的组合体的结构特征．解：题图a是一个三棱锥和一个四棱锥组合成的组合体；题图b 是一个三棱柱和一个四棱锥组合成的组合体．11.如图所示，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．解：将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．——能力提升类——12．一个三棱锥的各棱长均相等，在它内部有一个内切球面，球与三棱锥的各侧面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是下图中的(B)解析：内切球和三棱锥的四个面均切于各面中心，而与各侧棱无公共点．故选B．13．如下图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为(A)A．模块①②⑤B．模块①③⑤C．模块②④⑤D．模块③④⑤解析：本题主要考查空间想象能力，先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续模块无法补齐，所以只能先用⑤补中间一层，然后再补齐其他两块，显然①②符合．14．如图所示的几何体的结构特征是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而形成的．15．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x.因为△VA1C1∽△VMN，所以2x2r＝h－xh，即2hx＝2rh－2rx，解得x＝2rh2r＋2h，即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h.课时作业4中心投影与平行投影空间几何体的三视图——基础巩固类——1．四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影(阴影部分)效果如图所示，则在字母L，K，C的投影中，与字母N属同一种投影的有(A)A．L，K B．CC．K D．L，K，C解析：N和L，K属中心投影，C属平行投影．2．下列四个几何体的三视图中，只有正视图和侧视图相同的几何体是(D)A．①②B．①③C．①④D．②④解析：分析几何体可知，②④中几何体只有正视图和侧视图相同．3．如图所示，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(B)A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．4．如图所示放置着六条棱长都相等的三棱锥，则这个三棱锥的侧视图是(A)A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无两边相等的三角形解析：由题意知，它的侧视图是如图所示的等腰三角形(AC＝AB)．故选A．5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(C)解析：由正视图和侧视图可知，俯视图中的小矩形应在大矩形的左下角．故选C．6．如图，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF 在该正方体的各个面上的投影不可能是(D)解析：由题意知光线从上向下照射，得到C，光线从前向后照射，得到A．光线从左向右照射得到B．故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D，故选D．7．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体是由(简单几何体)四棱台与长方体组成的．解析：由三视图可得，几何体为一个四棱台和长方体的组合体．8．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是2和4.解析：由侧视图可知，三棱柱的高为2，底面正三角形的高为23，设底面边长为a，则由32a＝23得a＝4.9．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块共有4块．解析：由正视图可知有两列，由侧视图可知有两排，再结合俯视图可得，几何体共分两层，下面一层3块，上面一层1块，如图所示，其中小长方形中的数字表示此位置木块的块数．10.如图所示，该几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．解：(1)是棱柱．该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且每相邻两个矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图所示．11．如图是一几何体的三视图，想象该几何体的结构特征，并画出该几何体的大致图形．解：由于俯视图有一个圆和一个矩形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面一个四棱柱拼接成的组合体．该几何体的大致形状如图所示．——能力提升类——12．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(C)A．1 B． 2C． 3 D．2解析：由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中侧棱SA⊥底面ABCD，且底面是边长为1的正方形，SA＝1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC＝3，选C．13．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(C)解析：若俯视图为选项C，则侧视图的宽应为俯视图中三角形的高32，所以俯视图不可能是选项C．14.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2 cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其侧视图的面积是4 3 cm2.解析：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2 cm，∴侧视图是长方形，长为2 3 cm，宽为2 cm，∴侧视图的面积是23×2＝43(cm2)．15．如图所示是一位同学画的一个实物的三视图，老师已判断正视图是正确的，问其他两个视图有无错误？如有，请纠正．解：由于正视图正确，观察可知侧视图少画了一条可见轮廓线，俯视图少画了四条可见轮廓线和一条不可见轮廓线，正确的三视图如图所示．课时作业5空间几何体的直观图——基础巩固类——1．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是(A)A．0 B．1C．2 D．3解析：只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A．2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(D)A．45°B．135°C．90°D．45°或135°解析：由斜二测画法知，平行于坐标轴的线段仍平行于x′，y′轴，故∠A′为45°或135°.选D．3.如图所示的是水平放置的三角形ABC在平面直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有(C)A．0条B．1条C．2条D．3条解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC ＝BD．故选C．4．如图，一个正方形在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B ′到x ′轴的距离为( B )A ．12B ．22C ．1D ． 2解析：直观图如图所示，则B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°.∴B ′到x ′轴的距离为1×sin45°＝22.5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC中∠ABC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3.故原△ABC 是一个等边三角形．选C ．6．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是(B)A．6 cm B．8 cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm解析：如图，OA＝1 cm，在Rt△OAB中，OB＝2 2 cm，∴AB＝OA2＋OB2＝3 cm.∴四边形OABC的周长为8 cm.7．如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是OD<BD<AB<OB．解析：△ABO如图所示，设AD＝a，由题意OD＝2a，BD＝4a.∴OB＝25a，AB＝17a，∴OD<BD<AB<OB．8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC ＝45°，AB ＝2，AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为3 2.解析：直观图四边形的边BC 在x ′轴上，在原坐标系下在x 轴上，长度不变，点A 在y ′轴上，在原图形中在y 轴上，且BE 长度为AB 长的2倍，过E 作EF ∥x 轴，且使EF 长度等于AD ，则点F 为点D 在原图形中对应的点，∴四边形EBCF 为四边形ABCD 的原图形，如图．在直角梯形ABCD 中，由AB ＝2，AD ＝1，得BC ＝2.∴四边形EBCF 的面积S ＝12(EF ＋BC )·BE ＝12(1＋2)×22＝3 2.9.在一等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝45°，DC ＝2，AD ＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O 为AB 的中点，E 为CD 的中点，则其直观图的面积为324.解析：由题意可知AB ＝DC ＋2AD cos45°＝4，EO ＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′·sin45°＝2 4，所以S A′B′C′D′＝(2＋4)×242＝324.10．如右图所示是一个几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：画法：(1)画轴：画x轴、y轴、z轴，使三轴交于点O，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；(2)画底面：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个四棱台，上部是一个四棱锥．用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，在平面x′O′y′内，作出棱台的上底面A′B′C′D′；(3)画四棱锥顶点：在Oz轴上截取O′P等于三视图中相应的高度如下图①；(4)成图：连接P A′，PB′，PC′，PD′，AA′，BB′，CC′，DD′，整理可得直观图如图②.——能力提升类——11．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为(A)A．6 2 B．3 3C．3 2 D．3解析：如图，过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′，则2C′D′是△ABC的边AB上的高．由于△B′C′D′是等腰直角三角形，则C′D′＝2B′C′＝3 2.所以△ABC的边AB上的高等于2×32＝6 2.12．如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是(B)解析：该三视图表示的容器是上面是圆台，上面细下面粗，再下面是圆柱，随时间的增加，可以得出高度增加，开始时是匀速增加，之后高度增加的越来越快．故选B．13．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为22 1.解析：由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝22，所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.S△A′B′O′＝12×1×1＝12，所以原三角形面积与直观图面积之比为22 1.14.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，因为DA ＝2D ′A ′＝2，AC ＝A ′C ′＝2，所以S四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.课时作业6 柱体、锥体、台体的表面积与体积——基础巩固类——1．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( A )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，∴h ＝3.2．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( A )A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．3．一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满足b 2＝ac ，那么这个长方体棱长的和是( B )A ．28B ．32C ．36D ．40解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b ·c ＝8， ①ab ＋bc ＋ca ＝16， ②b 2＝ac ， ③将③代入①得b 3＝8，b ＝2，∴ac ＝4，代入②得a ＋c ＝6.∴长方体棱长的和为4(a ＋b ＋c )＝4×8＝32.4．若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( D )A ．112B ．5C ．92D ．4解析：易知该几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面面积S底＝1×2＋4×12×1×1＝4，高为1，故此几何体的体积V ＝4×1＝4.5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝32，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( D )A ．152πB ．92πC ．52πD ．32π解析：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，易得OA ＝3，OB ＝1，则OC ＝52，所以旋转体的体积为13×π(3)2·(OC －OB )。

第一章单元检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列说法中不正确．．．的是( ) A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台中平行于底面的截面是圆面 答案：C解析：本题考查了对基本概念的理解，根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质知，应选C.2．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上下底面中心分别为O 1、O 2，将正方体绕直线O 1O 2旋转一周，其中由线段BC 1旋转所得图形是( )答案：D解析：由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在B ，D 中选，显然B 不对．因为BC 1中点绕O 1O 2旋转得到的圆比B 点和C 1点的小，故选D.3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4，x ，表面积为108，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 答案：D解析：该长方体的表面积为2(3×4＋3x ＋4x )＝108，x ＝6.4．过圆锥的轴的平面截圆锥所得三角形是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为( )A.π3B.3π3C.2π3D.23π3 答案：B解析：由条件知圆锥的底面半径为1，高为3，所以体积为3π3.5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( ) A ．12π cm 2 B ．15π cm 2 C ．24π cm 2 D ．30π cm 2 答案：B解析：由三视图可知，该几何体是底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥，其侧面积为πrl ＝π×3×5＝15π cm 2.6.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形 答案：A解析：依据斜二测画法的原则可得， BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3， 又∵AO ⊥BC ，∴AB ＝AC ＝2. 故△ABC 是等边三角形．7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的正方形，高为1，M 为线段AB 的中点，则三棱锥C －MC 1D 1的体积为( )A.12B.13C.14D.23 答案：D解析：S △C 1D 1C ＝12×1×2＝1，∴VC －MC 1D 1＝VM －C 1D 1C ＝13S △C 1D 1C ·h ＝13×1×2＝23.8．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是( )A.6πB.43πC.83πD.323π 答案：B解析：正方体棱长为2，内切球半径为1.9．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋8 53，则正视图中x的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：C 解析：该几何体上部为正四棱锥(底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥)，四棱锥的高为32－22＝5，底面正方形的边长为2 2；下部为圆柱，圆柱的高为x ，底面圆的直径为4.V四棱锥＝13×(2 2)2×5＝8 53，V 圆柱＝π×22×x ＝4πx ，V 四棱锥＋V 圆柱＝8 53＋4 πx ＝8 53＋12 π，所以x ＝3，故选C.10．若正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，点M 是棱AB 的中点，则在该正方体表面上，点M 到顶点C ′的最短距离是( )A ．6B ．10C ．217D ．213 答案：D解析：将正方体展成一个平面再求最短距离．11．如右图所示，A ∈α，B ∈l ，C ∈l ，D ∈β，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝1，CD ＝2，P 是棱l 上的一个动点，则AP ＋PD 的最小值为( )A. 5 B ．2 2 C ．3 D.10 答案：D 解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE ∥BC ，延长DC 交AE 于E ， 则AE ＝BC ＝1，EC ＝1， ∴在Rt △AED 中有AD ＝32＋12＝10.12．如图，如果底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下的部分的体积是( )A.13πr 2(a ＋b )B.12πr 2(a ＋b ) C ．πr 2(a ＋b ) D ．2r 2(a ＋b ) 答案：B 解析：将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为a ＋b 的圆柱．故圆柱被截下后剩下部分的体积为12πr 2(a ＋b )．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．若两个球的半径之比为1：2，且它们的体积之和为12π，则它们的表面积之和为________．答案：20π解析：设两球半径分别为r,2r ，则体积之和为12πr 3＝12π，r ＝1，表面积之和为4π(r 2＋4r 2)＝20π.14．一个圆台的上、下底面积分别为π、9π，中截面面积等于圆台的侧面积，则圆台的母线长为________．答案：1 解析：如图所示，r 1＝1，r 3＝3，r 2＝2，则π(1＋3)l ＝π×4.∴l ＝1.15．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为________．答案：2 3解析：由题意知该三棱柱的侧视图为矩形，该矩形的长为2，宽为底面正三角形的高，其值为3，所以其侧视图的面积是2 3.16．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．答案：2(1＋3)π＋4 2 解析：此几何体是半个圆锥，直观图如图所示，先求出圆锥的侧面积S 圆锥侧＝πrl ＝π×2×2 3＝4 3π，S 底＝π×22＝4π，S △SAB ＝12×4×2 2＝4 2.所以S 表＝4 3π2＋4π2＋4 2＝2(1＋3)π＋4 2.三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知圆台的上、下底面半径分别是2和5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解：设圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，母线为l ，则有πr 2＋πR 2＝π(r ＋R )l ，所以l ＝πr 2＋πR 2π(r ＋R )＝22＋522＋5＝297.即该圆台的母线长为297.18．(12分)已知三棱柱三个侧面都是矩形，若底面的一边长为2 cm ，另两边长都为3 cm ，侧棱长为4 cm ，求它的体积和表面积．解：由题意设AB ＝AC ＝3，BC ＝2，AA ′＝4，则底面BC 边上的高为32－1＝22，所以体积为V ＝12×2×22×4＝8 2 cm 3，表面积为S ＝2×12×2×22＋(3＋3＋2)×4＝42＋32 (cm 2)．19．(12分)如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，其中V 1是三棱台AEF －A 1B 1C 1的体积，V 2是多面体BCFEB 1C 1的体积，求V 1：V 2.解：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh .因为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝13h (S ＋14S ＋S ·S 4)＝712Sh ，V 2＝Sh －V 1＝512Sh ，故V 1：V 2＝7：5.20．(12分)已知一圆锥的母线长为10 cm ，底面半径为5 cm. (1)求它的高；(2)若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．解：(1)高为102－52＝5 3(cm)．(2)其轴截面如图，设球的半径为r cm ，△SCE 与△SBD 相似， 则r 5＝5 3－r 10，解得r ＝5 33. 于是，所求球的体积V 球＝4π3r 3＝43π⎝⎛⎭⎫5 333＝500 3π27(cm 3)21．(12分)如图的三个图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和正视图、侧视图(单位：cm)．(1)请画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积和表面积；(3)若将五边形ADD ′GE 绕直线DD ′旋转一周，求所得几何体的表面积和体积． 解：(1)俯视图如图所示．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 主棱锥＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．易求得EF ＝EG ＝FG ＝22，△EFG 的面积S △EFG ＝34×(22)2＝23(cm 2)，所以表面积S 表＝2×(4×4＋4×6＋4×6)－3×(12×2×2)＋23＝112＋2 3 (cm 2)．(3)五边形ADD ′GE 绕直线DD ′旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为2的圆柱与一个上底半径为2，下底半径为4，高为2的圆台的组合体，其体积＝V 圆柱＋V 圆台＝π×42×2＋13×(4π＋16π＋4π×16π)×2＝1523π (cm 3)．该几何体的表面积＝S 圆台表＋S 圆柱表＝π(2＋4)×22＋4π＋16π＋2π×4×2＝36π＋122π(cm 2)．22．(14分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝13Sh ＝13×π×(162)2×4＝2563π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝13Sh ＝13×π×(122)2×8＝2883π＝96π(m 2)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ，圆锥的母线长为l ＝82＋42＝5(m)．则仓库的表面积S 1＝π×8×4 5＝32 5π(m 2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，圆锥的母线长为l ＝82＋62＝10(m)， 则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π (m 2)．(3)∵V 2>V 1，S 2<S 1，所以方案二比方案一更加经济．。

第一章 1.1 1.1.2A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中不是旋转体的是导学号09024051(D)[解析]由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是导学号09024052(D)A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱[解析]棱柱的任何截面都不可能是圆面．3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是导学号09024053(C)A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆台[解析]用任意一个平面截球体所得的截面都是圆面，故选C．4．下列命题中正确的是导学号09024054(C)①过球面上任意两点只能作球的一个大圆；②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．A．①②③B．②③C．②③D．②[解析]过直径的两个端点可作无数个大圆，故①错；两个大圆的交点是两个大圆的公共点，也一定是直径的端点，故②正确；球心与截面圆心的连线一定垂直于截面，故③正确．5．如图(1)所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的？导学号09024055 (A)[解析]因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C，故选A．6．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是导学号09024056 (D)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题7．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__.导学号09024057[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为22．8．已知一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则下图中，截面不可能是__④__(填序号).导学号09024058[解析]过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形．三、解答题9．说出下图是由什么几何体组合而成的？导学号09024059[解析]①三棱柱挖去一个圆柱②球、圆柱和圆台B级素养提升一、选择题1．下列几何体中导学号09024060(A)A．旋转体3个，台体(棱台和圆台)2个B．旋转体3个，柱体(棱柱和圆柱)5个C．柱体3个，锥体(棱锥或圆锥)4个D．旋转体3个，多面体4个[解析](6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体．2．下列命题，其中正确命题的个数是导学号09024061(C)①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个(注：轴截面是指过旋转轴的截面)；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆．A．0B．1C．2D．3[解析]由圆锥与球的结构特征可知①②正确，故选择C．3．下列说法正确的是导学号09024062(D)①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．A．①②B．②③C．①③D．②④[解析]①错，圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其底边的中点连线旋转形成的；②正确；由母线的定义知③错；④正确．4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由导学号09024063(D)A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成[解析]旋转体如图，可知选D．二、填空题5．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为__cm.导学号09024064[解析]h＝20cos30°＝20×32＝103(cm)．6．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是__④__.导学号09024065①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．[解析]平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面，而不是一个面，故填④．C级能力拔高1．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴.导学号09024066[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：2．如图(1)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单几何体组成的. 导学号09024067[解析]如图(2)所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②、③是梯形，旋转后形成圆台．所以旋转后形成的几何体如图(3)所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱、两个圆台拼接而成的．。

数学必修第二册课时作业(一)【原卷版】1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A．4个B．5个C．6个D．7个2．【多选题】下列结论正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D．与非零向量a平行的单位向量有1个3．设O是△ABC的外心，则AO→，BO→，CO→是()A．相等向量B．模相等的向量C．平行向量D．起点相同的向量4．【多选题】如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是()A.AO→＝OC→B.AO→∥AC→C.AB→与CD→共线D.AO→＝BO→5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.AB→与AC→共线B.DE→与CB→共线C.AD→与AE→相等D.AD→与BD→相等6．四边形ABCD中，AB→＝2DC→，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形7．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝________．9．某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进1003m，则此人位移的方向是________．10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有________________________________________________________________；(2)图中与AB →相等的向量有________；(3)图中与AB →的模相等的向量有_______________________________________；(4)图中与EC →相等的向量有________．11.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则以A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量是________．12．若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．13．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2km 到达D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6km 到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2km 才到达B 地．(1)在图中画出向量AD →，DC →，CB →，AB →；(2)描述B 地相对于A 地的位置．14．如图，在四边形ABCD 中，已知M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN 綉MA .15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．1．O 是△ABC 内一点，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的()A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心2．【多选题】下列命题中是真命题的是()A ．向量AB →∥CD →(AB →，CD →为非零向量)就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．零向量与任一向量平行C ．相等向量一定是平行向量D ．平行向量一定是相等向量3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，O 是两条对角线的交点，设点集M ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{PQ →|P ∈M ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，求集合T 中元素的个数．4．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P ；(2)把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 上的点P ；(3)把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的点P .5．民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示．试写出图中与FE →模相等的向量．6．指出下图中的平行向量和相等向量．7.如图所示，在四边形ABCD中，AB→＝DC→，N，M是AD，BC上的点，且CN→＝MA→.(1)求证：DN→＝MB→；(2)试写出图中与向量DN→共线的向量．数学必修第二册课时作业(一)【解析版】1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个答案A解析速度、位移、力、加速度这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．2．【多选题】下列结论正确的是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D ．与非零向量a 平行的单位向量有1个答案BC解析A 中两个向量未必共线；D 中与非零向量a 平行的单位向量有2个．3．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是()A ．相等向量B ．模相等的向量C ．平行向量D ．起点相同的向量答案B4．【多选题】如图，O 是正方形ABCD 的中心，则下列结论正确的是()A.AO →＝OC →B.AO →∥AC →C.AB →与CD →共线 D.AO →＝BO→答案ABC解析根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有D 是错误的，AO →与BO →只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．5．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()A.AB →与AC →共线 B.DE →与CB →共线C.AD →与AE →相等D.AD →与BD →相等答案B解析如图，因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以由三角形的中位线定理可得DE ∥BC .所以DE →与CB →共线．6．四边形ABCD 中，AB →＝2DC →，则四边形ABCD 为()A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形答案C解析∵AB →＝2DC →，∴AB ∥DC 且AB ≠DC .∴四边形ABCD 为梯形．7．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．答案单位圆8．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________．答案23解析由题意知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC ，BD 交点为O ，在Rt △ABO 中，|BO →|＝|AB →|·cos 30°＝2×32＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝23.9．某人向正东方向行进100m 后，再向正南方向行进1003m ，则此人位移的方向是________．答案南偏东30°解析如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝BC BA ＝1003100＝3，∵∠BAC 是三角形的内角，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是南偏东30°.10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有________________________________________________________________；(2)图中与AB →相等的向量有________；(3)图中与AB →的模相等的向量有_______________________________________；(4)图中与EC →相等的向量有________．答案(1)DC →，BE →，BA →，CD →，EB →，AE →，EA →(2)DC →，BE→(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →(4)BD→11.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则以A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量是________．答案BA →，FE →，CD→解析由平行四边形的性质，可知AB 綉EF 綉DC .则与向量EF →方向相反的向量有BA →，FE →，CD →.12．若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．答案西北方向52km解析根据题意画出图形如图所示，由图可知|BC →|＝52km ，且∠ABC ＝45°，故C 地相对于B 地的位移是西北方向52km.13．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2km 到达D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6km 到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2km才到达B 地．(1)在图中画出向量AD →，DC →，CB →，AB →；(2)描述B 地相对于A 地的位置．解析(1)作向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以AB →＝DC →，所以B 地相对于A 地的位置为“北偏东60°，相距6km ”．14．如图，在四边形ABCD 中，已知M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN 綉MA .证明因为AB →＝DC →，所以AB ＝DC ，且AB ∥DC .所以四边形ABCD 是平行四边形．所以AD →＝BC →.又因为M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以AN ＝MC ，且AN ∥MC .所以四边形AMCN 是平行四边形．所以CN 綉MA .15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解析根据规则，作出符合要求的所有向量，如图．1．O 是△ABC 内一点，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的()A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心答案C解析由条件知点O 到△ABC 三个顶点的距离相等，所以O 是△ABC 的外心．2．【多选题】下列命题中是真命题的是()A ．向量AB →∥CD →(AB →，CD →为非零向量)就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．零向量与任一向量平行C ．相等向量一定是平行向量D ．平行向量一定是相等向量答案BC解析向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 是假命题；零向量的方向是任意的，因此与任一向量平行，故B 是真命题；相等向量的方向相同，因此相等向量一定是平行向量，故C 是真命题；平行向量的长度不一定相同，即使长度相同，方向也有可能相反，因此平行向量不一定是相等向量，故D 是假命题．3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，O 是两条对角线的交点，设点集M ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{PQ →|P ∈M ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，求集合T 中元素的个数．解析从模和方向两个角度考虑，以下向量是互不相等的向量：AB →，BA →，AD →，DA →，AO →，OA →，AC →，CA →，BO →，OB →，BD →，DB →，其他向量都与它们中的某一个相等，故集合T 中有12个元素．4．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P ；(2)把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 上的点P ；(3)把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的点P .解析(1)是以P 点为圆心，以1个单位长度为半径的圆．(2)是直线l .(3)是直线l 上与点P 的距离为1个单位长度的两个点．5．民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示．试写出图中与FE →模相等的向量．解析与FE →模相等的向量有EF →，DO →，OD →，GH →，HG →，OB →，BO →，AO →，OA →，共9个．6．指出下图中的平行向量和相等向量．解析平行向量有CD →∥AB →∥IJ →∥MN →，EF →∥GH →∥KL →.相等向量有CD →＝MN →，AB →＝IJ →.7.如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →.(1)求证：DN →＝MB →；(2)试写出图中与向量DN →共线的向量．解析(1)证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|，且AB ∥CD .因此四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .同理，由CN →＝MA →，可证四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →.所以|MB →|＝|DN →|，即DN →与MB →的模相等，又DN →与MB →的方向相同，故DN →＝MB →.(2)图中与向量DN →共线的向量有NA →，AN →，ND →，CM →，MC →，MB →，BM →，CB →，BC →，DA →，AD →.。

最新人教版高中数学必修2课时同步测题（全册共236页附解析）目录1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1.2.3 空间几何体的直观图1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积章末复习课第一单元评估验收卷(一)第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质章末复习课第二单元评估验收卷(二)第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12 l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB 所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．5.一个四棱锥S-ABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥V-ABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A级基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D2.如图所示，ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C ­A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C ­AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ， 又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S圆锥表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：由l＝14×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝16π≈163，所以米堆的体积V＝14×13πr2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶ 2 B．1∶ 3C．2∶ 2 D．3∶ 6解析：棱锥B′ ­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5， 所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级 能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π.答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章 空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级 基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )A ．3倍B ．3 3 倍C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：设该球的半径为R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是()A．4π＋24 B．4π＋32C．22πD．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3.答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3. 答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π， 因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π. 10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5， 解得：R ＝1.5 (cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.B 级 能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O -ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5， 所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3，所以V O ­ABCD ＝13×(42)3×3＝32. 答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ， 所以R ＝334πa ，r ＝312πa ， 所以S 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， 所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3. 所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B。

第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法正确的是()A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等,且各侧棱长都相等,故A不正确,易知C,D不正确.B正确.2.若一个几何体的三个视图都是面积为2的圆,则这个几何体的表面积是()A.4B.2C.8D.16,设其半径为r,则S=πr2,所以r=.故S表=4πr2=4π×=8.3.若一个几何体的直观图如图所示,则下列给出的四个俯视图正确的是(),应为B中图形.4.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π10,4,5的长方体和上面是半径为3,高为2的半个圆柱的组合体.5.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,则△ABC是一个()A.等边三角形B.直角三角形C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形BC=B'C'=2,AO=2A'O'=2×.因为AO⊥BC,所以AB=AC=2.故△ABC是等边三角形.6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.C.D.1,正视图的高为1,宽在区间[1,]上,所以正视图的面积在区间[1,]上变化,而<1,故选C.7.如果圆锥的表面积是底面面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为()A.120°B.150°C.180°D.240°R,母线长为l.由题意知πR2+πRl=3πR2,所以l=2R,扇形的弧长为2πR=πl.而扇形所在圆的周长为2πl,所以该扇形是半圆,即所求圆心角的度数为180°.8.如图,已知△A'B'C'表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A'B'在x'轴上,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=3,则△ABC的边AB上的高为()A.6B.3C.3D.3,过C'作C'D'∥O'y'交x'轴于点D',则2C'D'是△ABC的边AB上的高.由于△B'C'D'是等腰直角三角形,则C'D'=B'C'=3.所以△ABC的边AB上的高等于2×3=6.9.已知圆柱的侧面展开图(矩形)的面积为S,底面周长为C,则它的体积是()A.B.C.D.r,母线长为l,2πrl=S,2πr=C,所以V=πr2l=.10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.B.C.D.1,三棱锥的直观图如图所示,则该三棱锥的体积V=×1×1×1=,故选A.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.若把长、宽分别为2a,a的矩形卷成一个圆柱的侧面,且圆柱的体积为,则a=.r,母线长为l.①当2πr=a,l=2a时,则r=,h=l=2a,所以V圆柱=πr2h=π××2a=,解得a=.②当2πr=2a,l=a时,则r=,h=l=a,所以V圆柱=πr2h=π××a=,解得a=2.故所求a的值为或2.212.已知三棱锥的侧棱PA,PB,PC两两垂直且相等,若AB=,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是.,如图所示.因为AB=,所以PA=PB=PC=1,即外接球的半径为.故球的表面积为4πr2=4π×=3π.π13.如图,若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则圆柱、圆锥、球的体积之比为.R,则V柱=πR2·(2R)=2πR3,V锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,故V柱∶V锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2.∶1∶214.一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的四分之一,当桶直立时,水面的高度与桶的高度之比为.,水面的高度为x,桶的高度为h,桶的底面半径为R,则横放时水桶底面在水内的面积为,V水=h.直立时,V水=πR2x,所以x∶h=(π-2)∶4π.π-2)∶4π15.在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为.,或水平放置的圆柱.由图形可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(1×3+1×1+3×1)=14.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.V半球=πR3=×43=(cm3),V圆锥=πr2h=π×42×10=(cm3),又因为V半球<V圆锥,所以冰激凌融化了,不会溢出杯子.17.(8分)如图所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图及其正视图和侧视图(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的数据,求该多面体的体积.加上俯视图后的三视图如图所示.(2)所求多面体的体积V=V长方体-V三棱锥=4×4×6-×2=(cm3).18.(9分)如图①为一个几何体的表面展开图.(1)沿图中虚线将它们折叠起来,是哪一种几何体?画出它的直观图;(2)需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体?若图②是棱长为6 cm的正方体,试在图中画出这几个几何体的一种组合情况.图①图②几何体是四棱锥,它的直观图如图所示.(2)需要3个这样的四棱锥才能拼成一个棱长为6 cm的正方体,四棱锥D1-ABCD,四棱锥D1-BCC1B1,四棱锥D1-ABB1A1,如图所示.19.(10分)已知三角形ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.,由题易知旋转体是由底面重合的两个圆锥拼接而成.设上面圆锥的母线长为l1,下面圆锥的母线长为l2,重合底面的半径为r.因为△ABC为直角三角形,所以r=,S表=πrl1+πrl2=πr(l1+l2)=π××7=.设重合底面面积为S,则V=V上+V下=S·5=×π×.20.(10分)若E,F分别是三棱柱ABC-A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点,且B1E=CF,三棱柱的体积为m,求四棱锥A-BEFC的体积.,连接AB1,AC1.由于B1E=CF,则梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.∵四棱锥A-BEFC的高与四棱锥A-B1EFC1的高相等,∴V A-BEFC==.设三棱柱的高为h,∵·h,=·h=m,∴,∴=m,∴V A-BEFC=m=,即四棱锥A-BEFC的体积是.。

课后导练基础达标1下列命题，其中正确命题的个数是（）①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆A.0B.1C.2D.3解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确.故选择C.答案：C2下列命题，其中正确命题的个数是（）①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台A.0B.1C.2D.3解析：①若以斜边为轴旋转一周可得组合体（两个重底面的圆锥），故①错.②若以不垂直于底的腰为轴，则得组合体圆锥与圆台，所以②错，④若截面不平行于底面，则得到的不是圆锥和圆台，所以④错，只有③正确.故选择B.答案：B3以一个等边三角形底边所在的直线为对称轴旋转一周所得的几何体是（）A.一个圆柱B.一个圆锥C.两个圆锥D.一个圆台解析：如下图，等边三角形底边的高线将其分成两个直角三角形，所以，旋转成两个圆锥，故选C.答案：C4一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为（）A.①③B.②④C.①②③D.②③④解析：若截面为正方体的对角面，则选②；若截面平行于正方体一个面，则选③；否则，选①.故选择C.答案：C5左下图所示的几何体最有可能是由下面哪个平面图形旋转得到的（）解析：B 图旋转后可得两个圆锥；C 图旋转后可得一个圆锥和一个圆柱；D 图旋转后可得两个圆锥和一个圆柱.故选择A.答案：A6轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为___________.解析：由圆锥的结构特征可知，轴截面为等腰直角三角形，其高为r.∴S=21×2r 2=r 2. 答案：r 27圆台的两底半径分别为2和5，母线长为103，则它的轴截面的面积为___________. 解析：设轴截面等腰梯形的高为h ，则h=990-=9.∴S=21×9×(2+5)×2=63. 答案：638用一个平行于底面的平面截圆锥，截得的圆台上下底面的半径之比是1∶4，截去圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长.解：设圆台的母线长为y ，截得的圆锥底面与圆锥半径分别是x 、4x ，根据相似三角形的性质得xx y 433=+ 解此方程得y=9,所以，圆台的母线长为9.综合运用9过球面上两点可能作球的大圆的个数是（ ）A.有且只有一个B.一个或无数多个C.无数多个D.不存在这种大圆解析：当球面上两点与球心不共线时，此时只能作一个大圆；当球面上两点与球心共线时，能作无数多个大圆，故选择B.答案：B10圆台的侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径与两底面面积之和.解：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图，∠ASO=30°,在Rt △SA′O′中，A S r =sin30°， ∴SA′=2r.在Rt △SAO 中，SAr 2=sin30°，∴SA=4r. ∴SA-SA′=AA′，即4r-2r=2a,r=a.∴S=S 1+S 2=πr 2+π(2r)2=5πr 2=5πa 2.∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.11绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？解：由一个圆柱O 1O 2和圆台O 2O 3，圆台O 1O 2组成.拓展探究12在一个有阳光的时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸展到距离球与地面接触点10 m 处，同时有一根长为3 m 的木棒垂直于地面，且影子长为1 m ，求此球的半径.（1）解：如图（1）设球与地面接触点为A ，则PA=10，过P 作球的切线，切线为B ，又知木棒长为3，且影子长为1，如图（2）.（2）所以∠CQD=60°，即∠BPA=60°.连PO，则∠OPA=30°.∴OP=2OA.∵OA2+102=4OA2，10∴OA=33。

第一章　1.2　1.2.3A 级　基础巩固一、选择题1．AB ＝2CD ，AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，已知在直观图中，AB 的直观图是A ′B ′，CD 的直观图是C ′D ′，则(　C )导学号 09024118A ．A ′B ′＝2C ′D ′ B ．A ′B ′＝C ′D ′C ．A ′B ′＝4C ′D ′ D ．A ′B ′＝C ′D ′12[解析]　∵AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，∴AB ＝A ′B ′，CD ＝2C ′D ′∴A ′B ′＝AB ＝2CD ＝2(2C ′D ′)＝4C ′D ′．2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是(　B )导学号 09024119A ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B ．平行四边形的直观图仍是平行四边形C ．两条相交直线的直观图可能是平行直线D ．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直[解析]　平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B 正确．3．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是(　C )导学号 09024120①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A ．0 B ．1C ．2D ．3[解析]　由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是(　A )导学号 09024121[解析]　由斜二测画法可知，与y ′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A 正确．5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　C )导学号 09024122A ．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[解析]　由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm ．6．如图Rt △O ′A ′B ′是一个平面图形的直观图，若O ′B ′＝，则这个平面图形2的面积是(　C )导学号 09024123A ．1B ．2C ．2D ．422[解析]　由直观图可知，原平面图形是Rt △OAB ，其中OA ⊥OB ，则OB ＝O ′B ′＝，OA ＝2O ′A ′＝4，∴S △OAB ＝OB ·OA ＝2，故选C ．2122[点评]　平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S 原，它的斜二测画法直观图的面积为S 直，则有S 直＝S 原(或S 原＝2S 直)．242二、填空题7．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为__M ′(4,2)__，点M ′的找法是__在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′__.导学号 09024124[解析]　在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′．8．如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是__10__.导学号 09024125[解析]　由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝＝10．AC 2＋BC 2三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积.导学号 09024126[解析]　在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，在直观图中，O ′D ′＝OD ，梯形的高12D ′E ′＝，于是梯形A ′B ′C ′D 的面积为×(1＋2)×＝．24122432810．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为4 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此几何体的直观图.导学号 09024127[解析]　(1)画轴．如图1所示，画x 轴、z 轴，使∠xOz ＝90°．(2)画圆柱的两底面，在x 轴上取A 、B 两点，使AB 的长度等于3 cm ，且OA ＝OB ．选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆柱的下底面．在Oz 上截取点O ′，使OO ′＝4 cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于圆锥的高3 cm ．(4)成图．连接A ′A 、B ′B 、PA ′、PB ′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．B 级　素养提升一、选择题1．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是(　C )导学号 09024128A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形[解析]　将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示．由题意知22O′D′＝O′C′＝2 cm2OD＝2O′D′＝4 cm，C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cmCD2＋OD2OC＝＝6 cm，又OA＝O′A′＝6 cm＝OC，∴原图形为菱形．2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直导学号 09024129观图，则原图形的周长是(　A　)A．8 cm B．6 cm32C．2(1＋)cm D．2(1＋)cm[解析]　根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形，且有2OB⊥OA，OB＝2，OA＝1，所以AB＝3.从而原图的周长为8．3．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是乙图中的导学号 09024130(　C　)[解析]　按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y 轴或在y 轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy ＝90°，12∠x ′O ′y ′＝45°，将图形还原成原图形知选C ．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为(　D )导学号 09024131A ．a 2B ．a 23438C ．a 2 D ．a 268616[解析]　根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A ′B ′C ′所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝OC ＝a .过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点1234D ′，则C ′D ′＝O ′C ′＝a .所以S △A ′B ′C ′＝A ′B ′·C ′D ′＝a ×a ＝a 2．2268121268616二、填空题5．(2018·永春一中高一期末)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形的面积是是__2__.2导学号 09025145[解析]　由斜二测画法性质知，底边长为1，OA ′与底边垂直且长为2×＝2直观22图如图所示．故原图形面积S ＝1×2＝2．226．如右图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二侧画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，在直观图中梯形的高为____.22导学号 09024133[解析]　因为OA ＝6，CB ＝2，所以OD ＝2.又因为∠COD ＝45°，所以CD ＝2.梯形的直观图如图，则C ′D ′＝1.所以梯形的高C ′E ′＝．22C 级　能力拔高1．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.导学号 09024134[解析]　由几何体的三视图可知，这个几何体是一个圆台，画法：①画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.②画圆台的两底面，取底面⊙O 和上底面⊙O ′的长为俯视图中的大圆和小圆的直径，画出⊙O 与⊙O ′.③取OO ′为正视图的高度．④成图．如图，整理得到三视图表示的几何体的直观图．2．由如图所示几何体的三视图画出直观图.导学号 09024135[解析]　(1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC．(3)画侧棱．过A、B、C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′、BB′、CC′，且AA′＝BB′＝CC′．(4)成图，顺次连接A′、B′、C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．。

第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是() A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例。

1．1．2简单组合体的结构特征【课时目标】1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的()3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由()A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是__________________．9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．三、解答题10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是()13．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．1．1．2简单组合体的结构特征答案知识梳理1．简单几何体2．截去或挖去一部分作业设计1．A2．A3．D4．D5．A6．D[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]7．①②③④8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱)9．球体10．解将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成．11．解先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B 13．解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x ．因为△V A 1C 1∽△VMN ，解得2x 2r ＝h －x h，所以2hx ＝2rh －2rx ，解得x ＝2rh2r ＋2h．即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r ＋2h．。